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CAP´ ITULO

CONJUNTOS DE CONSUMO Y PREFERENCIAS Cap´ ıtulo 2

2.1. 2.1.1.

2

Conjuntos de consumo y restricci´on presupuestaria Generalidades

Un consumidor es un agente econ´ omico individual (un individuo en sentido estricto o una familia) que toma decisiones de consumo, es decir, escoge cantidades de bienes y servicios que demanda y cantidades de trabajo que oferta. Supondremos que hay un n´ umero finito m de consumidores, que distinguiremos con el sub´ındice i = 1, 2, . . . , m. El conjunto de elecci´ on del i-´esimo consumidor est´a constituido por un conjunto Xi ⊂ Rℓ de consumos “posibles”. Un consumo posible (o un plan de consumo) es un vector ℓ-dimensional del espacio de mercanc´ıas Rℓ y lo representamos por xi = (xi1 , xi2 , ..., xiℓ ). El elemento xik de este vector describe la cantidad de la mercanc´ıa k consumida por el i-´esimo consumidor. Cada plan de consumo especifica ciertas cantidades de bienes y servicios consumibles, as´ı como ciertas cantidades de factores productivos que el consumidor puede ofertar (diversos tipos de trabajo). El conjunto de todos los consumos posibles para el i-´esimo consumidor se denomina conjunto de consumo. La forma m´as sencilla de modelizar estos conjuntos es identificando los planes de consumo con vectores no-negativos, Xi = Rℓ+ . As´ı pues, con esta aproximaci´ on, un plan de consumo es posible para un consumidor si y s´olo si est´a constituido por cantidades no negativas. Tomar los planes de consumo como vectores no-negativos facilita notablemente la discusi´ on del comportamiento del consumidor por tres razones: (1) Porque Rℓ+ es un conjunto con muy buenas propiedades operativas (en particular, es un conjunto no vac´ıo, cerrado, convexo y acotado inferiormente); (2) Porque todos los consumidores tienen id´enticos conjuntos de consumo, de modo que lo que les diferencia son sus formas de valorar las distintas alternativas y su riqueza; y (3) Porque los problemas de optimizaci´on con restricciones de no negatividad son tratables con procedimientos m´as sencillos.

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Observaci´ on: La mayor parte de las propiedades que obtendremos no dependen de este supuesto particular, sino que son v´alidas para todo subconjunto de Rℓ cerrado, convexo y acotado inferiormente.

El problema econ´ omico del consumidor consiste en elegir alg´ un plan de consumo en el subconjunto de Rℓ+ que determinen sus restricciones. El comportamiento racional del consumidor consistir´ a en elegir aquel plan de consumo que resulte “el mejor de los alcanzables”. As´ı pues, para describir adecuadamente el comportamiento del consumidor, habremos de definir y modelizar tanto las restricciones a las que se enfrenta (restricci´ on presupuestaria) como su criterio de valoraci´ on (preferencias). Nos ocuparemos ahora de la restricci´ on presupuestaria y en la secci´ on siguiente de las preferencias. En una econom´ıa de mercado las restricciones que afectan a los consumidores est´ an asociadas a su capacidad de gasto, que viene determinada por los precios de mercado y su riqueza. Cuando se trata adem´ as de una econom´ıa competitiva los precios de mercado constituyen una variable externa puesto que ning´ un consumidor puede, individualmente, afectar con sus decisiones a dichos precios. Ello equivale a suponer que los consumidores toman los precios de mercado como un dato. Tanto en esta secci´ on como en el cap´ıtulo siguiente supondremos que esta capacidad de gasto viene descrita por un n´ umero Mi , que podemos interpretar como una cantidad de ‘dinero’.1 Diremos que Mi ∈ R representa la riqueza del i-´esimo consumidor, i = 1, 2, . . . , m. Representaremos los precios de las mercanc´ıas mediante un vector de Rℓ , p = (p1 , p2 , ..., pℓ ), de modo que el coste de adquirir un vector de mercanc´ıas xi = (xi1 , xi2 , ..., xiℓ ) vendr´ a dado por: pxi =

ℓ X

pk xik

k=1

Dado un vector de precios p ∈ Rℓ el i-´esimo consumidor podr´ a adquirir todas aquellas cantidades de mercanc´ıas que no cuesten m´ as que su riqueza Mi . Diremos as´ı que un plan de consumo xi es accesible para el i-´esimo consumidor a los precios p si pxi ≤ Mi . Se denomina conjunto presupuestario al conjunto βi (p, Mi ) = {xi ∈ Rℓ+ / pxi ≤ Mi } que describe aquellos planes de consumo que el i-´esimo consumidor puede pagar, cuando su riqueza es Mi y los precios de mercado vienen dados por el vector p. Suele denominarse par precio-riqueza al vector (p, Mi ) ∈ Rℓ+1 que define la restricci´ on presupuestaria. Al escribir el conjunto presupuestario como βi (p, Mi ) estamos indicando que este conjunto var´ıa con los precios y la riqueza. La correspondencia βi : Rℓ+1 → Rℓ+ que asocia a cada par precio-riqueza el conjunto de consumos que el i-´esimo consumidor puede pagar, se denomina correspondencia presupuestaria. Es inmediato comprobar que el conjunto presupuestario no cambia si multiplicamos precios y riqueza por cualquier n´ umero positivo, es decir, βi (λp, λMi ) = βi (p, Mi ) para cualquier n´ umero λ > 0. La correspondencia presupuestaria es pues homog´enea de grado cero en precios y riqueza (una propiedad que se 1

M´ as adelante tomaremos Mi como el valor de los activos que posee el consumidor y por tanto ser´ a una funci´ on de los precios de mercado y no una cuant´ıa fija.

