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DERIVACION DE LA ECUACION DE BERNOULLI Preparado por: Ing. Esteban L. Ibarrola Cátedra de Mecánica de los Fluidos- FCEFyN- UNC

Existen varios formas alternativas para derivar la ecuación de Bernoulli, pero todas parten de la Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento conocida como ecuación de Navier-Stokes, que establece el equilibrio entre las fuerzas de inercia, masa, presión y viscosidad por unidad de volumen que actúan sobre una partícula fluida elemental.

DV Dt

K

p

(

1 3

.V

2

(1)

V)

Alternativa 1 La ecuación anterior, considerando un fluido ideal incompresible ( viscoso (

cte, .V

0 ) y no

0 ), se reduce a la denominada ecuación de Euler, que se escribe:

DV Dt

K

(2)

p

Siendo:

DV Dt : la derivada sustancial de la velocidad

K

: el vector que representa el campo de fuerzas de masa

, p : la densidad y la presión respectivamente : el operador vectorial de Hamilton [

i () x

j () y

k ( ) z .]

Si el campo de fuerzas de masa es el gravitatorio (campo posicional independiente del tiempo, y que deriva de un potencial), el mismo se puede expresar cómo:

K

g z

(3)

Donde con “g” se indica la aceleración de la gravedad y “z” es una distancia vertical medida a partir de una referencia arbitraria. Multiplicando la (2) por el vector velocidad V se obtiene:

2

V .DV Dt

V. K

(4)

V. p

Por otra parte el diferencial del cuadrado de la velocidad se puede expresar como: D(V 2 )

2.V DV

y el producto de la velocidad por su diferencial resulta:

D(1 2.V 2 )

V .DV

(5)

El vector velocidad el cuadrado, es igual al módulo de la velocidad al cuadrado:

V

2

(ui

vj

wk ).( ui

vj

u2

wk )

v2

w2

V2

(6)

Efectuando los reemplazos correspondientes, la (2) se escribe:

D(1 2.V 2 ) Dt

V. (p

(7)

gz)

La derivada sustancial de 1 2V 2 se expresa como suma de su variación local más el término convectivo o de transporte:

D(1 2V 2 ) Dt

(1 2.V 2 ) V . (1 2V 2 ) t

(8)

Considerando un flujo estacionario, la variación local es nula, y llevando la (8) a la (7) se tiene:

V. 1 2 V2

p

Llamando a la cantidad entre paréntesis: E

V. E

gz

1 2 V2

0

(9)

0

p

gz

(10)

3

La anterior, admite la siguiente interpretación: para que el producto escalar sea nulo en todo el campo de movimiento, el gradiente de la cantidad E debe ser perpendicular al vector velocidad lo que implica que esa cantidad debe ser siempre constante a lo largo de cualquier línea de corriente del campo de movimiento y consecuentemente para dos puntos de una misma línea de corriente se verificará:

1 2 V1

2

p1

gz1

1 2V2

2

p2

gz 2

(11)

En general la constante E no tiene el mismo valor para las distintas líneas de corriente del campo de movimiento, pero sobre cada una de ellas se verificará la relación (11).

Esta es la formulación clásica de la ecuación de Bernoulli, y debe puntualizarse que su validez está restringida a movimientos fluidos con las siguientes características:

Flujo incompresible Fluido no viscoso

cte , .V

0

0

Movimiento estacionario, independiente del tiempo. Flujo a lo largo de una línea de corriente. Campo de fuerzas de masa gravitatorio

Dividiendo ambos miembros de la (11) por la densidad se obtiene:

1 2V12

p1

gz1

1 2V22

p2

gz 2

(12)

Alternativa 2 Los campos de fuerzas de masa cuya intensidad

depende únicamente de las

coordenadas espaciales y no del tiempo se denominan posicionales o conservativos, y se expresan como:

K

G ( x, y , z )

(13)

4 .siendo la función G( x, y, z ) la energía potencial del campo. En el caso particular en que la única fuerza de masa es el peso, como en la mayoría de los problemas de ingeniería, el campo de fuerzas de masa es el gravitatorio, y la energía potencial del mismo es simplemente: G

(14)

gz

.donde g es la aceleración de la gravedad, y z la altura con relación a una referencia arbitraria. Retomando la ecuación de Euler, multiplicando escalarmente por el vector velocidad, reemplazando la intensidad del campo de fuerzas de masa dado por la (13) y dividiendo ambos miembros por la densidad se tiene: V .DV Dt

