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Solución Septiembre 2006

Juan Carlos Alonso Gianonatti

PRUEBA A PROBLEMAS ⎧x − y + 2z = 1 y el plano ⎩2 x + y − 5 z = 2

PR-1.- .- a) Hállese el valor de a para el que la recta r ≡ ⎨

π ≡ ax − y + z + 1 = 0 sean paralelos

b) Para a = 2 , calcúlese la ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular a π a) Los vectores directores de recta y plano son perpendiculares y por ello su producto escalar nulo. ⎧ ⎧x = 1 + λ ⎪ ⎪ ⎪3x − 3z = 3 ⇒ x − z = 1 ⇒ x = 1 + z ⇒ 1 + z − y + 2 z = 1 ⇒ y = 3z ⇒ r ≡ ⎨ y = 3λ ⇒ v r ≡ (1 , 3 , 1) ⇒ ⎨ ⎪ z=λ ⎩ ⎪ ⎪⎩ vπ ≡ (a , − 1 , 1) v r ⊥ vπ ⇒ v r ⋅ vπ = 0 ⇒ (1 , 3 , 1) ⋅ (a , − 1 , 1) = 0 ⇒ a − 3 + 1 = 0 ⇒ a = 2 b) R(1 , 0 , 0 ) punto de la recta r ⎧ vπ ≡ (2 , − 1 , 1) x −1 y z ⎪ v r ≡ (1 , 3 , 1) ⇒β ≡ 2 −1 1 = 0 ⇒ ⎨ ⎪ RG = ( x , y , z ) − (1 , 0 , 0 ) = (x − 1 , y , z ) 1 3 1 ⎩ − (x − 1) + y + 6 z + z − 3(x − 1) − 2 y = 0 ⇒ −4(x − 1) − y + 7 z = 0 ⇒ β ≡ 4 x + y − 7 z − 4 = 0

1

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Juan Carlos Alonso Gianonatti

PR-2.- a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento f ( x) = xe − x , sus máximos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de inflexión. Demuéstrese que para 1 todo x se tiene que f ( x) ≤ e b) Pruébese que la ecuación 3x = e x tiene alguna solución en (− ∞ , 1] ⎧ e−x > 0 ⇒ ∀ ∈ ℜ f ' ( x) = e − x − xe − x = e − x (1 − x ) ⇒ Crecimiento f ' ( x) > 0 ⇒ e − x (1 − x ) > 0 ⇒ ⎨ ⎩1 − x > 0 ⇒ − x > −1 ⇒ x < 1 ∞ 1 −∞ −x ( + ) ( + ) e >0 x 0 (-) f’(x) < 0

Crecimiento ∀x ∈ ℜ / x < 1 Máximo relativo en x = 1 f (1) = 1 ⋅ e −1 =

Decrecimiento ∀x ∈ ℜ / x > 1

1 ⎛ 1⎞ ⇒ ⎜1 , ⎟ , de crecimiento pasa a e ⎝ e⎠

decrecimiento Asíntota vertical Como Dom( f ) = ∀x ∈ ℜ , no existen asíntotas verticales Asíntota horizontal x ∞ 1 1 Aplicando L ' Hopital y = lim xe − x = lim x = = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = lim x = = 0 ⇒ Cuando x → ∞ ⇒ y = 0 x →∞ e x →∞ x →∞ e ∞ ∞

y = lim xe − x = lim − xe x = −∞ ⇒ Cuando x → −∞ ⇒ No existe asíntota horizontal x → −∞

x →∞

Asíntota oblicua 1 1 xe − x = lim x = = 0 ⇒ Cuando x → ∞ ⇒ No existe asíntota oblicua m = lim x →∞ x →∞ e ∞ x

xe − x = lim e x = ∞ ⇒ Cuando x → −∞ ⇒ No existe asíntota oblicua x → −∞ x →∞ x Punto de inf lexión

m = lim

f ' ' ( x) = −e − x − e − x (1 − x ) = −e − x [1 + (1 − x )] = −e − x (2 − x ) ⇒ f ' ' ( x) = 0 ⇒ −e − x (2 − x ) = 0 ⇒ 2− x = 0⇒ x = 2

[

]

f ' ' ' ( x) = −e − x (2 − x ) = − − e − x (2 − x ) − e − x = e − x (3 − x ) ⇒ f ' ' ' ( x) = e − 2 (3 − 2 ) =

