Introducci´ on Las ecuaciones de Navier-Stokes Singularidades Vorticidad

Las ecuaciones de Navier-Stokes I Diego C´ordoba Consejo Superior de Investigaciones Cient´ıficas

Instituto de Ciencias Matem´aticas

Diego C´ ordoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes I

Introducci´ on Las ecuaciones de Navier-Stokes Singularidades Vorticidad

¿Qu´ e es un fluido? El modelo matem´ atico

Olas, tornados, plasma

Diego C´ ordoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes I

Introducci´ on Las ecuaciones de Navier-Stokes Singularidades Vorticidad

¿Qu´ e es un fluido? El modelo matem´ atico

¿Qu´e es un fluido?

Aquella sustancia que, debido a su poca cohesi´on intermolecular, carece de forma propia y adopta la forma del recipiente que lo contiene.

Diego C´ ordoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes I

Introducci´ on Las ecuaciones de Navier-Stokes Singularidades Vorticidad

¿Qu´ e es un fluido? El modelo matem´ atico

¿Qu´e es un fluido?

Aquella sustancia que, debido a su poca cohesi´on intermolecular, carece de forma propia y adopta la forma del recipiente que lo contiene. � L´ ıquido, gas y plasma.

Diego C´ ordoba

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¿Qu´ e es un fluido? El modelo matem´ atico

El medio continuo

Arist´oteles: El continuo puede ser definido como aquello que es divisible en partes que, a su vez, pueden ser divididas, y as´ı hasta el infinito.

Diego C´ ordoba

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Las ecuaciones de los fluidos La descripci´on matem´atica de un fluido requiere �

D es un dominio de R3 (R2 )

�

x ∈ D es una part´ıcula del fluido

�

ρ(x, t) es la densidad del fluido en el punto x en el instante t

�

u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), u3 (x, t)) nos da la velocidad que tendr´ıa una part´ıcula en cada punto x del espacio y cada tiempo t,

�

p = p(x, t) es la presi´on en el seno del fluido.

Diego C´ ordoba

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Euler y Lagrange (siglo XVIII)

Leonhard Euler (1707-1783)

Joseph Louis Lagrange (1736-1813)

Diego C´ ordoba

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Formulaci´on euleriana

u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), u3 (x, t)) Diego C´ ordoba

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Formulaci´on lagrangiana

x = x(a, t) es la trayectoria de la part´ıcula que est´a en posici´on a en tiempo t = 0. Diego C´ ordoba

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Euler y Lagrange (siglo XVIII)

Relaci´on entre las dos: dx = u(x, t) dt

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Terminolog´ıa

∂u1 ∂u2 ∂u3 div(u) = + + ∂x1 ∂x2 ∂x3 rot(u) =

� ∂u

� ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u 3 2 1 3 2 1 − , − , − ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2

Diego C´ ordoba

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Incompresibilidad �

div(u) > 0

�

div(u) < 0

Incompresibilidad → div(u) = 0 Conservaci´on del volumen (con ρ constante, conservaci´on de la masa). Diego C´ ordoba

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Conservaci´on del momento

Para la velocidad de la part´ıcula u(x(a, t), t), aceleraci´on :

d ∂u dx ∂u u(x(a, t), t) = +∇x u· = +u·∇x u dt ∂t dt ∂t

As´ı que � � ∂u ρ + u · ∇x u = Finternas + Fexternas ∂t

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Las ecuaciones de Navier-Stokes La segunda ley de Newton, la conservaci´on de masa junto con la incompresibilidad dan lugar a las ecuaciones de Navier-Stokes:  ∂p ∂ui i  ρ( + u · ∇u ) = − + ν∆u + f i i  ε ∂t ∂xi   ∇·u =0     ρ + u · ∇ρ = 0 t donde � ν = cte ≥ 0 viscosidad. � fε = (f 1 , f 2 , f 3 ) fuerza externa. ε ε ε Diego C´ ordoba

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Fluidos

� � � �

Fluido Fluido Fluido Fluido

incompresible ⇔ ∇ · u = 0; perfecto ⇔ ν = 0; homog´eneo ⇔ ρ = 1; ideal ⇔ las tres condiciones anteriores.

