1

EXPONENTES Y RADICALES La potenciación o notación exponencial es una notación para abreviar una multiplicación: Notación: a n = a ⋅ a2L 1 4 4 3a , para n un entero positivo y a ≠ 0 . n veces

Se lee como a elevado a la n o más abreviado: a a la n. a es llamada la base y n el exponente o potencia e indica el número de veces que se repite el factor a. Presentamos a continuación varios ejemplos ilustrativos Ejemplo 1.a) 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 b) (−5) 3 = (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) = −125

1 3

5

c)   =

1 1 1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = 3 3 3 3 3 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 243

4

1 1  1  1  1  1  1 = d)  −  =  −  ⋅  −  ⋅  −  ⋅  −  =  2  2   2   2   2  2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 16 2 e) (a + b) = (a + b) ⋅ (a + b) Observaciones: 1.- Si a negativo entonces a n es positivo si n es par y negativo si n es impar, como podemos apreciar en el ejemplo anterior en b y d. 2.- Una expresión como 2 ⋅ x n o simplemente 2 x n es una escritura abreviada de 2 ⋅ ( x n ) , donde se puede analizar que la convención es que primero se hace la potencia y luego la multiplicación por 2. De manera similar − x n representa a − ( x n ) y − 2 ⋅ x n quiere decir (−2) ⋅ ( x n ) 3.- − x n ≠ (− x) n Convención: La potencia es la primera operación que se ejecuta frente a multiplicaciones, divisiones, sumas o restas o cambio de signo. Ejemplo 2.- Evaluar a) 2 ⋅ 33 ; b) − 2 3 ; c) 3 ⋅ (−4) 3 ; Solución: a) 2 ⋅ 33 = 2 ⋅ 27 = 54 b) − 2 3 = −(2 3 ) = −8 c) 3 ⋅ (−4) 3 = 3 ⋅ (−4) ⋅ (−4) ⋅ (−4) = 3 ⋅ (−64) = −192

APLICACIÓN EN ECONOMÍA Ejemplo 1.- Una compañía pretende aumentar su producción en los próximos 4 años, duplicando la producción con respecto al año anterior. ¿Cuál será su producción anual dentro de 4 años, si la actual es de 2500 artículos por año? Solución: Observe que después de un año la producción es 2 ⋅ 2500 A los dos años se tendrá el doble del primer año 2(2 ⋅ 2500)

2 A los tres años se tendrá el doble del segundo año 2(2 2 ⋅ 2500) = 2 3 ⋅ 2500 A los cuatro años se tendrá el doble del tercer año 2(2 3 ⋅ 2500) = 2 4 ⋅ 2500 = 40000 artículos

APLICACIÓN EN CIENCIAS SOCIALES Ejemplo 1.- Suponga que una sustancia radioactiva tarda 1 semana en desintegrarse la mitad de la cantidad inicial. Si se tiene 44gramos de una sustancia radiactiva ¿Cuánto quedará a las 4 semanas?

1 ⋅ 50 gramos 2 2 11  1 A las dos semanas queda la mitad de la primera semana:  ⋅ 44  =   ⋅ 44 22  2 Solución: Observe que después de una semana queda

2   1 3 1   1  A la tercera semana queda la mitad de la segunda semana   44  =   ⋅ 44 gramos 2   2   2 3 4  1   1  1  Así en la cuarta semana queda   ⋅ 44  = 44 ⋅   gramos 2   2   2 

DEFINICION DE EXPONENTES NEGATIVOS Y CERO Los casos exponentes negativos o cero se definen como: Definición: Si a ≠ 0 se define

a0 = 1 y si n un entero positivo

a −n =

1 . an

0 0 no está definido Ejemplo 1.-

1 1 = ; 23 8 b) 2 0 = 1 ; a) 2 −3 =

c) ( 3 ) 0 = 1 ; d) ( x + 2) − n =

1 ; ( x + 2) n

e) (2 x 2 ) 0 = 1 . Ejercicio de desarrollo.- Complete la igualdad a) (3π ) 0 = b) (x 2 + 1) −2 =