1 e2

2⎞ ⎛ x = 2 ⇒ f (2) = 2.e − 2 ⇒ ⎜ 2 , 2 ⎟ ⎝ e ⎠

2

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Juan Carlos Alonso Gianonatti

Continuación del Problema 1 de la opción A

⎧e x −1 − x > 0 ⇒ e x −1 > x ⇒ ∀x ∈ ℜ e x −1 − x 1 x e x − ex e x −1 − x − x = = ⇒ ⇒ > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⇒ ⎨ e e e x +1 ex ex e x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⎩ 1 x 1 x − x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⇒ > x ⇒ ∀x ∈ ℜ e e e e

b) ⎧ g (1) = 3.1 − e1 > 0 g (x ) = 3x − e x ⇒ ⎨ 0 ⎩ g (0 ) = 3.0 − e = −1 < 0

Veamos si g(x) se anula

]

No hay puntos de discontinuidad en el intervalo (− ∞ , 1

Teorema de conservación del signo Si f(x) es continua en x 0 y f ( x 0 ) ≠ 0 , entonces existe un entorno x 0 , ( x 0 − δ , x 0 + δ ) ≠ 0 , en el que la función tiene el mismo signo que f ( x 0 ) , es decir

sign [ f ( x )] = sign [ f ( x0 )] , ∀x ∈ (x 0 − δ , x0 + δ ) Corolario: Si una función es continua en un punto x0 , y toma valores positivos g (1) = 3 − e y positivos g (0 ) = −1 en todo entorno de x0 entonces g ( x0 ) = 0 Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo sign f (a ) ≠ sign f (b ) , entonces existe, al menos,

un punto c ∈ (a , b ) tal que f (c) = 0

[

[

]

]

Como sign f (1) = 3 − e ≠ sign f (0 ) = −1 , entonces existe, al menos, un punto

c ∈ [0 , 1] ∈ (− ∞ , 1] tal que f (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación)

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CUESTIONES C-1.- Sea m un número real. Discútase, en función de m, el sistema de ecuaciones 1 1⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es A = ⎜ 1 m m⎟ ⎜2 m +1 2 ⎟ ⎝ ⎠

Al ser un sistema de ecuaciones homogéneas, los valores que no anulen al determinante de la matriz de los coeficientes darán lugar a sistemas Compatibles Determinados con solución trivial (0 , 0 , 0), los valores que lo anulan generan sistemas Compatibles Indeterminados 1 1 1 A=1 m m = 2m + 2m + m + 1 − 2m − m(m + 1) − 2 = − m 2 − m + 3m − 1 = − m 2 + 2m − 1 2 m +1 2 Si A = 0 ⇒ − m 2 + 2m − 1 = 0 ⇒ m 2 − 2m + 1 = 0 ⇒ Δ = 4 − 4 = 0 ⇒ m =

2 =1 2

∀m ∈ ℜ − {1} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Num. incognitas ⇒ Sist.Compat.Deter min ado ⇒ Solución(0 , 0 , 0) Si m = 1 ⎛ 1 1 1 0⎞ ⎛1 1 1 0⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ A = ⎜ 1 1 1 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⇒ rang ( A) = 1 ⇒ Sist. Compat. In det er min ado ⎜ 2 2 2 0⎟ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ x = − y − z ⇒ Solución(− λ − μ , λ , μ )

C-2.- Hállense las ecuaciones de la recta que pasa por P(2 , 1 , -1), está contenida en el ⎧x = 2z − 3 plano π ≡ x + 2 y + 3 z = 1 , y es perpendicular a la recta s ≡ ⎨ ⎩ y = z+4

⎧ ⎧ x = 2 + aβ ⎪ ⎪ ⎪ r ≡ ⎨ y = 1 + bβ ⇒ v r = (a , b , 1) ⎪ z = −1 + β ⎧⎪ v ⊥ v s ⇒ v r .v s = 0 ⎪⎪ ⎧ (a , b , 1)(2 , 1 , 1) ⎧ 2a + b + 1 = 0 ⎩ ⇒⎨ r ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ ⎧ x = −3 + 2λ ⎪⎩v r ⊥ vπ ⇒ v r .vπ = 0 ⎩(a , b , 1)(1 , 2 , 3) ⎩a + 2b + 3 = 0 ⎪ ⎪s ≡ ⎪⎨ y = 4 + λ ⇒ v s = (2 , 1 , 1) ⎪ ⎪ z=λ ⎪⎩ ⎩ ⎧ 2a + b + 1 = 0 5 10 1 5 ⎞ ⎛1 ⇒ −3b − 5 = 0 ⇒ b = − ⇒ a − + 3 = 0 ⇒ a = ⇒ ⎜ , − , 1⎟ ≡ (1 , − 5 , 3) ⇒⎨ 3 3 3 ⎝3 3 ⎠ ⎩− 2a − 4b − 6 = 0 x − 2 y −1 z +1 r≡ = = −5 1 3

