Capítulo 1

DESCRIPCIÓN Y CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS

1.1.1 – 1.1.2

Las figuras geométricas, como los polígonos, aparecen en muchos lugares. En estas lecciones, los alumnos estudiarán más atentamente los polígonos y observarán las semejanzas y diferencias entre ellos. Luego identificarán determinadas características de polígonos específicos y clasificarán polígonos usando diagramas de Venn. Los alumnos revisarán el vocabulario y la notación geométrica.

Ejemplo 1 Decide qué polígonos del Organizador gráfico de polígonos corresponden en cada sección del diagrama de Venn a continuación. #1: Exactamente dos pares de lados paralelos

#1

#2

#2: Todos los lados miden lo mismo

El Círculo #1 representa todos los polígonos del Organizador #1 #2 gráfico de polígonos que tienen exactamente dos pares de hexágono regular rectángulo lados paralelos. Hay cuatro polígonos que tienen esta rombo triángulo equilátero cuadrado característica: el rectángulo, el cuadrado, el rombo, y el paralelogramo pentágono regular paralelogramo. Estos polígonos irán en el Círculo #1. El Círculo #2 representa los polígonos que son equiláteros, es decir, los polígonos cuyos lados tienen todos la misma longitud. Hay cinco polígonos que tienen esta característica: el hexágono regular, el triángulo equilátero, el cuadrado, el rombo, y el pentágono regular. Estos cinco polígonos estarán todos dentro del Círculo #2. Hay dos polígonos que se encuentran en ambas listas: el cuadrado y el rombo. Estos dos polígonos son equiláteros y tienen exactamente dos pares de lados paralelos. Por lo tanto, el cuadrado y el rombo deben ser colocados en la región que forma parte de ambos círculos, que ha sido sombreada en el diagrama. Los otros nueve polígonos del Organizador gráfico de polígonos deberían ser colocados fuera de los círculos.

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1

Ejemplo 2 Nombra cada uno de los polígonos a continuación de la forma más específica posible en función de las marcas incluidas. a.

b.

c.

En la Lección 1.1.2, los alumnos crearon un Organizador gráfico de polígonos, es decir, una página de recursos que muestra y describe los atributos de muchos polígonos distintos. Por medio de términos, definiciones y características que habían identificado anteriormente, los alumnos describieron los polígonos en la página de recursos y añadieron las marcas necesarias. Las marcas se usan para indicar los lados con longitudes iguales. Las flechas se usan para indicar segmentos paralelos. La figura del punto (a) parece ser un cuadrado. Las marcas muestran que los lados del cuadrilátero miden lo mismo, pero para ser un cuadrado también necesita tener cuatro ángulos rectos. Los ángulos del dibujo parecen ser rectos, pero tal vez no midan exactamente 90°. Podrían medir 89° y 91°, así que sin las marcas apropiadas o información adicional, no podemos presuponer que los ángulos son rectos. Este cuadrilátero con cuatro lados de la misma longitud es lo que llamamos un rombo. El pequeño cuadrado en la esquina del triángulo del punto (b) nos dice que ese es un ángulo recto (mide 90°), así que este es un triángulo rectángulo. Un triángulo con dos lados de la misma longitud es un triángulo isósceles. Si unimos estos dos hechos, el polígono es un triángulo rectángulo isósceles. Las flechas en los dos lados del cuadrilátero del punto (c) nos dicen que esos lados son paralelos. Un polígono con un par de lados paralelos es un trapecio.

2

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Capítulo 1

Problemas

#1

#2

Coloca los polígonos de tu Organizador gráfico de polígonos en las regiones correspondientes del diagrama de Venn de la derecha. Las condiciones que deben cumplir los polígonos para ser colocados en cada círculo se incluyen en cada problema. Nota: crea un nuevo diagrama de Venn para cada problema. 1.

Círculo #1: Tiene más de tres lados Círculo #2: Tiene al menos un par de lados paralelos

2.

Círculo #1: Tiene menos de cuatro lados Círculo #2: Tiene al menos dos lados de la misma longitud

3.

Círculo #1: Es equilátero Círculo #2: Todos sus ángulos miden lo mismo

A los polígonos de abajo les faltan sus marcas. Añade las marcas adecuadas para que cada polígono se adecúe al nombre dado. Nota: los polígonos pueden no estar dibujados a escala. 4.

Un rectángulo.

5.

Un trapecio escaleno.

6.

Un triángulo rectángulo isósceles.

7.

Un cuadrilátero equilátero.

Nombra cada polígono a continuación con el nombre más específico posible en función de sus marcas. Nota: los polígonos no están dibujados a escala. 8.

9.

10.

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3

Respuestas 1.

