Derivadas y aplicaciones C´ alculo Infinitesimal Grado en Matem´ aticas ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Un poco de historia: derivada de una funci´on

Uno de los problemas m´ as antiguo de la Geometr´ıa y por tanto de la Matem´atica era el problema de encontrar las rectas tangentes y normales a una curva dada. Este problema tiene un sinf´ın de aplicaciones pr´acticas: 1

Calcular el ´angulo entre dos curvas (Descartes)

2

Construir telescopios (Galileo)

3

Encontrar m´aximos y m´ınimos (Fermat)

4

Velocidad y aceleraci´on del movimientos de cuerpos (Galileo, Newton)

5

Astronom´ıa, movimiento de los cuerpos celestes (Kepler, Newton)

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Un poco de historia: derivada de una funci´on Para algunas curvas los griegos sab´ıan como encontrar dichas tangentes. Por ejemplo, la circunferencia. y

y=m x+n y=p x+q

x=a

x

0

Figura: La recta y = mx + n tangente a una curva f (x) y recta normal

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Un poco de historia: derivada de una funci´on Para algunas curvas los griegos sab´ıan como encontrar dichas tangentes. Por ejemplo, la circunferencia. y

y=m x+n y=p x+q

x=a

x

0

Figura: La recta y = mx + n tangente a una curva f (x) y recta normal

El problema es m´as complicado para una curva en general. ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Un poco de historia: derivada de una funci´on Intentemos calcular la pendiente m de la recta tangente. y

f(x)

y=m x+n f(a+h) b

f(a) x 0

s

a

a+h s+h

De la figura podemos comprobar que la pendiente toma el valor: m=

b b − f (a) f (a) = = . s s +h h

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derivada de una funci´on m=

f (a) b b − f (a) = = s s +h h

Si h es “muy” peque˜ no b ≈ f (a + h) m≈

f (a + h) − f (a) . h

Fermat usaba la f´ormula anterior s´ olo para aquellas curvas donde desaparec´ıa el t´ermino h del denominador y luego sustitu´ıa h = 0. Por ejemplo: Sea la par´ abola y = x 2 m≈

(a + h)2 − a2 = 2a + h h

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⇒

m = 2a.

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derivada de una funci´on m=

f (a) b b − f (a) = = s s +h h

Si h es “muy” peque˜ no b ≈ f (a + h) m≈

f (a + h) − f (a) . h

Fermat usaba la f´ormula anterior s´ olo para aquellas curvas donde desaparec´ıa el t´ermino h del denominador y luego sustitu´ıa h = 0. Por ejemplo: Sea la par´ abola y = x 2 (a + h)2 − a2 = 2a + h ⇒ m = 2a. h Esto no funciona para funciones m´ as “complicadas”: f (x) = sin x m≈

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Un poco de historia: derivada de una funci´on Otro genial matem´atico que consider´ o el problema fue Barrow

y

f(x)

y=m x+n (x+h,y+k) C k

(x,y) A

h

B x

0

Barrow ten´ıa un m´etodo geom´etrico muy ingenioso para las curvas definidas por la ecuaci´on f (x, y ) = 0. ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Un poco de historia: derivada de una funci´on

Ejemplo: la hip´erbola f (x, y ) = xy − p = 0, p ∈ R. f (x + h, y + k) = 0 = (x + h)(y + k) − p = 0 (x · y − p) +h · y + x · k + h · k = 0, | {z }

⇒

=0

por tanto

y k =− . h x Los dos m´etodos descritos se hace uso de “cantidades infinit´esimales”, pero ¿qu´e son esas cantidades infin´ıtesimales? h·y +x ·k =0

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⇒

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Un poco de historia: derivada de una funci´on Para evitar el uso de las cantidades infinitesimales Newton considera que las cantidades matem´ aticas est´an descritas por un movimiento continuo: “Las curvas son descritas y de esta forma generadas, no por una disposici´ on de partes, sino por el continuo movimiento de puntos. ”

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Un poco de historia: derivada de una funci´on Para evitar el uso de las cantidades infinitesimales Newton considera que las cantidades matem´ aticas est´an descritas por un movimiento continuo: “Las curvas son descritas y de esta forma generadas, no por una disposici´ on de partes, sino por el continuo movimiento de puntos. ” Newton en De Methodis serierum et fluxionum define los dos principales problemas del c´ alculo:

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Un poco de historia: derivada de una funci´on Para evitar el uso de las cantidades infinitesimales Newton considera que las cantidades matem´ aticas est´an descritas por un movimiento continuo: “Las curvas son descritas y de esta forma generadas, no por una disposici´ on de partes, sino por el continuo movimiento de puntos. ” Newton en De Methodis serierum et fluxionum define los dos principales problemas del c´ alculo: P1 Dada la relaci´on entre las cantidades fluentes (variables), encontrar la relaci´on de las fluxiones (derivadas), P2 Cuando una ecuaci´on para las fluxiones (derivadas) de cantidades es dada, determinar la relaci´on de las cantidades. ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Un poco de historia: derivada de una funci´on En De quadratura curvarum (1704) describe un m´etodo directo para calcular las fluxiones: Veamos como ejemplo f (x) = x n

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Un poco de historia: derivada de una funci´on En De quadratura curvarum (1704) describe un m´etodo directo para calcular las fluxiones: Veamos como ejemplo f (x) = x n Cuando la funci´on x fluyendo se convierta en x + h, la funci´on x n se convierte en (x + h)n , esto es por el m´etodo de series infinitas x n + nhx n−1 +

n(n − 1) hhx n−2 + · · · + etc. 2

Y el incremento h (de x) y nhx n−1 +

n(n − 1) hhx n−2 + · · · + etc. 2

(de x n ) es uno a otro como 1 a nx n−1 +

n(n − 1) n−2 hx + · · · + etc. 2

Ahora dejemos que estos incrementos (h) se desvanezcan y su u ´ltima raz´on ser´a como 1 a nx n−1 . ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Un poco de historia: derivada de una funci´on

Para resolver los inconvenientes de los infinitesimales se necesitaron m´as de 200 a˜ nos. ¡Se necesitaba el concepto de l´ımite!

f (a + h) − f (a) h→0 h

f ′(a) = l´ım

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Un poco de historia: derivada de una funci´on

Para resolver los inconvenientes de los infinitesimales se necesitaron m´as de 200 a˜ nos. ¡Se necesitaba el concepto de l´ımite!

f (a + h) − f (a) h→0 h

f ′(a) = l´ım

  n (x + h)n − x n n−1 = l´ım nx + hx n−2 +· · ·+hn−1 = nx n−1 (x ) = l´ım h→0 h→0 2 h n ′

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Un poco de historia: derivada de una funci´on El segundo descubridor del C´alculo diferencial fue Leibniz. La idea original de Leibniz era considerar las curvas como una uni´ on de infinidad de segmentos indivisibles de longitud infinitesimal de forma que la prolongaci´ on de estos segmentos daban las rectas tangentes a la curva en los distintos puntos. Leibniz afirmaba: Una figura curvil´ınea debe ser considerada lo mismo que un pol´ıgono con un infinito n´ umero de lados. Se necesitar´ıan otros 100 a˜ nos m´ as hasta que apareciera en 1960-70 el C´alculo no est´ andard de A. Robinson que es la fundamentaci´ on s´olida del c´ alculo leibniziano. ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Un poco de historia: derivada de una funci´on

Hoy d´ıa usamos la notaci´ on introducida Zpor Leibniz para el d f (x) diferencial d f (x), la derivada y para la integral dx La notaci´ on f ′ (x) para la derivada se debe a Lagrange (1797).

M´as: http://euler.us.es/~libros/calculo.html

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La derivada de una funci´on

Definici´ on (Bolzano 1817, Cauchy, 1821) Se dice que una funci´on f : A ⇒ R es derivable en x = a si existe el l´ımite f (a + h) − f (a) f (x) − f (a) = l´ım . x→a h→0 x −a h l´ım

Dicho l´ımite se denomina derivada de f (x) en x=a. Geom´etricamente significa que la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto x = a es igual a f ′ (a) y por lo tanto la ecuaci´on de la recta tangente a la curva en x = a se escribe como y − f (a) = f ′ (a)(x − a). (1)

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La derivada de una funci´on t

y

r s

f(x)

0

a

a+h

a+3h

x

Figura: Construcci´on de la recta tangente a una curva f (x) en x = a. ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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La derivada de una funci´on Definici´ on Se dice que una funci´on f : A ⇒ R es derivable por la izquierda en x = a si existe el l´ımite lateral l´ım

x→a−

f (a + h) − f (a) f (x) − f (a) = l´ım , h→0− x −a h

que denominaremos derivada por la izquierda en x = a. Dicha derivada la denotaremos por f ′ (a−). Teorema Una funci´on f : A ⇒ R es derivable en x = a si y s´olo si f (x) es derivable por la izquierda y por la derecha en x = a. Teorema Si f es derivable en un punto x = a, f es continua en x = a. ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Reglas de derivaci´on

Teorema Sean f , g : A 7→ R dos funciones derivables en A. Entonces las f (x) son derivables y funciones f (x) + g (x), f (x) · g (x) y g (x) d f (x) d g (x) d [f (x) + g (x)] = + , dx dx dx d d f (x) d g (x) [f (x) · g (x)] = g (x) + f (x) , dx dx dx d dx



 g (x) d f (x) − f (x) d g (x) f (x) dx d x , si g (x) 6= 0. = g (x) [g (x)]2

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Propiedades de las funciones derivables Proposici´on Sea f (x) : [a, b] 7→ R una funci´on continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces, si la funci´on f (x) es creciente en (a, b), f ′ (x) ≥ 0 en todo [a, b]. Si por el contrario f (x) es decreciente en (a, b), entonces f ′ (x) ≤ 0 en todo (a, b).

