LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN ESC Luisa L. LAZZARI

Andrea PARMA

Facultad de Ciencias Económicas - Universidad de Buenos Aires [email protected]

[email protected]

1. Introducción En este trabajo se realiza el estudio de la función de producción de elasticidad de sustitución constante, ESC o CES, la cual es un caso general que incluye varias funciones de producción más especializadas. En primer lugar se analizan algunas de sus características, como por ejemplo, homogeneidad, rendimientos a escala, productos medios y marginales e isocuantas. Se calcula la elasticidad de sustitución de la misma, demostrando que dicho valor es constante y se verifica, además, que la función de Cobb-Douglas resulta un caso particular. Por último, se estudia la función ESC teniendo en cuenta que representa un modelo de regresión no lineal respecto a las variables y a los parámetros1. 2. Función de producción ESC de ACMS En 1961 Arrow, Chenery, Minhas y Solow (ACMS) desarrollaron una función de producción generalizada llamada ESC, la cual, como sucede con la de Cobb-Douglas, se caracteriza por una elasticidad de sustitución constante, aunque no necesariamente igual a uno. La función ESC está expresada por:

[

Q = A δK − ρ + (1 − δ )L− ρ

]

−

ν ρ

( A > 0; v > 0; 0 < δ < 1, ρ > -1 ≠ 0)

[1] donde Q representa la cantidad producida, K y L dos factores productivos (en general capital y trabajo), A es el parámetro de eficiencia (indicador de estado de la tecnología), δ es el parámetro de distribución (indicador de la participación relativa del factor en el producto), ν es el parámetro de los rendimientos a escala y ρ es el parámetro de sustitución (elasticidad de sustitución constante). 2.1. ESC es una función homogénea de grado ν ν

− Q( (tK ; tL ) = Aδ (tK )− ρ + (1 − δ )(tL )− ρ  ρ = A  t − ρ δ (K )− ρ + (1 − δ )(L )− ρ      

ν

ν

−  ρ =  t − ρ  − ρ Q(K ; L ) = tν Q (K ; L )      

Es decir que, dependiendo del valor de ν > 0 , se obtienen rendimientos constantes, crecientes o decrecientes a escala. En adelante, se trabajará con la función ESC linealmente homogénea ( ν = 1 ), es decir el tipo de función que produce rendimientos constantes a escala. Se puede verificar, a su vez, que dicha función posee productos medios y marginales de grado cero (invariantes ante cambios proporcionales de los factores productivos).

1

Kmenta (1967) los denomina modelos intrínsecamente no lineales.

2.2. Productividades marginales

[

 1 Q L = A −  δK − ρ + (1 − δ )L− ρ  ρ

]

−

1

ρ

[

QL =

A1+ ρ (1 − δ ) δK − ρ + (1 − δ )L− ρ A

QL =

1−δ  Q    Aρ  L 

1+ ρ

[

QK =

1+ ρ

  AK 

(1 − δ )(− ρ )L

]

(1+ ρ )

−

− ρ −1

ρ

[

= A(1 − δ ) δ K

−ρ

+ (1 − δ )L

−ρ

]

−

(1+ ρ ) ρ

L− (1+ ρ )

L− (1+ ρ )

Q = F   > 0 pues ( A > 0; 0 < δ < 1, ρ > -1 ≠ 0, Q > 0, L > 0) L

 1 Q K = A −  δK − ρ + (1 − δ )L− ρ  ρ

δ Q

−1

]

1 −   −1 ρ δ

(− ρ )K − ρ −1 =

[

A1+ ρ δ δK − ρ + (1 − δ )L− ρ A

]

−

(1+ ρ ) ρ

K − (1+ ρ )

Q = M   > 0 pues ( A > 0; 0 < δ < 1, ρ > -1 ≠ 0, Q > 0, K > 0) K

Se verifica que ambas productividades son positivas y funciones de los cocientes

Q Q y , L K

respectivamente. 2.3. Isocuantas generadas por la función ESC Q (1 − δ )  K  dK =− L =−   dL QK δ L

1+ ρ

< 0 pues ( 0 < δ < 1, ρ > -1 ≠ 0, L > 0, K > 0)

Se observa que las isocuantas tienen siempre pendiente negativa en el plano LK para valores positivos de K y L, es decir son curvas decrecientes. Además son estrictamente convexas para valores positivos de K y L: d 2K dL2