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Gr´ afico 2.1: La restricci´ on presupuestaria

traslada a la funci´ on de demanda, como veremos).2 Bajo el supuesto establecido sobre los conjuntos de consumo, el conjunto βi (p, Mi ) resulta cerrado y convexo (aunque podr´ıa ser vac´ıo). El gr´ afico 2.1 ilustra la restricci´on presupuestaria para el caso ℓ = 2, es decir, βi (p, Mi ) = {xi ∈ R2+ / p1 xi1 +p2 xi2 ≤ Mi }. Si medimos el bien 2 en el eje de ordenadas, la ecuaci´on de la recta que delimita el conjunto presupuestario puede expresarse como: p1 i xi2 = M ı se deduce que la pendiente de la restricci´on presupuestaria p2 − p2 xi1 . De aqu´ viene dada por los precios relativos (− pp12 ), mientras que la “posici´on” del conjunto i presupuestario depende de la riqueza real ( M p2 ). Consecuentemente, cambios en los precios relativos modifican la pendiente de la restricci´on presupuestaria, mientras que cambios en Mi desplazan dicha restricci´on.

2.1.2.

La oferta de trabajo

Una de las decisiones que el consumidor debe adoptar al escoger un plan de consumo es c´ omo distribuir su tiempo disponible entre ocio y trabajo. Cuando la cantidad de tiempo disponible est´ a limitada, el tiempo que no se destina al trabajo se destina al ocio, de modo que el consumo de ambas mercanc´ıas (demanda de ocio u oferta de trabajo) puede describirse mediante una sola variable.

2 Pensemos que ´esto es lo que ha ocurrido en aquellos pa´ıses europeos que se han incorporado a la moneda u ´nica: tanto los precios como el valor de los activos han pasado a estar denominados en euros en lugar de en las tradicionales monedas nacionales.

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Gr´ afico 2.2: Trabajo y ocio

Al representar los planes de consumo mediante vectores de Rℓ+ es habitual dar a todas las mercanc´ıas el tratamiento de ‘bienes’.3 Para ello hemos de dar una interpretaci´ on correcta a las mercanc´ıas que representan la oferta de trabajo de los consumidores. La idea b´asica a este respecto es que la oferta de trabajo no aparece de forma expl´ıcita en los planes de consumo. Lo que aparece es la demanda de ocio, de modo que la oferta de trabajo resulta ser la diferencia entre el tiempo disponible y el tiempo de ocio demandado. Para ilustrar este punto, supongamos que u ´nicamente hay dos mercanc´ıas, trigo y ocio (o trigo y trabajo, si se prefiere) y que el consumidor dispone de una cantidad de tiempo Ti , que describe la m´ axima cantidad de horas que el consumidor i puede dedicar a trabajar (una cantidad que depender´a de aspectos tales como edad, salud, capacitaci´on, etc.). Un plan de consumo vendr´a dado as´ı por un vector xi = (xi1 , xi2 ) donde xi1 es la cantidad demandada de trigo y xi2 se interpreta como la cantidad demandada de tiempo de ocio. Con ello estamos indicando que cuando el consumidor elige este plan de consumo se propone trabajar una cantidad Ti −xi2 de horas. Si xi2 = 0 estamos diciendo que el consumidor destina todo su tiempo disponible a trabajar, mientras que el caso xi2 = Ti corresponde a un plan de consumo en el que el consumidor dedica todo su tiempo disponible al ocio y no trabaja. Valores de xi2 mayores que Ti nos indican que el consumidor est´ a demandando ‘una cantidad negativa de trabajo’, es decir, est´ a demandando trabajo de otros (servicios dom´esticos o clases particulares, por ejemplo). El gr´ afico 2.2 describe esta situaci´on4 . 3

Ello se convierte en una exigencia cuando suponemos, como haremos en la secci´ on siguiente, que las preferencias son mon´ otonas (es decir, que el consumidor est´ a siempre dispuesto a consumir cantidades mayores de todos los bienes). 4

Conviene advertir que estamos suponiendo impl´ıcitamente que solo existe un u ´nico tipo de trabajo. Cuando hay dos o m´ as tipos de trabajo el conjunto de consumo incorpora una restricci´ on que describe la relaci´ on de transformaci´ on entre los diferentes tipos de trabajo, dado el tiempo total disponible. Restricciones de esta clase implican que el conjunto de consumo es un subconjunto estricto de Rℓ+ .

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Gr´ afico 2.3: Restricci´ on presupuestaria y oferta de trabajo

Al describir los planes de consumo como vectores de Rℓ+ el gasto del consumidor incluye el pago de las cantidades de ocio consumidas y la riqueza incluye los ingresos asociados a la capacidad de trabajo disponible. El ocio es as´ı valorado seg´ un su coste de oportunidad (es decir, seg´ un el precio del trabajo). Para verlo consideremos el siguiente ejemplo con dos mercanc´ıas, trigo y ocio. Supongamos como antes que el consumidor puede trabajar a lo sumo una cantidad de Ti horas y sea p = (p1 , p2 ) el vector de precios de mercado (donde p1 representa el precio del trigo y p2 el salario). Un plan de consumo xi = (xi1 , xi2 ) ∈ R2+ representa las cantidades xi1 de trigo y xi2 de ocio que el agente puede consumir. Si suponemos que el trabajo es la u ´nica fuente de riqueza de este consumidor, para hacer el ejemplo m´ as sencillo, tendremos que Mi = p2 Ti . As´ı pues Mi nos dice en este caso cu´ales son los ingresos que el consumidor obtendr´ıa si dedicara todo su tiempo a trabajar. Su restricci´on presupuestaria vendr´ a dada por: βi (p, Mi ) = {xi ∈ R2+ / pxi ≤ p2 Ti } De aqu´ı se deduce que p1 xi1 + p2 xi2 ≤ p2 Ti , es decir, que p1 xi1 ≤ p2 (Ti − xi2 ), donde (Ti −xi2 ) es precisamente la cantidad de trabajo ofertada y p2 (Ti −xi2 ) representa los ingresos derivados del trabajo. El gr´afico 2.3 ilustra este ejemplo.