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Propiedades de las funciones derivables Proposici´on Sea f (x) : [a, b] 7→ R una funci´on continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces, si la funci´on f (x) es creciente en (a, b), f ′ (x) ≥ 0 en todo [a, b]. Si por el contrario f (x) es decreciente en (a, b), entonces f ′ (x) ≤ 0 en todo (a, b). Sea f una funci´on continua en [a, b] y derivable en (a, b) y supongamos que es creciente en (a, b). Sean c < x ∈ (a, b) cualesquiera. Entonces f (x) − f (c) > 0, x −c

⇒

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l´ım

x→c

f (x) − f (c) = f ′ (c) ≥ 0. x −c

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Propiedades de las funciones derivables Proposici´on Sea f (x) : [a, b] 7→ R una funci´on continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces, si la funci´on f (x) es creciente en (a, b), f ′ (x) ≥ 0 en todo [a, b]. Si por el contrario f (x) es decreciente en (a, b), entonces f ′ (x) ≤ 0 en todo (a, b). Sea f una funci´on continua en [a, b] y derivable en (a, b) y supongamos que es creciente en (a, b). Sean c < x ∈ (a, b) cualesquiera. Entonces f (x) − f (c) > 0, x −c

⇒

l´ım

x→c

f (x) − f (c) = f ′ (c) ≥ 0. x −c

Si f es decreciente en (a, b), entonces para c < x ∈ (a, b) cualesquiera f (x) − f (c) < 0, x −c

⇒

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l´ım

x→c

f (x) − f (c) = f ′ (c) ≤ 0. x −c

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Propiedades de las funciones derivables Definici´ on Diremos que una funci´on f (x) tiene un m´ aximo local en el punto x = a si existe un entorno (a − δ, a + δ), de x = a, t.q. f (x) ≤ f (a). Diremos que una funci´on f (x) tiene un m´ınimo local en el punto x = a si existe un entorno (a − δ, a + δ), de x = a, t.q. f (x) ≥ f (a).

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Propiedades de las funciones derivables Definici´ on Diremos que una funci´on f (x) tiene un m´ aximo local en el punto x = a si existe un entorno (a − δ, a + δ), de x = a, t.q. f (x) ≤ f (a). Diremos que una funci´on f (x) tiene un m´ınimo local en el punto x = a si existe un entorno (a − δ, a + δ), de x = a, t.q. f (x) ≥ f (a). y

y

4 f(x)

1

y

1

0

2

4

6

x

1/2

1

3/2

2

−1

−4

f (x) =

0



x2 −1 ≤ x < 2 −2x + 8 2 ≤ x ≤ 6

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g (x) = sin πx, Derivadas y aplicaciones

x ∈ [0, 2]

x

Propiedades de las funciones derivables Teorema (Lema de Fermat) Si una funci´on tiene un extremo local en x = a y f (x) es derivable en x = a, entonces, f ′ (a) = 0. y

0

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x

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Propiedades de las funciones derivables Teorema (Teorema de Rolle) Sea f (x) : [a, b] ⇒ R, continua en [a, b] y derivable (a, b) tal que f (a) = f (b). Entonces, ∃c ∈ (a, b), tal que f ′ (c) = 0. y

f(a)=f(b)

0

a

c

d

b

x

Figura: Interpretaci´ on geom´etrica del Teorema de Rolle.

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Propiedades de las funciones derivables

a

b

a

b

a

a

a

b

b

b

a

b

Figura: Interpretaci´ on geom´etrica del Teorema de Rolle.

Cuidado g : [−1, 1] 7→ R, g (x) = ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

√ 3

x2

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Propiedades de las funciones derivables Teorema (Teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funci´on f (x) : [a, b] ⇒ R, continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces, ∃c en el interior de [a, b], c ∈ (a, b), tal que f ′ (c) =

f (b) − f (a) . b−a

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Propiedades de las funciones derivables Teorema (Teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funci´on f (x) : [a, b] ⇒ R, continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces, ∃c en el interior de [a, b], c ∈ (a, b), tal que f ′ (c) = Sea g (x) = f (x) − f (a) −

f (b) − f (a) . b−a

f (b)−f (a) (x b−a

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− a). Usemos Rolle

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Propiedades de las funciones derivables Teorema (Teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funci´on f (x) : [a, b] ⇒ R, continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces, ∃c en el interior de [a, b], c ∈ (a, b), tal que f ′ (c) = Sea g (x) = f (x) − f (a) −

f (b) − f (a) . b−a

f (b)−f (a) (x b−a

− a). Usemos Rolle

y

f(a)

0 f(b)

a

c

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d

b

x

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Propiedades de las funciones derivables Corolario Sea f (x) : [a, b] 7→ R una funci´on continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si f ′ (x) > 0 (f ′ (x) ≥ 0) en (a, b), entonces f es creciente (no decreciente) en (a, b) y si f ′ (x) < 0 (f ′ (x) ≤ 0) en (a, b), entonces f (x) es decreciente (no creciente) en todo (a, b).

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Propiedades de las funciones derivables Corolario Sea f (x) : [a, b] 7→ R una funci´on continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si f ′ (x) > 0 (f ′ (x) ≥ 0) en (a, b), entonces f es creciente (no decreciente) en (a, b) y si f ′ (x) < 0 (f ′ (x) ≤ 0) en (a, b), entonces f (x) es decreciente (no creciente) en todo (a, b). Corolario Si f (x) es derivable en (a, b) y f ′ (x) = 0 para todo x del intervalo (a, b), entonces f (x) = const. Luego una funci´on continua es constante en [a, b] si y s´ olo si f ′ (x) = 0 para todo x ∈ (a, b)

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Propiedades de las funciones derivables Corolario Sea f (x) : [a, b] 7→ R una funci´on continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si f ′ (x) > 0 (f ′ (x) ≥ 0) en (a, b), entonces f es creciente (no decreciente) en (a, b) y si f ′ (x) < 0 (f ′ (x) ≤ 0) en (a, b), entonces f (x) es decreciente (no creciente) en todo (a, b). Corolario Si f (x) es derivable en (a, b) y f ′ (x) = 0 para todo x del intervalo (a, b), entonces f (x) = const. Luego una funci´on continua es constante en [a, b] si y s´ olo si f ′ (x) = 0 para todo x ∈ (a, b) Corolario Si dos funciones f (x) y g (x), derivables en (a, b) tienen derivadas iguales, o sea, f ′ (x) = g ′ (x) para todo x del intervalo (a, b), entonces dichas funciones difieren en una constate, es decir, f (x) = g (x) + const. ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Propiedades de las funciones derivables

Teorema (Teorema del valor medio de Cauchy) Sean dos funciones f (x) : [a, b] 7→ R y g (x) : [a, b] 7→ R, continuas en todo el intervalo cerrado [a, b] y derivables en el intervalo abierto (a, b). Entonces, existe un c en el interior de del intervalo [a, b], c ∈ (a, b), tal que [f (b) − f (a)]g ′ (c) = [g (b) − g (a)]f ′ (c).

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Propiedades de las funciones derivables

Teorema (Teorema del valor medio de Cauchy) Sean dos funciones f (x) : [a, b] 7→ R y g (x) : [a, b] 7→ R, continuas en todo el intervalo cerrado [a, b] y derivables en el intervalo abierto (a, b). Entonces, existe un c en el interior de del intervalo [a, b], c ∈ (a, b), tal que [f (b) − f (a)]g ′ (c) = [g (b) − g (a)]f ′ (c). Sea la funci´on h(x) = [f (b) − f (a)]g (x) − [g (b) − g (a)]f (x). Usemos Rolle.

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Propiedades de las funciones derivables

Teorema (Regla de L‘Hospital para la indeterminaci´ on 00 ) Sean dos funciones f (x) y g (x) definidas y son derivables en un entorno del punto x = a (excepto quiz´ as en x = a) tales que 1

l´ım f (x) = l´ım g (x) = 0

x→a g ′ (x)

x→a

6= 0 en un entorno de x = a (excepto quiz´as en x = a) f ′ (x) 3 Existe el l´ ımite l´ım ′ x→a g (x) f (x) f ′ (x) Entonces existe el l´ımite l´ım es igual a l´ım ′ . x→a g (x) x→a g (x) 2

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Calculando derivadas

Calcular las derivadas de sen x, cos x, tan x y e x .

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La derivada y la diferenciabilidad de una funci´on Definici´ on Diremos que f : A 7→ R es diferenciable en x = a si ∃C t.q. f (x) − f (a) = C (x − a) + o(x − a). La funci´on C (x − a) se denomina diferencial de f en x = a y se denota por d f (a).