Polígonos comunes a ambos círculos, que van en la región superpuesta: cuadrado, rectángulo, paralelogramo, trapecio isósceles, trapecio, trapecio rectángulo, rombo, y hexágono regular Solo en el Círculo #1: cuadrilátero, deltoide, y pentágono regular Solo en el Círculo #2: ninguno Fuera de ambos círculos: triángulo escaleno, triángulo equilátero, triángulo rectángulo isósceles, triángulo isósceles, y triángulo rectángulo escaleno

2.

Polígonos comunes a ambos círculos, que van en la región superpuesta: triángulo equilátero, triángulo isósceles, y triángulo rectángulo isósceles Solo en el Círculo #1: triángulo escaleno y triángulo rectángulo escaleno Solo en el Círculo #2: cuadrado, rectángulo, paralelogramo, rombo, deltoide, pentágono regular, trapecio isósceles, y hexágono regular Fuera de ambos círculos: cuadrilátero, trapecio, y trapecio rectángulo

3.

Polígonos comunes a ambos círculos, que van en la región superpuesta: triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, y hexágono regular Solo en el Círculo #1: rombo Solo en el Círculo #2: rectángulo Fuera de ambos círculos: triángulo rectángulo isósceles, triángulo isósceles, triángulo rectángulo escaleno, triángulo escaleno, paralelogramo, cuadrilátero, deltoide, trapecio isósceles, trapecio rectángulo, trapecio

4.

5.

8.

Un paralelogramo

9.

Un triángulo isósceles

10.

Un trapecio isósceles

4

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6.

7.

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Capítulo 1

MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS

1.2.3

Dos formas de calcular el área de un rectángulo son: como producto de su (altura) y su (base) o como la suma de las áreas de las partes individuales del rectángulo. Para todo rectángulo dado, estas dos áreas deben ser iguales, así que área como producto = área como suma. Los azulejos algebraicos y, más adelante, los modelos de área, ayudan a los alumnos a multiplicar expresiones de forma visual y concreta. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 1.3.1.

Ejemplo 1: Uso de azulejos algebraicos Los azulejos algebraicos x2 + 6x + 8 se colocan en un rectángulo como el de la derecha. El área del rectángulo puede ser escrita como el producto de su base y su altura o como la suma de sus partes. (x + 4)(x + 2) = x2 + 6x + 8 base

altura

altura

x x x2 x x x x base

área

área como producto área como suma

Ejemplo 2: Uso de modelos de área Un modelo de área permite organizar un problema de la misma forma que en el ejemplo anterior, pero sin dibujar cada uno de los azulejos. No es necesario dibujar el rectángulo con precisión o a escala. Multiplica (2x + 1)(x – 3). base

altura

–3 –6x

–3

⇒

x 2x

x

+1

–3

2x2

x

2x

+1

⇒ (2x + 1)(x – 3) = 2x2 –5x – 3 área como producto

área como suma

Observa que los factores pueden escribirse en cualquier orden, así que la ecuación también puede escribirse como (x – 3)(2x + 1) = 2x2 – 5x – 3.

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5

Problemas Escribe una ecuación que demuestre que el área como producto es igual al área como suma. 1.

2.

3. x2

x2

2

x 4.

5. x

x2

6

–5 x

6.

+3

18y

–12x

3y

–2x

3y 3xy

12y

–2 –2x –8 x

+4

Multiplica. 7.

(3x + 2)(2x + 7)

8.

10.

(2y – 1)(4y + 7)

13.

(2x – 1)(3x + 1)

9.

(2x)(x – 1)

11. (y – 4)(y + 4)

12.

(y)(x – 1)

(3x – 1)(x + 2)

14. (2y – 5)(y + 4)

15.

(3y)(x – y)

16.

(3x – 5)(3x + 5)

17. (4x + 1)2

18.

(x + y)(x + 2)

19.

(2y – 3)2

20. (x – 1)(x + y + 1)

21.

(x + 2)(x + y – 2)

Respuestas 1.

(x + 1)(x + 3) = x2 + 4x + 3

2.

(x + 2)(2x + 1) = 2x2 + 5x + 2

3.

(x + 2)(2x + 3) = 2x2 + 7x + 6

4.

(x – 5)(x + 3) = x2 – 2x – 15

5.

6(3y – 2x) = 18y – 12x

6.

(x + 4)(3y – 2) = 3xy – 2x + 12y – 8

7.

6x2 + 25x + 14

8.

10.

8y2 + 10y – 7

13.

9.

2x2 – 2x

11. y2 – 16

12.

xy – y

3x2 + 5x – 2

14. 2y2 + 3y – 20

15.

3xy – 3y2

16.

9x2 – 25

17. 16x2 + 8x + 1

18.

x2 + 2x + xy + 2y

19.