2.2.

Preferencias

Una forma general de establecer un criterio de comparaci´on entre alternativas consiste en la introducci´ on de alg´ un tipo de ordenaci´on sobre los planes de consumo. Aludiremos a este criterio de comparaci´ on con el nombre gen´erico de preferencias. Para modelizar

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el criterio de valoraci´ on de las opciones de consumo del i-´esimo consumidor supondremos que ´este tiene definida una relaci´ on de preferencias %i sobre Rℓ+ , donde %i es una relaci´ on binaria que puede leerse como “ser al menos tan preferido como”. Es decir, dados dos elementos xi , x′i ∈ Rℓ+ , la expresi´ on xi %i x′i significa que el i-´esimo consumidor estima que el plan de consumo xi es al menos tan preferido como (mejor o igual que) el plan de consumo x′i . Con respecto a esta relaci´ on de preferencias vamos a considerar una serie de propiedades (a veces denominados axiomas) que nos permitan una modelizaci´ on operativa de los consumidores. Dividiremos estas propiedades en tres grupos diferentes. El primer grupo (completitud y transitividad) se refiere a propiedades de ordenaci´ on; su cumplimiento garantiza que la relaci´ on %i es un preorden completo. El segundo grupo (continuidad y convexidad) introduce una estructura anal´ıtica precisa. Finalmente, discutiremos diversas formulaciones de la idea de no-saciabilidad. Es importante darse cuenta que las propiedades de orden son independientes de las hip´ otesis establecidas sobre el conjunto de consumo (en particular no dependen de tomar Rℓ+ como espacio de referencia), mientras que las propiedades anal´ıticas no lo son.5

2.2.1.

Propiedades de orden

Comencemos presentando las dos propiedades b´ asicas de ordenaci´ on, que son aplicables a un conjunto de elecci´ on cualquiera: completitud y transitividad. Estas propiedades reflejan la idea de un agente que es capaz de valorar de forma coherente cualquier par de alternativas. Formalmente: completitud Para todo xi , x′i ∈ Rℓ+ , se verifica xi %i x′i , o bien x′i %i xi . Transitividad Para todo xi , x′i , x′′i ∈ Rℓ+ ,

′′

′′

[xi %i x′i ∧ x′i %i xi ] ⇒ xi %i xi

La completitud establece que la relaci´ on de preferencias es aplicable a cualquier par de alternativas del conjunto de consumo. Es decir, descarta la posibilidad de que existan opciones incomparables (no existen pares de alternativas frente a los cuales el sujeto es incapaz de establecer la relaci´ on %i ). Obs´ervese que esta propiedad, tal y como est´ a formulada, implica que la relaci´ on %i es reflexiva (dado que podr´ıamos tomar x′i = xi ). La propiedad de transitividad postula la coherencia en el comportamiento del agente y garantiza la ordenaci´ on sistem´ atica de las alternativas. Cuando no se cumple se pierde la l´ ogica del criterio de ordenaci´ on y aparecen “ciclos” de preferencia que pueden hacer imposible tomar decisiones en alg´ un subconjunto de Rℓ+ . Si tomamos, a ′ ′′ modo de ejemplo, el subconjunto {xi , xi , xi } y resulta que xi es mejor o igual que x′i , x′i mejor o igual que x′′i , y x′′i mejor o igual que xi , nunca sabr´ıamos con qu´e opci´ on quedarnos. No obstante hay contextos en los que resulta plausible que no se cumpla esta propiedad, como ocurre cuando las opciones son imperfectamente distinguibles, o cuando admitimos que el consumidor no es un agente individual sino que est´ a constituido por una familia que decide por un sistema de mayor´ıa (v´ease el problema 2.7). 5

En realidad esta modelizaci´ on es v´ alida siempre que el conjunto de consumo sea un subconjunto cerrado, convexo y acotado inferiormente de Rℓ .

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Cuando la relaci´ on %i cumple estas dos propiedades constituye un preorden completo, que se denomina preorden de preferencias del i-´esimo consumidor. Dicho preorden refleja la valoraci´ on del sujeto de las distintas opciones de consumo posibles. Lo importante para la teor´ıa es que las preferencias del sujeto puedan establecerse como un preorden, sin entrar en el an´ alisis de los motivos que le llevan a valorar las cosas de una determinada forma. A partir de la relaci´ on %i podemos definir una nueva relaci´ on sobre los elementos del conjunto de consumo. Se trata de la relaci´ on de indiferencia , que representamos por el s´ımbolo ∼i , y que se define como sigue: Dados xi , x′i ∈ Rℓ+ , xi ∼i x′i ⇐⇒ [xi %i x′i ∧ x′i %i xi ]

que se lee como xi es indiferente a x′i , indicando que las opciones xi y x′i son igualmente valoradas por el sujeto 6 Puede comprobarse f´ acilmente que, cuando %i es completa y transitiva, la relaci´ on de indiferencia es reflexiva, sim´etrica (es decir, xi ∼i x′i implica que x′i ∼i xi ), y transitiva; es decir, constituye una relaci´ on de equivalencia. Las clases ℓ de equivalencia de R+ por la relaci´ on de indiferencia las designaremos como Ii (x′i ) ⊂ ℓ R+ , donde Ii (x′i ) = {xi ∈ Rℓ+ / xi ∼i x′i } ′

