Congruencia de triángulos.

1 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma. DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo que sus ángulos. Si ABC DEF , entonces:

AB FD; AC DE; BC FE A D; B F ; C E

Lados correspondientes son los que se oponen a ángulos congruentes y viceversa. Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los teoremas se da el siguiente postulado POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. POSTULADO LADO – ANGULO – LADO (L – A – L) Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro. Si

AB DF ; BC FE;B F Entonces ABC DEF

DEFINICIÓN: Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes. TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR) Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.

AB

DE; BC

EF

ABC

DEF

Congruencia de triángulos.

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TEOREMA En todo triangulo isósceles los ángulos de la base son congruentes HIPÓTESIS:

ABC es isósceles con CA CB

TESIS: CAB

RAZÓN   1. En CA se toma un punto D y en CB se toma un punto E, tal que CD CE 2. Trazamos DB y AE 3. CA CB 4. CD CE 5. C C 6. CAE CBD 7. CAE CBD

AFIRMACIÓN 1. Postulado de construcción de segmentos 2. Dos puntos determinan un segmento 3. De hipótesis 4. De 1. Construcción. 5. Propiedad reflexiva 6. L – A – L. De 3, 4, 5 7. De 6. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 8. De 1

8. CD CE 9. CA + AD = CB + BE 10. CA + AD = CA + BE

BE 12. CDB CEA; DB

CBA

9. De 8. Adición de segmentos 10. Sustitución de 3 en 9 11. De 10. La ley cancelativa

11. AD

12. De 6. Partes correspondientes de triángulos congruentes 13. De 11 y 12. L – A – L 13. ABD EAB 14. De 13. Ángulos correspondientes en 14. EAB DBA triángulos congruentes. 15. De 14 y 7. Resta de ángulos. 15. CAB CBA NOTA: Este teorema también se puede enunciar así: Si dos lados de un triangulo son congruentes entonces los ángulos opuestos a ellos son congruentes. COROLARIO: En un triangulo equilátero sus ángulos son congruentes, es decir es equiángulo.

AE

HIPÓTESIS:

ABC es un triángulo equilátero

TESIS: A

B

C

Congruencia de triángulos.

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TEOREMA En todo triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es mediana, altura y pertenece a la mediatriz de la base. HIPÓTESIS: CD es la bisectriz de ACB ABC es isósceles con CA CB A–D–B TESIS: CD es mediana, altura y pertenece a la mediatriz.

1. CA 2. 1

CB 2 3. CD CD

1. De hipótesis.

CDA CDB 5. AD DB

4. De 1, 2 y 3. Postulado L – A – L 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 6. De 5. Definición de punto medio

4.

6. D punto medio de AB 7. CD es mediana 8. CDA CDB 9. m (  CDA) + m (  CDB) = 180º 10. m (  CDA) + m (  CDA) = 180º 11. 2m (  CDA) = 180º, m (  CDA) = 90º 12. CD

AB

13. CD es altura

 14. CD es mediatriz

2. De hipótesis. Definición de bisectriz. 3. Propiedad reflexiva

7. De 6. Definición de mediana 8. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 9. De hipótesis A – D – B. Forman un par lineal 10. Sustitución de 8 en 9. 11. De 10. Propiedad de los Reales 12. De 11. Definición de perpendicularidad 13. De 12. Definición de altura 14. De 12 y 6. Definición de mediatriz.

NOTA: Se demuestra también que si en un triangulo, una altura es mediana o bisectriz entonces el triangulo es isósceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior. Demuéstrelo. TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A – L – A) Si dos triángulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ángulos respectivamente congruentes, entonces los triángulos son congruentes. HIPÓTESIS:

A

P; AB

PQ; B

Q

PQR TESIS: ABC NOTA: Este teorema se demostrará cuando se vea el método indirecto de demostración.

Congruencia de triángulos.

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TEOREMA DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. LADO-LADO-LADO (L – L – L) Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son congruentes.

