ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Vol. 44, Núm. 150, 2002, págs. 161 a 173

Juan Caramuel y el Cálculo de Probabilidades por FRANCISCO JAVIER MARTÍN PLIEGO Facultad de Ciencias Jurídicas y Sociales Universidad Rey Juan Carlos

JESÚS SANTOS DEL CERRO Facultad de Derecho y Ciencias Sociales Universidad de Castilla-La Mancha

RESUMEN En este trabajo tratamos de recoger las aportaciones de Juan Caramuel a la moderna teoría de probabilidades, cuya Kybeia, que constituye un breve tratado de 22 páginas contenido en su obra titulada Mathesis biceps, representa el segundo tratado sobre el moderno Cálculo de Probabilidades de la historia después del de Huygens. En esta Kybeia, término de origen griego que se refiere a los juegos de dados, su autor realiza un análisis sobre cuestiones relativas a juegos de azar y apuestas aplicando la teoría combinatoria. Caramuel representa el primer precedente relevante en la relación de la “geometría del azar” pascaliana con cuestiones filosóficas y morales, cuya conexión definitiva realizó Jacques Bernoulli en su Ars Conjectandi. Solamente cuando el concepto probabilitas, procedente de la Teología Moral fue asimilado por la “geometría del azar”, el moderno Cálculo de Probabilidades podrá alcanzar el enorme desarrollo que adquirió después de la publicación de la obra de Jacques Bernoulli.

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Palabras clave: Historia de la Probabilidad, Probabilismo, Juegos de azar, Casuística, siglo XVII. Clasificación AMS: 60-03, 01A45

I.

INTRODUCCIÓN

No es nueva la idea, que muchos albergan, de que España ha ido siempre a remolque y con gran retraso en el cultivo y recepción del Cálculo de Probabilidades, cuyo origen y posterior desarrollo se realizó completamente en países europeos tales como Francia, Países Bajos, Inglaterra, etc. Esta idea no es completamente cierta, como veremos en este trabajo, especialmente en los primeros pasos del moderno cálculo de azares fundado por Pascal y Fermat, debido a una figura excepcional en la historia de la ciencia como fue Juan Caramuel Lobkowitz (16061682), hombre célebre por su sabiduría y enciclopedismo, nacido en Madrid y que a los diecisiete años ingresó en la orden cisterciense. Cursó estudios en las Universidades de Alcalá, Salamanca y alcanzó el título de doctor en la de Lovaina. Cultivó las más variadas materias tales como las matemáticas, la astronomía, la arquitectura, la teología, etc., a las que su vasta cultura, propia de un hombre del Renacimiento, y gran ingenio dedicó más de dos centenares de obras.

II. CONSIDERACIONES EN LA LITERATURA DE LA FIGURA DE CARAMUEL En la Historia del Cálculo de Probabilidades, tanto antigua como reciente, la mayoría de los autores no han dedicado ni siquiera una breve referencia a la obra de Caramuel. Sólo unos pocos como Todhunter, Keynes y Hald han recogido sucintamente las aportaciones de Caramuel a la moderna teoría de la probabilidad, si bien ninguno de ellos señala que su Kybeia, quae Combinatoriae Genus est, de Alea et Ludis Fortunae serio Disputans (1670) constituye el segundo tratado sobre el moderno Cálculo de Probabilidades que se publicó en la historia después del tratado de Huygens De Ratiociniis in Ludo Aleae (1656). Sí reconocen aquel mérito Wieleitner en su Historia de la Matemáticas, Manuel Velasco Pando en su Discurso Inaugural del año académico 1957-58 de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales y Santiago Garma en un artículo titulado La Combinatoria y las Probabilidades en el siglo XVII, según Caramuel (1982). Todhunter dedica el capítulo sexto de su A History of the Mathematical Theory of Probability (1865) al estudio de algunas investigaciones entre 1670 y 1700, por el siguiente orden: Caramuel, Sauveur, James Bernoulli, Leibnitz, el traductor del tratado de Huygens en lengua inglesa (Arbuthnot), Roberts y Craig. El contenido