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Juan Carlos Alonso Gianonatti

ln(cos( x)) − 1 + cos x x →0 x2

C-3.- Calcúlese lim

ln [cos ( x )] − 1 + cos x ln [cos (0 )] − 1 + cos 0 ln (1) − 1 + 1 0 Aplicando L ' Hopital = = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = = = 2 2 x →0 0 0 x 0 1 ⋅ (− sen x ) − sen x − tg x − sen x − tg 0 − sen 0 0 − 0 0 cos ( x ) Aplicando L ' Hopital = lim = lim = = = = ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ = 0 x →0 x → 2x 2x 2.0 0 0 1 1 1 − − cos x − − cos 0 − − 1 2 2 −2 = lim cos x = cos 0 = 1 = = −1 x →0 2 2 2 2

lim

C-4.- Calcúlese el área del recinto limitado por la curva de ecuación y = x 3 − 3x 2 + 2 x y por la recta tangente a dicha curva en el punto x = 0.

⎧ f ( x ) = 0 3 − 3.0 2 + 2.0 = 0 ⇒ y − 0 = 2 ⋅ (x − 0) ⇒ y' = f ' (x ) = 3x 2 − 6 x + 2 ⇒ ⎨ 2 ⎩m = f ' (0 ) = 3.0 − 6.0 + 2 = 2 2 x − y = 0 (Ec. tan gente ) Puntos de int er sec ción grafica − tan gente ⎧ f (1) = 13 − 3.12 + 2.1 = 0 x=0 ⎧ ⇒⎨ 2 x = x − 3 x + 2 x ⇒ x − 3 x = 0 ⇒ (x − 3)x = 0 ⇒ ⎨ y = 2.1 = 2 ⎩x − 3 = 0 ⇒ x = 3 ⎩ 3

2

3

2

2

(

)

Puntos de corte de la función ⇒ x 3 − 3 x 2 + 2 x = 0 ⇒ x 2 − 3 x + 2 x = 0 ⇒ x=0 ⎧ 3 +1 ⎪ ⎧ =2 x= ⎪ ⎪ ± 3 1 ⇒ 2 ⎨ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇒ Δ = 9 − 8 = 1 > 0 ⇒ x = ⇒⎨ − 3 1 ⎪ 2 ⎪y = =1 ⎪⎩ 2 ⎩ 27 − 54 + 24 3 ⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎛ 3 ⎞ 27 27 − +3= =− Número de incognitas ⇒ Sistema Incompatible Si k = −3 ⎛− 3 3 0 ⎞ ⎛− 3 3 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 2 − 3 ⎟ ≡ ⎜ 0 5 − 3 ⎟ ⇒ Sistema Compatible Deter min ado ⇒ 5 y = −3 ⇒ y = − ⇒ ⎜ 3 5 ⎜ 3 −3 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9 9 3 3⎞ ⎛ 3 − 3 x − = 0 ⇒ −3 x = ⇒ x = − ⇒ Solución⎜ − , − ⎟ 5 5 5 5⎠ ⎝ 5 Si k = 0 ⎛ 3 2 0⎞ ⎛ 3 2 0⎞ ⎛ 3 2 0⎞ ⎛ 3 2 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 3 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 3 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 1 0 ⎟ ≡ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⇒ Sistema Compatible Deter min ado ⇒ Solución(0 , 0 ) ⎜ 3 0 0⎟ ⎜0 − 2 0⎟ ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Si k = 3 ⎛3 3 0⎞ ⎛ 3 3 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 2 3 ⎟ ≡ ⎜ 0 − 1 3 ⎟ ⇒ Sistema Compatible Deter min ado ⇒ − y = 3 ⇒ y = −3 ⇒ ⎜3 3 0⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3x − 9 = 0 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3 ⇒ Solución(3 , − 3)

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4 − 2x 2 , x a) Determínense el dominio de f, sus asíntotas, simetrías, y máximos y mínimos relativos. Esbócese su gráfica. PR-2.- .- Sea f ( x) =