AB

DE

HIPÓTESIS: AC

DF

BC

EF

TESIS:

 1. En el semiplano de borde  AB que no contiene a C, se traza AP , tal que

BAP D y AP

ABC

DEF

1. Postulado de construcción de ángulos y segmentos.

DF

2. Trazamos PB

2. Dos puntos determinan un segmento

3. AB DE 4. APB

3. De hipótesis.

5. PB

DEF

EF

6. PB EF BC 7. PBC es isósceles 8. BCP BPC

9. AP DF AC 10. CAP es isósceles 11. ACP APC 12. m (  ACB) = m(  ACP) + m(  BCP) 13. m (  APB) = m (  APC) + m (  BPC) 14. m (  APB) = m(  ACP) + m(  BCP) 15. m (  ACB) = m(  APB) APB 16. ABC DEF 17. ABC

4. De 3 y 1. L – A – L 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 6. De hipótesis y 5. Propiedad transitiva 7. De 6 y definición de triangulo Isósceles 8. De 7. En un triangulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 9. De hipótesis y de 1 10. De 9. Definición de triangulo isósceles. 11. De 10. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 12. Adición de ángulos. 13. Adición de ángulos 14. Sustitución de 8 y 11 en 13 15. De 12 y 14. Ley transitiva 16. De 15, 6, 9. L – A – L 17. De 4 y 16. Propiedad transitiva

Congruencia de triángulos.

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EJERCICIOS RESUELTOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS  Demostrar que en un triangulo isósceles las bisectrices de los ángulos de la base son congruentes. HIPÓTESIS:

TESIS: BD 1. m ACB 2. m DBC 3. m ECB 4. m DBC

m ABC m ACB 2 m ABC 2 m ECB

5. BC BC 6. ECB DBC 7. BD

CE

ABC es isósceles con AB BD y CE son bisectrices

AC

CE 1. De hipótesis. Los ángulos opuestos a los lados congruentes de un triangulo isósceles son congruentes. 2. De hipótesis. Definición de bisectriz 3. De hipótesis. Definición de bisectriz 4. De 1, 2, 3. Por ser mitades de ángulos congruentes. 5. Propiedad reflexiva. 6. De 1, 4, 5. A – L – A 7. De 6. Por ser lados correspondientes de triángulos congruentes.

 Si AB y CD se bisecan en un punto K, demostrar que 1) AC

BD 2) AD

BC

HIPÓTESIS: K es punto medio de AB K es punto medio de CD TESIS: AC

BD y AD

1. K es punto medio de AB

1. De hipótesis

2. AK

2. De 1. Definición de punto medio

KB

3. K es punto medio de DC

3. De hipótesis.

4. CK KD 5. AKC DKB DKB 6. AKC

4. De 3. Definición de punto medio.

7. AC

BD

BC

5. Por ser opuestos por el vértice. 6. De 5, 4, 2. Postulado L – A – L 7. De 6. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

NOTA: La segunda parte se demuestra de la misma manera.

Congruencia de triángulos.

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 HIPÓTESIS:

TESIS:

1. A

ABC es equilátero. AE BF CD

EFD es equilátero.

B C

1. De hipótesis. Un triangulo equilátero es equiángulo. 2. De hipótesis.

2. AE BF CD 3. AB = BC = CA

3. De hipótesis. Definición de triangulo equilátero. 4. De 3. Adición de segmentos 5. Sustitución de 2 en 4 6. De 5. Ley cancelativa 7. De 6, 2, 1. L – A – L 8. De7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 9. De 8. Definición de triangulo equilátero

4. AE+EB=BF+FC=CD+DA 5. AE+EB=AE+FC=AE+DA 6. EB = FC = DA 7. AED EBF FCD 8. DE 9.

EF

FD

DEF es equilátero.

 HIPÓTESIS: DE AE DE EC; AE EB D A D – F – H – B; A – G – H – C

TESIS:

1. D

A AE

2. DE 3. AEG = DEF EAG 4. DEF 5. DFE EGA

1) CEG 2) CFH

BEF BGH

1. De hipótesis. 2. De hipótesis. 3. De hipótesis. Son ángulos rectos. 4. De 1,2, 3, A – L – A 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes

Congruencia de triángulos.

6. EFH 7. FEG

EGH FEG

8. EF EG 9. CEG BEF 10. C B 11. HFC HGB 12. EC

EB GB

13. FC 14. FHC

7 6. De 5. Por tener el mismo suplemento 7. Propiedad reflexiva 8. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes 9. De 6, 7, 8. A – L – A 10. De 9. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 11. Tienen el mismo suplemento 12. De 9. Lados correspondientes en triángulos congruentes 13. De 12 y 8. Resta de segmentos

BGH

14. De 10, 11, 13. A – L –A

 HIPÓTESIS: AB DB AC AC TESIS:

LEF

EF LF y EH son medianas EH

ABD

DB 2. AC y EH son medianas

1. De hipótesis.

3. H y C son puntos medios

3. De 2. Definición de mediana 4. De 3. Definición de punto medio

1. LF

4. LH 5. 6.

HF y DC CB m( LF ) y m(CB) m( HF ) 2 HF CB EH AC; EF AB EHF ACB

2. De hipótesis

7. 8. 9. F 10.

