M ATEM ÁTICAS. PR IM ER CICLO D E ESO .

ALG EBR A. ECU ACIO NES.

Igualdad

Una

IG UAL DAD

se c om p on e de d os e xp res io n es u n ida s p o r e l s ig n o igu a l.

Identidad

Una id entid ad es una ig uald ad q ue es cierta p ara cualquier v alor d e las letras.

Ecu a ció n

U na ecuaci ón es una ig uald ad q ue se cump l e p ar a alg unos v al or es de las letr a s.

Los

de

M IEMBRO S

una

ecuación

son

cad a

una

de

l as

expres iones

que

ap ar ecen a amb os l ad os d el s ig no ig ual . Los

TÉRM INOS

Las

IN CÓGN ITA S

Las

s on l os s umandos que f orman l os mi emb r os.

SO LU CION ES

s on l as l etr as q ue ap arecen en l a ecuaci ón. son los v al or es q ue deb en tomar l as l etr as p ar a q ue l a

i g uald ad s ea ci er ta.

El g r ad o de una e cuac ión es e l may or de l os gr ados d e los monomi os q ue forman sus miembros .

Ecu a cio nes e qui va len tes

D os ecuaciones s on equi v al entes s i tienen l a mis ma s ol uci ón.

Si a los d os miemb ros d e una ecuación s e les s uma o s e les res ta una mi sma cantid ad, l a ecuaci ón es equival ente a l a d ad a.

Si a los d os miembros d e una ecuación s e les multip lica o s e les d iv id e una mis ma canti d ad, l a ecuaci ón es eq uiv al ente a l a d ad a.

Resolución de ecuaciones de primer grado E n ge ne ra l pa ra re s o lve r u n a e cu ac ió n deb em os s eg u ir lo s s ig u ie n te s p asos :

1º Quitar p aréntes is. 2º Quitar d enominad ores . 3º

Ag rup ar

los

términos

en

x

en

un

miemb ro

ind ep end ientes en el otro.

4 º R educi r l os tér mi nos s em ejantes. 5 º D esp ejar l a incógni ta.

Aplicaciones P ro blemas so bre mó vi les

1e r caso

Los móv iles v an en s entid o contr ar io.

e

AB

+ e

BC

= e

AB

2o caso

Los móv iles v an en el mismo s entid o.

e

AC

− e

BC

= e

AB

y

los

términos

3e r caso

Los móv iles p ar ten d el mis mo p unto y con el mis mo s entido.

e

1

= e

2

P ro blemas so bre gri fo s P ro blemas so bre me z cla s P ro blemas so bre re lo je s

El ángulo o ar co d es cr ito q ue r ecor re el minuter o es siemp r e 12 v eces may or que el ar co q ue d es cri b e l a aguja hor ar i a.

P ro blemas geomé t ri cos

Ecuaciones de 2º grado Una e cuación de se gund o g rado es toda e xp re sión de la forma:

ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.

S e re s ue lve med ia nte la s ig uient e fórm ula :

Si es a 0

La ecuación tiene d os s oluciones, que s on números reales d is tintos .

b2 − 4ac = 0

La ecuación tiene una s olución d ob le.

b2 − 4ac < 0

La ecuaci ón no ti ene s ol uciones r eal es .

La s uma d e l as s ol uciones de una ec uac ión de se gund o g ra do es ig ua l a :

El prod ucto d e las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

Si

conocemos

las

r aí ces

de

una

ecuación,

p od emos

es cribir

és ta

como:

Siend o S = x1 + x2 y P = x1 · x2

Ecuaciones de primer grado. Ejercicios y problemas 1Resolver

la s s ig uie nte s e c ua c iones :

1. 2.

3.

2

A ve rigua la soluc ión d e la s ec ua c ione s:

1.

2.

3.

3

Un p ad re tie ne 35 años y s u hijo 5. ¿ Al cab o d e cuántos años se rá la ed ad

d e l pad re t re s ve ce s m a yo r q ue la ed ad d e l h ij o?

4

Si al d ob le de un núme ro se le resta su mitad resulta 54. ¿C uál es e l

número?

5

La

base

de

un

rectángulo

es

doble

que

su

altura.

¿C uáles

son

sus

dimensiones si el perímetro mide 30 cm?

6

E n una re unión ha y dob le núm e ro de muje re s que de hom b res y t rip le

núme ro de niños que d e homb res y muje res juntos. ¿C uántos homb re s, muje re s y niños hay si la reunión la componen 96 personas?

7

S e ha n c ons um id o 7/8 d e un b i d ón d e a ce it e. Rep one mos 38 l y e l b id ón ha

quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.

8

Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas.

¿ Cu á nt o s c e rd os y p a vos h a y?