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La derivada y la diferenciabilidad de una funci´on Definici´ on Diremos que f : A 7→ R es diferenciable en x = a si ∃C t.q. f (x) − f (a) = C (x − a) + o(x − a). La funci´on C (x − a) se denomina diferencial de f en x = a y se denota por d f (a). E diferencial de f en x = a es u ´nico   o(x − a) f (x) − f (a) = l´ım C + = C. l´ım x→a x→a x −a x −a Adem´as C = f ′ (a). Luego si f es diferenciable, f es derivable. Supongamos que f es derivable en x = a ⇒ ∃α(x, a) tal que f (x) − f (a) = f ′ (a) + α(x, a), x −a

l´ım α(x, a) = 0

x→a

f (x)−f (a) = f ′ (a)(x−a)+α(x, a)(x−a),

pero α(x, a)(x−a) = o(x−a),

es decir, f es diferenciable. ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

⇒

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Significado geom´etrico del diferencial de una funci´on Es la distancia entre f (a) y el valor y (x) de la recta tangente a f en x = a. y

f(x)

y=m x+n (x,f(x)) (x,y) f’(a)(x−a)=df(a)

(a,f(a)) h 0

a

(x,f(a))

x

x

Figura: El diferencial df (a) de una funci´on f (x) en el punto x = a. ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Reglas de derivaci´on: La composici´on de funciones Teorema (Regla de la cadena) Sea f : A 7→ R y g : B 7→ R tales que f (A) ⊂ B. Definamos la funci´on compuesta de g en f , g ◦ f : A 7→ R. Supongamos que f es derivable en x = a y que g es derivable en x = f (a). Entonces la funci´on compuesta g ◦ f : A 7→ R es derivable en x = a y adem´ as d f (x) d g (y ) ′ ′ ′ · (g ◦ f ) (a) = g [f (a)]f (a) ≡ . dy dx y =f (a)

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x=a

Reglas de derivaci´on: La composici´on de funciones Teorema (Regla de la cadena) Sea f : A 7→ R y g : B 7→ R tales que f (A) ⊂ B. Definamos la funci´on compuesta de g en f , g ◦ f : A 7→ R. Supongamos que f es derivable en x = a y que g es derivable en x = f (a). Entonces la funci´on compuesta g ◦ f : A 7→ R es derivable en x = a y adem´ as d f (x) d g (y ) ′ ′ ′ · (g ◦ f ) (a) = g [f (a)]f (a) ≡ . dy dx y =f (a)

Ejercicio: Si f (x) tiene inversa y es derivable prueba que 1 d f −1 (x) = ′ −1 . dx f [f (x)]

Aplicarlo a arc cos x, arcsin x, arctan x y log x. ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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x=a

Reglas de derivaci´on: las funciones elementales Teorema Todas las funciones elementales son derivables en su dominio y 1 2 3

4

5 6 7 8 9

(x α )′ = α x α−1 , ∀α ∈ R, x ∈ R (sen x)′ = cos x, (cos x)′ = − sen x, x ∈ R nπ o 1 (tan x)′ = , x ∈ R \ + nπ , n∈Z cos2 x 2 1 1 , (arc cos x)′ = − √ , x ∈ (−1, 1) (arc sen x)′ = √ 2 1−x 1 − x2 1 1 (arctan x)′ = , (arccotg x)′ = − , x ∈R 2 1+x 1 + x2 (ax )′ = ax log a, ∀a > 0, a 6= 1, x ∈ R 1 (loga x)′ = , x > 0, a > 0 x log a (sinh x)′ = cosh x, (cosh x)′ = sinh x, x ∈R 1 (tanh x)′ = , x ∈R cosh2 x ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Derivadas de orden superior

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Derivadas y aplicaciones

Derivadas de orden superior Si existe f ′ (x) ∀x ∈ (a, b) podemos definir la funci´on g (x) : (a, b) 7→ R,

g (x) = f ′ (x).

Obviamente podemos definir la derivada de f ′ (x) en x0 ∈ (a, b) l´ım

x→x0

f ′ (x0 + h) − f ′ (x0 ) f ′ (x) − f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ). = l´ım h→0 x − x0 h

Si existe f ′′ (x0 ) ∀x ∈ (a, b) podemos definir la tercera derivada ...

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Derivadas y aplicaciones

Derivadas de orden superior Si existe f ′ (x) ∀x ∈ (a, b) podemos definir la funci´on g (x) : (a, b) 7→ R,

g (x) = f ′ (x).

Obviamente podemos definir la derivada de f ′ (x) en x0 ∈ (a, b) l´ım

x→x0

f ′ (x0 + h) − f ′ (x0 ) f ′ (x) − f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ). = l´ım h→0 x − x0 h

Si existe f ′′ (x0 ) ∀x ∈ (a, b) podemos definir la tercera derivada ... An´alogamente, si existe la derivada de orden n para todo x ∈ (a, b) podemos definir la funci´on n-´esima derivada de f , que d n f (x) , i.e., denotaremos por f (n) (x) o d xn f (n) (x0 ) := l´ım

x→x0

f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 ) , x − x0

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∀x0 ∈ (a, b).

Derivadas y aplicaciones

Teorema de Taylor y sus aplicaciones

Las funciones “elementales” no son tan elementales como su nombre indica. Por ejemplo, calcular la exponencial o el seno de un n´ umero real arbitrario no es un c´ alculo sencillo. Las u ´nicas funciones que son sencillas de calcular son las potencias naturales de los n´ umeros, es decir las funciones f (x) = x n con n natural. Por tanto vamos a intentar encontrar una f´ormula general que nos permita aproximar cualquier funci´on f (x) lo bastante buena mediante polinomios.

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Derivadas y aplicaciones

El polinomio de Taylor Definici´ on Dada una funci´on f (x) n-veces derivable en un entorno de x = a, llamaremos polinomio de Taylor de orden n de f (x), y lo denotaremos por Pn (x, a), al polinomio Pn (x, a) = f (a)+f ′ (a)(x −a)+

f (n) (a) f ′′ (a) (x −a)2 +· · ·+ (x −a)n 2! n!

N´otese que Pn (x, a) es un polinomio de grado a lo m´ as n.

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Derivadas y aplicaciones

El polinomio de Taylor Definici´ on Dada una funci´on f (x) n-veces derivable en un entorno de x = a, llamaremos polinomio de Taylor de orden n de f (x), y lo denotaremos por Pn (x, a), al polinomio Pn (x, a) = f (a)+f ′ (a)(x −a)+

f (n) (a) f ′′ (a) (x −a)2 +· · ·+ (x −a)n 2! n!

N´otese que Pn (x, a) es un polinomio de grado a lo m´ as n. Teorema (Teorema local de Taylor) Si f (x) es n−veces derivable en un entorno de x = a y Pn (x, a) es el polinomio de Taylor de orden n de la funci´on f (x), entonces l´ım

x→a

f (x) − Pn (x, a) =0 (x − a)n

⇐⇒

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f (x) − Pn (x, a) = o[(x − a)n ]. Derivadas y aplicaciones

Aproximando funciones

Del teorema anterior tenemos que una buena aproximaci´ on local a f en x = a es el polinomio Pn (x, a): f (x) = Pn (x, a) + o[(x − a)n

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⇐⇒

f (x) ≈ Pn (x, a).

Derivadas y aplicaciones

Aproximando funciones

Del teorema anterior tenemos que una buena aproximaci´ on local a f en x = a es el polinomio Pn (x, a): f (x) = Pn (x, a) + o[(x − a)n

⇐⇒

f (x) ≈ Pn (x, a).

Ejercicio: Calcular los polinomios de Taylor (McLaurin) de orden n de e x , sen x, cos x, log(1 − x) y (1 + x)α , α ∈ R en x = 0. Comenzamos por e x . Como (e x )(k) = e x para todo k ∈ N, tenemos ex =

n X xn k=0

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n!

+ o(x n ).

Derivadas y aplicaciones

Aproximando funciones • Funci´ on sen x: (sen x)′ = cos x, (sen x)′′ = − sen x (sen x)(2k−1) = (−1)k+1 cos x,

(sen x)(2k) = (−1)k sen x.

Luego, el polinomio de Taylor del seno no tiene potencias pares sen x =

n X (−1)k x 2k+1 k=0

(2k + 1)!

+ o(x 2n+1 ).

y el orden de aproximaci´ on es o(x 2n+2 ) y no o(x 2n+1 ) ¿por qu´ e?

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Derivadas y aplicaciones

Aproximando funciones • Funci´ on sen x: (sen x)′ = cos x, (sen x)′′ = − sen x (sen x)(2k−1) = (−1)k+1 cos x,

(sen x)(2k) = (−1)k sen x.

Luego, el polinomio de Taylor del seno no tiene potencias pares sen x =

n X (−1)k x 2k+1 k=0

(2k + 1)!