V. G

1

(15)

V. p

Para poder integrar esta ecuación para una partícula fluida que se desplaza a lo largo de una línea de corriente, en el segundo miembro deben aparecer explícitamente derivadas sustanciales que “sigan” la evolución de la partícula.

a)

Si las fuerzas de masa derivan de una función potencial escalar G(x,y,z) la derivada

sustancial se escribe: DG Dt

G V. G t

(16)

Como G(x,y.z) es posicional y no depende del tiempo su derivada local es nula: G t

0

Y la (16) se reduce a: DG Dt

b)

(17)

V. G

Por otra parte, la derivada sustancial del campo de presiones se expresa como:

Dp Dt

p V. p t

y

Reemplazando la (17) y (18) en la (15):

V. p

Dp Dt

p t

(18)

5 V .DV Dt

DG Dt

1 Dp Dt

1

(19)

t

El primer miembro también se puede escribir como:

D(1 2 V 2 ) Dt

V .DV Dt

(20)

Finalmente la ecuación de Euler para un movimiento fluido incompresible, no viscosos y con campo de fuerzas de masa posicional resulta:

D (1 2 V 2 ) Dt

DG Dt

1 Dp Dt

1

(21)

t

Multiplicando la (21) por un diferencial de tiempo e integrando siguiendo a una partícula a lo largo de una línea de corriente:

D( S1

V2 ) 2

1

DG S1

1 p dt t S1

Dp

S1

E ( S1 , t )

(22)

Que se reduce a:

V2 2

G

p

1 S1

p dt t

E ( S1 , t )

(23)

En la ecuación (23) la constante E(s1,t) para cada línea de corriente y para cada instante tiene un valor diferente, y consecuentemente no es una ecuación fácil de resolver porque la derivada local de la presión p t se debe calcular para cada instante en el lugar que va ocupando efectivamente la partícula en su desplazamiento lo que implica conocer p

p( s, t ) a lo largo de la línea de corriente.

Si el movimiento es estacionario la

p t

0 , y el campo de fuerzas de masa es

gravitatorio (G=gz), la ecuación (23) se simplifica y se reduce a una ecuación en términos finitos: V2 2

p

gz

E ( s)

Eo

(24)

6 La (23) es la ecuación de Bernoulli, donde la constante Eo tiene un valor diferente para cada línea de corriente. Aplicada a dos puntos de una misma línea de corriente la (24) se llega a la misma expresión obtenida en la Alternativa 1: V12 2

p1

gz1

V22 2

p2

gz 2

(25)

Una nota sobre la interpretación de la Ecuación de Bernoulli En primer lugar es importante señalar que la ecuación de Bernoulli tal como la dedujo su autor no fue obtenida a partir de un balance de energía. En los tiempos de Bernoulli (1738), la palabra energía aun no había sido acuñada, y los conocimientos de Bernoulli estaban referidos a los llamados “fluidos ideales”, fluidos incompresibles, carentes de viscosidad sujetos a tensiones isotrópicas Un análisis dimensional de la ecuación de Bernoulli muestra que la dimensión de sus términos es “energía/masa”, y basándose en esta dimensión, frecuentemente se interpreta que la ecuación de Bernoulli es una “ecuación de conservación de la energía mecánica total específica de una partícula a lo largo de una línea de corriente”. Esta interpretación de la ecuación de Bernoulli como una suerte de “balance de energía” entre dos puntos de una línea de corriente es usual en la mayoría de los libros de texto, y genera cierta confusión para la correcta aplicación de la ecuación. Más allá de la dimensión de energía de sus términos, la ecuación es simplemente consecuencia de un “balance de cantidad de movimiento” y no de un “balance de energía”. Incidentalmente “aparece la energía” en la ecuación como consecuencia de la integración de una fuerza a lo largo de una línea de corriente. En los tiempos de Bernoulli, a la energía cinética se la llamaba “fuerza viva” (“vis viva” en latín), ya que está asociada a la velocidad, para contrastarla con las “fuerza muerta” que aparece en la estática de los fluidos. REFERENCIA. “Apuntes de Mecánica de los fluidos” - T, R Calvi- CEYCIN