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Fluidos perfectos y viscosos

Fluidos perfectos, ρ = 1, sin fuerzas externas: � div(u) = 0 (Euler ) ∂u + u · ∇x u = −∇x p ∂t Fluidos viscosos, ρ = 1, sin fuerzas externas: � div(u) = 0 (Navier − Stokes) ∂u + u · ∇x u = −∇x p + ν∆u ∂t

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Fluidos perfectos y viscosos En coordenadas: � ∂ui ∂ui ∂p + uj = − + ν∆ui + fi , ∂t ∂xj ∂xi 1≤j≤n � ∂ui =0 ∂xi 1≤i≤n

i = 1, .., n

donde ν es el coeficiente de viscosidad cinem´atica y f = fi (x, t) representa un campo de fuerzas externo.

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Euler y Navier-Stokes Las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes son un sistema que se deduce a partir de la aplicaci´on de la segunda ley de Newton y la ley de conservaci´on de masa.

C. Navier (1785-1836) y G. Stokes (1819-1903) Diego C´ ordoba

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Las ecuaciones de Navier-Stokes en el siglo XX

�

�

Condiciones de contorno (para simplificar tomamos Ω = Rn , Zn ). � 1 La energ´ıa se define por 2 Ω |u(x, t)|2 dx, y de las ecuaciones se obtiene 1 2

�

Ω

|u(x, t)|2 dx + ν

� t� t0

Ω

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|∇u(x, s)|2 dxds =

1 2

�

Ω

|u(x, t0 )|2 dx.

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Las ecuaciones de Navier-Stokes en el siglo XX

�

�

El trabajo de J. Leray fue pionero en hacer un an´alisis matem´atico de las ecuaciones de Navier-Stokes. En 1933 prob´o la existencia local de soluciones regulares (con energ´ıa finita) donde el tiempo de existencia depende del dato inicial. J. Leray introdujo la noci´on de soluci´on d´ebil.

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Resultados � � � � �

Existencia y unicidad local de soluciones cl´asicas, Leray (1934). Existencia global de soluciones d´ebiles, Leray (1934). Existencia global de soluciones cl´asicas para 2d Navier-Stokes, Leray (1934). Existencia global de soluciones cl´asicas para 2d Euler, Wolibner (1934). No unicidad de soluciones d´ebiles para Euler, Scheffer (1993) y Shnirelman (1997). Con energ´ıa finita De Lellis y Szekelyhidi (2009).

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Singularidades

Problemas abiertos: � Unicidad de soluciones d´ ebiles para Navier-Stokes. � Existencia global de soluciones cl´ asicas con energ´ıa finita en R3 . ¿Existen singularidades?

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Torbellinos

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Gotas

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Gotas

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Olas

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Singularidades

La presencia de dichas singularidades fue conjeturada por J. Leray como posible explicaci´on del fen´omeno de la turbulencia. De hecho Leray llam´o a sus soluciones d´ebiles soluciones turbulentas, anticipando una conexi´on entre singularidades de las soluciones d´ebiles y el fen´omeno de la turbulencia.

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Singularidades

A finales del siglo pasado, y con ocasi´on del cambio de milenio se reflexion´o sobre las cuestiones cient´ıficas m´as relevantes que quedaban por resolver y que deb´ıan concentrar los esfuerzos intelectuales en a˜nos venideros. A este respecto el problema de existencia de singularidades para el sistema de Navier-Stokes desempe˜na un papel estelar. - El Instituto Clay lo ha distinguido entre los 7 problemas por cuya soluci´ on se ofrece un millon de d´olares (www.claymath.org).

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El problema del Instituto Clay de Matem´aticas Consideramos un fluido viscoso, homog´eneo e incompresible:   ut + u · ∇u = −∇p + ν∆u + f (ν > 0, x ∈ R3 , t ≥ 0) ∇·u =0  u(x, 0) = u 0 �

El dato inicial debe verificar las siguiente condiciones de regularidad: |∂xα u0i | ≤ Cα,k (1 + |x|)−k

para todo α, k > 0

y la fuerza exterior |∂xα ∂tm f | ≤ Cα,k,m (1 + |x| + t)−k Diego C´ ordoba

para todo α, m, k > 0

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El problema del Instituto Clay de Matem´aticas

�

Las soluciones admisibles al problema son: �

�

Para x ∈ R3 , (u, p) ∈ C ∞ (R3 × [0, ∞)) con decaimiento en el infinito de la presi´on y de energ´ıa finita, es decir, � |u|2 dx < ∞ para todo t; R3 o bien soluciones (u, p) ∈ C ∞ (T3 × [0, ∞)) peri´ odicas y la presi´ on de media cero.