=−

(1 − δ ) (1 + ρ ) K  ρ  −

K    L    L2

δ

 (1 − δ )(1 + ρ ) K ρ +1 > 0 pues ( 0 < δ < 1, ρ > -1 ≠ 0, L > 0, K > 0) = δ Lρ + 2 

2.4. La función de Cobb-Douglas es un caso particular de la función ESC para ρ → 0 Se debe calcular lim Q( ρ ) ρ→0

Se dividen ambos miembros de [1] por A, y tomando logaritmo natural, se obtiene: ln

[

]

Q − ln δK − ρ + (1 − δ )L− ρ m( ρ ) = = A ρ n(ρ )

donde m(ρ ) → 0 y n(ρ ) → 0

Aplicando la Regla de L’Hopital m ′(ρ ) =

[

− − δK − ρ ln K − (1 − δ )L− ρ ln L

δK

−ρ

+ (1 − δ )L

−ρ

] y n′(ρ ) = 1

(

Q m ′(ρ ) lim ln = lim = δ ln K + (1 − δ ) ln L = ln K δ L1−δ ρ →0 A ρ →0 n ′(ρ )

)

Por lo tanto lim Q = AK δ L1−δ ρ →0

3. Elasticidad de sustitución 3.1 Generalidades Un aspecto importante de la estática comparativa se refiere al estudio del efecto que produce un cambio en la relación producción Q0 .

pa b sobre , cuando se mantiene constante el nivel de a pb

Cuando aumenta la relación (exógena) de los precios la relación óptima de los factores

pa , es común esperar que aumente pb

b , porque el insumo b (ahora más barato) tenderá a ser a

sustituido por el insumo a. Es clara la dirección de sustitución, mientras su extensión se mide con la llamada elasticidad de sustitución σ : d (b / a ) b d (b / a ) cambio relativo en   ( d p a / pb ) a   b/ a σ= = = b/ a  p  d ( p a / pb ) cambio relativo en  a  p p / p a / pb a b  pb 

Si se considera el punto de tangencia de la isocuanta con el isocosto, donde se verifica la relación de mínimo costo

p a Qa = = TST (b / a) , p b Qb

la elasticidad de sustitución puede

expresarse del modo siguiente:

d (b / a ) d (b / a ) d (Q a / Qb ) cambio relativo en (b / a ) b/ a σ= = = ( ) d Q / Q b/a cambio relativo en TST (b/a ) a b Q a / Qb Q a / Qb

[2]

Por lo tanto, σ estima el cambio relativo en las proporciones de los factores debido a un cambio relativo en la TST que corresponde a un movimiento a lo largo de la curva de sustitución de la figura 1-b. La curva de sustitución se puede construir a partir de la isocuanta de la Figura 1-a de la siguiente forma: En el punto A de la isocuanta Q1 , la razón de los insumos b/a está dada por la tg θ , y la TST está dada por la pendiente de la recta tangente a la isocuanta en A, tg η . El punto A′ de la figura 1-b corresponde al punto A de la figura 1-a. De manera análoga, en el punto B la razón de insumos está dada por tg φ y la TST por la tg ω ; el punto B ′ corresponde al punto B. Un movimiento de A hasta B a lo largo de la isocuanta será por lo tanto un movimiento de A′ hasta B ′ a lo largo de la curva de sustitución. b a A’ A B

θ

ϕ

B’

ω

η

Q1

a1

TST Figura 1-b Curva de sustitución

Figura 1-a Isocuanta

Se puede calcular una expresión de σ , válida para cualquier función de producción en términos de las derivadas parciales de la misma. s = TST (b / a ) = −

Luego se tiene

db Qa = da Qb

entonces db = −

Qa da Qb

 Q  a − a da  − bda Qb (− as − b )da = − as + b da  b  adb − bda  d  = = =  2 2 a   a a a2 a2  ∂s ∂s ∂s ∂s ∂s ∂s  Qa − (− s )da = − s ∂s − ∂s da d (TST ) = ds = da + db = da + da  = da + ∂ ∂ a b ∂a ∂b ∂a ∂b  Qb  ∂b ∂a  

[3] [4]

Las derivadas parciales de s son: Q ∂ a ∂s  Qb = ∂b ∂b

   

=

Qb Q ab − Q a Qbb Qb2

Q ∂ a ∂s  Qb = y ∂a ∂a

   