+ o(x 2n+1 ).

y el orden de aproximaci´ on es o(x 2n+2 ) y no o(x 2n+1 ) ¿por qu´ e? • Para el logaritmo tenemos [log(1+x)]′ =

−1 2 1 , [log(1+x)]′′ = , [log(1+x)]′′′ = ·· 2 1+x (1 + x) (1 + x)3 n

[log(1+x)](k) =

X (−1)k+1 x k (−1)k+1 (k − 1)! +o(x n ). ⇒ log(1+x) = (1 + x)k k k=0

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Derivadas y aplicaciones

Polinomios de McLaurin de las funciones elementales Teorema 1

sen x =

n X x 2k−1 (−1)k−1 + o(x 2n ). (2k − 1)! k=1

2

cos x =

n X

(−1)k

k=0

3

α

(1 + x) = 1 +

x 2k + o(x 2k+1 ). (2k)!

n X (α)k k=1

4

ex =

n X xk k=0

5

k!

log(1 + x) =

k!

x k + o(x n ).

+ o(x n ). n X xk + o(x n ). (−1)k+1 k k=1

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Derivadas y aplicaciones

Aplicaci´on al c´alculo de l´ımites

Usando los desarrollos del teorema anterior tenemos, por ejemplo, o(x 3 ) x − x + x 3 /6 + o(x 3 ) 1 1 x − sen x + l´ ım = l´ ım = = . x→0 x→0 x3 x3 6 x→0 x 3 6 l´ım

Otro ejemplo es ex − 1 − x 1 + x + x 2 /2 + o(x 2 ) − 1 − x = l´ım x→0 1 − cos x x→0 1 − (1 − x 2 /2 + o(x 2 )) o(x 2 ) 1 + 2 2 x /2 + o(x ) x 2 = 1. = l´ım 2 = l´ım 2 x→0 x /2 + o(x ) x→0 o(x 2 ) 1+ x2 l´ım

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Derivadas y aplicaciones

Propiedades del polinomio de Taylor Sea f (x) n-veces derivable en un entorno de x = a y sea Pn (x, a) = f (a)+f ′ (a)(x −a)+

f ′′ (a) f (n) (a) (x −a)2 +· · ·+ (x −a)n . 2! n!

Entonces Pn (a, a) = f (a).

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Derivadas y aplicaciones

Propiedades del polinomio de Taylor Sea f (x) n-veces derivable en un entorno de x = a y sea Pn (x, a) = f (a)+f ′ (a)(x −a)+

f ′′ (a) f (n) (a) (x −a)2 +· · ·+ (x −a)n . 2! n!

Entonces Pn (a, a) = f (a). Pn′ (x, a) = f ′ (a)+f ′′ (a)(x−a)+

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f (n) (a) f ′′′ (a) (x−a)2 +· · ·+ (x−a)n−1 . 2! (n − 1)!

Derivadas y aplicaciones

Propiedades del polinomio de Taylor Sea f (x) n-veces derivable en un entorno de x = a y sea Pn (x, a) = f (a)+f ′ (a)(x −a)+

f ′′ (a) f (n) (a) (x −a)2 +· · ·+ (x −a)n . 2! n!

Entonces Pn (a, a) = f (a). Pn′ (x, a) = f ′ (a)+f ′′ (a)(x−a)+ Entonces Pn′ (a, a) = f ′ (a).

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f (n) (a) f ′′′ (a) (x−a)2 +· · ·+ (x−a)n−1 . 2! (n − 1)!

Derivadas y aplicaciones

Propiedades del polinomio de Taylor Sea f (x) n-veces derivable en un entorno de x = a y sea Pn (x, a) = f (a)+f ′ (a)(x −a)+

f ′′ (a) f (n) (a) (x −a)2 +· · ·+ (x −a)n . 2! n!

Entonces Pn (a, a) = f (a). Pn′ (x, a) = f ′ (a)+f ′′ (a)(x−a)+ Entonces Pn′ (a, a) = f ′ (a).

f (n) (a) f ′′′ (a) (x−a)2 +· · ·+ (x−a)n−1 . 2! (n − 1)!

Pn′′ (x, a) = f ′′ (a)+f ′′′ (a)(x−a)+

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f (n) (a) f (4) (a) (x−a)2 +· · ·+ (x−a)n−2 . 2! (n − 2)!

Derivadas y aplicaciones

Propiedades del polinomio de Taylor Sea f (x) n-veces derivable en un entorno de x = a y sea Pn (x, a) = f (a)+f ′ (a)(x −a)+

f ′′ (a) f (n) (a) (x −a)2 +· · ·+ (x −a)n . 2! n!

Entonces Pn (a, a) = f (a). Pn′ (x, a) = f ′ (a)+f ′′ (a)(x−a)+ Entonces Pn′ (a, a) = f ′ (a).

f (n) (a) f ′′′ (a) (x−a)2 +· · ·+ (x−a)n−1 . 2! (n − 1)!

Pn′′ (x, a) = f ′′ (a)+f ′′′ (a)(x−a)+ Entonces Pn′′ (a, a) = f ′′ (a) . . .

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f (n) (a) f (4) (a) (x−a)2 +· · ·+ (x−a)n−2 . 2! (n − 2)!

Derivadas y aplicaciones

Propiedades del polinomio de Taylor Sea f (x) n-veces derivable en un entorno de x = a y sea Pn (x, a) = f (a)+f ′ (a)(x −a)+

f ′′ (a) f (n) (a) (x −a)2 +· · ·+ (x −a)n . 2! n!

Entonces Pn (a, a) = f (a). Pn′ (x, a) = f ′ (a)+f ′′ (a)(x−a)+ Entonces Pn′ (a, a) = f ′ (a).

f (n) (a) f ′′′ (a) (x−a)2 +· · ·+ (x−a)n−1 . 2! (n − 1)!

Pn′′ (x, a) = f ′′ (a)+f ′′′ (a)(x−a)+ Entonces Pn′′ (a, a) = f ′′ (a) . . .

f (n) (a) f (4) (a) (x−a)2 +· · ·+ (x−a)n−2 . 2! (n − 2)!

(n)

Pn (a, x) = f (n) (a) ⇒

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Derivadas y aplicaciones

Propiedades del polinomio de Taylor Sea f (x) n-veces derivable en un entorno de x = a y sea Pn (x, a) = f (a)+f ′ (a)(x −a)+

f ′′ (a) f (n) (a) (x −a)2 +· · ·+ (x −a)n . 2! n!

Entonces Pn (a, a) = f (a). Pn′ (x, a) = f ′ (a)+f ′′ (a)(x−a)+ Entonces Pn′ (a, a) = f ′ (a).

f (n) (a) f ′′′ (a) (x−a)2 +· · ·+ (x−a)n−1 . 2! (n − 1)!

Pn′′ (x, a) = f ′′ (a)+f ′′′ (a)(x−a)+ Entonces Pn′′ (a, a) = f ′′ (a) . . . (n)

f (n) (a) f (4) (a) (x−a)2 +· · ·+ (x−a)n−2 . 2! (n − 2)! (n)

Pn (a, x) = f (n) (a) ⇒ Pn (a, a) = f (n) (a).

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Derivadas y aplicaciones

Propiedades del polinomio de Taylor Sea f (x) n-veces derivable en un entorno de x = a y sea Pn (x, a) = f (a)+f ′ (a)(x −a)+

f ′′ (a) f (n) (a) (x −a)2 +· · ·+ (x −a)n . 2! n!

Entonces Pn (a, a) = f (a). Pn′ (x, a) = f ′ (a)+f ′′ (a)(x−a)+ Entonces Pn′ (a, a) = f ′ (a).

f (n) (a) f ′′′ (a) (x−a)2 +· · ·+ (x−a)n−1 . 2! (n − 1)!

Pn′′ (x, a) = f ′′ (a)+f ′′′ (a)(x−a)+ Entonces Pn′′ (a, a) = f ′′ (a) . . . (n)

f (n) (a) f (4) (a) (x−a)2 +· · ·+ (x−a)n−2 . 2! (n − 2)! (n)

Pn (a, x) = f (n) (a) ⇒ Pn (a, a) = f (n) (a). (k)

Pn (a, a) = f (k) (a), k = 1, 2, . . . n ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Propiedades del polinomio de Taylor. Definici´ on Dos funciones n veces derivables f y g tienen un punto de tangencia de orden n en x = a si f (a) = g (a) y sus derivadas f (k) (a) = g (k) (a), para k = 1, 2, . . . n.

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Derivadas y aplicaciones

Propiedades del polinomio de Taylor. Definici´ on Dos funciones n veces derivables f y g tienen un punto de tangencia de orden n en x = a si f (a) = g (a) y sus derivadas f (k) (a) = g (k) (a), para k = 1, 2, . . . n. El polinomio de Taylor Pn (x, a) y f (x) tienen un punto de tangencia de orden n en x = a.

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Derivadas y aplicaciones

Propiedades del polinomio de Taylor. Definici´ on Dos funciones n veces derivables f y g tienen un punto de tangencia de orden n en x = a si f (a) = g (a) y sus derivadas f (k) (a) = g (k) (a), para k = 1, 2, . . . n. El polinomio de Taylor Pn (x, a) y f (x) tienen un punto de tangencia de orden n en x = a. Teorema El u ´nico polinomio Pn , deg Pn ≤ n que tiene un punto de tangencia de orden n en x = a con f (x) es el polinomio de Taylor Pn (x, a).

