Logaritmos Revisadas las potencias y los radicales podemos abordar los logaritmos, los cuales están relacionados con la exponenciación a través la siguiente función. log 𝑏 𝑥 = 𝑛 ⇔ 𝑥 = 𝑏 𝑛 Logaritmo en base “b” de un argumento “x” igual a “n” (exponente) si y solo si “b” elevado a “n” da como resultado a “x”. Tenemos ciertas restricciones en la función logaritmos y estas son: 𝑏 >0 ∧𝑏 ≠1

-

La base “b” debe ser positiva y distinta de 1.

-

El argumento “x” debe ser un número positivo

.

-

El exponente “n” puede ser cualquier real.

𝑛∈ℝ

𝑥>0

Los logaritmos fueron propuestos por primera vez por John Napier y su aplicación tiene gran importancia en diversos campos como la astronomía, geodesia, epidemiología entre otros tantos.

I. Propiedades generales de los logaritmos Las propiedades generales (o triviales) de los logaritmos son las siguientes. - No existe logaritmo de un número con base negativa ∄ log −𝑏 𝑥 - No existe logaritmo de un numero negativo ∄ log 𝑏 (−𝑥) - No existe el logaritmo de cero ∄ log 𝑏 0 - El logaritmo de 1 es cero log 𝑏 1 = 0 1

- El logaritmo en base “a” de “a” es uno log 𝑏 𝑏 = 1 - El logaritmo en base “a” de una potencia en base “a” es igual al exponente “n” log 𝑏 𝑏 𝑛 = 𝑛

II. Identidades y propiedades de los logaritmos Al momento de realizar cálculos con logaritmos, las identidades a continuación son de mucha utilidad. -

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmo de los factores log 𝑏 (𝑥 ∙ 𝑦) = log 𝑏 (𝑥) + log 𝑏 (𝑦)

-

El logaritmo del cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador log 𝑏

-

𝑥 = log 𝑏 𝑥 − log 𝑏 (𝑦) 𝑦

El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia log 𝑏 𝑥 𝑦 = 𝑦 ∙ log 𝑏 𝑥

-

El logaritmo de una raíz es igual al producto entre el inverso del índice y el logaritmo del radicando log 𝑏

-

𝑦

𝑥 =

log 𝑏 𝑥 𝑦

El logaritmo de un inverso multiplicativo es el inverso aditivo log 𝑏

1 = − log 𝑏 𝑥 𝑥 2

III. Cambios de base Entre los logaritmos tenemos diferentes bases, siendo las más utilizadas las siguientes: -

Logaritmo natural, cuya base es “e” ln 𝑥

-

Logaritmo común o en base a 10

-

Logaritmo binario o en base 2

log 𝑥 log 2 𝑥

Luego el cambio de base se puede realizar a través de la siguiente formula. Sea el logaritmo de “x” en base “b” luego para pasar a base “k” se tiene: log 𝑏 𝑥 =

log 𝑘 (𝑥) 1 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑘 = 𝑥 → log 𝑏 𝑥 = log 𝑘 (𝑏) log 𝑥 (𝑏)

Veamos un ejemplo. Sea el log 2 (8) = 3, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 log16 (8) Nos piden calcular el logaritmo de 8 en base a 16 sabiendo el logaritmo en base 8, empleando la formula antes descrita log16 8 =

log 2 (8) 3 3 3 = = = 4 log 2 (16) log 2 (2 ) 4 ∙ log 2 (2) 4

IV. Ecuaciones logarítmicas Finalmente veremos las ecuaciones logarítmicas, siendo estas las que contienen además una incógnita en caso de una ecuación de primer orden o varias en el caso de un sistema de ecuaciones en que se encuentra un logaritmo. Para resolver estas ecuaciones debemos tener en cuenta las propiedades generales (1.2) y las identidades y propiedades de los logaritmos (1.3)

3

La metodología es obtener logaritmos a un lado de la ecuación para aplicar la definición de logaritmo para despejar la incógnita o logaritmos en ambos lados, veamos dos ejemplos para una ecuación de primer orden. Sea la siguiente ecuación logarítmica: 2 log 𝑥 = 3 + log

