INTRODUCCIÓN DEL TEMA 2 ESPACIOS VECTORIALES Vamos a construir una serie de objetos sobre el plano z = 0. Al principio solamente tenemos  dicho plano (en verde)

Antes   de   empezar   a   construir   algo,   empezamos   por   dibujar   el   sistema   de   referencia  “canónico” formado por el origen y los tres ejes

Podemos interpretar esos ejes  como una forma de, partiendo del origen, ser capaces   de  construir   otros   puntos   a   base   de   movimientos   en   esas   direcciones.   Por     ejemplo,   decir   que   el  siguiente punto es el (10,8,3) es lo mismo que decir que lo hemos construido moviéndonos desde el  origen 10 pasos en la dirección “derecha”, después 8 pasos hacia “adelante” y finalmente 3 pasos  hacia arriba

Partimos del origen

Nos movemos 10 a la derecha

Ahora 8 hacia adelante

Finalmente 3 arriba

Con esta idea, decidimos construir cuatro objetos sobre este terreno. Los cuatro objetos van a  ser los siguientes:

Estos objetos son complicados, así que como primer paso te planteas ser, al menos, capaz de  calcular algunos puntos de ellos (sus “picos”) y para eso quieres construir esos puntos tal y como  calculamos el (10,8,3) Empezando por la casa, podemos empezar por calcular las cuatro esquinas del suelo. Para  ellos necesitamos saber qué tamaño queremos que tenga el suelo y nos dicen que tenga una fachada  de longitud 10 y una profundidad de 20. Dibujando la casa de forma que el centro del suelo esté en el origen, los cuatro puntos a  calcular serían

El   punto   de   adelante   a   la   derecha   lo   podemos   obtener   ahora   partiendo   del   origen   y  moviéndonos 5 a la derecha y 10 adelante con lo que será el (5,10,0). De forma análoga obtenemos  que los otros son (­5,10,0), (5,­10,0) y (­5,­10,0). Ahora queremos poner los objetos de forma que queden bonitos y se nos ocurre distribuirlos  de la forma siguiente.

donde   hemos   puesto   los   centros   de   los   objetos   uno   en   cada   cuadrante   esto   lo   hemos   hecho  moviéndonos 20 a derecha a izquierda o derecha y 20 adelante o atrás. Es decir, que tenemos: Centro de la casa = (­20,­20,0) Centro del porche = (­20,­20,0) Centro de las pirámides = (­20,­20,0) Centro de las vallas = (20,20,0) Vamos a centrarnos de nuevo en la casa y queremos empezar por construirnos de nuevo las  cuatro esquinas del suelo:

El  problema es que ya no se ve tan claro cómo se llega a esos  puntos desde el origen  moviéndonos en las direcciones de los ejes. Está claro que hay que moverse a la izquierda y atrás,  pero no cuánto.

Una primera idea es que parece más fácil llegar a ellos desde el centro de la casa que desde  el origen. Incluso así sigue sin ser fácil. Una forma de solucionar esto es construir antes de nada  unas nuevas direcciones por las que podamos movernos para llegar a estos puntos.  Como   los  objetos  están “inclinados” 45º nos  interesan las  diagonales. De hecho, si  nos  pusiéramos en la puerta de la casa nuestro “derecha­izquierda” es la dirección dada por movernos a  la derecha y atrás, esto es, la dirección (1,­1,0) mientras que nuestro “adelante­atrás” sería derecha  adelante, o sea (1,1,0).

Es decir hemos construido un nuevo “origen” desde el que movernos (el centro de la casa) y  tres nuevas direcciones desde las que movernos.  Este tipo de construcción se llama un sistema de referencia y es el primer paso para construir  objetos cuando no se ve sencillo cómo hacerlo desde el origen usando los ejes. Los vectores que nos  dan las direcciones se llaman una base. Nosotros los llamaremos u (el azul), v (el rojo) y w (el  amarillo) Para movernos en una de estas direcciones, lo haremos de la siguiente forma: Movernos 2 “pasos” partiendo de C en la dirección de u es hacer C+2*u.  Una simplificación útil en gráficos es que cada paso tenga siempre longitud 1. Tal y como  hemos cogido u, realmente cada paso tiene longitud   2 ya que u era (1,­1,0). Por eso, es mejor  tomar u= 1/  2 ,−1/  2 ,0  y lo mismo con v. Ya podemos olvidarnos del origen y los ejes para construir la casa y usar solamente u, v, w.  Una vez hecho esto podemos obtener fácilmente un vértice del suelo de nuestra  casa en dos pasos

Partiendo del centro, nos movemos 5 pasos en la  Después nos movemos 10 pasos en la dirección  dirección de u de v Por tanto ese punto es C+5*u+10*v. Es fácil comprobar ahora que los vértices del suelo son: C+5*u+10*v, C­5*u+10*v, C+5*u­10*v, C­5*u­10*v. NOTACIÓN Y OBSERVACIONES Las construcciones anteriores se obtienen sumándole  al origen del sistema de referencia una  serie de múltiplos de los vectores que representan las direcciones en las que estamos interesados.  Este tipo de sumas se llaman combinaciones lineales de los vectores del sistema de referencia. Es   conveniente  destacar  que estamos  usando  simultáneamente  puntos   y vectores,  lo   que  podría   llevar   a   confusiones.   Para   evitarlas,   una   posibilidad   (que   se   usa   en   bastantes   libros   de  Informática Gráfica) es introducir al final de cada uno de ellos un dígito más que valdrá 1 ó 0  dependiendo de si es un punto o no (en cuyo caso será un vector). Así   (3,4,5;1)   representa   el   punto   (3,4,5)   y   (3,2,1;0)   el   vector(3,2,1).   Como   siempre  tendremos las siguientes operaciones (que encajan con nuestra notación) vector = punto final del vector – punto origen del vector vector + vector = vector punto + vector = punto punto + punto = imposible  Esto último es fácil de recordar. Por ejemplo los puntos (3,4,5;1) y (2,2,1;1) no pueden sumarse  porque quedaría (3,4,5;1) + (2,2,1;1) = (5,6,6;2) que no es ni punto ni vector. Este tipo de notación se llama notación proyectiva. A fin de simplificar la notación, nosotros no  usaremos dicha notación. Respecto a las direcciones que escojamos la única limitación, en principio, es que a través de 