Los conjuntos Ii (xi ) se conocen como clases de indiferencia. Una clase de indiferencia contiene todas las opciones que resultan igualmente apreciadas (indiferentes) a una dada x′i por el i-´esimo consumidor. Por ser una relaci´ on de equivalencia, las clases de indiferencia constituyen una partici´ on del conjunto de elecci´ on, de modo que se verifica (v´ease problema 2.6): (a) Ii (x′i ) 6= ∅ ∀ x′i ∈ Rℓ+ . S (b) x′ ∈Rℓ Ii (x′i ) = Rℓ+ . i

+

(c) Sean x′i , x′′i ∈ Rℓ+ dos planes de consumo que no son indiferentes. Entonces, T Ii (x′i ) Ii (x′′i ) = ∅.

Cuando la capacidad de discriminaci´ on del consumidor no es absoluta, la transitividad de la indiferencia tiene implicaciones dif´ıcilmente aceptables. Un ejemplo tradicional es el siguiente: Supongamos que le pedimos a un individuo amante del caf´e que escoja entre dos tazas de caf´e con az´ ucar. La u ´nica diferencia entre ambas es que una tiene medio mil´ıgramo m´ as de az´ ucar que la otra. Cabe esperar que el individuo sea incapaz de distinguir entre ambas tazas de caf´e y se declare indiferente. Si repetimos la prueba, variando de medio en medio mil´ıgramo de az´ ucar resultar´ a, por la transitividad de la indiferencia, que le da lo mismo el caf´e sin az´ ucar que con 20 cucharadas. A partir de las relaciones %i y ∼i podemos a su vez definir una nueva, la relaci´ on de preferencia estricta, que simbolizaremos por ≻i , que se define como sigue: Dados ′ xi , xi ∈ Rℓ+ , ′ ′ ′ xi ≻i xi ⇐⇒ [xi %i xi ∧ (xi ≁i xi )] ′

(donde (xi ≁i xi ) indica que xi no es indiferente a x′i ). Diremos en este caso que xi es preferido a x′i , o tambi´en que xi es estrictamente mejor que x′i .

6 Advi´ertase que los conceptos de “indiferente” e “incomparable” son distintos en t´erminos l´ ogicos. En efecto, el primero nos dice que xi %i x′i y que tambi´en x′i %i xi , mientras que el segundo nos dice que ni xi es mejor o igual que x′i , ni lo contrario..

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La relaci´ on ≻i no es reflexiva ni sim´etrica. Es transitiva y verifica las propiedades de asimetr´ıa (xi ≻i x′i implica que x′i ⊁i xi ) y de irreflexividad (xi ⊁i xi ). Si aplicamos la relaci´ on ≻i al conjunto cociente (Rℓ+ / ∼i ) obtendremos una ordenaci´ on en sentido estricto y completa de las clases de indiferencia.7

2.2.2.

Propiedades anal´ıticas

Discutiremos a continuaci´ on las propiedades de continuidad y convexidad. Estas dos propiedades juegan un papel fundamental en la formulaci´ on matem´ atica del problema de decisi´ on del consumidor. Pero no se justifican u ´nicamente por su utilidad formal; tambi´en expresan dos ideas muy intuitivas acerca del modo en que los individuos valoran sus opciones de consumo. La propiedad de continuidad traduce la idea de que peque˜ nos cambios en las cantidades consumidas suponen peque˜ nos cambios en nuestra satisfacci´ on. As´ı, planes de consumo muy parecidos ser´ an valorados de forma similar. La propiedad de convexidad est´ a relacionada con un viejo principio de la psicolog´ıa experimental que establece que la repetici´ on continuada de un est´ımulo disminuye la intensidad de la respuesta. Por tanto la satisfacci´ on de un individuo tiende a aumentar con la variedad de los est´ımulos. Veamos c´ omo se formalizan estas ideas. Continuidad Para todo xoi ∈ Rℓ+ , los conjuntos Mi (xoi ) ≡ {xi ∈ Rℓ+ / xi ≻i xoi } Pi (xoi ) ≡ {xi ∈ Rℓ+ / xoi ≻i xi } son abiertos en Rℓ+ . El conjunto Mi (xoi ) describe las opciones de consumo que resultan mejores que an´ alogamente, Pi (xoi ) es el conjunto de planes de consumo que son peores que xoi . Por tanto, la idea intuitiva de continuidad de las preferencias puede expresarse como sigue: Sean xi , x′i ∈ Rℓ+ , tales que xi ≻i x′i ; entonces puntos que se encuentren “muy cerca” de xi tambi´en resultar´ an preferidos a x′i . M´ as formalmente, la continuidad de las preferencias significa que dados dos planes de consumo xi , x′i ∈ Rℓ+ tales que xi ≻i x′i , podemos encontrar una bola de centro xi y radio ε > 0, que denotamos por B(xi , ε), y una bola de centro x′i y radio δ > 0, que denotamos por B(x′i , δ), tales que para todo z en B(xi , ε) se verifica z ≻i x′i , y para todo s ∈ B(x′i , δ) se verifica xi ≻i s.

xoi ;

Podemos definir tambi´en los conjuntos

MI i (xoi ) ≡ {xi ∈ Rℓ+ / xi %i xoi } PI i (xoi ) ≡ {xi ∈ Rℓ+ / xoi %i xi }

es decir, MI i (xoi ) es el conjunto de todas las opciones que resultan mejores o iguales que xoi , y PI i (xoi ) es el conjunto de las opciones peores o iguales que xoi . N´ otese que, 7 Recordemos que, dada una relaci´ on de equivalencia ∼ definida sobre un conjunto X, denominamos conjunto cociente, y lo denotamos por (X/ ∼), al conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia definidas en X por la relaci´ on ∼ .

