UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL LISANDRO ALVARADO DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

GUÍA DIDÁCTICA 1

Propiedades básicas de los números reales

Prof. María Teresa Esteves P.

Barquisimeto Mayo de 2011

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL LISANDRO ALVARADO SISTEMA DE EDUCACION A DISTANCIA DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

GUÍA DIDÁCTICA 1

Propiedades básicas de los números reales

Datos de Identificación Elaborado por: Prof. María Teresa Esteves P. Correo-electrónico: [email protected]. Teléfonos de contacto: 0416-8117594, 0251-2591667. Fecha Elaboración: 29 de mayo de 2011. Fecha de Última Actualización: 29 de mayo de 2011.

Elaborado por: María T. Esteves.

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Tabla de contenidos Introducción……………………………………………….……………………………… 4 Objetivo general de aprendizaje……………………….………………………………. 5 Objetivos específicos de aprendizaje…….…………….…………………………….. 5 Contenidos………………………………………………………………………….……. 6 Fuentes de información…………………………………………………………….…… 6 Evaluación de los aprendizajes……………………….……………………………….. 7 Orientaciones para el estudio de este curso en línea…….…………………………. 7 Desarrollo de los contenidos……………………………………………………….….. 9 1.Conjunto de los números reales…………………………………………………….. 9 1.1. Conjunto de números naturales…………………………………..…..……… 9 1.2. Conjunto de números enteros………………………………….……..…….. 10 1.3. Conjunto de números racionales…………………………………...………. 11 1.4. Conjunto de números irracionales………………………………………….. 11 1.5. Conjunto de los números reales………………………………………….... 13 2. Axiomática de los números reales……………………………………..………..... 15 2.1. Axiomas de campo…………………….………………………………….... 15 2.2. Axiomas de orden…………………………….……………………………. 16 2.3. Ejercicios resueltos…………….……………………………………….….. 17 3. Inecuaciones……………………………………….………………………………. 19 3.1. Intervalos de la recta real………………….……………………………… 19 3.2. Resolución de inecuaciones……………………………………………… 21 4. Autoevaluación…………………………………………………………………….

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5. Referencias………………………………………………………………………..

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Elaborado por: María T. Esteves.

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Introducción Estimado(a) alumno(a): Los profesores de matemática I le damos la más cordial bienvenida al primer módulo de nuestro curso en línea, la presente guía didáctica está diseñada para acompañarle y orientarle sobre los primeros contenidos que usted desarrollará en la primera semana de clase. Recuerda que el proceso de aprendizaje lo lograrás sólo si inviertes el tiempo suficiente para estudiar. En este primer módulo recordaremos los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales, estudiaremos los axiomas de campo de los números reales y usaremos los axiomas de orden para resolver problemas de desigualdades, además tendremos un primer acercamiento al programa Geogebra, el cual utilizaremos para representar gráficamente algunos números reales. Es importante que realices las actividades que te planteamos en la guía, recuerda que en todos tus cursos de matemática de la universidad trabajarás con los números reales. Así que manos a la obra, presta atención a las indicaciones que te daremos y te aseguramos que cumplirás con todas las expectativas del curso.

RECUERDA: “Debes ser un eterno estudiante, mientras más aprendas, más ganarás y más confianza tendrás en ti mismo”. Brian Tracy.

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Objetivo general de aprendizaje Al finalizar el primer módulo usted será capaz de reconocer e identificar los números reales y utilizar sus propiedades para resolver problemas de desigualdades. Todos sus esfuerzos intelectuales estarán orientados a resolver desigualdades y representar las soluciones obtenidas en la recta real.

Objetivos específicos de aprendizaje A continuación te presentamos los objetivos específicos de aprendizaje, estos te indicarán lo que esperamos que comprendas, domines y realices al finalizar el primer módulo. Al finalizar esta guía didáctica serás capaz de:

Identificar los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales. Describir el conjunto de los números reales utilizando la axiomática.

Describir el orden natural del conjunto de los números reales. Demostrar teoremas empleando la axiomática de los números reales. Resolver problemas de desigualdades aplicando la axiomática de los números reales. Representar gráficamente la solución en la recta real.

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Contenidos 1. Conjunto de números reales. 1.1. Conjunto de los números naturales 1.2. Conjunto de los números enteros. 1.3. Conjunto de números racionales. 1.4. Conjunto de los números irracionales. 1.5. Conjunto de los números reales. 2. Axiomática de los números reales. 2.1. Axiomas de campo. 2.2. Axiomas de orden. 2.3. Ejercicios resueltos. 3. Inecuaciones. 3.1. Intervalos de la recta real. 3.2. Ejercicios resueltos de inecuaciones.