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El problema del Instituto Clay de Matem´aticas

Problema Clay: Demostrar una de las dos afirmaciones siguientes: 1. Sea u0 satisfaciendo las condiciones de regularidad. Entonces siempre existen soluciones admisibles. 2. Encontrar u0 satisfaciendo las condiciones de regularidad y tal que no existe soluci´on admisible con dato inicial u0 .

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Leonardo da Vinci 1510 “Observad el movimiento de la superficie del agua, que se asemeja al del cabello, que tiene dos movimientos, de los cuales uno es causado por su propio peso, el otro por la direcci´on de los remolinos; por tanto el agua tiene movimientos rotatorios, una parte de los cuales se debe a la corriente principal, y la otra a un movimiento inverso y aleatorio.” Diego C´ ordoba

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Singularidades

Tal como ya observ´o Leonardo da Vinci, el r´egimen turbulento se caracteriza por la aparici´on de remolinos (torbellinos) a muy diversas escalas espaciales. La aparici´on de estructuras rotantes en el seno de un campo vectorial sugiere la introducci´on de un operador vectorial cl´asico que las caracteriza: el rotacional.

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La Vorticidad

En el contexto de la mec´anica de fluidos al rotacional del campo de velocidades se le denomina vorticidad y es un vector que juega un papel crucial como veremos. La vorticidad se define como � ∂u ∂u2 ∂u1 ∂u3 ∂u2 ∂u1 � 3 ω(x, t) = ∇ × u(x, t) = − , − , − ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2

Diego C´ ordoba

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La Vorticidad La vorticidad es un t´ermino que sirve para cuantificar la rotaci´on local de un fluido

Diego C´ ordoba

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La Vorticidad El cl´asico criterio para la formaci´on de singularidades en fluidos es el teorema de Beale, Kato y Majda (1984) � T Singularidad en tiempo T si y solo si supx |ω|dt = ∞. 0

� �

Un fluido muy viscoso no tiene singularidades. En dimensi´on 2 supx |ω| est´a acotado.

http://panda.unm.edu/flash/viscosity.phtml

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Laminar

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Turbulento

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La Vorticidad

� � �

Flujo regular (suave, laminar...). Singularidades Flujo Turbulento.

No existe una explicaci´on matem´atica de c´omo se pasa de un flujo regular a un flujo turbulento.

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Ejemplos cl´asicos de soluciones a las ecuaciones: i) Soluciones estacionarias: u = (γ1 x1 , γ2 x2 , −[γ1 + γ2 ]x3 ) γ1 2 γ2 2 γ1 + γ2 2 p = − x1 − x2 − x3 2 2 2 donde la velocidad y la presi´on no dependen de la variable t. Sin embargo, las trayectorias satisfacen X (α, t) = (α1 e γ1 t , α2 e γ2 t , α3 e −[γ1 +γ2 ]t ), siendo α = (α1 , α2 , α3 ). Diego C´ ordoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes I

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Ejemplos cl´asicos de soluciones a las ecuaciones: ii) Singularidades con energ´ıa infinita: x1 x2 u = (− , , 0) T −t T −t

y

x22 p= (T − t)2

desarrollan una singularidad para t → T . iii) Crecimiento lineal (∇u ∼ t) con energ´ıa finita: u = (0, f (x3 − tw (x1 )), w (x1 )), Las funciones w y f se toman peri´odicas y ν = 0.

Diego C´ ordoba

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Ejemplos cl´asicos de soluciones a las ecuaciones:

iv) Soluciones axisim´etricas (variables cil´ındricas): u = u r (r , x3 , t)er + u θ (r , x3 , t)eθ + u 3 (r , x3 , t)e3 , siendo er = ( xr1 , xr2 , 0), eθ = (− xr2 , xr1 , 0) y e3 = (0, 0, 1). Si u0θ = 0, entonces u θ = 0 se conserva para todo tiempo y como consecuencia hay existencia de soluci´on global. Si u0θ �= 0, el problema a d´ıa de hoy est´a abierto. Para el caso viscoso ν > 0 solo puede haber singularidades en el eje z.