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Gr´ afico 2.4: Preferencias lexicogr´ aficas

cuando %i es una relaci´ on completa y continua, por complementariedad los conjuntos MI i (xoi ), PI i (xoi ) son cerrados en Rℓ+ .

Dejamos como ejercicio la comprobaci´on de las propiedades de completitud, transitividad y continuidad implican que: T a) MI i (x◦i ) PI i (x◦i ) = Ii (x◦i ) S b) MI i (x◦i ) PI i (x◦i ) = Rℓ+ c) Las clases de indiferencia son conjuntos cerrados y conexos.

El ejemplo caracter´ıstico de una relaci´on de preferencias completa y transitiva pero que no verifica la propiedad de continuidad es el orden lexicogr´ afico. Para el caso R2+ , podemos definir este orden como sigue: dados x = (x1 , x2 ), z = (z1 , z2 ) ∈ R2+ , z ≻ x si



(i) z1 > x1, o bien (ii) si z1 = x1 , y adem´as z2 > x2

El gr´ afico 2.4 representa el conjunto Mi (x) asociado a estas preferencias, para un cierto x. Como puede apreciarse, Mi (x) no es abierto ni cerrado, de modo que el axioma de continuidad no se verifica. Desde un punto de vista m´ as intuitivo podemos decir que la falta de continuidad del orden lexicogr´ afico se traduce en que dos alternativas casi id´enticas pueden estar muy lejos en la valoraci´ on del individuo. Como sucede en el diccionario con dos palabras casi id´enticas cuya primera letra es distinta (por ejemplo, bendici´ on y rendici´ on). Observaci´ on: Las propiedades de completitud, transitividad y continuidad no son, en realidad, independientes. En el trabajo de Schmeidler (1971) se prueba que si una relaci´ on de preferencias es transitiva y continua, tambi´en es completa.

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Consideraremos ahora la condici´ on de convexidad de las preferencias, que refleja la idea de “gusto por la variedad”: las combinaciones intermedias de planes de consumo alternativos resultan preferidas. Formalmente:8 Convexidad estricta Para todo xi , x′i ∈ Rℓ+ , y para todo λ ∈ (0, 1), xi %i x′i =⇒ [λxi + (1 − λ)x′i ] ≻i x′i La convexidad estricta indica que si el consumo xi es preferido o indiferente al x′i , entonces todo consumo intermedio (con ponderaciones positivas) resulta preferido a x′i . Un caso particular pero ilustrativo, tomando Rℓ+ = R2+ , es el siguiente: sean ′ xi = (0, xi2 ), x′i = (x′i1 , 0) y supongamos
que xi ∼i xi . La convexidad estricta implica 1 ′ 1 que el consumo promedio 2 xi1 , 2 xi2 resulta preferido a cualquiera de los planes de consumo originales. N´ otese que, como Rℓ+ es un conjunto convexo, si xi , x′i son elementos de Rℓ+ los planes consumos de la forma λxi + (1 − λ)x′i tambi´en est´ an en Rℓ+ . La convexidad estricta de las preferencias tiene tres implicaciones importantes:

(i) Para todo x′i ∈ Rℓ+ , los conjuntos Mi (x′i ) de opciones mejores que x′i y MI i (x′i ) de opciones mejores o iguales que x′i , son conjuntos convexos.

(ii) Las curvas de indiferencia no pueden ser “gruesas” (dicho m´ as formalmente, para todo x′i ∈ Rℓ+ , intIi (x′i ) = ∅).

(iii) Las curvas de indiferencia no pueden contener tramos lineales. Es decir, si xi , x′′i ∈ Ii (x′i ), entonces ning´ un elemento de la forma λxi + (1 − λ)x′′i , con λ ∈ (0, 1), ′ puede estar en Ii (xi ). Ello implica que que una curva de indiferencia s´ olo puede ser tangente en un punto a la restricci´ on presupuestaria. El gr´ afico 2.5 ilustra unas preferencias en las que se cumplen las propiedades (i) y (ii) pero no la (iii).

2.2.3.

La propiedad de monoton´ıa

El u ´ltimo requisito que introducimos se refiere a una idea intuitiva importante: en todo problema econ´ omico los bienes de los que efectivamente va a disponer el consumidor resultan escasos en relaci´ on a sus deseos y aspiraciones. Consecuentemente, el consumidor preferir´ a siempre elegir en un conjunto de oportunidades lo m´ as grande posible. Esta idea puede precisarse de varias formas alternativas, con diversos grados de generalidad. Nosotros adopataremos aqu´ı la versi´ on m´ as sencilla, que corresponde al concepto de “monoton´ıa” dejando para una secci´ on posterior y los problemas una discusi´ on m´ as fina sobre ideas similares. La noci´ on de monoton´ıa de las preferencias se refiere a un principio sencillo que puede resumirse como “cuanto m´ as, mejor”. Formalmente: Monoton´ıa

Para todo xi , x′i ∈ Rℓ+ , xi >> x′i implica xi ≻i xi .

8

Adoptamos aqu´ı la versi´ on m´ as exigente de convexidad. Dejamos para la secci´ on de problemas la discusi´ on de las implicaciones de versiones m´ as generales de esta idea.