ellas   podamos   construir   todos   los   puntos   que   nos   interesen.   Un  conjunto   de   vectores   con   esta  condición se llama un sistema generador. Si tenemos como antes un punto C y un sistema generador u, v, w lo escribiremos R =  {C;u,v,w}. Si un punto puede obtenerse, por ejemplo, partiendo de C y sumándole 2*u, luego 3*v y  finalmente 4*w tendremos el punto P = C + 2*u + 3*v +4*w  lo denotaremos por (2,3,4)R En principio, una buena idea podría ser tener sistemas de referencia con muchas direcciones  ya que nos posibilita tener más “direcciones” para construir los puntos que queramos. Sin embargo  nos encontramos con un problema al identificar los puntos que construimos, ya que puede haber  más de una forma de construirlos. Veamos un ejemplo de esto: Partimos de: punto C = (­20, ­20, 0) vectores  u =  1/  2 ,−1/  2 ,0 , v =  1/  2 ,1/  2 ,0  y w = (0, 0, 1).  También podríamos incluir el eje x = (1, 0, 0) y el eje y = (0, 1, 0) Tendríamos R = {C; u, v, w, ejex, ejey} con el que podemos construir diferentes puntos. Si  queremos construir el punto (0, 0, 0). Es fácil comprobar que las dos construcciones siguientes lo  hacen: (0, 0, 0) = C + 0*u + 0*v + 0*w + 20*ejex + 20*ejey  (0, 0, 0) = C +0*u +   2 v + 0w +0*ejex + 0*ejey Por tanto podríamos escribir  (0, 0, 0) = (0, 0, 0, 20, 20)R o como (0, 0, 0) = (0,

2

, 0, 0, 0)R

O sea, el mismo punto puede escribirse de dos formas distintas, que se corresponden con las  dos formas de construirlo.  Esto   puede   hacer   que   nos   equivoquemos.   Por   eso   se   suele   pedir   que   los   sistemas   de  referencia estén puestos de forma que las construcciones que puedan hacerse sean únicas, es decir,  que un punto solamente pueda construirse de una única forma. La condición necesaria para ello es  que los vectores escogidos sean linealmente independientes esto es, que ninguno pueda construirse a  partir de los demás. Las dos condiciones juntas, que se puedan construir todos los puntos y que además se pueda  hacer  de una única manera es equivalente a pedir que los vectores del sistema de referencia sean 

una base. Es una condición que nosotros usaremos (casi) siempre. En cambio, las condiciones acerca de la longitud de los vectores o del ángulo que forman no  son necesarias. De todas formas, el caso más habitual es que los vectores sean perpendiculares entre  sí y de longitud 1 al igual que ocurre con el sistema de referencia “canónico”.

Sistema de referencia canónico Sistema   de   referencia   con   ejes  Sistema de referencia con  de diferente tamaño vectores de diferente tamaño y  no perpendiculares entre sí En el Tema 5 veremos técnicas para construir vectores perpendiculares. Veremos al final un caso en el que pueden interesarnos sistemas de referencia “inclinados”

CONSTRUYENDO OBJETOS MÁS COMPLEJOS Volviendo a nuestra casa, nosotros teníamos construidos los 4 puntos del suelo usando el  sistema de referencia formado por el centro de la casa y los vectores u, v y w. Es fácil construir ahora 4 puntos más “levantando” estos, es decir sumándoles la altura de la  casa multiplicada por w. Con eso tendríamos la siguiente situación:

Calculamos el pico de delante partiendo del centro de la casa, yendo 10 en dirección de v (el  de atrás será ­10) y luego la altura más la mitad del ancho en la dirección de w . Tenemos ahora:

Pero, ¿cómo dibujamos la casa? Para eso tenemos que saber construir objetos más complejos  que puntos. RECTAS Tenemos dos puntos y queremos dibujar el segmento definido por esos dos puntos. Supongamos que tenemos el punto P en azul y el Q en rojo.

Podemos obtener los puntos de la recta a partir de P moviéndonos hacia Q o en dirección 

contraria a Q. Por eso, en primer lugar calculamos el vector u que va de P a Q.  

A partir de aquí puedo calcular cualquier punto de la recta mediante la expresión: P + t*u = P + t*(Q­P) donde t me dice la longitud del paso que quiero dar, entendiendo que un paso  de longitud 1 es ir de  P a Q.

Entendiendo lo que hemos hecho, es fácil escoger puntos adecuados:

– – – – –

Si t es positivo, los puntos están en la dirección que va de P a Q Si t es negativo, irán en dirección contraria Cuanto más grande sea t, más alejado sale el punto de P En t = 1 sale exactamente Q Si queremos puntos entre P y Q, necesitaremos valores de t positivos pero que valgan como  mucho 1

Es decir, la ecuación del segmento que va de P a Q es {P+t*u / 0