Diego C´ ordoba

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Las ecuaciones de Navier-Stokes II Diego Córdoba Consejo Superior de Investigaciones Científicas

Instituto de Ciencias Matemáticas

D. Córdoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

Estimaciones a priori (ν > 0) ∂p uit + u · ∇ui = − + ν∆ui , ∂xi multipliquemos por ui e integremos en Ωn . Integrando por partes se obtiene � � � � ∂p ui uit + ui (u · ∇ui ) = − ui + (ν∆ui )ui ∂xi Ωn Ωn Ωn Ωn de donde se deduce � � � � 1� ∂u i |ui |2 = p −ν |∇ui |2 2 Ωn t Ωn ∂xi Ωn

para cada i = 1, 2, 3. Sumando en las tres componentes y utilizando la incompresibilidad tenemos � � 1d |u|2 = −ν |∇u|2 , 2 dt Ωn Ωn D. Córdoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

Estimaciones a priori (ν > 0) que al integrar en tiempo 1 2

�

�

T

�

�

1 |u| + ν |∇u| dt = |u0 |2 . 2 Ωn Ωn 0 Ωn � Se puede concluir que la energía Ωn |u|2 se conserva en el caso ν = 0. Además en el caso viscoso obtenemos una cota sobre las derivadas � T� |∇u|2 dt < C 2

0

2

Ωn

donde C depende de la energía inicial.

D. Córdoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

Estimaciones a priori (ν > 0) −

�

Ωn

∆ui uit −

�

Ωn

∆ui (u · ∇ui ) =

y se deduce � �� � |∇ui |2 − Ωn

t

�

Ωn

∂p ∆ui − ∂xi

�

Ωn

(ν∆ui )∆ui

�

∂∆ui ∆ui (u · ∇ui ) = − p −ν ∂xi Ωn Ωn

�

Ωn

para cada i = 1, 2, 3. Sumando en las tres componentes tenemos � � � d |∇u|2 − ∆u · (u · ∇u) = −ν |∆u|2 , dt Ωn Ωn Ωn aplicando la desigualdad de Holder al segundo término obtenemos � | ∆u · (u · ∇u)| ≤ ||u||L4 ||∇u||L4 ||∆u||L2 . Ωn

D. Córdoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

|∆ui |2

Estimaciones a priori (ν > 0) En dimensión 2: la norma L4 puede ser acotada por 1 2 L2

1 2 L2

||f ||L4 ≤ c||f || ||∇f ||

que implica la desigualdad � � � �2 d |∇u|2 ≤ c |∇u|2 dt Ω2 Ω2 del que se deduce

�

2 ≤ C por la cota |∇u| Ω2

�

T

0

�

Ωn

|∇u|2 dt < C

D. Córdoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

Estimaciones a priori (ν > 0) En dimensión 3: la norma L4 está acotada por 1 4 L2

3 4 L2

||f ||L4 ≤ c||f || ||∇f ||

que nos impide obtener una desigualdad similar a la de dimensión n = 2. Como consecuencia � � d |∇u|2 ≤ c||u||4L6 |∇u|2 . dt Ω3 Ω3 Por otra parte que implica

||u||L6 ≤ c||∇u||L2 d dt

�

Ω3

|∇u|2 ≤ c

��

D. Córdoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

Ω3

|∇u|2

�3

Resultados más destacados

Existencia local (Leray, 1933-34). El problema está bien propuesto. Existe un tiempo T que depende del dato inicial tal que hay soluciones regulares para todo t en [0, T ] (en el caso de Euler véase ). Existencia global para n = 2 (Leray, Wolibner, Kato, Yudovich, Ladyzhenskaya) con ν ≥ 0.

Existencia de soluciones débiles. En 1934 Leray introdujo la noción de solución débil y probó la existencia de soluciones débiles para las ecuaciones de Navier-Stokes.

D. Córdoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

Resultados más destacados ˜ o para n = 3 y con respecto a Resultados de dato pequen la viscosidad ν > 0 (Leray, Fujita y Kato, Giga y Miyakawa, Kato, Weissler ): Si la norma ||u0 || 1 (o la norma L3 ) H2 ˜ a, entonces existe solución global. suficientemente pequen Criterios de singularidades (blow-up): Si ν > 0, � T �u�kLr dt = ∞ ⇔ singularidad a tiempo T , 0

donde r , k verifican 2r + k3 = 1, para 3 < r ≤ ∞ (Leray, Giga, Ladyzhenskaya, Prodi y Serrin ). El caso crítico k = 3 y r = ∞ se estableció recientemente por Escauriaza, Seregin y Sverak. Si ν = 0, (Beale, Kato y Majda) � T |∇ × u|L∞ dt = ∞ ⇔ singularidad a tiempo T . 0

D. Córdoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

Resultados más destacados Las singularidades son aisladas, para ν > 0 (Scheffer, 1976 y Caffarelli, Kohn y Nirenberg 1982) . Scheffer aplicó las técnicas de la teoría de geometría de la medida para estimar la dimensión Hausdorff del conjunto {(x, t) ∈ Ω × [0, T ]; |u|L∞ = ∞}. Su resultado fue luego mejorado por Caffarelli, Kohn y Nirenberg. Combinando técnicas analíticas de integrales singulares con argumentos geométricos, Constantin, Fefferman y Majda probaron que si la dirección del vector vorticidad ω(x) ξ(x) = |ω(x)| se mantiene lisa en regiones donde la vorticidad es alta, entonces no puede producirse una singularidad. D. Córdoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

Resultados más destacados

En el caso ν > 0, la existencia de una singularidad es equivalente a que la presión se haga −∞ en el punto de singularidad (Sverak y Seregin, 2002). Hiperviscosidad (Ladyzhenskaya): Para α ≥ 54 , cambiando −∆ por (−∆)α , hay existencia de soluciones globales. Existencia global de datos iniciales particulares. Recientemente Chemin, Gallagher y Paicu prueban que en dimensión 3 (con ν > 0) existen soluciones globales en el tiempo con dato inicial que no es pequeño.

D. Córdoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

Existencia global n=2 y ν = 0.

x ∈ R2 , Sea el escalar w =

 ∂p u + u · ∇u = − + ν∆u1  1t 1 ∂x  1   ∂p u2t + u · ∇u2 = − ∂x + ν∆u2 2     ∇·u =0

∂u1 ∂x2

−

∂u2 ∂x1 .

entonces

wt + (u · ∇u1 )x2 − (u · ∇u2 )x1 = 0 ⇒ wt + u · ∇w = 0. es decir, que la derivada de la vorticidad a lo largo de trayectorias es cero: w(X (α, t), t) = w0 (α). Así �w�L∞ (t) = �w�L∞ (0). D. Córdoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

Existencia global n=2 y ν = 0.

También al multiplicar por w e integrar en el dominio obtenemos � � 0= w(wt + u · ∇w)dx = wwt dx ⇒ R2

�

R2

|w|2 (t)dx =

�

R2

R2

|w|2 (0)dx,

y en general se puede obtener que todas las normas Lp (1 ≤ p ≤ ∞) se conservan en tiempo �w�Lp (t) = �w�Lp (0).

D. Córdoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

Existencia global n=2 y ν = 0. Como ∇ · u = 0, existe una función de corriente ψ tal que ∂ψ ∂ψ u = (− ∂x , ) y por tanto w = −∆ψ (ecuación de Poisson). 2 ∂x1 Estamos interesados en soluciones con energía finita y que sus derivadas decaen suficientemente rápido en el infinito. Podemos invertir el operador laplaciano y obtenemos � 1 ψ(x1 , x2 , t) = log |x − y |w(y , t)dy 2π R2 que al derivar 1 u(x1 , x2 , t) = 2π

�

R2

D. Córdoba

(x − y )⊥ w(y , t)dy . |x − y |

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

Existencia global n=2 y ν = 0. Aplicamos a la ecuación el operador gradiente ortogonal ∇⊥ = (− ∂x∂ 2 , ∂x∂ 1 ) (∇⊥ w)t + u · ∇(∇⊥ w) = (∇u) · ∇⊥ w que también puede escribirse como � � ∂ + u · ∇ |∇w| = α|∇w| ∂t donde α es α = (∇u)ξ · ξ.

y ξ es la dirección del vector ∇⊥ w.

D. Córdoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

Existencia global n=2 y ν = 0. Se deduce que para i = 1, 2 obtenemos � ∂u 1 (x − y )⊥ ∂w = (y , t)dy 2 ∂xi 2π R2 |x − y | ∂yi � � |x − y | � (x − y )⊥ ∂w 1 = Γ (y , t)dy 2 2π R2 δ |x − y | ∂yi � � � |x − y | �� (x − y )⊥ ∂w 1 + 1−Γ (y , t)dy 2 2π R2 δ |x − y | ∂yi =I1 + I2 donde definimos una función Γ(r ) ∈ C ∞ que verifique Γ(r ) = 1 si r < 1 y Γ(r ) = 0 si r > 2.

D. Córdoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

Existencia global n=2 y ν = 0.

|I1 | ≤ cδ|∇w|.

Integrando por partes � |w(x + y , t)| |I2 | ≤c dy = 2 |y | |y |≥2δ � � |w(x + y , t)| |w(x + y , t)| =c dy + c dy ≤ 2 2 |y | |y | k >|y |≥2δ |y |>k ≤�w�L∞ (t) ln δ + ck �w�L2 (t)

=�w�L∞ (0) ln δ + ck �w�L2 (0),

D. Córdoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

Existencia global n=2 y ν = 0. Entonces Sea δ =

|∇u|L∞ ≤ cδ|∇w|L∞ + c ln δ + c.

1 |∇w|+1 ,

sustituyendo se tiene

|∇u|L∞ ≤ c ln(1 + |∇w|L∞ ) + c Por lo tanto d | |∇w|L∞ | ≤ C|∇w|L∞ log(|∇w|L∞ + 1) dt y |∇ω|L∞ está acotada por una doble exponencial en tiempo |∇w|L∞ (t) ≤ ce

D. Córdoba

Cet

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

Dimensión n=3. Sea ω = ∇ × u la vorticidad, y aplicando el rotor a las ecuaciones obtenemos: ωt + ∇ × (u · ∇u) = ν∆ω

de la que se deduce   ωt + u · ∇ω = (∇u) · ω + ν∆ω x ∈ R3 ,  ∇·u =∇·ω =0

La ley de Biot-Savart nos permite escribir el sistema en función de la vorticidad: tomamos ψ = (ψ1 , ψ2 , ψ3 ) tal que −∆ψ = ω : � 1 ω(y , t) ψ(x, t) = dy función de corriente 4π R3 |x − y |

y u = −∇ × ψ,

1 u(x, t) = 4π

�

R3

x −y × ω(y , t)dy . 3 |x − y |

D. Córdoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes II

Dimensión n=3.

La diferencia crucial entre 2 y 3 dimensiones aparece en la evolución a lo largo de trayectorias de la vorticidad; en el caso de tres dimensiones la vorticidad satisface ω(X (α, t), t) = ∇α X (α, t)ω0 (α). En dimensión n=3 las ecuaciones incompressibles de Euler tienen la propiedad de que las lineas de vorticidad (curvas tangentes al vector vorticidad) se mueven con el fluido.

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Lineas de vorticidad. Consideremos la curva lisa C= {y (s) ∈ R3 : 0 < s < 1}: diremos que es una línea de vorticidad a tiempo t si es tangente a la vorticidad en cada uno de los puntos, eso quiere decir que dy (s) = λ(s)ω(y (s), t)para algún λ(s) �= 0 ds Una cuenta muy sencilla muestra que las líneas de vorticidad, de la solución de la ecuación incompresible tridimensional de Euler, se mueven con el fluido: la curva C(t) = {X (y (s), t) ∈ R 3 : 0 < s < 1} satisface dX (y (s), t) = λ(s)ω(X (y (s), t))para algún λ(s) �= 0. ds D. Córdoba

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Tubos de vorticidad

Un tubo de vorticidad está formado por la unión de líneas de vorticidad. En las simulaciones numéricas se observa que estos tubos se doblan, tuercen y se contraen.

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Dimensión n=3.

El operador Dt ≡ ∂t + u · ∇ es la derivada con respecto al tiempo a lo largo de trayectorias y es natural hacer el siguiente argumento heurístico dω = ω2 dt ya que ∇u tiene el mismo orden que la vorticidad. Esta ecuación diferencial ordinaria produce singularidades en tiempo finito.

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Dimensión n=3. Pero en realidad, ∇u es una convolución de la vorticidad con un núcleo homogéneo de orden -3 y con media cero en la esfera unidad. ∇u son integrales singulares de Calderon-Zygmund. Tf = VP

�

K (x − y )f (y )dy ≡ lim

�

ε→0 |x−y |≥ε

K (x − y )f (y )dy ,

donde el núcleo K (x) verifica −n K (x) K (λx) = λ � |x|=1 K (x)ds = 0 Algunas de las propiedades de este valor principal son: 1 �Tf �Lp ≤ cp �f �Lp para cada 1 < p < ∞; 2 En dimensión n = 1 sólo hay un operador con las propiedades exigidas: la transformada de Hilbert � f (y ) Hf = VP dy x −y D. Córdoba

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Modelo 1D.