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Propiedades del polinomio de Taylor. Definici´ on Dos funciones n veces derivables f y g tienen un punto de tangencia de orden n en x = a si f (a) = g (a) y sus derivadas f (k) (a) = g (k) (a), para k = 1, 2, . . . n. El polinomio de Taylor Pn (x, a) y f (x) tienen un punto de tangencia de orden n en x = a. Teorema El u ´nico polinomio Pn , deg Pn ≤ n que tiene un punto de tangencia de orden n en x = a con f (x) es el polinomio de Taylor Pn (x, a). Sea Pn (x) = an (x − a)n + an−1 (x − a)n−1 + · · · a1 (x − a) + a0 y supongamos (n)

f (a) = Pn (a), f ′ (a) = Pn′ (a), f ′′ (a) = Pn′′ (a), · · · , f (n) (a) = Pn (a). (k)

Como Pn (a) = k!ak ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Propiedades del polinomio de Taylor. Definici´ on Dos funciones n veces derivables f y g tienen un punto de tangencia de orden n en x = a si f (a) = g (a) y sus derivadas f (k) (a) = g (k) (a), para k = 1, 2, . . . n. El polinomio de Taylor Pn (x, a) y f (x) tienen un punto de tangencia de orden n en x = a. Teorema El u ´nico polinomio Pn , deg Pn ≤ n que tiene un punto de tangencia de orden n en x = a con f (x) es el polinomio de Taylor Pn (x, a). Sea Pn (x) = an (x − a)n + an−1 (x − a)n−1 + · · · a1 (x − a) + a0 y supongamos (n)

f (a) = Pn (a), f ′ (a) = Pn′ (a), f ′′ (a) = Pn′′ (a), · · · , f (n) (a) = Pn (a). (k)

Como Pn (a) = k!ak

⇒

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ak =

f (k) (a) , k!

k = 0, 1, 2, . . . , n.

Derivadas y aplicaciones

F´ormula del resto Definici´ on La funci´on Rn (x, a) = f (x) − Pn (x, a) se denomina resto o error de la f´ormula de Taylor. Teorema (Estimaci´ on del error del Teorema de Taylor) Sea f una funci´on n−veces derivable en [a, x] tal que f (n) es continua en [a, x] y derivable en (a, x) y sea Pn (x, a) =

n X f (k) (a) k=0

k!

(x − a)k ,

el polinomio de Taylor de la funci´on f . Sea φ una funci´on continua en [a, x] y derivable en (a, x) con φ′ 6= 0 en (a, x). Entonces ∃c ∈ (a, x) tal que Rn (x, a) =

φ(x) − φ(a) (n+1) f (c)(x − c)n , φ′ (c)n!

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Derivadas y aplicaciones

c ∈ (a, x).

F´ormula del resto Corolario: Si f (n) es continua en [a, x] y derivable en (a, x) ⇒ 1

F´ ormula del resto de Taylor en forma de Cauchy. Rn (x, a) =

2

f (n+1) (c) (x − c)n (x − a), n!

F´ ormula del resto de Taylor en forma de Lagrange. Rn (x, a) =

3

c ∈ (a, x).

f (n+1) (c) (x − a)n+1 , (n + 1)!

c ∈ (a, x).

F´ ormula del resto de Taylor en forma de Schol¨omilch. Rn (x, a) =

f (n+1) (c) (x−c)n+1−p (x−a)p , n! p

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c ∈ (a, x),

Derivadas y aplicaciones

p > 0.

F´ormula del resto Corolario: Si f (n) es continua en [a, x] y derivable en (a, x) ⇒ 1

F´ ormula del resto de Taylor en forma de Cauchy. Rn (x, a) =

2

f (n+1) (c) (x − c)n (x − a), n!

F´ ormula del resto de Taylor en forma de Lagrange. Rn (x, a) =

3

c ∈ (a, x).

f (n+1) (c) (x − a)n+1 , (n + 1)!

c ∈ (a, x).

F´ ormula del resto de Taylor en forma de Schol¨omilch. Rn (x, a) =

φ(t) = x − t

f (n+1) (c) (x−c)n+1−p (x−a)p , n! p

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c ∈ (a, x),

Derivadas y aplicaciones

p > 0.

F´ormula del resto Corolario: Si f (n) es continua en [a, x] y derivable en (a, x) ⇒ 1

F´ ormula del resto de Taylor en forma de Cauchy. Rn (x, a) =

2

f (n+1) (c) (x − c)n (x − a), n!

F´ ormula del resto de Taylor en forma de Lagrange. Rn (x, a) =

3

c ∈ (a, x).

f (n+1) (c) (x − a)n+1 , (n + 1)!

c ∈ (a, x).

F´ ormula del resto de Taylor en forma de Schol¨omilch. Rn (x, a) =

φ(t) = x − t

f (n+1) (c) (x−c)n+1−p (x−a)p , n! p φ(t) = (x − t)n+1

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c ∈ (a, x),

Derivadas y aplicaciones

p > 0.

F´ormula del resto Corolario: Si f (n) es continua en [a, x] y derivable en (a, x) ⇒ 1

F´ ormula del resto de Taylor en forma de Cauchy. Rn (x, a) =

2

f (n+1) (c) (x − c)n (x − a), n!

F´ ormula del resto de Taylor en forma de Lagrange. Rn (x, a) =

3

c ∈ (a, x).

f (n+1) (c) (x − a)n+1 , (n + 1)!

c ∈ (a, x).

F´ ormula del resto de Taylor en forma de Schol¨omilch. Rn (x, a) =

φ(t) = x − t

f (n+1) (c) (x−c)n+1−p (x−a)p , n! p φ(t) = (x − t)n+1

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c ∈ (a, x),

φ(t) = (x − t)p

Derivadas y aplicaciones

p > 0.

Aplicaciones del Teorema de Taylor

1

Ejercicio: Calcula e 4 utilizando el polinomio de McLaurin de grado 3 y estima el error cometido.

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Derivadas y aplicaciones

Aplicaciones del Teorema de Taylor

1

Ejercicio: Calcula e 4 utilizando el polinomio de McLaurin de grado 3 y estima el error cometido. Soluci´ on: ex ≈ 1 + x +

x2 x3 + , 2 6

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Derivadas y aplicaciones

Aplicaciones del Teorema de Taylor

1

Ejercicio: Calcula e 4 utilizando el polinomio de McLaurin de grado 3 y estima el error cometido. Soluci´ on: ex ≈ 1 + x +

x2 x3 + , 2 6

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R3 (x) =

ec 4 x , 24

c ∈ (0, 14 ) ,

Derivadas y aplicaciones

Aplicaciones del Teorema de Taylor

1

Ejercicio: Calcula e 4 utilizando el polinomio de McLaurin de grado 3 y estima el error cometido. Soluci´ on: ex ≈ 1 + x +

x2 x3 + , 2 6

493 e ≈ ≈ 1,28385, 384 1 4

R3 (x) =

ec 4 x , 24

c ∈ (0, 14 ) ,

1

e4 1 3 |R3 (x)| ≤ < ≈ 5 × 10−4 . 4 24 4 24 × 44

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Derivadas y aplicaciones

Aplicaciones del Teorema de Taylor

1

Ejercicio: Calcula e 4 utilizando el polinomio de McLaurin de grado 3 y estima el error cometido. Soluci´ on: ex ≈ 1 + x +

x2 x3 + , 2 6

R3 (x) =

ec 4 x , 24

c ∈ (0, 14 ) ,

1

493 e ≈ ≈ 1,28385, 384

e4 1 3 |R3 (x)| ≤ < ≈ 5 × 10−4 . 4 24 4 24 × 44

493 e ≈ ≈ 1,28385, 384

1,3 e4 1 |R3 (x)| ≤ < ≈ 2 × 10−4 . 4 24 4 24 × 44

1 4

1 4

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1

Derivadas y aplicaciones

Aplicaciones del Teorema de Taylor ¿De qu´e orden ha de ser el polinomio de Taylor en x = 0 para que aproxime la funci´on e x hasta un orden dado, digamos 10−6 , en un cierto intervalo, por ejemplo [0, 1]?

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Derivadas y aplicaciones

Aplicaciones del Teorema de Taylor ¿De qu´e orden ha de ser el polinomio de Taylor en x = 0 para que aproxime la funci´on e x hasta un orden dado, digamos 10−6 , en un cierto intervalo, por ejemplo [0, 1]? Soluci´ on: Para responder a la pregunta tenemos que usar el t´ermino del error (por ejemplo en forma de Lagrange) Rn (x, 0) =

e c x n+1 , (n + 1)!

c ∈ (0, x).

Como estamos trabajando en el intervalo [0, 1], e c ≤ e < 3 |Rn (x, 0)| <

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3 (n + 1)!

Derivadas y aplicaciones

⇒

Aplicaciones del Teorema de Taylor ¿De qu´e orden ha de ser el polinomio de Taylor en x = 0 para que aproxime la funci´on e x hasta un orden dado, digamos 10−6 , en un cierto intervalo, por ejemplo [0, 1]? Soluci´ on: Para responder a la pregunta tenemos que usar el t´ermino del error (por ejemplo en forma de Lagrange) Rn (x, 0) =

e c x n+1 , (n + 1)!

c ∈ (0, x).

Como estamos trabajando en el intervalo [0, 1], e c ≤ e < 3 |Rn (x, 0)| <

3 (n + 1)!