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Gr´ afico 2.5: Preferencias no estrictamente convexas

La monoton´ıa nos dice que el consumidor mejora si aumentamos las cantidades consumidas de todas las mercanc´ıas. Ello no excluye la posibilidad de que el consumidor sea indiferente con respecto al consumo de alguna mercanc´ıa concreta.9 Desde un punto de vista geom´etrico la monoton´ıa implica que las curvas de indiferencia no pueden “cerrarse sobre s´ı mismas”. O, dicho de otro modo, la curva de indiferencia que contiene a un cierto plan de consumo xi siempre estar´a por debajo del a´ngulo recto que genera dicho punto por encima del mismo. Por tanto, las curvas de indiferencia tendr´ an siempre pendiente negativa, ser´ an “m´as abiertas que un ´angulo recto y estar´ an orientadas hacia el exterior (es decir, cuanto m´as nos alejemos del origen en cualquier direcci´ on prefijada encontraremos mejores clases de indiferencia).

2.2.4.

Preferencias “regulares” y relaci´ on de sustituci´ on

En lo que sigue supondremos sistem´ aticamente que las preferencias cumplen estas cinco propiedades que hemos descrito hasta ahora: completitud, transitividad, continuidad, convexidad estricta y monoton´ıa. Diremos que las preferencias que cumplen estas cinco propiedades son “preferencias regulares”. Formalmente: Definici´ on 2.1: Decimos que las preferencias %i del i-´esimo consumidor son preferencias regulares si verifican las propiedades de completitud, transitividad, continuidad, convexidad estricta y monoton´ıa. Las preferencias regulares describen un consumidor capaz de comparar sistem´ aticamente todos los planes de consumo, que muestra un gusto por la variedad y 9

Discutimos en la secci´ on de problemas otras definiciones alternativas de monoton´ıa de las preferencias.

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prefiere siempre consumir m´ as que menos. Las curvas de indiferencia asociadas a este tipo de preferencias son curvas continuas, con pendiente negativa y convexas desde el origen, que describen combinaciones mejores cuanto m´ as alejadas est´ an del origen de coordenadas (la opci´ on xi = 0 es claramente la peor de todas). Estas caracter´ısticas de las curvas de indiferencia (en particular la pendiente negativa) implican que, para mantenernos sobre una curva de indiferencia dada, el aumento de la cantidad consumida de un bien debe ser compensado con la reducci´ on de la cantidad de alg´ un otro. Para un par de bienes concreto esta relaci´ on describe c´omo el individuo sustituye unidades de un bien por otro para mantener el mismo nivel de satisfacci´ on. Suele hablarse de la “relaci´ on de sustituci´ on” entre estos bienes. Advi´ertase que: (1) Esta relaci´ on describe la valoraci´ on subjetiva del individuo, por lo que ser´ a en general distinta entre los diferentes consumidores; (2) La relaci´ on de sustituci´ on depende del punto en el que estemos considerando la variaci´ on (es decir, var´ıa a lo largo de la curva de indiferencia); (3) Cuando las curvas de indiferencia son “suaves” (diferenciables), entonces se puede medir com la pendiente de la curva en cada punto; se habla entonces de relaci´ on marginal de sustituci´ on. Para el caso de dos mercanc´ıas, j = 1, 2, la relaci´ on marginal de sustituci´ on para el consumidor i en el punto xi , es simplemente: dxi1 RM S1,2 = (xi ) dxi2 donde representamos la mercanc´ıa 1 en ordenadas y la mercanc´ıa 2 en abcisas. El argumento es v´ alido para cualquier n´ umero de bienes, tomando como referencia dos mercanc´ıas concretas j, k (lo que equivaldr´ıa a fijarnos en la proyecci´ on de la curva de indiferencia en el plano (j, k), que describe las combinaciones de mercanc´ıas j, k que proporcionan la misma satisfacci´ on -fijado el nivel de consumo de las dem´ as-).

2.3.

*Algunas implicaciones

Terminamos este cap´ıtulo presentando algunas deducciones de las propiedades anteriores. Se trata de resultados de inter´es limitado pero que proporcionan un campo de entrenamiento en el que hacer operativas las propiedades estudiadas. Nos centraremos en particular en algunas variantes de la noci´ on de monoton´ıa. Una forma m´ as general de plantear la noci´ on de que el consumidor prefiere elegir en conjuntos lo m´ as grandes posible, presenta en la propiedad de monoton´ıa, es la idea de “no-saciabilidad”. Podemos expresar formalmente esta idea bajo alguna de las siguientes formas, que van de mayor a menor grado de generalidad: No-saciabilidad Una relaci´ on de preferencias %i se dice no-saciable si para todo ′ ′ ℓ ℓ xi ∈ R+ existe xi ∈ R+ tal que xi ≻i xi .

No-saciabilidad local Una relaci´ on de preferencias %i se dice no-saciable lo′ ℓ calmente si para todo xi ∈ R+ y para cualquier n´ umero α > 0, existe alg´ un xi en T ℓ ′ B(xi , α) R+ tal que xi ≻i xi (donde B(xi , α) denota una bola de centro xi y radio α).

El requisito de no-saciabilidad nos dice simplemente que dado cualquier plan de consumo, siempre podemos encontrar alg´ un otro mejor. El de no-saciabilidad local es m´ as preciso: nos dice que arbitrariamente cerca de cualquier plan de consumo existe siempre un plan de consumo preferido. Claramente la no-saciabilidad local implica la no-saciabilidad. Es f´ acil comprobar que ninguno de estos requisitos impide que el

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consumidor pueda saciarse con respecto a alg´ un bien concreto en Rℓ+ ; lo que no permite es que pueda saciarse con respecto a todos los bienes simult´ aneamente. Como se prueba en la siguiente proposici´ on, cuando las preferencias son estrictamente convexas, la no-saciabilidad implica que las preferencias sean no-saciables localmente: Proposici´ on 2.1: Sea %i una relaci´ on de preferencias definida sobre Rℓ+ . Si %i verifica los requisitos de convexidad estricta y no-saciabilidad entonces cumple el axioma de nosaciabilidad local. Demostraci´ on Sea xi un punto arbitrario de Rℓ+ . Queremos probar que para todo α > 0 existe alg´ un ′ ℓ ′ xi ∈ B(xi , α) ∩ R+ tal que xi ≻i xi .

