EVERYDAY ENGINEERING EXAMPLES FOR SIMPLE CONCEPTS MATH 2252 – Calculus II

Dra. Carmen Caiseda Copyright © 2015

La Cadena y la Catenaria

MSEIP – Engineering Everyday Engineering Examples

La Cadena y la Catenaria Engage: 1. Introducción: ¿Qué tipo de terreno permite correr suavemente en una bicicleta (motorizada) de ruedas cuadradas?

Video: https://www.youtube.com/watch?v=u-hDEEl67_Y En este video se observa que el suelo consiste de múltiples curvas llamadas “catenarias invertidas”. La catenaria modela el fenómeno común en ingeniería y física de suspender un cable o cadena entre dos postes. Esta curva minimiza la energía potencial de la cadena suspendida en el aire. La catenaria es una curva parecida a una parábola. En esta actividad se explora esta curva, la función, sus propiedades, y aplicación.

graficador en línea

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Dibuja las siguientes gráficas con la ayuda de una calculadora gráfica o

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Explore:

(http://my.hrw.com/math06_07/nsmedia/tools/Graph_Calculator/graphCalc.ht ml )

y1 = x2 + 1 y2 = ex y3 = e – x 1

y4 = 2 (𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 ) = cosh(x) 1) Compare las gráficas y1, y2, y3 2) Modifica y1 = ax2 + 1 para a = 0.5, a = 0.8, a = 0.3 3) Observa las diferencias entre la parábola y la catenaria particularmente cerca del punto (0,1), el vértice de la parábola. 4) Usa la ventana x: [-4 ,4], para y: [-2 ,10]. Parábola vs. Catenaria

su Rango = (0,).

La suma de ambas funciones exponenciales produce una

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Las funciones exponenciales tienen valores positivos en todo su dominio, es decir

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Explain:

combinación de números positivos,

y por ser ambas curvas simétricas con

respecto al eje de y la curva cosh(x) es igualmente simétrica. Debido a que ambas funciones exponenciales pasan por el punto (0,1) al sumar se obtiene (0,1) + (0,1) = (0,2). Por esta razón la suma ex + e-x se divide entre 2 para obtener una curva que pasa por (0,1). Cerca del cero la curva cosh(x) No es tan aguda como el vértice de la parábola porque se suman valores menores. ¡Verifica! ejemplo

(e-1.5

+e

1.5

)/2 <

(1.5)2

Por

+1.

Elaborate: Hay una importante propiedad que tiene la catenaria: esta es la curva que minimiza la energía potencial de la cadena suspendida.

Esto en cálculo

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equivale a minimizar la integral: ∫−1 𝑦√1 − (𝑦′)2 𝑑𝑥, donde el largo de la cadena 1

L es dado por ∫−1 √1 − (𝑦′)2 𝑑𝑥 (un problema de optimización con restricción de igualdad). Aunque en este momento No vamos a buscar mínimos de integrales esto nos va a servir como motivación para estudiar las integrales de las funciones hiperbólicas y funciones hiperbólicas inversas. Por otro lado veremos como la 𝑘

𝑥

−𝑥

solución tiene la forma y = 2 (𝑒 𝑘 + 𝑒 𝑘 ) + 𝐶 , y lo probamos por medio de un experimento usando una cadena cualquiera. What did you learn? 

Cómo es la gráfica de la catenaria mejor modelo de una cadena suspendida



Cómo se obtiene la ecuación de la Catenaria



Su importancia como curva que minimiza la energía potencial de una cadena suspendida

Evaluate: Actividad: Halla la ecuación que modela una cadena o cable.

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Instrucciones

En un pedazo de papel cuadriculado grande dibuja el eje de x cerca del borde inferior y el eje-y en el centro. Coloca una cadena que se suspenda libremente agarrada por los extremos a las esquinas del papel con cinta adhesiva. Colócola de forma que el centro o vértice quede encima del eje de y sin tocar el eje de x. Indica las coordenadas de (x,y) del vértice y ambos extremos de la cadena. Trata de medir a una precisión de 0.1 unidades. Vértice: ( _______ , _______ ) Extremo izquierdo: ( _______ , _______ )

Extremo Derecho: ( _______ , _______ )

La ecuación física general para una cadena suspendida por los extremos es dada por: 𝑦=

−𝑥 𝑘 𝑥 (𝑒 𝑘 + 𝑒 𝑘 ) + 𝐶 2

Donde el valor de k se determina por la tensión y el peso de la cadena. Sustituye los valores de (x,y) de los pares ordenados del vértice y del extreme derecho en la ecuación general. Obtienes dos ecuaciones en términos de C y x. # 1. _________________________________ # 2. _________________________________

Despeja ambas ecuaciones #1, #2 para C. C = _______________________________ (i) C = _______________________________ (ii) Con la ayuda de una calculadora gráfica, traza ambas ecuaciones (i) y (ii). Halla el punto de intersección de ambas gráficas e indica los valores (k,C) del punto

C = ______________

La ecuación de tu cadena es: y = _____________________________________

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k = ______________

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redondeando a la milésima más cercana.

