UNIDAD 12

LA RECTA Y SUS ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS

Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas correspondientes a las rectas en el plano y sus ecuaciones.

Objetivo 1. Recordarás a qué se llama sistema de coordenadas rectangulares, ejes coordenados y cuadrantes, y cómo se localizan los puntos en el plano.

Ejercicios resueltos: 1.) Gráficamente ¿qué puntos tienen abscisa 3?

Como la abscisa es constante, son todos los puntos que se encuentran a 3 unidades a la derecha del eje y, en una recta paralela a él.

2.) ¿Donde quedan situados los puntos que tienen la abscisa igual a la ordenada?

Si la abscisa y la ordenada son siempre iguales, se trata de una recta a 45º que cruza los cuadrantes I y III

3.) Tres vértices de un rectángulo son A(-3, 0), B(3, 0) y C(3, 3) ¿cuáles son las coordenadas del cuarto vértice y cuál es su perímetro y su área?

Para completar el rectángulo, el otro vértice tiene que encontrarse al desplazarse en ángulo recto a partir de los dos extremos, de modo que:

El punto buscado es D(-3, 3)

Perímetro: 2(6) + 2(3) = 12 + 6 = 18 unidades.

Área: b x h = 6 x 3 = 18 unidades cuadradas.

Objetivo 2. Recordarás y aplicarás las fórmulas para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano coordenado y las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón r.

Ejercicios resueltos: 1.) Encuentra la distancia del origen al punto A(a, b)

d

a  02  b  02

=

a2  b2

2.) Encuentra el valor de x necesario para que el punto P(x, 3) sea equidistante de los puntos A(3, –2) y B(7, 4).

3  x 2   2  32

d PA 

d PB 

7  x 2  4  32

3  x 2  25

=

7  x 2  1

=

Para que P equidiste de A de B: d PA  d PB

3  x 2  25

=

7  x 2  1

3  x 2  25

= 7  x   1

2

9  6 x  x 2  25  49  14 x  x 2  1 x 2  x 2  6 x  14 x  49  1  9  25 8 x  16 x2

El punto P(2, 3) equidista de los puntos A(3, –2) y B(7, 4).

3.) Si los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2, 3) y B(5, 8), calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo que limita.

Diámetro = d AB 

5  22  8  32

=

32  5 2 =

34

Circunferencia =  d =  34 ; aproximadamente 18.3185 unidades

r

34 2

Área del círculo =  r 2 = 

;

r2 

34 4

34 ; aproximadamente 26.7036 u2 4

4.) Si A(2, 3) es un extremo del segmento cuyo punto medio es P(5, 4), encuentra las coordenadas del otro extremo, B.

x

x1  x 2 2  x2 ; 5 ; 10  2  x 2 ; 2 2

x2  8

y

y1  y 2 ; 2

4

3  y2 ; 8  3  y2 ; 2

y2  5 de modo que: B(8, 5)

5.) Encuentra la longitud de la mediana del lado AB del triángulo cuyos vértices son A(–2, –2), B(6, 0) y C(2,8). (La mediana es la recta que une el punto medio de un lado del triángulo con el vértice opuesto).

Coordenadas del punto medio del segmento AB : x

x1  x 2 26 = =2 2 2

y

y1  y 2 20 = = –1 2 2

P(2, -1)

Distancia del punto P al vértice C

d PC 

2  22   1  82

=

2

0   9  =

81 = 9

La mediana del lado AB al vértice C tiene una longitud de 9 unidades.

6.) Los extremos de un segmento son los puntos A(7, 4) y B(-1, -4) . Encuentra la razón

AP en que el punto P(1, –2) divide al segmento. PB

x

x1  rx 2 1 r

x1  r   x1  rx 2 x  rx  rx 2  x1 r  x  x 2   x1  x r

r

x1  x x  x2

7 1 6 = = 3 1   1 2

La razón en que el punto P(1, –2) divide al segmento AB es 3.

(Un caso para este valor de r es que sea el último de los tres puntos que dividen al segmento en cuatro partes iguales: r 

3 ). 1

Objetivo 4. Recordarás y aplicarás las diferentes formas de la ecuación de una recta, dadas dos condiciones que la definen.

Ejercicios resueltos:

1.) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–2, –3) y B(5, 1)

y 2  y1 x  x1  x 2  x1

y  y1 

y   3 

1   3 x   2 5   2 

y3

1 3 x  2 5 2

y3

4  x  2 7

7 y  3  4 x  2 

7 y  21  4 x  8 7 y  4 x  13

2.) Encuentra la ecuación de la recta que intersecta al eje de las ordenadas 7 unidades hacia abajo del origen y tiene una pendiente de 

m

2 5

2 ; b = –7; 5

y  mx  b 2 y   7 5

 11  3.) Tres vértices de un paralelogramo son los puntos A   ,0  , B(0, 5) y C(–5, 8).  2  Encuentra las ecuaciones de los lados que pasan por AB y por BC.