=

Qb Q aa − Q a Qba Qb2

Si se las sustituye en [4], y se reemplazan [3] y [4] en la expresión de σ dada en [2], se obtiene

d (b / a ) d (b / a ) cambio relativo en (b / a ) b / a = = b/a σ= ds cambio relativo en TST (b/a ) d (TST (b/a )) s TST (b/a )

σ =−

Qa Qb (aQa + bQb )

(

ab Qaa Qb2 − 2Qab Qa Qb + Qbb Qa2

[5]

)

[6] Otra expresión alternativa se puede obtener de la siguiente manera: −

as + b

da a2 d (b / a ) b s as + b a = σ = b/a = ds ∂s ∂s ab  ∂s ∂s  − s − s − da s ∂ b ∂a  ∂b ∂a  s

y como

d 2b da 2

=−

σ=

Reemplazando [8] en [7] queda

[7]

ds ∂s ∂s =s − da ∂b ∂a

[8]

s as + b ab d 2 b da 2

[9]

Como la isocuanta debe ser convexa respecto al origen sobre la región de sustitución, d 2b da 2

> 0 , y a su vez a > 0, b > 0, s > 0, entonces σ es no negativa.

σ puede tomar valores del intervalo [0,+ ∞ ). Cuanto mayor sea σ mayor será la sustituibilidad entre los dos factores. Cuando σ → 0 los factores a y b son complementos

tan perfectos que no permiten la mutua sustitución, en este caso

d 2b →∞. da 2

En cambio si σ → ∞ los dos factores son perfectamente sustitutos entre sí y las isocuantas tienden a ser rectas ya que

d 2b da 2

→0.

Si la función de producción es linealmente homogénea, resulta σ =

Q a Qb Q Qab

[10]

Se puede observar fácilmente que σ ab = σ ba . Es decir, a y b se pueden intercambiar y seguirán dando el mismo valor de σ .

3.2. Elasticidad de sustitución de la función de Cobb-Douglas La función de Cobb-Douglas Q = ALα K β tiene elasticidad de sustitución unitaria, aún cuando α + β ≠ 1 Como se ha visto en el apartado 3.1., la combinación de factores para obtener un costo mínimo está especificada por s = TST (b / a ) =

Por lo tanto A su vez

p a Q a Aαa α −1b β αb = = = p b Qb Aa α βb β −1 βa

[11]

p a αb b βp = y la relación entre los factores productivos es = a a αp b p b βa β β b/ a d (b / a ) = y = d ( p a / pb ) α p a / pb α d (b / a ) β d ( p a / pb ) α Finalmente σ = = =1 β b/ a p a / pb α

Es decir que la función de Cobb-Douglas generalizada se caracteriza por una elasticidad de sustitución constante y unitaria. También se puede demostrar que σ = 1 a partir de la fórmula obtenida en [7] ∂s α b y =− ∂a β a2

σ=

αb βa

a

∂s α 1 = ∂b β a

αb +b βa

as + b = ∂s ∂s ab αb α  αb s − −− ∂b ∂a βa βa  βa 2

s ab

   

=

α  b + 1 β   =1 αb α  βa 2  + 1 β 

α βa 2

3.3. Elasticidad de sustitución de la función de producción ESC

[

Q = A δK

−ρ

+ (1 − δ )L

−ρ

]

−

ν ρ

( A > 0; v > 0; 0 < δ < 1, ρ > -1 ≠ 0)

Para obtener σ se utilizan productividades marginales QL =

1− δ  Q    Aρ  L 

1+ ρ

y

La tasa de sustitución técnica es TST ( K / L) = s = − 1

QK =

1+ ρ

δ Q   AK

dK Q L (1 − δ )  K  = =   dL Q K δ L

K δ  1+ ρ  Q L  De aquí =   L 1−δ   QK

1

 1+ ρ Q  = c L   QK

Q K d (K / L ) c  QL  = Tomando como función de L : ( ) + d Q / Q 1 ρ  Q K L QK L K

1

1+ ρ

1

 1+ ρ   −1

Q K/L = c L y QL / QK  QK d (b / a ) d (Q a / Qb ) 1 Por lo tanto la elasticidad de sustitución de la función ESC es σ = = b/ a 1+ ρ Q a / Qb  1+ ρ  

1

 1+ ρ  

−1

Esto demuestra que σ es una constante cuya magnitud depende del parámetro ρ , y −1< ρ 1

ρ →0⇒σ →1

0< ρ