Para verificar tu resultado traza la gráfica de tu ecuación. Escoge una buena ventana si usas calculadora gráfica de forma que se ajuste a las coordenadas que usaste en tu papel: Xmin __________ Xmax ___________ Ymin ___________ Ymax ___________ (Nota: La gráfica debe parecerse a tu cadena. Si No es así cambia la escala o utiliza zoom.) Verifica usando “TRACE”, que las coordenadas de tu vértice y puntos extremos coinciden con la gráfica en el papel. De otra forma busca y corrige el error. Con cuidado levanta la cadena hacia arriba del papel y pégala a una pared sin mover los extremos pegados al papel. La vas a soltar en esa misma posición luego. Completa la tabla calculando los valores de y para los valores dados de x en la fórmula de tu función que hallaste en el paso h. Redondea tu contestación a la décima. X Y

2

4

6

8

 10

Marca e identifica estos puntos en tu papel midiendo con precisión cuidadosamente. Suelta la cadena.

Comenta sobre cuán bien los puntos calculados con tu

función coinciden con la cadena que están modelando. Definiendo las Funciones Hiperbólicas 1

Considera también la función: sinh(𝑥) = 2 ( 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 ).

En el graficador halla la

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gráfica y dibújala en este espacio:

Las funciones hiperbólicas cosh(x) y sinh(x) tienen propiedades muy similares a las funciones trigonométricas: cos(x), sin(x). Las funciones trigonométricas tienen una relación con el círculo y las hiperbólicas con la hipérbole:

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Hipérbole y Funciones Hiperbólicas:

Observa las siguientes similitudes: Trigonométrica cos2(x) + sin2(x) = 1 sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) y = sin(x), y’= cos(x) y = cos(x), y’= - sin(x) y = arcsin(x) 1 y’= √1−𝑥2

Hiperbólica cosh2(x) + sinh2(x) = 1 sinh(2x) = 2sinh(x) cosh(x) y = sinh(x), y’= cosh(x) y = cosh(x), y’= sinh(x) y = sinh-1(x) = ln(𝑥 + √𝑥 2 + 1) 1 y’ = √𝑥 2 +1

Derivadas a) Escribe nuevamente la ecuación de la cadena que obtuviste: y = ___________________________________________ (iii) b) Nota que usando la función cosh(x) esta ecuación general de la cadena se puede escribir como: k cosh(x/k) + C. Re-escribe la ecuación en (iii) usado “cosh” y = _________________________________________

(iv)

c) Halla y’ para la ecuación en (iv) y simplifica. y’ = ______________________________________

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Fotos del trabajo de estudiantes

Proyectos Sugeridos 1) Construir Bicicleta con Ruedas Cuadradas y pista Construye un prototipo a menor escala de una bicicleta con ruedas cuadradas y su pista. Una forma de contruir esto es usando el 3D printer. Ruedas: Escoge el tamaño del cuadrado con medida del lado s. Para la pista: Necesitas una catenaria tal que el largo de 1/2 arco sea igual al lado del cuadrado (s). Puedes usar una cadena que mida 2*s, suspendida en sus extremos para tener la forma exacta de la catenaria. Construye la pista usando múltiples curvas usando el molde que hallaste en el paso b. Al colocarse hacia abajo (catenaria invertida) formas la pista. 2) Modelo de tu cadena usando Polinomio de Grado 2 vs. Ecuación Obtenida de la Cadena a) En Excel entre los tres puntos: vértice, extremo izquierdo y derecho b) Modela usando un polinomio cuadrático (halla las constantes a,b,c de

la gráfica

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c) Usa los valores de x que obtuviste en el modelo de la catenaria y genera

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la ecuación: y = ax2 + bx + c)

d) Compara ambas gráficas

Parabola vs. Catenaria 30 25 20 Parabola

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Catenaria 10 5 0 -20

-10

0

10

20

Referencias: http://www.shapeways.com/marketplace/?tag=square+wheel

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http://www.damtp.cam.ac.uk/user/reh10/lectures/nst-mmii-handout3.pdf