3 ≈ 8 × 10−6 y para n = 9 Como para n = 8, |Rn (x, 0)| < 9! 3 tenemos |Rn (x, 0)| < 10! ≈ 8,27 × 10−7 , concluimos que necesitamos un polinomio de Tayor de orden 9. ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

⇒

Aplicaciones del Teorema de Taylor: El n´umero e es irracional Sup. que e es racional. ⇒ ∃p, q ∈ N t.q. e = p/q y, por tanto, ∃N ∈ N t.q. ∀n > N, n!e ∈ N.

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Derivadas y aplicaciones

Aplicaciones del Teorema de Taylor: El n´umero e es irracional Sup. que e es racional. ⇒ ∃p, q ∈ N t.q. e = p/q y, por tanto, ∃N ∈ N t.q. ∀n > N, n!e ∈ N.

Sea n > 3. Entonces usando el polinomio de Taylor de e x en [0, 1] con la f´ormula de Lagrange para el resto en x = 1 tenemos e =1+

1 1 1 ec + + ··· + + , 1! 2! n! (n + 1)!

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Derivadas y aplicaciones

0 < c < 1.

Aplicaciones del Teorema de Taylor: El n´umero e es irracional Sup. que e es racional. ⇒ ∃p, q ∈ N t.q. e = p/q y, por tanto, ∃N ∈ N t.q. ∀n > N, n!e ∈ N.

Sea n > 3. Entonces usando el polinomio de Taylor de e x en [0, 1] con la f´ormula de Lagrange para el resto en x = 1 tenemos e =1+

1 1 1 ec + + ··· + + , 1! 2! n! (n + 1)!

n!e =



n! + n! +

n! n! + ··· + 2 n!

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla



0 < c < 1.

+

ec . n+1

Derivadas y aplicaciones

Aplicaciones del Teorema de Taylor: El n´umero e es irracional Sup. que e es racional. ⇒ ∃p, q ∈ N t.q. e = p/q y, por tanto, ∃N ∈ N t.q. ∀n > N, n!e ∈ N.

Sea n > 3. Entonces usando el polinomio de Taylor de e x en [0, 1] con la f´ormula de Lagrange para el resto en x = 1 tenemos e =1+

1 1 1 ec + + ··· + + , 1! 2! n! (n + 1)!

n!e =



n! + n! +

n! n! + ··· + 2 n!



0 < c < 1.

+

Escogemos n > N entonces n!e ∈ N, y n! + n! + ec es decir que ∈ N. n+1 e 3 3 ec < < < Pero como e < 3 n+1 n+1 n+1 4 ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

ec . n+1 n! 2

Derivadas y aplicaciones

+···+

n! n!

∈ N,

Aplicaciones del Teorema de Taylor: El n´umero e es irracional Sup. que e es racional. ⇒ ∃p, q ∈ N t.q. e = p/q y, por tanto, ∃N ∈ N t.q. ∀n > N, n!e ∈ N.

Sea n > 3. Entonces usando el polinomio de Taylor de e x en [0, 1] con la f´ormula de Lagrange para el resto en x = 1 tenemos e =1+

1 1 1 ec + + ··· + + , 1! 2! n! (n + 1)!

n!e =



n! + n! +

n! n! + ··· + 2 n!



0 < c < 1.

+

Escogemos n > N entonces n!e ∈ N, y n! + n! + ec es decir que ∈ N. n+1 e 3 3 ec < < < Pero como e < 3 n+1 n+1 n+1 4 ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

ec . n+1 n! 2

+···+

!!!

Derivadas y aplicaciones

n! n!

∈ N,

Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales m´ aximo

m´ınimo

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales m´ aximo

m´ınimo

Teorema (Condici´ on suficiente de extremo) Sea f continua en todo un entorno de x = a y derivable en todo un entorno de x = a excepto quiz´ a el propio punto x = a. Si f ′ (x) cambia de signo al pasar por x = a, entonces f tiene un extremo local en x = a. ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales

Sea f (x) =

(

2x 2 + x 2 sen x1 , x 6= 0

0, x = 0. Esta funci´on tiene un m´ınimo local (de hecho global) en x = 0 pues x 2 ≤ f (x) ≤ 3x 2

⇒

f (x) ≥ 0,

∀x ∈ R.

Adem´as, f es derivable en todo R siendo ( 4x + 2x sen x1 − cos x1 , x 6= 0 ′ f (x) = 0, x = 0.

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales

Sea f (x) =

(

2x 2 + x 2 sen x1 , x 6= 0

0, x = 0. Esta funci´on tiene un m´ınimo local (de hecho global) en x = 0 pues x 2 ≤ f (x) ≤ 3x 2

⇒

f (x) ≥ 0,

∀x ∈ R.

Adem´as, f es derivable en todo R siendo si x ≈ 0 ( 4x + 2x sen x1 − cos 1x , x 6= 0 ′ f (x) = 0, x = 0.

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales

′

f (x) =

(

4x + 2x sen x1 − cos 1x , x 6= 0 0,

x = 0.

0.18 0.16 0.14 0.12

f(x)

0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.2

-0.1

0

0.1

x

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

0.2

Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales

′

f (x) =

(

4x + 2x sen x1 − cos 1x , x 6= 0 0,

x = 0.

0.03

0.025

f(x)

0.02

0.015

0.01

0.005

0 -0.1

-0.05

0

0.05

x

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

0.1

Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales

′

f (x) =

(

4x + 2x sen x1 − cos 1x , x 6= 0 0,

x = 0.

0.0003

0.00025

f(x)

0.0002

0.00015

0.0001

5e-05

0 -0.01

-0.005

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

0 x

0.005

Derivadas y aplicaciones

0.01

Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales Teorema (Condici´ on suficiente de extremo) Sea f (x) : A 7→ R una funci´on dos veces derivable con segunda derivada continua en un entorno de x = a tal que f ′ (a) = 0, entonces la funci´on tendr´ a en x = a un m´ aximo local si f ′′ (a) < 0 ′′ y un m´ınimo local si f (a) > 0.

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales Teorema (Condici´ on suficiente de extremo) Sea f (x) : A 7→ R una funci´on dos veces derivable con segunda derivada continua en un entorno de x = a tal que f ′ (a) = 0, entonces la funci´on tendr´ a en x = a un m´ aximo local si f ′′ (a) < 0 ′′ y un m´ınimo local si f (a) > 0. Dos ejemplos reveladores: f (x) = x 3 y f (x) = x 4 .

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales Teorema (Condici´ on suficiente de extremo) Sea f (x) : A 7→ R una funci´on dos veces derivable con segunda derivada continua en un entorno de x = a tal que f ′ (a) = 0, entonces la funci´on tendr´ a en x = a un m´ aximo local si f ′′ (a) < 0 ′′ y un m´ınimo local si f (a) > 0. Dos ejemplos reveladores: f (x) = x 3 y f (x) = x 4 . Ejercicio: Calcular los extremos de las funciones: 2

1

f (x) = e −x ,

2

f (x) = 1 − x 5 y ( 2 x ≥0 −x 3 , . f (x) = 2 x + 2x, x < 0

2

3

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Derivadas y aplicaciones

Aplicaciones del Teorema de Taylor Teorema (Criterio de la (n + 1)−´esima derivada) Supongamos que la funci´on f (x) es (n + 1)−veces derivable con f (n+1) (x) continua en el intervalo abierto (a − δ, a + δ) y que f ′ (a) = f ′′ (a) = f ′′′ (a) = · · · = f (n) (a) = 0,

f (n+1) (a) 6= 0.

Entonces si n es impar la funci´on f (x) tiene un extremo local en a y es m´aximo si f (n+1) (a) < 0 y m´ınimo si f (n+1) (a) > 0.

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Aplicaciones del Teorema de Taylor Teorema (Criterio de la (n + 1)−´esima derivada) Supongamos que la funci´on f (x) es (n + 1)−veces derivable con f (n+1) (x) continua en el intervalo abierto (a − δ, a + δ) y que f ′ (a) = f ′′ (a) = f ′′′ (a) = · · · = f (n) (a) = 0,

f (n+1) (a) 6= 0.

Entonces si n es impar la funci´on f (x) tiene un extremo local en a y es m´aximo si f (n+1) (a) < 0 y m´ınimo si f (n+1) (a) > 0. Demostraci´ on: Supondremos que f (n+1) (a) > 0. Como f (n+1) es continua en a, entonces f (n+1) > 0 en todo un entorno de a, digamos (a, x). Entonces aplicando el teorema de Taylor-Lagrange f (x) =

n X f (k) (a) k=0

k!

(x−a)k +

f (n+1) (a) (x−a)n+1 , (n + 1)!

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

c ∈ (a, x)

⇒

Aplicaciones del Teorema de Taylor Teorema (Criterio de la (n + 1)−´esima derivada) Supongamos que la funci´on f (x) es (n + 1)−veces derivable con f (n+1) (x) continua en el intervalo abierto (a − δ, a + δ) y que f ′ (a) = f ′′ (a) = f ′′′ (a) = · · · = f (n) (a) = 0,

f (n+1) (a) 6= 0.

Entonces si n es impar la funci´on f (x) tiene un extremo local en a y es m´aximo si f (n+1) (a) < 0 y m´ınimo si f (n+1) (a) > 0. Demostraci´ on: Supondremos que f (n+1) (a) > 0. Como f (n+1) es continua en a, entonces f (n+1) > 0 en todo un entorno de a, digamos (a, x). Entonces aplicando el teorema de Taylor-Lagrange f (x) =

n X f (k) (a) k=0

k!

f (x) − f (a) =

(x−a)k +

f (n+1) (a) (x−a)n+1 , (n + 1)!

f (n+1) (c) (x − a)n+1 > 0 (n + 1)!