En 1986 Constantin, Lax y Majda estudiaron el siguiente modelo en dimensión n=1:  wt = (Hw)w     w(x, 0) = w0    �x  u(x, t) = −∞ w(y , t)dy que se puede integrar y obtener soluciones exactas.

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Modelo 1D. Propiedades de de la transformada de Hilbert Hf : 1

2

3

4

Z (x) = Hw + iw es el valor de frontera de una función analítica en el semiplano inferior H − = {z = x + iy /y < 0} si y → 0. Si Z (x) = α(x, y ) + iβ(x, y ) es analítica en H − , haciendo y → 0, entonces α(x, 0) = Hβ(x, 0). iZ (x, y ) = −β(x, y ) + iα(x, y ) es analítica, luego H(Hf ) = −f . ZZ es analítica, Z 2 = α2 + β 2 + i2αβ, luego 2H(fHf ) = (Hf )2 − f 2 ;

(Hβ)2 − β 2 H(2αβ) = 2H(Hββ) = . 2

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Modelo 1D. la ecuación de evolución de Hω y nos queda  (Hw)2 −w 2   (Hw)t = 2   wt = (Hw)w

Sea Z = Hw + iw, entonces

Z2 . Zt = 2 Así Z (x, t) =

z0 (x) 1− 12 tz0 (x)

y por tanto

4w0 (x) w(x, t) = �z = . 2 2 2 (2 − t(Hw0 )(x)) + t w0 (x)

Para todo dato inicial donde existe un punto x0 tal que w0 (x0 ) = 0 y Hw0 (x0 ) > 0 (por ejemplo, para Hw0 (x) = cos x) existen singularidades en tiempo finito. D. Córdoba

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Modelo 1D.

Pero si a la derivada temporal añadimos un término convectivo, de forma que la derivada de la velocidad sea una integral singular de la vorticidad, entonce no puede integrarse el sistema. En este caso las ecuaciones serían   wt + auwx = (Hw)w a∈R  u = Hw. x

Para todo a ∈ R existen soluciones autosimilares y la existencia de singularidades con dato inicial regular para el caso a ≤ 0.

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Modelos bidimensionales

Ecuación quasi-geostrófica superficial (SQG)  q + u · ∇q = 0   t

  ∇·u =0 u = (−R2 q, R1 q),

ui (x, t) = VP

x ∈ R2 transformadas de Riesz, �

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yi q(x + y , t)dy 3 |y |

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Modelos bidimensionales

Ecuación de medios porosos (IPM)

u = VP

�

 qt + u∇q = 0       ∇·u =0  � �   0    u = ∇p + q

−2y1 y2 y12 − y22 1 ( , )q(x + y , t)dy + (0, q). 4 4 2 |y | |y |

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Modelos bidimensionales

2D:

3D:

(∂t + u · ∇) ∇⊥ q = (∇u) · ∇⊥ q. ∇·u =0

(∂t + u · ∇) ω = (∇u) · ω. ∇·u =0

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Modelos bidimensionales

                

∇⊥ q(x1 , x2 , t)

=

∂q ∂q (− ∂x , ) 2 ∂x1

∼ ω(x1 , x2 , x3 , t) = ∇ × u

∇ · (∇⊥ q) = 0 ∼ ∇ · (ω) = 0 (∇u) ≡ SIO(∇⊥ q)en 2D ∼ (∇u) ≡ SIO(ω)en 3D curvas de nivel of q ∼ líneas de vorticidad Energía acotada ||u||Lp ≤ ∞(1 < p < ∞)

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Energía constante ∼ ||u||L2 ≤ ∞

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                

Modelos bidimensionales Existencia local de soluciones clásicas. Existencia global (?) Criterio de Blow-up � T �∇q�L∞ (t) dt = ∞ ⇔ singularidad t = T . 0

Limitaciones geométricas.

∇⊥ q ω η= ⊥ = |∇ q| |ω|

Squirt singularities �

0

T

�u�L∞ (t) dt < ∞.

Simulaciones numéricas �∇θ� �∇θ�L∞ (t) ∼ et (IPM) D. Córdoba

L∞

(t) ∼

t e e

(SQG)

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