3

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES En la siguiente tabla se presentan las propiedades más importantes de exponentes Propiedad

Ejemplo

1

a ⋅a = a

2

(a ) = a

3

(a ⋅ b )n

4

an a =   bn b 1 an = m−n m a a n a = a n−m m a

n

m

n+ m

Justificación sólo para el caso n natural

2 ⋅2 = 2 3

4

2+ 4

=2

6

n+m a n ⋅ a m = (a ⋅ a L a ) ⋅ (a L a ) = a1⋅ 4 aL a ⋅4 aL 42 4 3a = a 1424 3 123 n veces

n m

n⋅ m

(2 ) = 2 2 4

2⋅4

=2

8

m

n

n

n + m veces

m veces

⋅a L a ⋅=a (a ) = a142 43 n

n

n + n +Ln

= a n⋅m

m veces

5 6

(2 ⋅ b )

3

= an ⋅ bn

2

n

22 4 2 = =   2 25 5 5 3 3 1 1 = 5−3 = 5 9 3 3 5 3 = 35−3 = 9 3 3

7

a   b

8

1 an b −m = = b m b m a −n a −n

−n

= 2 3 ⋅ b 3 = 8b 3

b =  a

−4

n

2 3   =  3 2 −3 2 5 = 3 −1 5 2

4

(a ⋅ b )

n

= ( a ⋅ b) ⋅ (a ⋅ b) L (a ⋅ b) == a n ⋅ b n

n

a a a a ⋅ aLa a n a = ⋅ L = =   b b b b ⋅ b Lb b n b 1 a n a n ⋅ a −n a0 = = = m−n m m −n m−n a a .a a a Ejercicio

a   b

−n

=

a −n 1/ a n b n  b  = = =  b −n 1 / b n a n  a 

n

Ejercicio

Ejemplo 1.- Simplifique las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos.

 y2 a) (2 x y ) (2 3 x y ) ; b)   x 2

2

−2

3

2

  

4

2

 2x  a  3  ; c) a  b y 

−2

Solución: a) (2 x 2 y ) 2 (2 −2 3 x 3 y 2 ) = 2 2 ⋅ x 4 ⋅ y 2 ⋅ 2 −2 ⋅ 3 ⋅ x 3 ⋅ y 2

= 2 2 ⋅ 2 −2 ⋅ 3 ⋅ x 4 ⋅ x 3 ⋅ y 2 ⋅ y 2 = 2 2 − 2 3 ⋅ x 4 +3 y 2 + 2 = 3 ⋅ x7 y4 4

2

 y 2   2x  ( y 2 ) 4 (2 x) 2   3  = ⋅ b)  x4 ( y3 )2  x  y  y8 22 x 2 22 y8 x 2 = 4⋅ 6 = 4 6 x y x y 2 2 y 8− 6 2 2 y 2 = 4− 2 = 2 x x a c) a  b

−2

a −2 a a −2 a 1− 2 b 2 = a −2 = ⋅ −2 = −2 = 1 b b b a

En c) también se pudo usar la propiedad 7.

4 Entenderemos que una expresión de esta naturaleza que consiste en productos y cocientes de variables está simplificada cuando aparece una sola vez cada variable. Ejercicio de desarrollo.- Simplifique la siguiente expresión. Exprese su respuesta usando exponentes positivos

 2y2   x

  

−3

 x −1  − 2  2y

  

2

El lector habrá podido darse cuenta de las siguientes: Extensión de la propiedad 3 y 4: 3´

(a

4´

 an  a nk  m  = mk b b 

n

⋅ bm

)

k

= a nk ⋅ b mk

k

(3

3

⋅ xk

)

2

(a

= 36 ⋅ x 2k

n

⋅ bm

)

k

= (a n ) k ⋅ (b m ) k = a nk ⋅ b mk

Ejercicio

3

 22  26 64  5  = 5⋅3 = 15 x x x 

Los exponentes sirven para representar cantidades muy grandes usando la notación científica

Recordemos lo siguiente Definición: Se dice que a es una raíz n-ésima de b si a n = b .