B

ABD

LEF

m( DB) 2

5. De 4. Definición de punto medio. 6. De 1 y 5. Propiedad transitiva 7. De hipótesis 8. De 6 y 7. L – L – L 9. De 8. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 10. De 1, 7, 9. L – A – L

Congruencia de triángulos.

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 HIPÓTESIS : CA CB DA DB C–E–D;A–E–B TESIS: AB

1. AC BC 2. ABC es isósceles. 3. 1 2 4. AD BD 5. ADB es isósceles. 6. 3 4 7. m (  CAD)=m (  1)+m (  3) 8. m (  CBD)=m (  2)+m (  4) 9. m (  CBD)= m (  1)+m (  3) 10. m (  CAD) = m (  CBD) 11. CAD CBD 12. ACD DCB 13. CE es bisectriz 14. CE es altura 15. CE 16. CD

AB AB

CD

1. De hipótesis. 2. De 1. Definición de triangulo isósceles. 3. De 2. Los ángulos de la base de un triangulo isósceles son congruentes 4. De hipótesis. 5. De 4. Definición de triangulo isósceles. 6. De 5. En un triangulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 7. Adición de ángulos. 8. Adición de ángulos 9. Sustitución de 3 y 6 en 8 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva. 11. De 10 y de hipótesis. L – A – L 12. De 11. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 13. De 12. Definición de bisectriz 14. De 13 y 2. En un triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es también altura. 15. De 14. Definición de altura. 16. De 15 y de hipótesis C – E – D

Congruencia de triángulos.

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 HIPÓTESIS: AB

AC

AF AE

A – B – C; A – F – E TESIS: 1)BE

CF

2) AD es bisectriz de CAE

1. AB 2. A

AF A 3. AC AE 4. ABE ACF 5. BE CF 6. BC 7. FE 8. FE

AC AB AE AF AC AB

9. BC FE 10. ABE AFC 11. CBD es el suplemento de ABE 12. DFE es el suplemento de AFC 13. CBD DFE 14. C E

BDC DFE 16. DB DF 15.

17. AD AD 18. BAD FAD 19. BAD FAD 20. AD es bisectriz de

CAE

1. De hipótesis 2. Propiedad reflexiva 3. De hipótesis 4. De 1, 2, 3. L – A – L 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 6. Resta de segmentos 7. Resta de segmentos. 8. Sustitución de 1 y 3 en 7. 9. De 6 y 8. Propiedad transitiva. 10. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 11. De hipótesis. A – B – C. Definición de ángulos suplementarios 12. De hipótesis. A – F – E. Definición de ángulos suplementarios 13. De 10, 11 y 12. Por tener el mismo suplemento. 14. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 15. De 14, 9, 13. A – L – A 16. De 15. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 17. Propiedad reflexiva. 18. De1, 16, 17. L – L – L 19. De 18. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 20. De 19. Definición de bisectriz.

Congruencia de triángulos.

10 PROPOSICIONES DE VERDADERO O FALSO

1. Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado de uno, son respectivamente congruentes a dos ángulos y el lado del otro. ( ) 2. Si los catetos de un triangulo rectángulo son congruentes a los catetos de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes. ( ) 3. Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son respectivamente congruentes a dos lados y un ángulo del otro. ( ) 4. L – L – A siempre se cumple en la congruencia de triángulos. ( ) 5. Dos triángulos que tienen un lado congruente y las alturas trazadas a esos lados congruentes, son congruentes. ( ) 6. Dos triángulos equiláteros son congruentes. ( ) 7. Dos triángulos equiláteros son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente a un lado del otro. ( ) 8. Dos triángulos son congruentes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes. ( ) 9. Si los lados congruentes de un triangulo isósceles son congruentes s los lados congruentes de otro triangulo isósceles entonces los triangulo son congruentes. ( ) 10. La altura de un triangulo pasa por el punto medio del lado al cual fue trazada. ( ) 11. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos correspondientes son congruentes. ( ) 12. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces los lados correspondientes son congruentes. ( ) 13. Ningún par de ángulos de un triangulo escaleno son congruentes. ( ) 14. Los lados de un triangulo son rectas. ( ) 15. Existe un triangulo RST en el cual el ángulo R sea congruente con el ángulo T. ( ) 16. El suplemento de un ángulo, siempre es un ángulo obtuso. ( ) 17. Una perpendicular a una recta biseca a la recta. ( ) 18. La mediana trazada a la base de un triangulo isósceles es perpendicular a la base. ( ) 19. Un triangulo equilátero es equiángulo. ( ) 20. Si dos ángulos tienen el mismo suplemento entonces son congruentes. ( ) 21. Si dos ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes. ( ) 22. La bisectriz de un ángulo de un triangulo biseca al lado opuesto al ángulo. ( ) EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