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

c ∈ (a, x)

∀x ∈ Uδ (a)

Derivadas y aplicaciones

⇒

Aplicaciones del Teorema de Taylor Teorema (Criterio de la (n + 1)−´esima derivada) Supongamos que la funci´on f (x) es (n + 1)−veces derivable con f (n+1) (x) continua en el intervalo abierto (a − δ, a + δ) y que f ′ (a) = f ′′ (a) = f ′′′ (a) = · · · = f (n) (a) = 0,

f (n+1) (a) 6= 0.

Entonces si n es impar la funci´on f (x) tiene un extremo local en a y es m´aximo si f (n+1) (a) < 0 y m´ınimo si f (n+1) (a) > 0. Demostraci´ on: Supondremos que f (n+1) (a) > 0. Como f (n+1) es continua en a, entonces f (n+1) > 0 en todo un entorno de a, digamos (a, x). Entonces aplicando el teorema de Taylor-Lagrange f (x) =

n X f (k) (a) k=0

k!

f (x) − f (a) =

(x−a)k +

f (n+1) (a) (x−a)n+1 , (n + 1)!

f (n+1) (c) (x − a)n+1 > 0 (n + 1)!

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

c ∈ (a, x)

⇒

∀x ∈ Uδ (a) ⇒ MIN

Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas: Definici´on geom´etrica Definici´ on Una funci´on f (x) es estrictamente convexa hacia abajo (c´oncava) en un intervalo (a, b) si cualquier recta secante s que corte a f en los puntos x1 < x2 , x1 , x2 ∈ (a, b), est´ a siempre por encima del gr´afico de la curva y = f (x) en el intervalo (x1 , x2 ). y

f(x)

s1 s2 s3

a

b

x

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Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas: Definici´on geom´etrica Definici´ on Una funci´on f (x) es estrictamente convexa hacia abajo (c´oncava) en un intervalo (a, b) si cualquier recta secante s que corte a f en los puntos x1 < x2 , x1 , x2 ∈ (a, b), est´ a siempre por encima del gr´afico de la curva y = f (x) en el intervalo (x1 , x2 ). y

f(x)

s1 s2 s3

a

b

x

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas: Definici´on anal´ıtica Sea y (x) la secante que pasa (x1 , f (x1 )) y (x2 , f (x2 ))

1 0 00 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

00 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

x2

x1

f (x2 ) − f (x1 ) (x−x1 ) = y = f (x1 )+ x2 − x1



   x2 − x x − x1 f (x1 )+ f (x2 ). x2 − x1 x2 − x1 | {z } | {z } 1−t

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Derivadas y aplicaciones

t

Funciones convexas: Definici´on anal´ıtica Sea y (x) la secante que pasa (x1 , f (x1 )) y (x2 , f (x2 ))

1 0 00 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

00 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

x2

x1

f (x2 ) − f (x1 ) (x−x1 ) = y = f (x1 )+ x2 − x1



   x2 − x x − x1 f (x1 )+ f (x2 ). x2 − x1 x2 − x1 | {z } | {z } t

1−t

∀x ∈ (x1 , x2 ) ⇒ x =









x2 −x x −x1 x1 + x2 = (1−t)x1 +tx2 x2 −x1 x2 −x1

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas: Definici´on anal´ıtica Sea y (x) la secante que pasa (x1 , f (x1 )) y (x2 , f (x2 ))

1 0 00 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

00 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

x2

x1

f (x2 ) − f (x1 ) (x−x1 ) = y = f (x1 )+ x2 − x1



   x2 − x x − x1 f (x1 )+ f (x2 ). x2 − x1 x2 − x1 | {z } | {z } t

1−t

∀x ∈ (x1 , x2 ) ⇒ x =









x2 −x x −x1 x1 + x2 = (1−t)x1 +tx2 x2 −x1 x2 −x1

Si f (x) ≤ y en (x1 , x2 ) ⇔ f [(1−t)x1 + tx2 ] ≤ (1−t)f (x1 ) + tf (x2 ). ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas: Definici´on anal´ıtica Definici´ on: Una funci´on es convexa hacia abajo si para todo x1 , x2 de (a, b), y todo x tal que x1 < x < x2 , ∀x1 , x2 ∈ (a, b), y ∀t ∈ [0, 1],

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

f [(1−t)x1 +tx2 ) < (1−t)f (x1 )+tf (x2 ),

Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas: Definici´on anal´ıtica Definici´ on: Una funci´on es convexa hacia abajo si para todo x1 , x2 de (a, b), y todo x tal que x1 < x < x2 , ∀x1 , x2 ∈ (a, b), y ∀t ∈ [0, 1],

f [(1−t)x1 +tx2 ) < (1−t)f (x1 )+tf (x2 ),

Entonces (x2 − x1 )f (x) < (x2 − x)f (x1 ) + (x − x1 )f (x2 ),

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Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas: Definici´on anal´ıtica Definici´ on: Una funci´on es convexa hacia abajo si para todo x1 , x2 de (a, b), y todo x tal que x1 < x < x2 , ∀x1 , x2 ∈ (a, b), y ∀t ∈ [0, 1],

f [(1−t)x1 +tx2 ) < (1−t)f (x1 )+tf (x2 ),

Entonces (x2 − x1 )f (x) < (x2 − x)f (x1 ) + (x − x1 )f (x2 ), (x2 − x)f (x) + (x − x1 )f (x) < (x2 − x)f (x1 ) + (x − x1 )f (x2 ),

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas: Definici´on anal´ıtica Definici´ on: Una funci´on es convexa hacia abajo si para todo x1 , x2 de (a, b), y todo x tal que x1 < x < x2 , ∀x1 , x2 ∈ (a, b), y ∀t ∈ [0, 1],

f [(1−t)x1 +tx2 ) < (1−t)f (x1 )+tf (x2 ),

Entonces (x2 − x1 )f (x) < (x2 − x)f (x1 ) + (x − x1 )f (x2 ), (x2 − x)f (x) + (x − x1 )f (x) < (x2 − x)f (x1 ) + (x − x1 )f (x2 ), (x2 − x)[f (x) − f (x1 )] < (x − x1 )[f (x2 ) − f (x)], de donde tenemos f (x) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x) < . x − x1 x2 − x ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas

Proposici´on Para que una f (x) derivable en (a, b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a, b) es necesario que f ′ (x) no decrezca.

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Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas

Proposici´on Para que una f (x) derivable en (a, b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a, b) es necesario que f ′ (x) no decrezca. Prueba: Como f es convexa hacia abajo, ∀x1 < x < x2 . f (x2 ) − f (x) f (x) − f (x1 ) < x − x1 x2 − x

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Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas

Proposici´on Para que una f (x) derivable en (a, b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a, b) es necesario que f ′ (x) no decrezca. Prueba: Como f es convexa hacia abajo, ∀x1 < x < x2 . Tomando el l´ımite x → x1 y x → x2 f ′ (x1 ) =

f (x) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x) ≤ = f ′ (x2 ) x − x1 x2 − x

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Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas

Proposici´on Para que una f (x) derivable en (a, b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a, b) es necesario que f ′ (x) no decrezca. Prueba: Como f es convexa hacia abajo, ∀x1 < x < x2 . Tomando el l´ımite x → x1 y x → x2 f ′ (x1 ) =

f (x) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x) ≤ = f ′ (x2 ) x − x1 x2 − x

O sea, si x1 < x2 ⇒ f ′ (x1 ) ≤ f ′ (x2 ).

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Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas Teorema Para que una f (x) derivable en (a, b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a, b) es necesario y suficiente que f ′ (x) no decrezca. Adem´as si f ′ (x) es estrictamente creciente en todo (a, b), entonces f (x) es estrictamente convexa hacia abajo en (a, b).

