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La balanza de corriente (Balanza de Lorentz) Departamento de Física Aplicada. Universidad de Cantabria Febrero 23, 2010 Resumen Con la balanza de Lorentz, se determina la fuerza que actúa sobre un hilo conductor que transporta una corriente eléctrica en presencia de un campo magnético uniforme. Se utilizan espiras conductoras de diferentes tamaños y se mide la fuerza de Lorentz como una función de la intensidad de corriente que circula por la espira y de la inducción magnética. El valor de la inducción magnética se controla mediante la intensidad que se aplica a las bobinas de un electroimán.

Introducción Si bien, a continuación, se repasan los conceptos teóricos básicos necesarios para la realización de este experimento, esta introducción no debe sustituir la labor de consulta que el alumno debe realizar, sobre esta materia, en un libro de texto[1- 3]. Una partícula cargada con carga eléctrica q que se mueve con velocidad v, en presencia de un campo magnético B1, experimenta una fuerza que viene dada por la expresión, Fm=q·v x B. (1) Es la llamada fuerza de Lorentz (breve biografía en el Apéndice 1) que actúa sobre una carga puntual (fig. 1).

(a)

(b) Figura 1. Esquema de las orientaciones de los vectores involucrados en la expresión (1) cuando la carga eléctrica es positiva (a) o bien negativa (b).

v·dt

Figura 2. Segmento de hilo conductor de sección circular S, recorrido por una corriente. Los portadores de carga q (puntos rojos) se desplazan con velocidad promedio v.

Sea un hilo conductor de forma cilíndrica y sección transversal S, por el que circula una intensidad de corriente i. Sea n el número de portadores de carga por unidad de volumen, v la velocidad media de dichas partículas y q la carga de cada portador (fig. 2).

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Se expresa en negrita el carácter vectorial de la magnitud física.

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La carga dQ que atraviesa la sección normal S en el tiempo dt es la carga contenida en un segmento del hilo conductor de longitud v·dt y viene dada por dQ = n·q·S·v·dt. (2) La intensidad de corriente, i, es el flujo de carga, es decir, la cantidad de carga que atraviesa la sección normal S en la unidad de tiempo. Por tanto, dividiendo dQ entre el tiempo dt en la expresión (2), obtenemos la intensidad de la corriente eléctrica que circula por el hilo conductor, i = dQ/dt = n·q·S·v. (3) A partir de las ecs. (1) y (3), se puede obtener la fuerza ejercida sobre todos los portadores de carga contenidos en la longitud L del conductor, cuyo número es nSL, es decir, la fuerza total sobre el segmento de hilo considerado, Fm = (nSL)qv × B = i uˆ t × B ⋅ L .

(4)

El vector unitario uˆ t tiene la misma dirección que el vector velocidad. Si consideramos que la intensidad i es siempre un número definido positivo, entonces el sentido de uˆ t es el mismo sentido que el de la velocidad de los portadores de carga positiva y, por tanto, el sentido opuesto al de la velocidad de los portadores de carga negativa. Fm, en la ec. (4), es la fuerza de Lorentz que actúa sobre un hilo conductor de longitud L por el que circula una intensidad de corriente i y que se encuentra en presencia de un campo magnético B. (fig. 3). El módulo de la fuerza de Lorentz de la ec.(4) viene dado por (5) Fm =i l B sen ϑ , en donde ϑ es el ángulo que forman los vectores uˆ t y B. En el caso de que el conductor no sea rectilíneo, o el campo magnético no sea constante, para obtener la fuerza total sobre todo el conductor, se ha de calcular la fuerza elemental, dF, ejercida sobre un elemento de corriente dl, cuya expresión es dF = i uˆ t × B ⋅ dl ,

(6)

Y, después, sumar los dF en todo el tramo finito, L, de conductor.

Fm

Figura 3 Figura 3. Fuerza magnética fm sobre un portador de carga positiva q que circula con velocidad v = v uˆ t por un hilo de corriente, en presencia de una inducción de campo magnético B. Fm es la fuerza magnética que actúa sobre el tramo de hilo conductor de longitud L por el que circula la corriente i.