Ecuación del lado que pasa por A y B: a

11 ; b  5; 2

x y  1 a b

x y  1 11 5  2 2x y  1  11 5

Ecuación del lado que pasa por B y C:

B(0, 5); C(–5, 8);

y  y1  y 5 

y 2  y1 x  x1  x 2  x1 85 x  0 50

y 5 

3 x 5

3 y   x5 5

4.) Encuentra la ecuación de una recta perpendicular a eje y, que pase por el punto (h, k) α = 0º; tan α = 0

y  y1  m x  x1  y  k  0 x  h 

yk 0 yk

Objetivo 5. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una recta y las condiciones necesarias y suficientes para las posiciones relativas entre dos rectas en el plano.

Ejercicios resueltos:

1.) Determina R2: 

la

posición relativa

de

las

rectas

R1:

14 x  10 y  1  0

y 5   x3 2 14

Para R1: 14 x  10 y  1  0 m

14 7  10 5

Para R2: 

y 5   x3 2 14

5 y x 3 0 14 2

5   y 14 x   14    14  3  140   14   2

5 x  7 y  42  0 m

A 5 5   B 7 7

m R1  

1 mR 2

Por lo tanto, las rectas son perpendiculares.

y

2.) Demuestra que las rectas R1: 5 x  y  6  0 , R2: x  5 y  22  0 , R3: 5 x  y  32  0 y R4: x  5 y  4  0 forman un cuadrado.

Posiciones relativas entre las rectas:

m R1  

5  5; 1

1 mR 2   ; 5

mR3  

5 5; 1

mR 4  

1 5

R1 y R3 son paralelas; R2 y R4, son paralelas. R1 es perpendicular con R2 y con R4; R3 es perpendicular con R2 y con R4.

Punto de intersección entre R1 y R2:

5x  y  6  0 ; y  5x  6 x  5 y  22  0 ; x  55 x  6  22  0 ; 26 x  30  22  0 ;

x

52 = 2 26

y  52  6 = 4 →

P1(2, 4)

Con el mismo procedimiento, los otros puntos de intersección son: R1 y R4: P2(1, –1) R3 y R2: P3(7, 3) R3 y R4: P4(6, –2) Longitudes de los lados:

P1 P2 

2  12  4  12

=

1  25  26

P1 P3 

2  72  4  32

=

25  1  26

P2 P4 

1  62   1  22

=

25  1  26

P3 P4 

7  62  3  22

=

1  25  26

Los cuatro lados tienen la misma longitud, y las rectas forman un cuadrado.

Para graficar se pueden determinar otros puntos sobre cada recta:

5x  y  6  0 .



y=9

→

En R2: x  5 y  22  0 . Si x = –3 

y=5

→ B(–3, 5);

En R3: 5 x  y  32  0 .

Si x = 8

y = 8 → C(8, 8);

x  5y  4  0 .

Si x = -4

En R1:

En R4:

Si x = 3

 

A(3, 9);

y = 0 → D(-4, 0)

Objetivo 6. Recordarás la definición y aplicaciones de la expresión de una recta en la forma normal y cómo obtenerla a partir de la forma general.

Ejercicios resueltos:

1.) Calcula la longitud del radio de la circunferencia con centro en el punto (2, 3) y que es tangente a la recta 4 x  3 y  3  0

Radio de la circunferencia = distancia del centro de la circunferencia a la tangente.

d

Ax1  By1  C  A2  B 2

=

4(2)  3(3)  3

=

4 2  32

893 25

=

20 =4 5

radio = 4 (unidades de longitud)

2.) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son P1(2, 1), P2(8, 2) y P3 (3, 6)

Base del triángulo: cualquiera de los tres lados, por ejemplo, P1 P2 . Usando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados: y 1 

2 1 x  2 82

y 1 

1 x  2 6

6y  6  x  2 x  6y  4  0

Longitud de la base: 2

distancia P1 P2  ( x 2  x1 ) 2   y 2  y1  =

(8  2) 2  (2  1) 2 =

36  1 =

37

Altura del triángulo: distancia del otro vértice, P3 (3, 6), a la base: d

Ax1  By1  C  A2  B 2

=

3  (6)(6)  4 2

1  (6)

2

=

3  36  4 37

=

 29 37

=

29 37

Área del triángulo =

bh = 2

 29  37    37  = 29 (unidades de superficie) 2 2

3.) La distancia dirigida de la recta 2 x  5 y  10  0 a un punto P es –3. Si la abscisa de P es 2, encuentra su ordenada.

Distancia dirigida:

d

Ax1  By1  C  A2  B 2

C < 0  signo del radical positivo, y para el punto P (2, y):

3

2(2)  5 y  10 22  52

3 

5y  6 29

(3)( 29 )  5 y  6 5 y  6  3 29

La ordenada es:

y

6  3 29 5