En este caso se escribe

n

b =a

Es claro que n 0 = 0 , para los otros valores de b tenemos que hacer consideraciones acerca del signo de b y la paridad del indice, la cuál es mostrada en la siguiente tabla:

b>0

n par (ejemplo n=4) Hay dos raíces reales Se denotan por n b y − n b 4

b1. Si

a existe, entonces se define

am/n = n am Se exceptúan de la definición los siguientes casos: 1.- n par y a negativo. 2.- m negativo y a cero. Ejemplo 2.- Exprese los siguientes radicales como potencia de exponentes racionales. 5

a) 3 2 ; b) Solución: a)

3

x 3 ; c) 8

2 = 21 / 3

x3 = x3/ 5 c) 8 = 81 / 2 b)

5

La siguiente tabla muestra las propiedades de los radicales, se ha colocado en el lado derecho r la propiedad equivalente usando la notación con exponente racional. Propiedad n

Ejemplo

a ⋅b = n a ⋅ n b

Escritura en exponente fraccionario

(a ⋅ b )1 / n

1) 18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2

= a 1 / n ⋅ b1 / n

2) 3 8 ⋅ 27 = (8 ⋅ 27)1 / 3 =

(

= 2 3 ⋅ 33 n

a = b

n m

n

n n

a

3

b

a = n⋅m a

am =

( a) n

1/ 3

( ) ⋅ (3 )

= 23

1/ 3

3 1/ 3

=6

8 38 2 =3 =3 3 3 3 4

m

)

a   b

27 = 8 27

1) 5 (32) = 3

( 32 ) = ( 2 ) 5

(

3

Si n es par y a es negativa 5/3 = (−1)1 / 3 la propiedad no es válida 2) (−1)

5

)

5

5

3

(a

= 23 = 8

= (−1) 5 = −1

a

1/ n

a1 / n = 1/ n b

1/ m 1/ n

m/n

)

=a

1 n⋅m

= (a 1 / n ) m

6 Esta última propiedad se usa para evaluar expresiones como

5

323 . Este número es el mismo que

(5 32 )3 = 23 = 8 .

(

)

−3

Ejemplo 3.- Evalúe las siguientes cantidades a) (−8000)1 / 3 b) 0.16 Solución: a) Descomponemos − 8000 = −1 ⋅ 8 ⋅ 1000 . Para luego expresar cada factor como potencias. En los siguientes pasos se usa las propiedades de los exponentes.

(−8000)

1/ 3

= (−1 ⋅ 2 ⋅ 10 ) 3

3 1/ 3

= (−1)

1/ 3

3 1/ 3

(2 )

3 1/ 3

(10 )

3 3

3 3

= −1 ⋅ 2 ⋅ 10 = −2 ⋅ 10 = −20

b) Primero usamos la definición de exponentes negativos

(

0.16

)

−3

=

(

1 0.16

)

3

16 , para luego usar la propiedad del cociente de la raíz 100 −3 1 1 1 1 = = 0.16 = = En la última igualdad se simplificó 3 3 3 3 4  2  16   16           100   100  10   5    

Escribimos 0.16 =

(

)

1 = 13 2 53

=

125 8

Ejercicio de desarrollo.- Simplifique la siguiente expresión. Exprese su respuesta usando exponentes positivos a) (400)

3/ 2

b)

3

− 0.027

c) − 91 / 2 Ejemplo 4.- Simplifique las expresiones dadas. Evite radicales en su respuesta, use exponentes positivos a) 18 ⋅ 2 ; b) Solución:

(x y ) 2

3

⋅ y5

a)