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Descripción del material 1 Balanza de precisión (0.01 g) 1 Unidad principal soporte de la espira 6 Espiras conductoras sobre soporte plástico de longitudes entre 1.2 y 8.4 cm 1 Conjunto magnético con 6 imanes (aparece destacado en figura 5)

1 Fuente de alimentación múltiple (5A) 1 amperímetro DC (5A) 1 sopote: base, varilla (0.30 m) 1 accesorio para medida de ángulos (aparece destacado en figura 5) Cables de conexión

Reflexiones previas a la realización del experimento Antes de llevar a cabo las experiencias considere las siguientes cuestiones: 1. Dibuje una espira rectangular de corriente en el seno de un campo B cuya dirección es normal a la espira y represente las fuerzas que actúan en cada uno de sus cuatro lados. Discuta cual, de todas ellas, es la fuerza que usted va a medir. 2. La lectura de la balanza se hace en gramos. ¿Cómo se convierte en una medida de fuerza en unidades del SI?

Modo operativo El esquema del dispositivo experimental se muestra en la figura 4. Observe el montaje y discuta con el profesor sus características y funcionamiento. Con ayuda de este dispositivo deberá realizar las siguientes operaciones: 1.- Determinar previamente la dirección y el sentido de la fuerza de Lorentz dependiendo del sentido de la corriente en la espira, IE, y de la dirección del campo magnético que usted elija al preparar el dispositivo. 2.- Determinar la magnitud de fuerza de Lorentz como función de la intensidad de corriente IE que circula por la espira conductora en presencia de un campo B constante. Utilice espiras de diferentes longitudes. 3.- Determinar la magnitud de la fuerza de Lorentz como función de la magnitud del campo magnético B, admitiendo que será proporcional al número de imanes utilizado. 4.- Si, además, se quiere estudiar la dependencia de la fuerza de Lorentz con el ángulo ϑ que forman los vectores uˆ t y B se prepara el montaje de la figura 5 (optativo).

Parte 1.- Consiste en observar cómo se comporta el dispositivo experimental. Conectar el dispositivo de la figura 4 (esencialmente, la espira) a la fuente de alimentación e intercalar en serie un amperímetro, como indica la figura 6. Compruebe que, en ningún momento, la intensidad suministrada supera el valor de la intensidad máxima que admiten el rectificador y las bobinas. Se elige una espira y se coloca entre los polos magnéticos. ¿Cómo debe colocarla para asegurarse de que se encuentra en una región de campo B constante? (Dibuje las líneas de campo B en un entorno de los polos magnéticos). Se equilibra la balanza

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cuando por la espira no circula corriente. A continuación se aplica una corriente IE = 5A. La balanza se desequilibra. ¿A qué se debe? Equilíbrela de nuevo. Gire el imán y observe cómo se modifica la fuerza. ¿A qué se debe? Deje el dispositivo colocado de manera que la fuerza Lorente actúe verticalmente hacia arriba y, por tanto se oponga al peso de la espira y su soporte plástico.

Unidad principal Espira

Soporte Balanza

Figura 4. Dispositivo experimental para medir la fuerza de Lorentz. Consta de una fuente de alimentación variable (DC/AC), no visible en el esquema, que suministra corriente al hilo conductor (espira) colocado entre los polos de un imán permanente que se coloca sobre el platillo de una balanza de 0.01 g de precisión. La fuerza de Lorentz se puede medir como diferencia de las lecturas de la balanza cuando la intensidad I=0 y cuando I ≠0.

Medidor de ángulos

Imán

Figura 5. Dispositivo experimental para estudiar cómo depende la fuerza de Lorentz del ángulo que forma el segmento de corriente con el vector campo magnético.

Parte 2.- Fm como función de IE. Utilice el conjunto completo de imanes (6). Coloque la espira normal a las líneas de campo magnético. Asegúrese de que la espira no roza con el imán. Equilibre la balanza y tome nota de la lectura de referencia cuando no circula corriente por la espira. A continuación aplique una corriente a la espira. Asegúrese, nuevamente, de que la espira no roza con el imán. Se aumenta la corriente desde IE = 0.5 A hasta IE = 4.5 A, variando la intensidad IE en 1 A cada vez, aumentando suavemente el potencial (DC ) que suministra la fuente de alimentación. Se mide el “peso” (la lectura de la balanza debe transformarse en unidades de fuerza) de la espira para cada valor de la IE que circula por ella y seguidamente se suprime la corriente y se repite la lectura de referencia. Repita el procedimiento con otras espiras. Tabule adecuadamente los datos. Tome nota de las precisiones de los aparatos que maneja. Represente gráficamente Fm en función de IE para tres espiras de distinta longitud (en la misma gráfica). Analice los resultados. Parte 3.- Utilice una espira con 1, 2….6 imanes y mida, en cada caso, la fuerza Lorentz como diferencia de dos lecturas, como se hizo en la parte I. Tabule adecuadamente los datos. Tome nota de las precisiones de los aparatos que maneja. Represente gráficamente Fm en función del número de imanes (supuestos todos 4