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del citado capítulo es un conjunto de información que comprende desde la publicación del tratado de Huygens hasta los trabajos de James Bernoulli, Montmort y De Moivre. En las líneas en las que se refiere a Caramuel lo más llamativo, desde nuestro punto de vista, es la dura crítica que realiza Nicolás Bernoulli hacia Caramuel y su aportación. En concreto, hace referencia a una carta de Nicolás Bernoulli a Montmort, recogida por este último en la segunda edición de su libro Essay d´Analyse sur les Jeux de Hazard. En ella critica muy duramente a Caramuel, a pesar de lo cual lo cita inmediatamente después de Huygens y Pascal en un contexto en el que Nicolás Bernoulli trata de alentar a su amigo Pierre de Montmort sobre la preeminencia de este último en la publicación de ciertos métodos del Cálculo de Probabilidades. Esta postura nos parece excesiva, incluso el propio Todhunter lo considera exagerada y señala aquello que Caramuel realiza correctamente y lo que, en cambio, son errores. Conviene en este punto destacar que pocos años antes de que el cisterciense español cometiese tan “imperdonables” errores, el mismo Pascal parece no entender el método que Fermat le propone sobre el reparto de la apuesta para el caso de tres jugadores. El mismo Huygens comete un error que arrastra a lo largo de un apéndice a su De Ratiociniis in Ludo Aleae, escrito originalmente en latín y que puede encontrarse en castellano en el libro Los Inicios de la Teoría de la Probabilidad: siglos XVI y XVII de Marisol de Mora.

III. LOS ERRORES DE CARAMUEL Caramuel estudia distintos juegos, como el problema de los dados y el de la división de las apuestas. Algunos los resolverá perfectamente, en otros, ya lo veremos, comete algunos errores que le conducen a soluciones incorrectas. Resuelve perfectamente el problema de la división de las apuestas (recordemos que consiste en establecer una regla que permita dividir lo apostado en un juego de azar cuando éste se interrumpe antes de que finalice) entre dos jugadores de los que a uno le falta una partida para ganar y al otro dos, tres, cuatro, etc., y así sucesivamente, de lo que se deducen las proporciones correctas a repartir en las sucesivas situaciones: 3 a 1, 7 a 1, 15 a 1, 31 a 1, etc., respectivamente. Caramuel va resolviendo estas situaciones sucesivas al hilo de dos ejemplos: uno de juego de dados y otro de juego de pelota. El método que utiliza es el mismo que usan Pascal y Huygens. En uno de estos ejemplos, una de las múltiples situaciones es la siguiente:

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“Jugaban a los dados Camilo y Federico, cada uno de ellos habría apostado una moneda de oro con la siguiente condición, el que venciese tres veces, se llevaría todo lo apostado. Federico habría conseguido dos victorias, Camilo sólo una”(1). El razonamiento está basado en el método recurrente de Pascal, que más tarde seguirá Huygens:

“Si Camilo gana en este cuarto punto, estarán igualados; y si a continuación se retiran, cada cual recupera lo suyo. Si en el cuarto punto ganase Federico se lo llevará él todo y Camilo nada. (...). Entre el 1 y el 2 hay 1½, luego si antes de concluir el juego se separan, y desisten de la propuesta hecha al comienzo del juego, aparece una desigualdad (½ y 1½) que significa que hay que obrar con equidad”(2). En todas las situaciones de interrupción del juego con dos jugadores lo resuelve perfectamente, pero cuando intenta estudiar este mismo problema, interviniendo tres jugadores, Caramuel obtiene una respuesta errónea. Supone tres jugadores a los que les faltan uno, dos y dos puntos, respectivamente, para vencer. Las proporciones que obtiene son 2, 1 y 1, en el mismo orden. Veamos que esto no es así: supongamos que estamos en el caso en el que falten uno, uno y dos puntos a los tres jugadores, respectivamente. Utilizaremos la siguiente notación para describir la situación de la partida mediante una terna de valores que indican los puntos que faltan a cada jugador para ganar la partida, de modo que la situación inicial en este ejemplo viene dada por (1, 1, 2). Si se jugase un punto adicional podría ocurrir (0, 1, 2), lo cual supone que se llevaría todo el primer jugador; (1, 0, 2) lo que implicaría algo similar a lo anterior para el segundo jugador y (1, 1, 1) que significaría un reparto equitativo. La proporción que correspondería al primer jugador en la situación (1, 1, 2) sería

1 1 11 4 1 1 11 1 = , lo mismo para el segundo y 0 + 0 + = 1+ 0 + para el tercero. 3 3 33 9 3 3 33 9

Si se interrumpe el juego cuando el estado del mismo está representado por la terna (1, 2, 2), procederíamos del siguiente modo: si se jugase un nuevo punto podría suceder (0, 2, 2), (1, 1, 2) ó (1, 2, 1). Por tanto, la proporción de lo apostado para el primer jugador sería

1 1 4 1 4 17 1 14 11 5 + = + = 1+ 0+ , para el 3 3 9 3 9 27 3 3 9 3 9 27

segundo y lo mismo para el tercero, lo cual representaría las proporciones 17, 5, 5 respectivamente y no 2, 1, 1.