Fuentes de información El libro texto que utilizaremos durante la primera unidad es:

Purcell E, Varberg D y Rigdon S. (2007). Cálculo. Novena edición. México. Pearson Educación. Para el desarrollo de esta guía didáctica debes consultar la sección 0.1 y 0.2 del libro texto, además puedes conseguir información adicional en el siguiente texto y en los siguientes sitios web recomendados:

Sáenz, J. (1995) Calculo diferencial para ciencias e ingeniería. Venezuela. Hipotenusa.

Axiomas de los números reales: http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_los_n%C3%BAmeros_reales Fracción generatriz: Elaborado por: María T. Esteves.

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http://es.scribd.com/doc/7218762/FRACCION-GENERATRIZ

Evaluación de los aprendizajes Al finalizar esta guía didáctica, te propondremos realizar dos evaluaciones de carácter formativo que te permitirán determinar, si los conocimientos y habilidades que alcanzaste son sólidos o si debes reforzarlos un poco más, para ello tendrás dos oportunidades:

1. Te dejaremos una tarea en la plataforma del tipo subir un archivo Word en donde deberás resolver un conjunto de inecuaciones. (Esta evaluación es formativa, es decir, no afectará tu calificación final del curso). 2. Deberás utilizar el programa Geogebra para ubicar algunos números irracionales en la recta real, luego subirás la imagen obtenida al foro que crearemos para esta tarea en particular.

Orientaciones para el estudio de este curso en línea: A continuación te dejaremos una serie de orientaciones que te ayudarán durante el desarrollo de los contenidos.

Asiste a las tutorías: Recuerda que estaremos trabajando en una modalidad semipresencial, es decir, realizaremos algunas actividades en el salón de clases y realizaremos otras utilizando la plataforma.

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Administra tu tiempo: Es importante que crees un horario de trabajo, ya que esto te permitirá cumplir con los objetivos de aprendizaje de manera oportuna.

Revisa con regularidad la plataforma: En el bloque de novedades te dejaremos regularmente información que te será de gran utilidad durante el desarrollo del curso. Te recomendamos un mínimo de tres visitas semanales a la página del curso.

Imprime la guía didáctica: Esto te permitirá acceder a la información en caso de que tus posibilidades de conexión sean escasas y tendrás siempre a la mano las instrucciones que te permitirán desarrollar cada unidad.

Realiza las actividades a tiempo: Recuerda que las actividades de cada modulo tienen una fecha tope y luego de la misma será imposible que subas el material que desarrollaste a la plataforma.

Se honesto: recuerda que las actividades de evaluación te indicarán si estas logrando o no los objetivos del curso.

Pide auxilio: Si tienes dudas referentes a un material o referentes a una actividad que debes entregar, no dudes por un instante en aclararlas en los foros, aquí encontrarás la ayuda de tus compañeros y de tu tutor.

Descansa: Recuerda tomar pequeños descansos luego de realizar una actividad, esto te ayudará a reducir el estrés y te ayudará a recuperar las energías.

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Desarrollo de los contenidos 1. Conjunto de los números reales. Antes de comenzar con el contenido de esta unidad vamos a recordar algunos conjuntos de números que hemos utilizado anteriormente, te recordamos que esta guía es un complemento al libro texto, por este motivo te invitamos a leer cuidadosamente la sección 0.1 del libro texto y luego complementes tu aprendizaje con las actividades que te sugerimos a lo largo de la guía, en esta primera parte estudiaremos el conjunto de los números naturales, el conjunto de números enteros, el conjunto de números racionales, el conjunto de números irracionales y por último el conjunto de números reales,

1.1. Conjunto de números naturales: La historia de la matemática nos indica que la aparición de este conjunto de números se remonta a miles de años atrás, en algún momento el hombre primitivo se dio cuenta que podía contar, para ello se ayudaba con pequeñas piedras, o le hacía pequeñas marcas a huesos, la palabra Cálculo se deriva de la palabra latina calculus que significa piedra pequeña para contar.

Una de las razones por la cual se inventaron los números fue para entender los patrones que encontramos en la naturaleza. Cada civilización antigua tenía sus propios símbolos numerales, para los egipcios por ejemplo era muy importante cuándo ocurriría una inundación del río Nilo y para calcular en qué momento del año ocurriría, se basaban en los ciclos lunares.