9

Luís hizo un viaje en el coche, en el cua l consumió 20 l de gasolina. El

t ra yec t o lo hiz o e n dos e ta pa s : e n la p rime ra , c ons um ió 2/3 de la ga solina q ue tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide:

1 . Lit ros d e g as olina que te nía e n e l de pós it o. 2 . Lit ros c ons um id os e n cad a e t ap a.

10En

una lib re ría, A na comp ra un lib ro c on la te rce ra pa rte d e su d ine ro y

un cómic con las d os te rce ras p arte s de lo q ue le q ue daba. Al salir d e la lib re ría te nía 12 €. ¿C uánto d ine ro te nía Ana?

11

Un ca m ión s a le d e una c iuda d a una ve loc ida d de 40 km /h. U n a hora m ás

t a rde s a le de la m ism a c iud ad y e n la m is ma d irec c ión y se nt ido un c oc he a 60 km /h. Se p id e :

1 . Tie m p o q ue t a rd a rá e n a lc anz a rle . 2. Distancia al punto de encuentro.

12

La dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las

d ec enas y la m enor la de las unid ad es . E l núme ro e s ig ua l a s e is vec es la s um a de las cifras. ¿C uál es el número?

13

Res ue lve la s s ig uie nte s e c ua c iones :

1 7x2 + 21x − 28 = 0 2 −x2 + 4x − 7 = 0 3 12x2 − 3x = 0 4

Re s olve r las s ig uie nt es ec ua c ione s :

1.

2.

3.

Resolver las ecuaciones de primer grado 1 2 3

4

5 6 7

8

9

10

11

12

13

14

15

MÓVILES

Para

plantea r

p rob le ma s

sob re

móviles

que

llevan

velocidad

constante

se

utilizan las fórmulas de l movimiento rectilíne o uniforme :

esp aci o = vel ocid ad × ti emp o

1e r caso

Los móv iles v an en s entid o contr ar io.

e

AB

+ e

BC

= e

AB

Do s c iuda de s A y B d ist a n 300 km e n t r e s í. A la s 9 de la ma ñ an a pa rt e de la c iu da d A u n c o ch e h ac ia la c iud ad B co n u n a ve lo c id ad d e 90 km /h , y de la c iud ad B p a rte ot ro hac ia la c iud ad A c on una ve loc id ad de 60 km /h. Se p id e :

1 El tie mpo q ue tardarán e n e ncontrarse.

90t + 60t = 300

150t = 300

t = 2 hor as

2 La hora del encuentro.

S e e nc ont ra ra n a las 1 1 de l a mañana .

3 La d is ta nc ia rec orrida p or c ad a uno.

e

AB

= 90 · 2 = 180 k m

e

BC

= 60 · 2 = 120 k m

2o caso

Los móv iles v an en el mismo s entid o.

e

AC

− e

BC

= e

AB

Do s c iu da de s A y B d is ta n 180 km e n t re s í. A las 9 de la ma ñ an a s a le d e u n c oc he de ca da c iud ad y los d os c oches va n e n e l m is m o s e nt id o. E l q ue s a le de A c irc ula a 90 km /h, y e l q ue s a le de B va a 60 km /h. S e p ide :

1 El tie mp o q ue tard arán e n encontrarse.

90t − 60t = 180

30t = 180

t = 6 hor as

2 La hora de l encue ntro.

Se e ncontraran a las 7 d e la tard e .

3 La d istancia re corrid a p or cad a uno.

e

AB

= 90 · 6 = 540 k m

e

BC

= 60 · 6 = 360 k m

3e r caso

Los móv iles p ar ten d el mis mo p unto y con el mis mo s entido.

e

1

= e

2

U n co c he s a le de la c iu dad A a la ve lo c ida d de 90 km /h . Tre s h o ras má s t a rde s a le de la m is ma c iuda d o t ro c o ch e e n p e rs ec uc ió n d e l p rime ro co n un a ve lo c idad d e 120 km/h. Se p ide :

1 El tie mp o q ue tard ará en alcanzarlo.

90t = 120 · (t − 3)

90t = 120t − 360

−30t = −360

t = 12 horas

2 La distancia a la que se produce el encuentro.

e

1

= 90 · 12 = 1080 km

GRIFOS

En una hora el primer grifo llena 1/t1 del depósito.

En una hora el segundo grifo llena 1/t2 del depósito.

Si existe un desa güe

En una hora el desagüe vací a 1/t3 del depósito.

En una hora los dos grifos juntos habrán llenado:

Sin desagüe

C on desagüe

Un g rifo tard a en lle nar un dep ósito tres horas y otro g rifo tard a e n lle narlo cuatro horas. ¿ Cuánto tiemp o tard arán en lle na r los d os g rifos juntos e l de pósito?