4y2 – 12y + 9

20. x2 + xy – y – 1

21.

x2 + xy + 2y – 4

6

6x2 – x – 1

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Capítulo 1

RELACIONES ENTRE ÁNGULOS Y LADOS

1.3.1 – 1.3.4

La aplicación de la geometría a la vida real suele involucrar las medidas de ángulos. En este capítulo, los alumnos investigarán y demostrarán relaciones entre pares de ángulos y comenzarán un Organizador gráfico de teoremas. El organizador gráfico ayuda a los alumnos a registrar relaciones importantes que han demostrado. Los alumnos investigarán ángulos opuestos por el vértice (que son congruentes), y pares de ángulos formados por rectas paralelas atravesadas por una transversal, como ángulos correspondientes, ángulos alternos internos, y ángulos conjugados internos. Para más información sobre las relaciones entre pares de ángulos, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de a Lección 1.3.4. Al final de esta sección, los alumnos usarán tecnología para explorar el teorema de la desigualdad de un triángulo, que determina las restricciones a las posibles longitudes del tercer lado de un triángulo dada la longitud de los otros dos lados. También observarán que, en un triángulo dado, el ángulo más grande es opuesto al lado más largo, y el ángulo más pequeño es opuesto al lado más corto.

Ejemplo 1 Halla las medidas de los ángulos a, b, y/o c en las figuras de abajo. Justifica tus respuestas. a.

b. b

a b

72°

c a

22°

c c.

c

d. 97°

b a 92°

50° a

Punto (a): el cuadrado pequeño en el ángulo b indica que el ángulo b es recto, así que m∠b = 90º. El ángulo c es un ángulo llano (forma una línea recta) así que m∠c = 180º. Para calcular m∠a, debemos observar que ∠a y el ángulo de 72° son complementarios (suman 90°). Por lo tanto, m∠a + 72º = 90º, lo que nos dice que m∠a = 18º. Guía para padres con práctica adicional

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7

Punto (b): primero, m∠a y el ángulo de 22° son suplementarios, porque forman un ángulo llano (línea recta), así que sus medidas suman 180°. Tras restar de 180°, vemos que m∠a = 158º. Los ángulos opuestos por el vértice se forman cuando dos rectas se intersectan. Son dos ángulos que se encuentran opuestos (enfrentados) en el punto en que se cruzan las rectas. Estos ángulos siempre miden lo mismo. Ya que el ángulo de 22° y ∠b son opuestos por el vértice, m∠b= 22°. De igual forma, ∠a y ∠c son ángulos opuestos por el vértice, así que m∠a = m∠c = 158°. Punto (c): este diagrama muestra dos rectas paralelas (como indican las dos flechas en las rectas) intersectadas por una transversal. ∠a y el ángulo de 92° son ángulos alternos internos, y ya que las rectas son paralelas, estos ángulos miden lo mismo. Por lo tanto, m∠a = 92°. Hay varias formas de calcular los ángulos restantes. Una forma es notar que ∠a y ∠b son suplementarios. Otra forma usa el hecho de que ∠b y el ángulo de 92° son ángulos conjugados internos, lo que los hace suplementarios porque las rectas son paralelas. Cualquier forma arroja el mismo resultado: m∠b = 180° – 92° = 88°. También hay más de una forma de calcular m∠c. ∠c y ∠b son suplementarios porque forman un ángulo llano. Asimismo, ∠c y el ángulo de 92° son correspondientes y miden lo mismo porque las rectas son paralelas. Una tercera forma consiste en ver que ∠a y ∠c son ángulos opuestos por el vértice. Con cualquiera de estos métodos, m∠c = 92°. Punto (d): la suma de las medidas de los tres ángulos de un triángulo es siempre 180°. Por lo tanto, m∠a + 50° + 97° = 180°, así que m∠a = 33°.

Ejemplo 2 ¿Puede un triángulo tener lados que midan: a.

3, 4, 5?

b.

8, 2, 12?

En un principio, los alumnos pueden pensar que un triángulo puede tener lados de tres longitudes cualesquiera, pero esto no es verdad. Dado el teorema de la desigualdad de un triángulo, para que lados de tres longitudes dadas formen un triángulo, la longitud de un lado cualquiera debe ser menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados. Para que exista un triángulo con lados de las longitudes dadas en el punto (a), todas estas desigualdades deben ser verdaderas: ?

?

?

5 < 3 + 4 , 3< 4 + 5 , y 4 < 5 + 3 .

Ya que todas las desigualdades son verdaderas, un triángulo puede tener lados de 3, 4, y 5. En el punto (b) debemos verificar si: ?

?

?

12 < 8 + 2 , 8 < 2 + 12 , y 2