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iguales). Analice los resultados. ¿Cómo puede averiguar el valor de B de cada imán en este apartado? Hágalo.

Figura 6. Conexión de la espira al amperímetro y a la fuente de alimentación.

Bibliografía [1] Tipler P. A., Física, Ed. reverté S.A., Barcelona (1999), 4ª edición, tomo II. [2] Gettys-Keller-Skove, Física clásica y moderna. Ed. MCGrawHills (1991). [3] Golbemberg J., Física General y Experimental, N. Ed. Interamericana S. A. de C.V., México (1970), 2ª ed., tomo II. [4] From Nobel Lectures, Physics 1901-1921, Elsevier Publishing Company, Amsterdam, 1967 (Copyright © The Nobel Foundation 1902 ) [5] Efron A., Física experimental para todos, Ed. Ramón Sopena, S.A., Barcelona (1967).

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Apéndice 1[4]

Hendrik A. Lorentz (Biography) The Nobel Prize in Physics 1902 Hendrik Antoon Lorentz was born at Arnhem, The Netherlands, on July 18, 1853, as the son of nursery-owner Gerrit Frederik Lorentz and his wife née Geertruida van Ginkel. When he was four years old, his mother died, and in 1862 his father married Luberta Hupkes. In those days the grade school did not only have school hours in the morning and in the afternoon, but also in the evening, when teaching was more free (in a sense resembling the Dalton method). In this way, when in 1866 the first highschool (H.B.S.) at Arnhem was opened, Hendrik Lorentz, as a gifted pupil, was ready to be placed in the 3rd form. After the 5th form and a year of study of the classics, he entered the University of Leyden in 1870, obtained his B.Sc. degree in mathematics and physics in 1871, and returned to Arnhem in 1872 to become a night-school teacher, at the same time preparing for his doctoral thesis on the reflection and refraction of light. In 1875, at the early age of 22, he obtained his doctor's degree, and only three years later he was appointed to the Chair of Theoretical Physics at Leyden, newly created for him. In spite of many invitations to chairs abroad, he always remained faithful to his Alma Mater. From 1912 onward, when he accepted a double function at Haarlem as Curator of Teyler's Physical Cabinet and Secretary of the "Hollandsche Maatschappij der Wetenschappen" (Dutch Society of Sciences), he continued at Leyden as Extraordinary Professor, delivering his famous Monday morning lectures for the rest of his life. The far-seeing directors of Teyler's Foundation thus enabled his unique mind to be freed from routine academic obligations, permitting him to spread his wings still further in the highest secluded realms of science, which are attainable by so few. From the start of his scientific work, Lorentz took it as his task to extend James Clerk Maxwell's theory of electricity and of light. Already in his doctor's thesis, he treated the reflection and refraction phenomena of light from this standpoint which was then quite new. His fundamental work in the fields of optics and electricity has revolutionized contemporary conceptions of the nature of matter. In 1878, he published an essay on the relation between the velocity of light in a medium and the density and composition thereof. The resulting formula, proposed almost simultaneously by the Danish physicist Lorenz, has become known as the Lorenz-Lorentz formula. Lorentz also made fundamental contributions to the study of the phenomena of moving bodies. In an extensive treatise on the aberration of light and the problems arising in connection with it, he followed A.J. Fresnel's hypothesis of the existence of an immovable ether, which freely penetrates all bodies. This assumption formed the basis of a general theory of the electrical and optical phenomena of moving bodies. From Lorentz stems the conception of the electron; his view that his minute, electrically charged particle plays a rôle during electromagnetic phenomena in ponderable matter made it possible to apply the molecular theory to the theory of electricity, and to explain the behaviour of light waves passing through moving, transparent bodies. The so-called Lorentz transformation (1904) was based on the fact that electromagnetic forces between charges are subject to slight alterations due to their motion, resulting in a minute contraction in the size of moving bodies. It not only adequately explains the apparent absence of the relative motion of the Earth with respect to the ether, as indicated by the experiments of Michelson and Morley, but also paved the way for Einstein's special theory of relativity. It may well be said that Lorentz was regarded by all theoretical physicists as the world's leading spirit, who completed what was left unfinished by his predecessors and prepared the ground for the fruitful reception of the new ideas based on the quantum theory. In 1919, he was appointed Chairman of the Committee whose task it was to study the movements of sea water which could be expected during and after the reclamation of the Zuyderzee in The Netherlands, one of the greatest works of all times in hydraulic engineering. His theoretical calculations, the result of eight years of pioneering work, have been confirmed in actual practice in the most striking manner, and have ever since been of permanent value to the science of hydraulics. An overwhelming number of honours and distinctions from all over the world were bestowed on Lorentz. International gatherings were presided over by him with exceptional skill, both on account of his amiable and judicious personality and his masterly command of languages. Until his death he was Chairman of all Solvay Congresses, and in 1923 he was elected to the membership of the "International Committee of Intellectual Cooperation" of the League of Nations. Of this Committee, consisting of only seven of the world's most eminent scholars, he became the President in 1925. Through his great prestige in governmental circles in his own country, Lorentz was able to convince them of the importance of science for national production. He thus initiated the steps which finally led to the creation of the organisation now generally known under the initials T.N.O. (Dutch for Applied Scientific Research). Lorentz was a man of immense personal charm. The very picture of unselfishness, full of genuine interest in whoever had the privilege of crossing his path, he endeared himself both to the leaders of his age and to the ordinary citizen. In I88I Lorentz married Aletta Catharina Kaiser, whose father, J.W. Kaiser, Professor at the Academy of Fine Arts, was the Director of the Museum which later became the well-known Rijksmuseum (National