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Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas Teorema Para que una f (x) derivable en (a, b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a, b) es necesario y suficiente que f ′ (x) no decrezca. Adem´as si f ′ (x) es estrictamente creciente en todo (a, b), entonces f (x) es estrictamente convexa hacia abajo en (a, b). Prueba: Usamos TVM de Lagrange. ∃c2 ∈ (x, x2 ), c2 < x2 t.q. f (x2 ) − f (x) = f ′ (c2 ) ≤ f ′ (x2 ) ⇒ f ′ (c2 ) ≤ f ′ (x2 ) x2 − x

An´alogamente ∃c1 ∈ (x1 , x), x1 < c1 , t.q. f ′ (x1 ) ≤ f ′ (c1 ) =

f (x) − f (x1 ) x − x1

⇒ ∀x1 < x < x2 ,

Como f es convexa hacia abajo (necesidad) f (x2 ) − f (x) f (x) − f (x1 ) < x − x1 x2 − x ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas Teorema Para que una f (x) derivable en (a, b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a, b) es necesario y suficiente que f ′ (x) no decrezca. Adem´as si f ′ (x) es estrictamente creciente en todo (a, b), entonces f (x) es estrictamente convexa hacia abajo en (a, b). Prueba: Usamos TVM de Lagrange. ∃c2 ∈ (x, x2 ), c2 < x2 t.q. f (x2 ) − f (x) = f ′ (c2 ) ≤ f ′ (x2 ) ⇒ f ′ (c2 ) ≤ f ′ (x2 ) x2 − x

An´alogamente ∃c1 ∈ (x1 , x), x1 < c1 , t.q. f ′ (x1 ) ≤ f ′ (c1 ) =

f (x) − f (x1 ) x − x1

⇒ ∀x1 < x < x2 ,

Como f es convexa hacia abajo (necesidad) f ′ (x1 ) ≤ f ′ (c1 ) =

f (x2 ) − f (x) f (x) − f (x1 ) < = f ′ (c2 ) ≤ f ′ (x2 ) x − x1 x2 − x

´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas Teorema Para que una f (x) derivable en (a, b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a, b) es necesario y suficiente que f ′ (x) no decrezca. Adem´as si f ′ (x) es estrictamente creciente en todo (a, b), entonces f (x) es estrictamente convexa hacia abajo en (a, b). Prueba: Usamos TVM de Lagrange. ∃c2 ∈ (x, x2 ), c2 < x2 t.q. f (x2 ) − f (x) = f ′ (c2 ) ≤ f ′ (x2 ) ⇒ f ′ (c2 ) ≤ f ′ (x2 ) x2 − x An´alogamente ∃c1 ∈ (x1 , x), x1 < c1 , t.q. f ′ (x1 ) ≤ f ′ (c1 ) =

f (x) − f (x1 ) x − x1

⇒ ∀x1 < x < x2 ,

Como f ′ es creciente (suficiencia)

f ′ (c1 ) ≤ f ′ (c2 ) ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas Teorema Para que una f (x) derivable en (a, b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a, b) es necesario y suficiente que f ′ (x) no decrezca. Adem´as si f ′ (x) es estrictamente creciente en todo (a, b), entonces f (x) es estrictamente convexa hacia abajo en (a, b). Prueba: Usamos TVM de Lagrange. ∃c2 ∈ (x, x2 ), c2 < x2 t.q. f (x2 ) − f (x) = f ′ (c2 ) ≤ f ′ (x2 ) ⇒ f ′ (c2 ) ≤ f ′ (x2 ) x2 − x An´alogamente ∃c1 ∈ (x1 , x), x1 < c1 , t.q. f ′ (x1 ) ≤ f ′ (c1 ) =

f (x) − f (x1 ) x − x1

⇒ ∀x1 < x < x2 ,

Como f ′ es creciente (suficiencia)

f (x) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x) = f ′ (c1 ) ≤ f ′ (c2 ) = x − x1 x2 − x ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas Teorema Para que una f (x) derivable en (a, b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a, b) es necesario y suficiente que f ′ (x) no decrezca. Adem´as si f ′ (x) es estrictamente creciente en todo (a, b), entonces f (x) es estrictamente convexa hacia abajo en (a, b). ⇓

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Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas Teorema Para que una f (x) derivable en (a, b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a, b) es necesario y suficiente que f ′ (x) no decrezca. Adem´as si f ′ (x) es estrictamente creciente en todo (a, b), entonces f (x) es estrictamente convexa hacia abajo en (a, b). ⇓ Corolario Para que una f (x) dos veces derivable en (a, b) sea convexa hacia abajo (c´oncava) en (a, b) es necesario y suficiente que f ′′ (x) ≥ 0. Adem´as si f ′′ (x) > 0 en todo (a, b), entonces f (x) es estrictamente convexa hacia abajo. ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Funciones convexas: Otra definici´on geom´etrica Si x0 < x y f es convexa ↓, f ′ ր f ′ (x0 ) ≤ f ′ (x).

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Funciones convexas: Otra definici´on geom´etrica Si x0 < x y f es convexa ↓, f ′ ր f ′ (x0 ) ≤ f ′ (x). La recta tangente a f en x = x0 : y (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) ⇒ f (x) − y (x) = [f (x) − f (x0 )] − f ′ (x0 )(x − x0 ).

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Derivadas y aplicaciones

Funciones convexas: Otra definici´on geom´etrica Si x0 < x y f es convexa ↓, f ′ ր f ′ (x0 ) ≤ f ′ (x). La recta tangente a f en x = x0 : y (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) ⇒ f (x) − y (x) = [f (x) − f (x0 )] − f ′ (x0 )(x − x0 ). Por el TVM de Lagrange ∃x0 < c < x t.q. f (x) − f (x0 ) = f ′ (c)(x − x0 ) f (x) − y (x) = [f ′ (c) − f ′ (x0 )](x − x0 ) ≥ 0

⇒

Definici´ on: Una funci´on f (x) derivable en (a, b) es convexa hacia abajo (c´oncava) si la curva y = f (x) est´ a por encima de cualquiera de las rectas tangentes a ella en dicho intervalo.

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Funciones convexas: Otra definici´on geom´etrica Definici´ on: Una funci´on f (x) derivable en (a, b) es convexa hacia abajo (c´oncava) si la curva y = f (x) est´ a por encima de cualquiera de las rectas tangentes a ella en dicho intervalo. y

f(x)

a

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b

x

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Funciones convexas: Definici´on anal´ıtica Una funci´on es convexa hacia arriba si para todo x1 , x2 de (a, b), y todo x tal que x1 < x < x2 , ∀x1 , x2 ∈ (a, b), y ∀t ∈ [0, 1],

f [(1−t)x1 +tx2 ) > (1−t)f (x1 )+tf (x2 ),

o, equivalentemente, f (x) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x) . > x − x1 x2 − x Ello indica que todo lo que hemos visto lo podemos repetir pero cambiando el signo de la desigualdad. y y s1

s2

f(x)

a

f(x)

s3

b

x

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f(x)

a

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b

x

Funciones convexas Convexa ↑ f (x) = −x 2k , convexa ↓ (c´ oncava) f (x) = x 2k , k ∈ N.

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Funciones convexas Convexa ↑ f (x) = −x 2k , convexa ↓ (c´ oncava) f (x) = x 2k , k ∈ N. Definici´ on Diremos que un punto x = a es un punto de inflexi´ on de la funci´on f (x) si en un entorno de dicho punto la gr´ afica de la funci´on f (x) tiene diferentes direcciones de convexidad (hacia abajo y hacia arriba) a la izquierda y derecha del punto

y

y

f(x)

a

f(x)

c

b

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x

a

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c

b

x

Funciones convexas De lo anterior se sigue que los puntos de inflexion de f (x) son los extremos de f ′ (x).

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Funciones convexas De lo anterior se sigue que los puntos de inflexion de f (x) son los extremos de f ′ (x). Teorema (Condici´ on necesaria de existencia de pto. de inflexi´ on) Si f (x) tiene un punto de inflexi´ on en x = a, entonces o f ′′ (a) = 0 o f ′′ (a) no existe.

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Funciones convexas De lo anterior se sigue que los puntos de inflexion de f (x) son los extremos de f ′ (x). Teorema (Condici´ on necesaria de existencia de pto. de inflexi´ on) Si f (x) tiene un punto de inflexi´ on en x = a, entonces o f ′′ (a) = 0 o f ′′ (a) no existe. Teorema (Criterio de la (n + 1)−´esima derivada) Supongamos que la funci´on f (x) es (n + 1)−veces derivable en el intervalo abierto (a, b) y que para cierto c ∈ (a, b) tenemos que f ′′ (c) = f ′′′ (c) = · · · = f (n) (c) = 0,

f (n+1) (c) 6= 0.

Entonces si n es par la funci´on f (x) tiene un punto de inflexi´ on en c. Adem´as f (x) pasa de c´ oncava a convexa si f (n+1) (c) < 0 y de convexa a c´oncava si f (n+1) (c) > 0. ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Representaci´on gr´afica de funciones Esquema para la representaci´ on de la funci´ on y = f (x). 1

Determinar el dominio de la funci´on f (x).

2

Determinar si la funci´on tiene simetr´ıa par o impar, o si es peri´odica.

3

Determinar los puntos de discontinuidad de la funci´on (evitables y no evitables) as´ı como las as´ıntotas verticales, horizontales y oblicuas de la funci´on.

4

Encontrar los puntos de corte con los ejes, o sea, los ceros de la funci´on f (x) = 0, y el punto f (0).

5

Encontrar los extremos de la funci´on y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

6

Encontrar los puntos de inflexi´ on de la funci´on y los intervalos de concavidad y convexidad.

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Representaci´on gr´afica de funciones Esquema para la representaci´ on de la funci´ on y = f (x). 1

Determinar el dominio de la funci´on f (x).

2

Determinar si la funci´on tiene simetr´ıa par o impar, o si es peri´odica.

3

Determinar los puntos de discontinuidad de la funci´on (evitables y no evitables) as´ı como las as´ıntotas verticales, horizontales y oblicuas de la funci´on.

4

Encontrar los puntos de corte con los ejes, o sea, los ceros de la funci´on f (x) = 0, y el punto f (0).

5

Encontrar los extremos de la funci´on y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

6

Encontrar los puntos de inflexi´ on de la funci´on y los intervalos de concavidad y convexidad.

Ejercicio: Estudiar la funci´on f (x) = ´ Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

x2 + 1 . x2 − 1

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