18 ⋅ 2 = 18 ⋅ 2 = 36 = 6

b)

(x y )

3

2

3

5

3

3

5

⋅ y 5 = ( x 2 y) 2 y 2 = ( x 2 ) 2 y 2 y 2 = x

2⋅

3 2

3

5

3 5 + 2

y 2 y 2 = x3 y 2

= x3 y 4

Ejercicio de desarrollo.- Simplifique las expresiones dadas. Evite radicales en su respuesta, use exponentes positivos 3

a)

(xy )

2 4

xy1 / 3

7

(x 2 y 5 )3 xy

b)

Ejemplo 5 .- Elimine los exponentes negativos y/o los radicales en las siguientes expresiones: a) x + 2 y ; b) x −1 + 2 y −1 ; c) x( x −1 + Solución:

y ) −1

x + 2 y = x 1 / 2 + ( 2 y )1 / 2 ;

a)

1/ 2

1 1 1 1 = + 2  ; b) x + 2 y = + 2 x y x  y  x 1 1 −1 −1 = ⋅ c) x( x + y ) = x ⋅ −1 (x + y ) 1 1 + y x 2 x x = = 1/ 2 1+ x y 1+ x ⋅ y x −1

−1

Ejemplo 6.- Escriba las formas exponenciales en otra forma que involucre radicales a) 5 − 2 x 1 / 2 ; b) (5 − 2 x) −1 / 2 Solución: a) En la expresión 5 − 2 x 1 / 2 , x es la expresión que está elevada a la ½. Así que convertimos esta expresión con exponentes fraccionarios en una con radicales.

5 − 2 x1 / 2 = 5 − 2 x . b) En este caso es (5 − 2 x) que está elevado a la -1/2. Primero eliminamos el signo menos, pasando la expresión al denominador:

(5 − 2 x) −1 / 2 =

1 (5 − 2 x)1 / 2

Es importante que el estudiante entienda que en esta situación el

paréntesis no se puede omitir, este paréntesis va indicar que la raíz se va aplicar a la expresión 5 − 2 x . Así

(5 − 2 x) −1 / 2 = Tipificación de errores Error

(a + b)

1/ n

≠a

1/ n

+b

a+b ≠ a + b a a m ≠ a n⋅ m 1 ab −n ≠ n ab n

n

1/ n

1 5 − 2x

Comentarios La propiedad no es con la suma sino con la multiplicación

n

n

n

an + b ≠ a + b

n

ab n ≠ a ⋅ b

Los exponentes de igual base se suman, no se multiplican La potencia es la primera operación a considerar, afecta sólo a b Para poder simplificar debe ir todo el radicando elevado a la n.

8 EXPRESIONES NUMERICAS MIXTAS: Para evaluar las expresiones numéricas mixtas existe una convención en el orden de las operaciones. Esta es: 1.- Se resuelven las operaciones delimitadas por los paréntesis más internos, 2.- Se encuentran las potencias y radicales de izquierda a derecha, 3.- Se consideran las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha 4.- Se resuelven las sumas y restas de izquierda a derecha Ejemplo 1.- Evaluar las siguientes expresiones numéricas 3

1 1 − 4 ⋅ 32 2 − 2  ; b) 2 a) ; c) 27 2 − 3 ⋅ 23 3

2 ⋅ 32 − 2 − 1 2 − 3⋅ 4 3

Solución: a) Resolvemos primero el paréntesis aplicando las propiedades de los exponentes: 3

1 1 2 23 1 2 8 2 − 2  = − ⋅ 3= − ⋅ 27  3  27 1 3 27 1 27 Se realiza entonces la multiplicación y por último la diferencia de fracciones

=

1 − 2 ⋅ 8 1 − 16 15 5 = =− =− 27 27 27 9

b) En este caso se calcula primero las potencias indicadas, luego se pasa a resolver las multiplicaciones y por último las diferencias de cada parte de la fracción