En la figura se tiene que: AG GE ED FG GB BC . Demostrar que: D C

Congruencia de triángulos.

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2. HIPÓTESIS: CD es altura. AD

DB

TESIS: 1) ACD BCD 2) CA CB

3. Demostrar que en un triangulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. 4. HIPÓTESIS: E

B; ADE

ACB; B – C – D – E

TESIS: EAD BAC

5.  HIPÓTESIS: AB AD; AE es bisectriz de  BAD A–C–E

TESIS:

1) BC

CD

2)BCE

DCE

6. HIPÓTESIS:

TESIS:

ABC es equilátero AE BF CD

EFD es equilátero.

Congruencia de triángulos.

12

7. Sea ABC un triangulo isósceles, con CA CB . D es el punto medio de AC y E es el punto medio de BC . Demostrar que el triangulo ACE es congruente con el triangulo BCD. 8. HIPÓTESIS: E – F – C; E – G – B; A – G – H – C; D–F–H–B ED EA DE EC AE EB

D A

TESIS:

1) CEG 2) CFH

BEF BGH

9. HIPÓTESIS: AI TESIS: EH

IC

CD

EC

10. HIPÓTESIS: B es punto medio de AC AD CE ; BD BE TESIS:

1)E D 2) APC es isosceles.

BI

IH

HF

Congruencia de triángulos.

13

11. AB

AF

HIPÓTESIS: BD DF BAC FAE TESIS:

1) AC

AE

2) BC

FE

12. Demostrar que en un triangulo isósceles: A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes. C. Los segmentos de las bisectrices de los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes. 13. Si en un triangulo ABC se cumple que AB AC . R es un punto que pertenece al lado AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ; RC DB .En base con esta información se puede demostrar que AR AD ? Justificar la respuesta. 14. HIPÓTESIS:

TESIS:

AE

BC

AC

BE

1)DEA DCB 2) ABD es isosceles

15. HIPÓTESIS:

TESIS:

1) AE 2) DE

1  2 3  4 A–E–C EC AC

Congruencia de triángulos.

14

16. HIPÓTESIS: AB TESIS:

DF ; 1  2

AF ; DB

1)B F 2) DC

DE

SUGERENCIA: Trazar AD

17. OED

ODE

HIPÓTESIS: A C AE

TESIS:

DC

1) BF

BH

2)OF

OH

18. HIPÓTESIS: AF TESIS:

AB; FE

BC ; DF

1)EAD CAD 2) ED CD

19. HIPÓTESIS:

EAD AF

TESIS:

1) DF

DB

2) EF

CB

AB

CAD

DB

Congruencia de triángulos.

15

20. HIPÓTESIS: AR

SC ; AB

CD; BS

DR

TESIS: BSA DRS

21. HIPÓTESIS: BD es mediana AE BF ; CF BF TESIS: AE

CF

22. HIPÓTESIS:

AC

AE

CF y EB son medianas

TESIS: AD

CE

23. HIPÓTESIS: TESIS:

AB BC; DC BC ABD DCA

ABC

DCB

24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de un triangulo isósceles al punto medio de la base son congruentes. 25. Si el segmento de recta que une el vértice B del triangulo ABC al punto medio M de AC se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC AB 26. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triangulo equilátero forman otro triangulo equilátero.

Congruencia de triángulos.

16

27. HIPÓTESIS: TR TS ; PR

PS

TESIS: TRP TSP

28. HIPÓTESIS: A – B – C – D

1 2 AB CD TESIS: A D

Ejercicios tomados de los siguientes textos:  Geometría Euclidiana de Nelson Londoño  Geometría Euclidiana de Hemmerling  Curso de Geometría. Reunión de profesores  Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli  Geometría de Edwin E. Moise Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.