La no-saciabilidad nos permite asegurar que existir´ a un cierto xi ∈ Rℓ+ tal que xi ≻i xi . De la convexidad estricta de las preferencias se deduce que todos los puntos del segmento que une xi con xi , excepto el xi , son mejores que xi . Es decir, λxi + (1 − λ)xi ≻i xi , para todo λ ∈ (0, 1). La convexidad de Rℓ+ asegura que este segmento intersecta necesariamente a todo conjunto de la forma B(xi , α) ∩ Rℓ+ , con α > 0, lo que prueba el resultado.  El siguiente resultado establece que si las preferencias son continuas y mon´ otonas, entonces todas las mercanc´ıas son “bienes”, en el sentido de que aumentar el consumo de cualquiera de ellas sin disminuir las dem´ as nunca empeora la situaci´ on. Formalmente: Proposici´ on 2.2: Sea %i una relaci´ on de preferencias transitiva, completa, continua y mon´ otona, definida sobre Rℓ+ . Entonces: xi > x′i =⇒ xi %i x′i . Demostraci´ on ℓ bi ∈ R+ tal que x bi >> xi . La monoton´ıa de las preferencias implica que x bi ≻i x′i Sea x ′ ν bi a puesto que xi > xi . Sea {b xi } una sucesi´ on mon´ otona decreciente que nos lleva de x bνi >> xi para todo ν. Por monoton´ıa se cumple que x bνi ≻i x′i . En el l´ımite, xi , xi , con x el axioma de continuidad implica que xi % x′i .

Una consecuencia importante de este resultado es que, bajo los supuestos de continuidad y monoton´ıa, los precios que determinan la restricci´ on presupuestaria podemos tomarlos siempre como no-negativos (recordemos que los precios negativos correspond´ıan al coste unitario de eliminaci´ on de mercanc´ıas indeseables). Puesto que no hay mercanc´ıas indeseables los precios negativos carecen de sentido. Un concepto muy directamente relacionado con la idea de monoton´ıa es el de bien deseable. Para presentarlo comencemos definiendo ek ∈ Rℓ como aquel vector cuyos componentes son todos cero excepto el k-´esimo que es igual a la unidad. Es decir, e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., eℓ = (0, ..., 0, 1).

Se dice que el bien k es deseable para el i-´esimo consumidor si, para todo xi ∈ Rℓ+ y
k para todo n´ umero γ > 0, xi + γe ≻i xi .

En otros t´erminos: un bien es deseable cuando el consumidor mejora al aumentar la cantidad consumida del mismo, sin disminuir las cantidades consumidas de los dem´ as bienes. Es obvio que si todos los bienes son deseables entonces la relaci´ on de preferencias es mon´ otona. Aunque el rec´ıproco no es cierto en general, s´ı que lo es cuando combinamos la propiedad de monoton´ıa con la convexidad estricta. Formalmente:

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Proposici´ on 2.3: Sea %i una relaci´ on de preferencias transitiva, completa y continua. Si %i es estrictamente convexa y mon´ otona, entonces todos los bienes son deseables. Demostraci´ on
Sean xi , x′i ∈ Rℓ+ tales que xi = x′i + γek , para alg´ un γ > 0. Tenemos que probar que xi ≻i x′i . Observemos primero que, aplicando el resultado anterior (Proposici´ on
′ k ′ 2.2) podemos concluir que xi + γe %i xi . Por otro lado, la estricta convexidad de %i asegura que, para todo λ ∈ (0, 1) tendremos: λxi + (1 − λ)x′i ≻i x′i , es decir,
λx′i + λγek + (1 − λ)x′i = x′i + λγek ≻i x′i

Puesto que λ < 1, xi > x′i + λγek . Aplicando nuevamente la Proposici´ on 2 concluimos que xi %i x′i + λγek . Finalmente, por transitividad, xi %i x′i + λγek ≻i x′i =⇒ xi ≻i x′i Hemos probado as´ı que todos los bienes son deseables. 

2.4.

Problemas

Problema 2.1.- Supongamos que u ´nicamente existen dos mercanc´ıas, trigo y ocio y que el conjunto de consumo es un subconjunto de R2+ (no necesariamente igual a R2+ ). Dibujar un conjunto de consumo en el que el consumidor necesita consumir unas m´ınimas cantidades de trigo para subsistir, cantidades que pueden variar con el trabajo desarrollado. Problema 2.2.- Consideremos un consumidor cuya riqueza est´ a constitu´ıda u ´nicamente por los ingresos derivados de su capacidad de trabajo. Hay dos mercanc´ıas, trigo y ocio, y el consumidor puede trabajar un m´ aximo de 12 horas. Tomando R2+ como su conjunto de consumo, dibujar la restricci´ on presupuestaria cuando el precio del trigo es p1 = 1, y el salario es p2 = 1, para las primeras 8 horas de trabajo, y p2 = 1, 5 para las restantes (que podemos interpretar como “horas extra”). Problema 2.3.- Consideremos nuevamente el consumidor del ejemplo anterior, pero ahora el vector de precios es p = (1, 1), con independencia del n´ umero de horas trabajadas. Existe adem´ as un impuesto progresivo sobre la renta definido como sigue: El consumidor debe pagar como impuestos un 20 % de sus ingresos brutos, si ´estos son menores o iguales a 8 unidades; cuando sus ingresos brutos superen esta cifra debe pagar el 20 % de las primeras 8 unidades de renta, y el 30 % de las restantes. Problema 2.4.- Consideremos nuevamente el caso ℓ = 2, pero supongamos ahora que no hay trabajo (las dos mercanc´ıas son trigo y leche). Dibujar la restricci´ on presupuestaria de un consumidor cuando su riqueza es Mi = 10 y los precios de las mercanc´ıas vienen dados por: p1 = 1; p2 = 2 si xi2 ∈ [0, 3], p2 = 1, 5 para xi2 > 3. ¿Es plausible una situaci´ on de este tipo? Problema 2.5.- Poner ejemplos de relaciones binarias que: (a) No sean reflexivas; (b) No sean completas; (c) No sean transitivas; (d) No sean sim´etricas ni antisim´etricas. Problema 2.6.- Demostrar que una relaci´ on de equivalencia ∼ definida sobre un conjunto A genera una partici´ on de A.