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Los números tal como los conocemos hoy en día se conocen como el sistema numeral Indo-Arábigo, tuvo su origen en la india y se expandió por el mundo musulmán, posteriormente, a través de Al- Andaluz se introdujo en Europa. En el año 980 el papa Silvestre II promueve la difusión de este sistema por toda Europa.

El sistema indo-arábigo es un sistema decimal posicional, porque el valor de un número depende tanto del símbolo que se use para representarlo como de la posición que este símbolo ocupe en la representación de dicho número. Las cantidades se representan utilizando diez cifras diferentes: cero (0), uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8) y nueve (9). El conjunto de los números naturales lo denotaremos por

1.2. Conjunto de números enteros: Este conjunto lo obtenemos si al conjunto de números naturales le añadimos el cero y los números negativos, lo representaremos por la letra ℤ esta representación viene de la palabra alemana Zahlen que significa números. Los números enteros nos son de gran utilidad si vamos a medir altitudes, por ejemplo para decir que un buzo está a 15 metros por debajo del nivel del mar decimos que está a -15 metros, de igual manera podemos utilizar a los números enteros para medir temperatura, por ejemplo para decir que hace una temperatura de 5 grados bajo cero decimos que estamos a -5 grados.

Posteriormente el hombre se dio cuenta que los enteros no eran suficientes para expresar todo lo que podía medir en la naturaleza, es así como nace el siguiente conjunto de números.

1.3. Conjunto de números racionales: Los números racionales son todos aquellos números que pueden escribirse de la forma donde m y n son enteros y . A este conjunto lo denotaremos con la letra ℚ.

Los números racionales tienen una expresión decimal que puede clasificarse en los siguientes tipos: Representación decimal exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Por ejemplo: Elaborado por: María T. Esteves.

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Representación decimal periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Por ejemplo: Representación decimal periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Por ejemplo:

A continuación te invitamos a leer el material sobre fracción generatriz que te indicamos al principio de la guía didáctica en las fuentes de información, y a leer detenidamente el ejemplo 1 de la sección 0.1 del libro texto.

Actividad de control Luego de leer el material sobre fracción generatriz que te hemos propuesto anteriormente, te pedimos que calcules las fracciones generatrices de las siguientes expresiones decimales: a. 0.222222222… b. 0.564564564… c. 0.04444444…

1.4 Conjunto de números irracionales: Hasta ahora hemos visto tres conjuntos de números, podemos preguntarnos, ¿serán los números racionales suficientes para representar cualquier cantidad en la naturaleza? La respuesta es no, los pitagóricos en el siglo V a.c. se dieron cuenta que no podían encontrar una fracción que representara la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud igual a uno.

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Si recordamos el teorema de Pitágoras la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo la podemos calcular mediante la siguiente fórmula:

Si b=c=1 entonces los pitagóricos encontraron que este número no podía ser expresado como una fracción de dos enteros. Además de raíz de dos existen otros números racionales, por ejemplo , entre otros. Luego de haber repasado brevemente los diferentes conjuntos que estudiamos a lo largo de nuestra educación básica vamos a introducir el conjunto números con el que trabajaremos a lo largo del semestre

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1.5 Conjunto de los números reales: Es el conjunto resultante de la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales, a continuación te presentamos un esquema que te permitirá comprender de manera adecuada dicho conjunto.

Para representar a los números reales haremos uso de la recta real, tomamos una recta horizontal y fijamos un punto que llamaremos origen y lo denotaremos por 0, existe una relación biunívoca entre los números reales y la recta real, es decir, para cada punto en la recta existe un único número real que lo representa y viceversa.

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A continuación te invitamos a ver un video tutorial del programa Geogebra que te dejamos en la plataforma, con este video aprenderás a representar números reales en la recta real.

Actividad de control Luego de ver el video tutorial de geogebra te invitamos a utilizar el programa para ubicar los siguientes puntos en la recta real: ¾ -8 -0.3333…

Hasta los momentos solo hemos estudiado el conjunto de números reales, ahora nos hace falta estudiar el conjunto de propiedades que nos permitirán operar con dicho conjunto de números. A continuación te invitamos a leer en el libro texto en la sección 0.1 el tema referente a un poco de lógica, este contenido te ayudará a comprender la siguiente sección.

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2. Axiomática de los números reales

El sistema de los números reales es un conjunto de números y dos operaciones internas, adición (+) y multiplicación ( ) y una relación de orden denotada por “