2

b) Calcúlese

∫ f (x ) ln (x ) dx 1

a) 4 − 2.0 2 4 = ⇒ ∃/∀x ∉ ℜ ⇒ Dom( f ) = ∀x ∈ ℜ − {0} 0 0 Asíntotas verticales

x = 0 ⇒ f ( 0) =

⎧ 4 − 2.0 2 4 ( ) = = − = −∞ lim f x ⎪⎪ x →0 − − 0 0 x=0⇒⎨ 2 − 4 2 . 0 4 ⎪ lim f (x ) = = + =∞ + + 0 0 ⎩⎪ x →0 Asíntotas horizontales 4 2x 2 4 4 − 2 −2 −2 2 2 2 −∞ 4 − 2x 0−2 2 x x x ∞ = = − ⇒ No existe cuando x → ∞ = = lim = lim = y = lim x →∞ x →∞ x →∞ x 1 1 ∞ x 0 0 2 ∞ x x 2 4 2x 4 − 2 −2 2 2 2 2 4 − 2x 4 − 2x 0−2 2 −∞ x x x y = lim = lim = = lim = lim = =− x → −∞ x →∞ x →∞ x 1 x 0 −x − ∞ x →∞ −0 − 2 − x x ⇒ No existe cuando x → −∞ Asíntotas oblicuas 4 2x 2 4 4 − 2x 2 4 − 2 −2 −2 2 2 2 4 − 2 x 0−2 x x x x ∞ m = lim = lim = lim = lim = = = −2 2 2 x →∞ x →∞ x →∞ x →∞ x 1 1 1 x x x2 ⎛ 4 − 2x 2 ⎞ 4 − 2x 2 + 2x 2 4 4 n = lim⎜⎜ − (− 2 )x ⎟⎟ = lim lim = = 0 x →∞ x →∞ x x ∞ ⎝ x ⎠ x →∞ Cuando x → ∞ ⇒ y = −2 x 4 2x 2 4 4 − 2x 2 4 − 2 −2 −2 2 2 2 4 − 2x 0−2 x x x x ∞ m = lim = lim = lim = lim = = = −2 2 2 x → −∞ x → ∞ x → ∞ x → ∞ x 1 1 1 x x x2 ⎛ 4 − 2x 2 ⎞ 4 − 2x 2 + 2x 2 4 4 n = lim ⎜⎜ − (− 2 )x ⎟⎟ = lim lim =− =0 x → −∞ x → ∞ x → ∞ −x −x ∞ ⎝ x ⎠ Cuando x → −∞ ⇒ y = −2 x

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Juan Carlos Alonso Gianonatti

Continuación del Problema 2 de la Opción B 4 − 2x 2 4 − 2x 2 f (− x) = =− = − f (x ) ⇒ Simétrica respecto al origen −x x

(

)

− 4 xx − 4 − 2 x 2 − 2x 2 − 4 x2 + 2 2 = = − ⋅ ⇒ f ' ( x ) = 0 ⇒ x 2 + 2 = 0 ⇒ x 2 = −2 ⇒ x = ± − 2 ⇒ 2 2 2 x x x No hay máximos ni mínimos relativos f ' ( x) =

15

Y 10

5

X 0 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-5

-10

-15

b) ln ( x ) 4 − 2x 2 ln (x ) dx = 4 ∫ I= ∫ dx − 2 ∫ x ln ( x ) dx = x x 1 1 1 2

2

2

⎧ x = 2 ⇒ t = ln 2 dx ln x = t ⇒ = dt ⇒ ⎨ x ⎩ x = 1 ⇒ t = ln 1 = 0

[ ]

{( 2 ) ln

I=

1 2 ⋅t 2

I=

1 1 ⋅ ln 2 2 − 2 ⋅ ln 2 + ⋅ 2 2

ln 0

2

−

2

}

∫ x dx = 2 ⋅ {ln 1

2

1

{( 2 ) − 1 }= 12 ⋅ ln 2

2

2

⎤ x⎥ − ⎦1

1 2 dx ⎞⎟ ∫1 2 ⋅ x x ⎟ ⎠ 2

⎧ ⎪ ⎨ 1 ⎪ x dx = dv ⇒ v = ∫ x dx = ⋅ x 2 2 ⎩

2

2 − 12 ln 1 +

⎛ ⎡1 ⎜ ⋅ x 2 ln 2 t dt − ∫0 ⎜ ⎢⎣ 2 ⎝ dx ln x = u ⇒ du = x ln 2

2

2−

}

2 − 0 2 − 2 ⋅ ln 2 + 1.0 +

[ ]