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Gallery) of Amsterdam, and the designer of the first postage stamps of The Netherlands. There were two daughters and one son from this marriage. The eldest daughter Dr. Geertruida Luberta Lorentz is a physicist in her own right and married Professor W.J. de Haas, Director of the Cryogenic Laboratory (Kamerlingh Onnes Laboratory) of the University of Leyden. Lorentz died at Haarlem on February 4, 1928. (From Nobel Lectures, Physics 1901-1921, Elsevier Publishing Company, Amsterdam, 1967 Copyright © The Nobel Foundation 1902 )

Apéndice 2 Principio de un electroimán. Poco después del descubrimiento de H. C. Oersted (una corriente eléctrica desvía una brújula) en 1820, Ampere descubrió que un conductor arrollado (solenoide) adquiría las propiedades de un imán cuando por él circulaba una corriente (electroimán). Un solenoide hace el papel de un electroimán con núcleo de aire, con un extremo actuando como polo norte y otro como polo sur. Se puede predecir la polaridad del imán cogiendo (mentalmente) el solenoide con la mano derecha, de manera que los dedos colocados alrededor de él indiquen el sentido de la corriente, entonces, el pulgar señala el polo norte. Los primeros imanes fueron construidos por Henry en EE.UU. y por Sturgeon en Inglaterra en 1825. Ellos fueron los que introdujeron, en el solenoide, el núcleo de hierro reemplazando al aire. El hierro tiene la propiedad de concentrar las líneas de fuerza, propiedad que llamamos permeabilidad magnética. La permeabilidad se refiere a la facilidad con que el flujo magnético pasa a través de la materia. El hierro hace más permeables las líneas de fuerza que el aire (en el vacío la permeabilidad magnética es µ0 = 4π x 10-7 T.m/A). Si el núcleo de un electroimán es de hierro dulce, al cesar la corriente en el solenoide, cesan sus propiedades B magnéticas; si es de acero, conserva parte de su carácter magnético. La intensidad del campo B que crea un electroimán depende de la permeabilidad del núcleo, del número de espiras y de la corriente que pasa por ellas. En la fig. 5, se Figura 5. Líneas de inducción de campo ven las líneas de campo B que crea magnético B que crea el núcleo de un electroimán en forma de U [5]. un núcleo imanado en forma de U.

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