En una hora el primer grifo llena 1/3 del depósito.

En una hora el segundo grifo llena 1/4 del depósito.

En una hora los dos grifos juntos habrán llenado:

7x = 12

x = 1 2 /7 hor as

MEZC LA S

C1

1ª cantidad. C1 = x

C2

2ª cantidad. C2 = Cm - x

Cm

Ca nt ida d de la me z c la C m = C 1 + C 2

P1

Pre cio de la 1ª cantidad

P2

Pre cio de la 2ª cantidad

Pm

Precio de la mezcla

C1 · P1 + C2 · P2 = Cm · Pm

También podemos poner los datos en una tabla

Cantidad

Precio

Coste

1ª sustancia

C1

P1

C1 · P1

2ª sustancia

C2

P2

C2 · P2

Mezcla

C1 + C2

P

C1 · P1+ C2 · P2

C1 · P1 + C2 · P2 = (C1 + C2) · Pm

U n c o me rc ia n te t ie ne d o s c la se s de c a fé , la p rim e ra a 40 € e l kg y la se gu nd a a 60 € el kg.

¿ Cuantos kilog ramos hay q ue pone r d e cad a clase d e café p ara ob te ne r 60 kilos de mezcla a 50 € el kg?

1ª clase

2ª clase

Total

Nº de kg

x

60 − x

60

Valor

40 · x

60 · (60 − x)

60 · 50

40x + 60 · (60 − x) = 60 · 50

40x + 3600 − 60x = 3000;

x = 30;

− 60x + 40x = 3000 − 3600;

20x = 600

60 − 30 = 30

T enemos q ue mez cl ar 3 0 kg d e l a 1 ª cl as e y otros 3 0 d e l a 2ª cl as e .

PROBLEMAS GEOMÉTRIC OS

H a lla e l v a lor de los t re s á ng ulos de un t riá ngulo sa b ie nd o q ue B m ide 40° má s q ue C y q ue A mide 40° más que B.

C

x

B

x + 40

A

x + 40 + 40 = x+ 80

x + x + 40 + x+ 80 = 180;

3X = 60;

x + x + x = 180 − 40 − 80;

X= 20

C = 20º

B = 20º + 40º = 60º

A = 60º + 40º = 100º

Problemas de ecuaciones de primer grado 1

Un p ad re tie ne 35 años y su hijo 5. ¿ Al cab o d e cuántos años se rá la ed ad

d e l pad re t re s ve ce s m a yo r q ue la ed ad d e l h ij o?

2Si

al doble de

un número se

le resta

su mitad

res ulta 54. ¿C uál e s e l

número?

3

La

base

de

un

rectángulo

es

doble

que

su

altura.

¿C uáles

son

homb re s

y

sus

dimensiones si el perímetro mide 30 cm?

4En

una

reunión

hay

doble

núme ro

de

mujeres

que

de

triple

núme ro de niños que d e homb res y muje res juntos. ¿C u ántos homb re s, muje re s y niños hay si la reunión la componen 96 personas?

5

S e ha n c ons um id o 7/8 d e un b id ón d e a ce it e. Rep one mos 38 l y e l b id ón ha

quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.

6

Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas.

¿ Cu á nt o s c e rd os y p a vos h a y?

7

Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El

t ra yec t o lo hiz o e n dos e ta pa s : e n la p rime ra , c ons um ió 2/3 de la ga solina q ue tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide:

a) Litros de gasolina que tenía en el depósito. b) Litros consumidos en cada etapa.

8En

una lib re ría , A na c omp ra un lib ro con la t e rc e ra p a rte de s u d ine ro y un

cómic con las d os te rce ras parte s d e lo q ue le q ued ab a. Al salir d e la lib re ría tenía 12 €. ¿C uánto d ine ro tenía Ana?

9

Las dos

cifras d e un núme ro son conse cutivas.

La

mayor es

la

de

las

d ec enas y la m enor la de las unid ad es . E l núme ro e s ig ua l a s e is vec es la s um a de las cifras. ¿C uál es el número?

1 0 Las

tre s cuartas p arte s d e la e dad del p ad re de Juan e xced e e n 15 años a

la e dad de éste. H ace cuatro años la e dad d e l pad re e ra d ob le de la e dad de l hijo. Hallar las edades de ambos.

1 1 Trabajando

juntos,

dos

ob re ros

tard an

en

hacer

un

trab ajo

14

horas.

¿ Cuá nt o t ie mp o ta rda rán en ha ce rlo por s ep a ra do s i uno e s e l dob le de rá p id o q ue el otro?