𝑥 10

Expandiendo: log

𝑥 𝑎 𝑥 → log = log 𝑎 − log 𝑏 → log = log 𝑥 − log 10 10 𝑏 10

→ 2 log 𝑥 = 3 + log 𝑥 − log 10 → log 𝑥 = 3 − log 10 Ahora note que: Log 10 = log10 10 → log 𝑏 𝑏 = 1 → log 10 = 1 ∴ log 𝑥 = 3 − 1 = 2 → log 𝑥 = 2 Utilizando la definición de logaritmo: log 𝑏 𝑥 = 𝑛 ⇔ 𝑥 = 𝑏 𝑛 → 𝑥 = 102 → 𝑥 = 100 Ahora en una ecuación donde igualamos los logaritmos procedemos como se muestra en el siguiente ejemplo: Sea la ecuación log 𝑦 − 2 + 1 = log 𝑦 − 1 + log 2 4

Primero llevamos el 1 a logaritmo y para eso recordamos que log 10 = 1 → log 𝑦 − 2 + log 10 = log 𝑦 − 1 + log 2 En ambos lados de la ecuación tenemos suma de logaritmos, luego sabemos que: log 𝑏 (𝑥 ∙ 𝑦) = log 𝑏 (𝑥) + log 𝑏 (𝑦) → log 𝑦 − 2 ∙ 10 = log 𝑦 − 1 ∙ 2 Para que esta ecuación sea válida, necesariamente debe cumplirse que: log 𝑥 = log 𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑦 Luego tenemos: 𝑦 − 2 ∙ 10 = 𝑦 − 1 ∙ 2 → 10𝑦 − 20 = 2𝑦 − 2 → 8𝑦 = 18 →𝑦=

18 9 = 8 4

Siempre se aconseja verificar la solución en caso de tener más de una solución como lo es en caso de ecuaciones de segundo grado que veremos más adelante junto a sistemas de ecuaciones logarítmicas.

5

Test 1.- Calcule el valor de x log

6

3

6.- El logaritmo de que número en 1 =𝑥 81

base 2 2 es igual a 8?

a) 4/3

a) 2

b) 2/3

b) 1024

c) -2/3

c) 2 2

d) -4/3

d) 4096

2.- Resolver

7.- Calculas el valor de a:

𝑆𝑖 log 2 = 0.3010 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 log 0.02

𝑎 = log 2

2 2

a) 2.3010

a) -2

b) -2.3010

b) -1

c) -1.699

c) -0.5

d) -0.699

d) 2

3.- Resolver

8.- Calcular:

log 5∙

ln 𝑒 5 = 𝑥

5 125

1

a) 2 b) 1

a) 5

c) 2/3

b) -5

d) 3/2

c) e d) -e

6

4.- Resolver

9.- Resuelva la siguiente ecuación

log 2 48 + log 3 27 − log 5 25

logaritmica:

a) 4 + log 5 2

2 log 𝑥 = 2 + log

b) 3 + log 2 3

𝑥 5

a) 100

c) 5 + 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟑

b) 10

d) 1

c) 20 d) 1

5.- Calcular log 2

𝑥2 − 𝑦2 𝑥∙𝑦

a)log 2 𝑥 + 𝑦 −

10.- Resuelva la siguiente ecuación logaritmica:

log2𝑥−𝑦+log2𝑥−log2𝑦 b)log 2 𝑥 + 𝑦 −

log 𝑥 + log(𝑥 + 3) = 2 log(𝑥 + 1)

log2𝑥−𝑦−log2𝑥−log2𝑦 c)𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝒙 + 𝒚 +

a) 1

𝐥𝐨𝐠𝟐𝒙−𝒚−𝐥𝐨𝐠𝟐𝒙−𝐥𝐨𝐠𝟐𝒚

b) 2

d)log 2 𝑥 + 𝑦 −

c) 1/5

log2𝑥−𝑦−log2𝑥+log2𝑦

d) no tiene solución

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