(1) Caramuel (1670): “Kybeia, quae Combinatoriae Genus est, de Alea et Ludis Fortunae serio Disputans” en “Mathesis biceps(vetus et nova)”.Campania, Num. LVIII p. 976. (2)

Caramuel (1670): Ibidem, Num. LIX p. 976.

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“Supongamos que hay tres Alcones: Iodoco, Termes y Blafiro, a éste le falta un punto y a los demás dos a cada uno. (...).Por lo que Iodoco tendrá 24, Termes 24 y Blafiro 48, según la columna D”(3). El error que comete Caramuel es desviarse del problema inicial al considerar apuestas entre cada par de jugadores. Más precisamente, supone que cada par de jugadores apuesta un doblón de oro cada uno entre sí, de tal modo que lo que le corresponde a cada uno de ellos es la suma de lo que le correspondería en su apuesta particular con cada uno de los restantes jugadores, individualmente. Esto resultaría así:

Iodoco y Termes Iodoco y Blafiro Termes y Blafiro

Estado (2,2) (2,1) (2,1)

Apostado 1 + 1 doblones 1 + 1 doblones 1 + 1 doblones

Reparto (1,1) (1/2,3/2) (1/2,3/2)

A Iodoco le corresponderían 1 + 1/2 = 3/2 doblones de oro, a Termes lo mismo y a Blafiro 3/2 + 3/2 = 3 doblones de oro, con lo que la regla de proporciones es 1, 1, 2. El mismo error comete en el caso en el que a dos jugadores les falte un punto para ganar el juego y al tercero dos. Siguiendo con nuestra notación se trataría del estado expresado por la terna (1, 1, 2), a partir de la que, si se jugase otro punto, se podría alcanzar una de estas tres situaciones (1, 1, 1); (0, 1, 2) ó (1, 0, 2). La proporción de lo apostado que le correspondería al primer jugador sería

11 1 1 4 11 1 1 1 + 1+ 0 = , lo mismo para el segundo y + 0+ 0 = para el tercero, 33 3 3 9 33 3 3 9 o lo que es lo mismo, lo apostado se repartiría según las proporciones 4, 4, 1. Caramuel se vuelve a equivocar y da un resultado incorrecto, a saber: 5, 5, 2. Plantea, también, un problema similar a los anteriores. A diferencia de los casos estudiados más arriba, en este nuevo problema el juego se interrumpe antes de comenzar a jugar pero, por el criterio que sea, existe un orden previo en el que los jugadores intervienen. El ejemplo concreto se refiere al lanzamiento de un dado en donde gana el primero que obtenga un cierto número del 1 al 6. Al interrumpirse el juego surge la necesidad de averiguar la proporción en que se han de repartir lo apostado. La respuesta de Caramuel es que se ha de repartir según las razones 37 a 35, respectivamente, entre el primer y segundo jugador. El cálculo correcto sería el siguiente: el primer jugador puede ganar en el primer lanzamiento del dado, o en el tercero, o en el quinto, etc., y el segundo en el se-

(3)

Caramuel (1670): Ibidem, Num. LXVI. pp. 978-979.

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gundo lanzamiento, en el cuarto, o en el sexto, etc., de tal modo que las probabilidades que tienen de ganar ambos jugadores son: P (ganar el primer jugador) = P (gane en el 1er lanzamiento ó gane en el 3er lanzamiento ó gane en el 5o lanzamiento ó ...) =

1 6

5 +  6

2

1 6

5 +  6

4

1 6

+ ... =

6 11

P (ganar el segundo jugador) = P (gane en el 2o lanzamiento ó gane en el 4o lanzamiento ó gane en el 6o lanzamiento ó ...) =

5 1 6 6

5 +  6

3

1 6

5 +  6

5

1 6

+ ... =

5 11

Por tanto, la razón correcta es 6 a 5.