1 2 ⋅ x 2

2

1

2 1 1 1 ⋅ ln 2 + ⋅ (2 − 1) = ⋅ ln 2 2 − ln 2 + 2 2 2 2

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C-1.- ¿Existen máximos y mínimos absolutos de la función f ( x) = cos x + 1 en el intervalo [0 , π ] ?. Justifíquese su existencia y calcúlense. f ' ( x) = − sen x ⇒ f ' ( x) = 0 ⇒ − sen x = 0 ⇒ sen x = 0 ⇒ x = 0 + kπ , k ∈ ℜ

f ' ' (0 ) = − cos 0 = −1 < 0 ⇒ Máximo ⎧ f ' ' (x ) = − cos x ⇒ ⎨ ⎩ f ' ' (π ) = − cos π = −(− 1) = 1 > 0 ⇒ Mínimo Como los extremos relativos se cumplen en los puntos extremos del int ervalo estos son extremos absolutos. Máximo absoluto en x = 0 ⇒ f (0 ) = cos 0 + 1 = 1 + 1 = 2 ⇒ (0 , 2 ) Mínimo absoluto en x = π ⇒ f (π ) = cos π + 1 = −1 + 1 = 0 ⇒ (π , 0 )

2 a⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ C-2.- Dadas las matriz P = ⎜ 2 a + 1 0 ⎟ , determínense los valores del número real a ⎜3 4 5 ⎟⎠ ⎝ para los cuales existe la matriz inversa de P a 1 2

P ≠ 0 ⇒ P = 2 a + 1 0 = 5(a + 1) + 8a − 3a (a + 1) − 20 = 5a + 5 + 8a − 3a 2 − 3a − 20 = −3a 2 + 10a − 15 3 4 5 P = 0 ⇒ −3a 2 + 10a − 15 = 0 ⇒ 3a 2 − 10a + 15 = 0 ⇒ Δ = 100 − 180 = −80 < 0 ⇒ ∀a ∉ ℜ

Existe P −1 ⇒ ∀a ∈ ℜ

C-3.- Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la x2 en el punto x = 0 función f ( x) = 2 x +1

f ' ( x) =

(

)

2 x x 2 + 1 − 2 xx 2

(x

2

)

+1

2

=

2x3 + 2x − 2x3

(x

2

)

+1

2

=

(x

2x 2

)

+1

2

⇒

2⋅0 0 ⎧ = = 0 ⇒ Ec. tan g . ⇒ y − 0 = 0 ⋅ ( x − 0 ) ⇒ y = 0 2 ⎪m = f ' (0) = 2 1 0 +1 02 0 ⎪ = =0⇒⎨ f (0 ) = 2 1 1 1 1 = − = − ⇒ y − 0 = − ⋅ (x − 0) ⇒ x = 0 m' = − 0 +1 1 ⎪ 0 0 0 f ' (0 ) ⎪ 1 ⎩

(

)

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C-4.- El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo A(3 , 0 , -1), B(6 , -4 , 5) y C(5 , 3 , z). Calcúlese el valor de z y hállese el área del triángulo.

Los vectores AB y AC son perpendiculares, entre si, siendo su producto escalar nulo. ⎧⎪ AB = (6 , − 4 , 5) − (3 , 0 , − 1) = (3 , − 4 , 6 ) ⇒ AB ⋅ AC = (3 , − 4 , 6) ⋅ (2 , 3 , z + 1) ⇒ 6 − 12 + 6( z + 1) = 0 ⎨ ⎪⎩ AC = (5 , 3 , z ) − (3 , 0 , − 1) = (2 , 3 , z + 1) − 6 + 6z + 6 = 0 ⇒ 4z = 0 ⇒ z = 0 i j k 1 A = ⋅ AB × AC ⇒ AC = (2 , 3 , 0 + 1) = (2 , 3 , 1) ⇒ AB × AC = 3 − 4 6 2 2 3 1 AB × AC = −4i + 12 j + 9k + 8k − 18i − 3 j = −22i + 9 j + 17 k ⇒ AB × AC = A=

(− 22)2 + 9 2 + 17 2

1 ⋅ 854 u 2 2

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