1 − 4 ⋅ 32 1 − 4 ⋅ 9 1 − 36 − 35 7 = = = = . 2 3 4 − 3 ⋅ 8 4 − 24 − 20 4 2 − 3⋅ 2 c) Se realiza primero la radicación, para ello debemos resolver la operación indicada en el radicando

2 ⋅ 32 − 2 − 1 2 ⋅ 9 − 2 −1 = Simultáneamente podemos trabajar las operaciones del denominador 2 2 − 3⋅ 4 − 3⋅ 4 3 3 4 −1 3 3⋅3 9 16 − 1 = = = =− 2 12 2 − 36 − 34 2 34 − 12 − 3 1 3 3 Ejercicio de desarrollo.- Evaluar la siguiente expresión numérica

1 4 6 + 2 − ⋅  27 25  5 

−3

Ejemplo 2.- Simplificar las siguientes expresiones numéricas: a) 2500 − 3 250 − 10 + 5 ; b)

27 − 3 8 + 5 12 + 32 2

Solución: a) Primero sacamos factores cuadráticos factorizando el radicando

2500 − 3 250 − 10 + 5 = 25 ⋅ 100 − 3 25 ⋅ 10 − 10 + 5 = 25 ⋅ 100 − 3 25 ⋅ 10 − 10 + 5

9 = 5 ⋅ 10 − 3 ⋅ 5 10 − 10 + 5

Agrupamos términos con radicales iguales

= 50 + 5 − 15 10 − 10

Se saca factor común

10

= 55 − 10 (15 + 1) = 55 − 16 10 . b) De nuevo, lo primero que hacemos es sacar factores cuadráticos

27 − 3 8 + 5 12 + 32 2

32 ⋅ 3 − 3 2 2 ⋅ 2 + 5 2 2 ⋅ 3 + 2 4 ⋅ 2

=

2 3

= = = =

=

3 −3 2

2

2

2 + 5 22 3 + 24 2

2 3 3 − 6 2 + 10 3 + 4 2

Agrupamos términos con radicales iguales

2 3 3 + 10 3 − 6 2 + 4 2

Se saca factor común

2

13 3 − 2 2 2

3 y

2 y queda

.

Este tipo de expresiones se suelen expresar con el denominador racionalizado. En el caso que exista un solo término en el denominar se multiplica y divide por un número que complete la potencia del índice. Así

13 3 − 2 2 2 =

=

13 3 − 2 2 2

(13 3 − 2 2 ) 2 2 2

=

⋅

2 2

13 3 ⋅ 2 − 2( 2 ) 2 13 6 − 4 = 2 ( 2 )2

Ejercicio de desarrollo.Simplificar las siguientes expresiones numéricas: a) 6 − 3 24 − 54 − 8

b)

12 − 75 + 5 + 6 3

EJERCICIOS 1) Simplifique las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos. 4

2 3

2

3 2

1.1) 2(a b ) (3a b ) ;

 xy 2 1.2)   2

3

2

  2y    3  ;  x 

 xy 2 1.3)   2

−3

2

  xy     ;   2

10  y2 1.4) xy   2x 2

−2

  ; 

 y2 1.5) (xy )   2x 2

  a  −2  1.7) a  − 2 3    a b    

3

−2

  a  −2  1.6)  a −2 3   ;  a b    

  ; 

3

2) Evalúe las expresiones:

4 ; 9 2.6) (27000)1 / 3 ; 2.10) (0.09) −3 / 2 ;

1 ; 16 2.5) (0.04)1 / 2 ; 2.9) (32) −1 / 5 ;

2.1)

27 ; 8 2.7) (−32)1 / 5 ; 2.11) (−8000) −2 / 3

2.2)

2.3)

3

−

2.4)

3

0.027 ;

2.8)

3

− 64 ;