IV. TEOLOGÍA Y MATEMÁTICA Puede resultar sorprendente para un lector actual ver unidos dos términos tan “dispares” como son la teología y la matemática. Se concibe en la ciencia actual, en general, la probabilidad como un concepto meramente matemático, sin embargo, desde un punto de vista histórico, la noción de probabilidad tiene un origen filosófico y teológico. Existe un acuerdo generalizado sobre la fijación del nacimiento del moderno Cálculo de Probabilidades a mediados del siglo XVII por la conocida correspondencia entre Pascal y Fermat. No obstante, en esta época lo que se crea es el cálculo en sí mismo y no una noción nueva de probabilidad. Lo que se produjo realmente fue una asimilación de una concepción ya existente en teología y filosofía a cuestiones relativas a juegos de azar. En este proceso representa un papel relevante las elaboraciones del probabilismo moral, fundado por el dominico español Bartolomé de Medina (1528-1580) y desarrollado principalmente por doctores españoles. Este probabilismo constituye una doctrina moral y, como tal, se ocupa de cuestiones que afectan a la vida cotidiana de las personas, que utiliza la probabilidad como argumento basado en razones de peso y en la autoridad de hombres sabios para discernir la licitud o ilicitud de la puesta en práctica de ciertos principios morales en cuestiones de conciencia que se suscitaban en la vida de cualquier cristiano. Esta doctrina, fundada a finales del siglo XVI, tuvo un notable auge y difusión por toda Europa durante el siglo XVII, en el que conviene destacar la polémica mantenida en torno a dicha doctrina entre jesuitas, partidarios de la misma, y los jansenistas, opuestos a la misma y al poder e influencia política de los jesuitas. En este sentido, resulta de gran interés destacar que Pascal fue partidario y defensor de los jansenistas a quienes prestó su pluma ágil y eficaz para luchar contra los jesuitas y su doctrina probabilística. Esto puede constituir el motivo por el

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que Pascal no utilizase en sus escritos reconocidos el término probabilidad sino palabras como suertes, azares, etc. Es sabido que Pascal y Fermat desarrollaron métodos diferentes en la resolución del problema de la división de las apuestas. El primero elaboró un método recurrente que parte de resultados finales para ir retrocediendo sucesivamente hasta el principio del juego. Fermat construyó otro método basado en las combinaciones, describe los caminos que conducen a ganar y a perder de cada jugador, siendo la relación entre ambos la regla que se ha de seguir en el reparto de las apuestas. Tal y como destacan Clero y Caramatie, Fermat describe una situación mientras que Pascal razona directamente sobre el valor de la equidad. Por su parte Caramuel, al comienzo de la Kybeia, después de realizar unas breves consideraciones históricas acerca de los juegos de azar establece el siguiente principio:

“En los juegos de azar, que dependen sólo de la fortuna, se debe observar en todo momento la equidad”(4). La consideración de Caramuel hacia los juegos de azar no se restringe exclusivamente a resolver problemas de carácter matemático sino que también trata aspectos jurídicos y morales inherentes a la realización de los propios juegos. Como se dijo antes, Fermat enfoca el problema de la división de las apuestas desde un punto de vista puramente matemático, mientras que Pascal y Huygens introducen una hipótesis de equidad o justicia en el juego. Por su parte Caramuel establece clara y explícitamente la necesidad de utilizar tanto la Teología Moral como las matemáticas para dar respuesta a los problemas sobre juegos de azar. Para ello, Caramuel parte de la siguiente sentencia:

“Para que exista equidad, será necesario que el dinero de la apuesta se corresponda con el peligro de perderlo. De modo que los que se exponen al mismo peligro deben desembolsar igual cantidad. Pero será desigual cuando el peligro es desigual, porque uno se somete a mayor exposición que el otro. Mas aquí entre los contendientes se observa toda la equidad (pues así resulta o por el peligro o por la compensación). Por lo que este juego es lícito y ninguno está obligado a restituir. Y también puede ser que los contendientes no observan una total equidad (pues la desigualdad está en peligro o es el resultado de la compensación). Luego este juego es ilícito y cuando se presta a la desigualdad, se está obligado a restituir”(5). Para resolver estas cuestiones Caramuel acude a la Teología y a la Kybeia :

(4)

Caramuel (1670): Ibidem, Num. XLIX, p. 973.

(5)

Caramuel (1670): Ibidem, Num. XLIX, p. 973.