12Halla

e l va lor de los t re s á ng ulos d e un t riáng ulo sa b ie nd o q ue B m ide 40°

más q ue C y q ue A mide 40° más q ue B

NM1: PROBLEMAS DE PLANTEO SOBRE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 1) Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número? 2) ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5? 3) El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número? 4) Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números? 5) El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste es 147. Hallar el número. 6) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son los números? 1 7) En el triángulo ABC, los lados AB  3BC y BC  AC . Si su perímetro es 84 m. 2 ¿Cuánto mide cada lado? 8) Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida del lado del cuadrado. 9) Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3 : 5 y su perímetro es 140 m. Calcular el largo y en ancho. 10) Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide el lado? 11) Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente? 12) Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y la 3 edad de la novia era de la edad de la novia. ¿Qué edad tienen 4 actualmente? 13) La edad de Pedro excede a la de su amigo Santiago en 4 años y a la de su amigo Juan en 2 años. Hace 6 años la razón entre sus edades era 2:3:4. ¿Qué edad tienen actualmente? 14) La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 años. Hallar la edad de cada una. 15) Guiso tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrés y el triple de la edad de su hermano David. ¿Qué edad tiene cada uno, si sus edades suman 48 años? 16) Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10 años más tendrá sólo el doble. Hallar la edad actual del padre e hijo. 17) Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima parte de la edad del padre? 18) Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $ 16.900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $ 20 y cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más $ 8. ¿Cuánto cuesta cada material? 19) Hernán tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que María. Si Hernán regalara $ 14 a Gladys y $ 35 a María, los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? 20) Una persona puede pintar una muralla en 5 horas, otra lo hace en 6 horas y una tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. ¿Cuánto tardarían si la pintaran entre las tres? 21) El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al 4 numerador se le suma 3, la fracción queda equivalente a . Hallar la 3 fracción. 22) Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103. 23) Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números.

24) Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194. 25) La suma de tres números impares consecutivos es 99. Hallar los números. 26) La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas. 27) Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor aumentada en 100. 28) Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al doble de la mayor. 29) Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el doble del menor más el triple del mediano, más el cuádruple del mayor equivalgan a 740. 30) La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4 kg. 600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez? 31) La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números por el menor, el cuociente es 2 y queda un resto de 8. Determina los números. 32) Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y la segunda por 27, la suma de los cuocientes sea 12. 33) ¿Qué número debe sumarse al numerador y al denominador de la fracción 40 8 y simultáneamente restarse del numerador y del denominador de 13 51 para que las fracciones resultantes sean equivalentes? 34) Un trozo de alambre de 28 cm. de largo se ha doblado en forma de ángulo recto. Determina la distancia entre ambos extremos del alambre, si uno de los lados del ángulo formado mide 12 cm. 35) Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio la siguiente respuesta: “La mitad de mis alumnos estudia Matemática, la cuarta parte estudia Física, la séptima parte aprende Filosofía y aparte de éstos hay tres niños muy chicos” ¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso matemático griego? 36) Al comprar 3 Kg. de tomates y 4 Kg. de papas, una dueña de casa pagó $ 119. ¿Cuánto vale el kilo de tomates, sabiendo que es $ 14 más caro que el kilo de papas? 37) La entrada para una función de teatro al aire libre vale $ 60, adultos, y $ 25, niños. La recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de $ 14.000. ¿Cuántos niños asistieron a la función? 38) En un tratado del álgebra escrito por el célebre matemático Leonhard Euler, publicado en 1770 aparece el siguiente problema: “En una hostería se alojan 20 personas entre hombres y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y cada mujer 7, del mismo valor, ascendiendo el total de la cuenta a 144 monedas. Se pregunta cuántos hombres y cuántas mujeres son” 39) Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en $ 5.050. Calcula los precios respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el triple de la falda. 40) Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: ¿cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto se vació. ¿Puedes calcularlo tú?

RESPUESTAS

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40)

5 P–3 17 25, 27 Y 29 20 51 Y 52 AB = 42 m., BC = 14 m y AC = 28 m. 10 m largo: 43,75 y ancho: 26,25 4 unidaes 8 y 28 años 28 y 34 años 14, 12 y 1 año Ester: 7 años; Isabel: 16 años; María: 21 años Andrés: 36 años; Guido: 9 años; David: 3 años 14 y 38 años Hace 10 años Lápiz: $ 198, cuaderno: $ 305; goma: $ 95 Hernán: $ 126, Gladys: $ 63; María: $ 42 2 horas 13 minutos 20 segundos

17 15

51 y 52 67, 68 y 69 96 y 98 31, 33 y 35

11040 gramos 30 y 68 99 y 81 7 20 cm 28 alumnos $ 25 80 niños 4 hombres 16 mujeres $ 50; $ 1.250; $ 3.750 38 ciruelas.