Ejemplos resueltos: CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE

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Ejemplo 1: Determina la ecuación de la circunferencia con centro en (− 2,4 ) y que pasa por el punto (1,5) Respuesta: ( x + 2 ) + ( y − 4 ) = 10 2

2

Ejemplo 2: Determina centro, radio y grafica de 4 x 2 − 16 x + 4 y 2 + 12 y = 1

(x - 2)² + (y + 3/2)² = 6.5

Solución Ejemplo 3:

Considera la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 − 8 x − 6 y = 0 . Determinar en cada caso la ecuación de la recta L que es tangente a la circunferencia y que pasa por: a) P (8,6) b) Q (11,4)

Solución a) Completando cuadrado de binomio se podrá determinar el centro y radio de la circunferencia, es decir

x 2 + y 2 − 8x − 6 y = 0 x 2 − 8 x + 16 − 16 + y 2 − 6 y + 9 − 9 = 0

(x − 4)2 + ( y − 3)2 = 25 Con esto podemos decir que su centro es C (4,3) y su radio r = 5 , además podemos decir que el punto P (8,6) esta en la circunferencia pues si determinamos su distancia

d (P , C ) =

(8 − 4)2 + (6 − 3)2

= 16 + 9 = 25 = 5

Por lo tanto d (P, C ) = 5 Ahora bien, sea L : y = m1 x + b la recta tangente a la circunferencia en el punto P (8,6) , como P ∈ L entonces se debe cumplir que

6 = 8m1 + b

(1)

Ejemplos resueltos: CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE

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Como debe ser perpendicular entonces la recta que pasa por el centro de la circunferencia C (4,3) y el punto P (8,6) esta dada por

m2 =

6−3 3 = 8−4 4 Como L : y = m1 x + b debe ser perpendicular entonces según teorema de perpendicularidad se tiene que

m1 ⋅ m2 = −1

m1 ⋅

3 = −1 4

m1 = −

4 3

Reemplazando en (1) podemos determinar la ecuación de la recta buscada, que corresponde a

4 6 = 8⋅ − + b 3

6=−

32 +b 3

6+

32 =b 3

Por lo tanto la recta buscada es L : y = −

50 =b 3

4 50 x+ 3 3

Gráficamente corresponde a

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −2

2

4

6

8

10

12

14

−1 −2 −3

Solución b) En este caso se tiene que Q (11,4) es un punto que esta fuera de la circunferencia pues d (Q, C ) > 5 .

Ejemplos resueltos: CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE

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Sea L : y = mx + b la recta que pasa por Q (11,4) y es tangente a la circunferencia. Se tiene entonces

(1)

4 = 11m + b

Además podemos decir que d (C , L ) = 5 , es decir

3 − 4m − b

d ((4,3), L ) = 5

1 + m2

(2)

=5

Construyendo un sistema de ecuaciones con (1) y (2 ) podemos determinar los valores para m y b

4 = 11m + b 3 − 4m − b =5 1 + m2

11m + b − 4 = 0 =>

3 − 4m − b = 5 1 + m

11m + b − 4 = 0

(3 − 4m − b)

2

11m + b − 4 = 0 =>

2

(3 − 4m − b)2

(

= 25 1 + m 2

b = 4 − 11m

(

= 25 1 + m

2

=>

) (3 − 4m − b)

2

b = 4 − 11m

(3 − 4m − 4 + 11m)

2

(

2

=>

)

(− 1 + 7 m)2

b = 4 − 11m 49m − 14m + 1 = 25 + 25m

)

=>

b = 4 − 11m

= 25 1 + m

2

(

= 25 1 + m 2

(

= 25 1 + m 2

)

=>

b = 4 − 11m 2

=>

2

24m − 14m − 24 = 0

Luego resolviendo la segunda ecuación, tenemos

24m 2 − 14m − 24 = 0

m=

m=

14 ±

(− 14)2 − 4 ⋅ 24 ⋅ (− 24)

m=

48

14 ± 2500 48

14 ± 50 48

 

Con esto  m =

4 3

y b=−

Las rectas son L1 : y = Gráficamente

32 3

3    ó m = − 4  

y b=

4 32 3 49 x− o L2 : y = − x + 3 3 4 4

49 4

  

)

=>

Ejemplos resueltos: CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −1

1 −1 −2 −3 −4

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

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Ejemplos resueltos: CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE

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ELIPSE Ejemplo 4: Obtener la ecuación de la elipse cuyos focos son F1 (− 1,0 ) y F2 (1,0 ) y la constante 2a es igual a 6. Trazar su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la excentricidad.