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Problema 2.7.- Supongamos que las preferencias de un colectivo (una familia, una asociaci´ on, etc.) se establecen en base a principios democr´ aticos, es decir, la opci´ on ′ ′ x se considera mejor que la x si la mayor´ıa de los miembros prefiere x a x . Probar mediante un ejemplo que si el conjunto de elecci´ on tiene m´ as de dos opciones y el colectivo m´ as de dos miembros, las preferencias colectivas no verifican el axioma de transitividad. *Problema 2.8.- Se dice que una relaci´ on de preferencias % es casi-transitiva, si la relaci´ on de preferencia estricta ≻ es transitiva. Probar que una relaci´ on de preferencias casi-transitiva que verifica los axiomas de completitud, continuidad y convexidad estricta es transitiva. **Problema 2.9.- Una relaci´ on de preferencias %, definida sobre un conjunto de alternativas X, se dice ac´ıclica si, para todo subconjunto finito de elementos x1 , x2 , ..., xk ∈ X, se verifica que si x1 ≻ x2 ≻ ... ≻ xk entonces x1 % xk . Probar que si X es un conjunto finito y % una relaci´ on completa, entonces las dos condiciones siguientes son equivalentes: (i) Todo subconjunto no vac´ıo de X posee un elemento maximal; (ii) La relaci´ on % es ac´ıclica. Problema 2.10.- Una relaci´ on de preferencias %i se dice d´ ebilmente convexa si para todo xi , x′i ∈ Rℓ+ y para todo λ ∈ [0, 1] se cumple que: xi %i x′i =⇒ λxi + (1 − λ)x′i %i x′i . Comprobar: (i) Una relaci´ on de preferencias completa y transitiva es d´ebilmente convexa si y s´ olo si, para todo x′i ∈ Rℓ+ , los conjuntos MI i (x′i ) son convexos. (ii) Puede suceder que %i sea d´ebilmente convexa y que intIi (x′i ) 6= ∅.

Problema 2.11.- Una relaci´ on de preferencias %i se dice convexa si para todo ′ ℓ xi , xi ∈ R+ y para todo λ ∈ (0, 1) se cumple que: xi ≻i x′i =⇒ λxi + (1 − λ)x′i ≻i x′i . Comprobar que si una relaci´ on de preferencias es convexa y no saciable, entonces intIi (x′i ) = ∅, para todo x′i ∈ Rℓ+ .

*Problema 2.12.- Sea %i una relaci´ on de preferencias completa, transitiva y continua. Probar que, bajo estas condiciones, los requisitos de convexidad y no-saciabilidad se cumplen si y s´ olo si se verifican los de convexidad d´ebil y no-saciabilidad local. Problema 2.13.- Se dice que una relaci´ on de preferencias es d´ ebilmente mon´ otona si xi > x′i implica xi %i x′i . Probar que una relaci´ on de preferencias %i completa, transitiva y continua es d´ebilmente mon´ otona y localmente no-saciable si y s´ olo si es mon´ otona. Problema 2.14.- Consideremos un consumidor que posee una relaci´ on de prefe′ ′ ℓ ′ rencias tal que xi ∼i xi para todo xi , xi ∈ R+ tales que xik = xik , para k = 1, 2, ..., t < ℓ (es decir, el consumidor no ve afectado su bienestar por el consumo de los bienes t + 1, t + 2, ..., ℓ). ¿Cu´ antas de las propiedades que definen las preferencias regulares incumple esta relaci´ on de preferencias? Problema 2.15.- Probar que si %i es una relaci´ on de preferencias transitiva, completa y continua, entoces para todo xoi ∈ Rℓ+ se verifica: T a) MI i (xoi ) PI i (xoi ) = Ii (xoi ) S b) MI i (xoi ) PI i (xoi ) = Rℓ+ *c) Ii (xoi ) es un conjunto cerrado y conexo.

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LECTURAS COMPLEMENTARIAS Debreu (1959, Cap´ıt. 4) y Arrow & Hahn (1971, Cap´ıt. 4) son las referencias b´ asicas para la discusi´ on desarrollada en este cap´ıtulo, donde el criterio de elecci´ on del consumidor ha sido modelado en t´erminos de un preorden de preferencias. Mas-Colell, Whinston & Green (1995, Cap´ıts. 1 y 2) analizan de forma asequible algunos temas complementarios (funciones de elecci´ on, preferencia revelada). El cap´ıtulo 1 del libro de Deaton y Muellbauer (1983) contiene una interesante discusi´ on de las implicaciones de la restricci´ on presupuestaria competitiva.

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