3) Escriba las formas exponenciales en otra forma que involucre radicales 3.1) 3x 1 / 2 − 21 / 2 ; 3.2) 3x − 21 / 2 ; 3.3) (3x − 2)1 / 2 ; 3.4) 31 / 2 x − 2 3 / 2 ; 3.6) (3 − 2 x )

3.5) (3x)1 / 2 − 21 / 2 ;

−3 / 2

3.7) 3x −1 / 2 − 2 3 / 2 ;

;

3.8) 3x − 2 −1 / 2 ;

3.9) (3x − 2) −1 / 2 4) Escriba las formas dadas en otra que use exponentes positivos, evite radicales y exponentes negativos:

5 − 2x ;

4.2)

5 − 2x ;

4.3) 5 x −1 − 2 ;

4.4) (5 x − 2) −1 ;

4.5) (5 x) −1 − 3 ;

4.6)

5 −2 x ;

4.7) (5 x − 2) −2 ;

4.8) 5 x − 2 −2

4.1)

5) Simplifique las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos. Evite radicales. 5.1)

3

5.4)

3

5.7)

3

27 x 6 ; − y3

5.2)

  ;  

 a a ÷    a −2 b 3  2

3

5.10) 2(a b ) 3a

5.13)

−2

 y xy 2  3  2⋅ x

xy 2 xy

2

   

27 x 2 ; 3x

2 2 y 5.5) (xy )   2x

−2

3

b ;

5.3) x 2 y x 3 y 5 ; −2

  ; 

3

  3 a  −2  5.6)  a − 2 3   ;  a b      

3

−2 2  ab 2  ; 5.8)  a b  ;  a  b −1   

 y2   5.11)   2x 

2

5.9)

3

( )

x y x2 y

2

3

xy ;

6) Evalúe las siguientes expresiones mixtas: 2

6.1) 2 − 3 ⋅ 4

1/ 2

;

43 27 3 6.2) 2 ⋅   − ; 2 2

;

 xy  5.12) x y   ;  2 −1

÷ xy −1

2

−2

− 22 6.3) ; 1 − 2 ⋅ 22

11 2

3 2 2 3 6.5) ( − ) −   + 1 ; 2 3 2 1 2− 3 6.8) ; 1 2 5 + 5⋅2 − 4

1 2 6.4) − 2 − 5( − ) 2 ; 2 3 2

2 2 ) ; 6.7) ( 2 − 4 3 6.10) 1 − 2 ⋅ 8

−2 / 3

(2 6.11)

;

52 − 17 − 2 52 − 9

); 2

1 3

6.6) 1 − 9( − 1) 2 + 2 ⋅

9 ⋅ 22 − 6.9)

3⋅ 4 −

1 2

1 ; 5

1 2;

 1 − 3 54 − 33 6.12)   2 

   

3

7) Simplificar las siguientes expresiones numéricas: 7.1) 28 − 3 16 + 2 7 − 3 ; 7.2) 7.4)

6 − 2 54 + 8 6

; 7.5)

24 − 108 + 54 6

; 7.3) 8 + 28 − 3( 18 + 63 )

48 − 1 − 3 3

PROBLEMAS DE ECONOMIÁ 1) El número N de unidades producidas usando x unidades de trabajo y k unidades de capital está dada aproximadamente por N = 90 x1 / 4 k 3 / 4 Ecuación de Cobb-Douglas Estime las unidades a producir empleando 256 unidades de trabajo y 16 de capital. (Respuesta: 11520)

PROBLEMAS DE CIENCIAS NATURALES 1) La densidad de la atmósfera de la Tierra es aproximadamente D = 1.225 − (1.12 x10 −4 )h + (3.24 x10 −9 )h 2 en kg/m3, donde h es la altitud en metros. ¿Cuál es la densidad de la atmósfera a una altitud de 1000 metros? 1(Respuesta:,11704kg/m3) 2) “El punto de rocío o temperatura de rocío es la temperatura a la que empieza a condensar el vapor de agua contenido en el aire, produciendo rocío, neblina o, en caso de que la temperatura sea lo suficientemente baja, escarcha. Para una masa dada de aire, que contiene una cantidad dada de vapor de agua (humedad absoluta), se dice que la humedad relativa es la proporción de vapor contenida en relación a la necesaria para llegar al punto de saturación, expresada en porcentaje. Cuando el aire se satura (humedad relativa igual al 100%) se llega al punto de rocío. Para el cálculo se puede utilizar esta fórmula:

 112 − 0.1T + Pr  Hr = 100   112 + 0.9T 

8

Pr = Punto de rocío. T = Temperatura en grados° Celsius Hr = Humedad relativa. “ De Wikipedia La temperatura de una masa de aire es de 20ºC y la temperatura de punto de rocío es de 10º. Calcular la humedad relativa. (Respuesta: 76,9%)

12 3) Una sustancia radiactiva tiene la propiedad que el tiempo para que se desintegra a la tercera parte de la cantidad inicial es de siete días. Si la cantidad original de esa sustancia es de 250mg. Exprese la

1 3

cantidad de sustancia existente al cabo de n semanas. (Respuesta: (250)( ( ) n . 4) La altura en metros de cierto árbol se puede modelar con el tiempo a través de la siguiente fórmula.

1 A = 112( ) 4

20 t

Pronostique la altura a los 10 años, 20 años y 40 años se sembrado. (Respuesta: 7, 28 y 56 m.)

b18 y8 2 4 x3 4x4 ; 1.3) 1.4) ; 1.5) ; 1.6) ; y2 y2 x ⋅ y4 2x 3 a 15 b18 1 2 3 1 ; 2.2) ; 2.3) − ; 2.4) 0.3 ; 2.5) 0.2; 2.6) 30; 2.7)-2; 2.8) − 4 ; 2.9) ; 2.10) 1.7) 17 ;2.1) 4 3 2 2 a 1 1000 ;2.11) 3.1) 3 x − 2 ; 3.2) 3 x − 2 ; 3.3) 3 x − 2 ;3.4) 3 x − 2 3 ; 3.5) 3 x − 2 27 400 1 1 1 3 3.6) ;3.7) − 8 ;3.8) 3x − ;3.9) 4.1) 51 / 2 − (2 x)1 / 2 ; 4.2) (5 − 2 x)1 / 2 3 x 2 (3 − 2 x) (3 − 2 x) 1 1 1 1 − 15x 5 5 − 2x −3 = ; 4.4) ; 4.5) ;4.6) 51 / 2 − 2 x1 / 2 ; 4.7) ; 4.8) ; 4.3) − 2 = x x 5x − 2 5x 5x (5 x − 2) 2 Respuestas: 1.1) 2 ⋅ 32 a16b12 1.2)

− 3x 2 5.2) y

4x 4x 4 ; 5.5) ; y4/3 y2

5x −

1 22

5.6)

a 38 / 3 1 1 y 11 / 2 b18 5 3 ; 5.7) ; 5.8) ; 5.9) ; 5.10) 6 a b ; 5.11) ; a11 b9 a5/ 2 x 11 / 3 y 11 / 6 4x3 / 2

5.1)

x3/ 2 y5/ 2 ; 5.13) 4 2 20 6.7) ; 6.8) ; 6.9) 57 9

5.12)

1 3/ 2

3 ; 5.3) x 5 / 2 y 3 ; 5.4)

6) ; 6.1) -4; 6.2)

13 5 4 149 −3 ; 6.3) ;6.4) − ; 6.5) − : 6.6) − ; 2 7 36 9 5

x 11 1 1 ; 6.10) ; 6.11) ; 6.12) − 1 23 2 2

7.1) 4 7 − 15 ;7.2) 5 − 3 2 ; 7.3) − 7( 2 + 7 ) ; 7.4) − 5 +

2 3 ; 7.5) 3

3 −1