Solución Ejemplo 5: Hallar la ecuación canónica de la elipse 9 x 2 + 16 y 2 = 576 y trace su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la excentricidad.

Solución Ejemplo 6: Hallar la ecuación canónica de la elipse

9 x 2 + 2 y 2 + 36 x + 4 y + 20 = 0 y

trace su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la excentricidad. Solución

Hallar la ecuación canónica de la elipse 6 x 2 + 4 y 2 − 36 x + 16 y + 70 = 0 y

trace su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la excentricidad. Solución Ejemplo 7: Representa una elipse 2 x 2 + y 2 − 16 x − 12 y + 80 = 0

Solución Ejemplo 8: Hallar la ecuación canónica de la elipse cuyo centro es C (0,0 ) , uno de sus focos es (0,3) el diámetro mayor es 10, trace su gráfica identificando los vértices, foco y la excentricidad.

Solución

Ejemplos resueltos: CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE

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Ejemplo 9: Hallar la ecuación canónica de la elipse 4 x 2 + y 2 − 8 x + 4 y − 8 = 0 y trazar su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la excentricidad.

Solución Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado de la expresión en ambas variables.

4x 2 + y 2 − 8x + 4 y − 8 = 0

(

) (

(

) (

)

4 x 2 − 2x + y 2 + 4 y = 8

=>

(

)

) (

)

4 x 2 − 2 x + 1 − 1 + y 2 + 4 y + 4 − 4 = 8 => 4 ( x − 1) − 1 + ( y + 2 ) − 4 = 8 => 2

4( x − 1) − 4 + ( y + 2 ) − 4 = 8 => 4( x − 1) + ( y + 2 ) = 16 => 2

2

2

2

De donde obtenemos que el centro es

2

(x − 1) 4

2

+

( y + 2 )2 16

=1

C (1,−2) , el valor de

a 2 = 16 ⇒ a = 4 ( a es la longitud mayor, esto nos dice que la elipse es vertical), el valor de b 2 = 4 ⇒ b = 2 y el valor de c está dado por:

c 2 = 16 − 4 = 12 c=2 3

(

)

Y así, los focos están dados por F1 1,−2 − 2 3 , vértices por (1,−6 ) y (1,2 ) . Por último, la excentricidad es e = La gráfica se muestra en la figura 16.

(

)

F2 1,−2 + 2 3 y los 2 3 3 = 4 2

Ejemplos resueltos: CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE

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Figura 1

Ejemplo 10: Hallar la ecuación canónica de la elipse con vértices en (3,1) y (3,9) y eje menor de longitud 6 .

Solución Como la longitud del eje menor es de 6 unidades, entonces b = 3 . Como los vértices están en (3,1) y (3,9) , entonces el centro está en (3,5) , el eje mayor de la elipse es vertical y a = 4 .Con lo cual

c 2 = a 2 − b 2 = 16 − 9 = 7 ⇒ c = 7 Por último, la excentricidad es e =

( x − 3) 2 + ( y − 5 ) 2 4

16

c 7 = y la ecuación canónica es a 4

=1

(

)

(

)

Los focos están en F1 3,5 − 7 , F2 3,5 + 7 . La gráfica de la elipse se muestra en la figura 17.

Ejemplos resueltos: CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE

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Figura 2

Ejemplo 11: Determina la ecuación canónica de la elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados y que pasa por los puntos (− 1,0 ); (3,0 ); (0,2 ); (0,−2 ) .

Solución Suponga que el centro de la elipse es C (h, k ) . Si la elipse tiene eje horizontal su ecuación debe ser:

Caso 1 Si la elipse tiene eje horizontal su ecuación tiene la forma:

Evaluando cada uno de los puntos, obtenemos el siguiente sistema:

(1)

Si

(2)

Si

Ejemplos resueltos: CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE

(3)

Si

(4)

Si

͟͠͞͡

De (3) y (4) obtenemos (5)

De (1), (2) y (5) tenemos que

Lo cual es falso. Esto nos dice que no existe una elipse de eje horizontal que pase por esos. Caso 1 Si la elipse tiene eje es vertical, su ecuación tiene la forma:

Sustituyendo cada uno de los obtenemos el siguiente sistema:

(6) Si

(7) Si

(8) Si

(9) Si

De (6) y (7) tenemos (10)

De (8) y (9) tenemos (11)

Ejemplos resueltos: CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE

De (6), (8), (10) y (11) tenemos

y

Con lo cual la ecuación de la elipse es:

Y su grafica es 3 2 1

−1

1 −1 −2

2

3

y

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.