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“La primera [Teología] para que dilucide la Mayor del silogismo expresado y la segunda [Kybeia] para examinar la Menor y se pueda medir el grado de peligro”(6). De todos los autores que se dedicaron al cultivo de la nueva “geometría del azar” hasta Caramuel, el cisterciense español fue el primero en relacionar explícitamente el cálculo de azares con la Teología, y en concreto con la Teología Moral. Es sabido que la doctrina del probabilismo moral, fundada y desarrollada principalmente por doctores españoles, era utilizada por los casuístas españoles para averiguar la licitud o ilicitud de ciertos actos morales. En este sentido, se decía que una acción era probable cuando era aprobada por fuertes argumentos y por autoridades. Como ya sabemos, la correspondencia epistolar entre Pascal y Fermat, que dio lugar a la “geometría del azar” pascaliana, trata de la resolución de problemas relativos a juegos de azar, tales como el de la división de las apuestas. La interrupción del juego antes de concluir expone a los jugadores ante una situación de incertidumbre sobre ¿qué habría sucedido si el juego hubiese continuado? y lo que es más importante, ¿cómo repartir la apuesta?. La regla resultante proporcionará un medio de saber cómo actuar en una situación de incertidumbre, característica por otra parte común a las situaciones que se presentan a la Teología Moral respecto de la licitud o ilicitud de un acto moral. Pascal utilizará el mismo esquema de análisis relativo a juegos de azar para resolver problemas menos frívolos como realiza en su conocida “Pari” o “Apuesta de Pascal sobre la existencia de Dios”. A pesar de ser asunto trascendente lo plantea como una apuesta. Lo común en ambos tipos de problemas es la existencia de incertidumbre por parte del conocimiento humano. Se trata de un género de problemas a los que estaban habituados los doctores escolásticos españoles, cuya respuesta partía de la creación de la doctrina moral del probabilismo que fue aplicada a múltiples casos particulares en contratos mercantiles, en interpretación de leyes civiles, ... . Sin embargo, como ya se ha señalado, Pascal no llegó a utilizar en sus escritos sobre su “geometría del azar” el término “probabilitas”, utilizado continuamente por los doctores casuístas españoles. Tal vez la polémica que enfrentó a jansenistas y jesuitas, en la que participó activamente Pascal, le impidió reconocer que el concepto que mejor se ajustaba al objeto de su nueva geometría era precisamente el de la probabilidad de los doctores españoles, aunque el propio Pascal fuera conocedor de esta polémica.

(6)

Caramuel (1670): Ibidem, Num. XLIX, p. 973.

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La conexión definitiva entre el concepto de probabilidad utilizado en teología y el contenido de lo que Pascal denominó “geometría del azar” fue conseguida por Jacques Bernoulli en su Ars Conjectandi. Schneider señala que la intención de Bernoulli es relacionar el concepto de probabilidad utilizado en filosofía y teología y la “geometría del azar”.

“Sin embargo, la posibilidad de que este desarrollo surgiese fue solamente después de que se relacionase el concepto probabilitas, utilizado en filosofía y teología, y el cálculo de las proporciones del azar”(7). En su artículo “The Bernoulli” de la Encyclopedia of Statistical Science, Shafer enfatiza la relación entre los términos probabilidad y suerte, insistiendo en la procedencia teológica y filosófica del término probabilidad, de la que Jacques Bernoulli había bebido.

“En la larga tradición del pensamiento filosófico y teológico del que James Bernoulli fue heredero, la idea de probabilidad no fue estrechamente unida a la idea de suerte [chance]. Pascal, Fermat y Huygens no utilizaron incluso la palabra probabilidad en sus escritos sobre suerte [chance]; probabilidad, como los escolásticos sabían, era un atributo de la opinión, un producto del argumento o de la autoridad. La teoría que James estableció en la IV Parte del Ars Conjectandi fue un intento de llenar este vacío. Fue un intento de aplicar a la nueva teoría de los juegos de azar la probabilidad manteniendo la idea de que la probabilidad está basada sobre argumentos”(8). Resulta muy difícil establecer con claridad la influencia que Caramuel pudiera ejercer sobre el origen del nuevo Cálculo de Probabilidades y, en concreto, la utilización del concepto probabilitas utilizado en teología en el cálculo de azares, de lo que no cabe duda es de la intención explícita de este autor de tratar los problemas de la división de las apuestas no sólo desde una perspectiva puramente matemática sino también teológica.

(7) Schneider, I. (1976): “The Introduction of Probability into Mathematics”. Historia Mathematica 3, 1976. p. 138. (8) 217.

Shafer, G. (1982): “The Bernoulli”. Encyclopedia of Statistical Sciences. Vol. 1º, p.

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JUAN CARAMUEL AND THE THEORY OF PROBABILITY SUMMARY The purpose of this paper is to study Juan Caramuel´ contributions to the modern theory of probability, taking into account that his “Kybeia” is the second treatise on modern probability theory ever (after Huygens´s). The work by Caramuel represents the first relevant precedent in setting a relationship between random geometry and moral and philosophical issues. The final connection was carried out by Jacques Bernoulli in his Ars Conjectandi. Only when the probabilitas concept (precedent of Moral Theology) was assimilated by random geometry Modern Theory of Probability reached the enormous development obtained after the publication of Jacques Bernoulli´s work.

Key Words: History of the Probability, Probabilism, Games of chance, Casuistry, XVII century. AMS Classification: 60-03, 01A45

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