Universidad Tec Milenio: Preparatoria Matemáticas Propedéutico para Bachillerato

Matemáticas Propedéutico para Bachillerato

Actividad 6. Operaciones básicas.

Introducción En actividades anteriores ya aprendimos que el conjunto de números con los que trabajaremos a lo largo de este curso es el Conjunto de Números Reales, también aprendimos que tienen un orden, y ahora vas a recordar las propiedades que existen para realizar operaciones entre ellos, recuerda que todo esto son herramientas que te van a servir en niveles superiores de matemáticas, por lo que el aprendizaje debe ser significativo y no pasajero.

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Objetivos

Al finalizar la actividad serás capaz de: • Aplicar las propiedades para el uso correcto de las operaciones básicas de los números reales. • Aplicar correctamente el uso de ley de signos.

Suma y resta de números reales Para entender correctamente la suma y resta de números reales, vamos a empezar por describir el valor absoluto. El valor absoluto de un número, es la distancia a la cual se encuentra el número del cero, sin importar si se encuentra a la derecha o a la izquierda del origen, y se denota con las barras de valor absoluto.

a Ejemplos:

3  3

4 4

5  5

 225  225

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Suma y resta de números reales Al sumar números reales con signos iguales, se suman los valores absolutos de los números y se coloca el signo que tienen en común.

45  9

 4  5  9 Al sumar números reales con signos diferentes, se restan los valores absolutos de los números y se coloca el signo del mayor valor absoluto.

 15  6  9

Propiedades de los números reales Las propiedades que se emplean en las operaciones de suma y multiplicación son las siguientes: Asociativa. Conmutativa. Distributiva. Identidad para la suma. Identidad para la multiplicación. Inverso aditivo. Inverso multiplicativo.

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Propiedad asociativa La propiedad asociativa de los números es cuando se pueden agrupar los números sin modificar o alterar el resultado.  (4 + 2 ) + 5 = 4 + (2 + 5) 6+5=4+7 11= 11  (6x2) (4) = (6) (2x4) (12) (4) = (6) (8) 48 = 48 La propiedad asociativa es válida para la suma y la multiplicación.

Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa es la que permite cambiar el orden de los términos, realizar la operación y que el resultado sea el mismo. Ejemplo: 4+5=5+4 9=9 (4) (5) = (5) (4) 20 = 20 La propiedad conmutativa es válida en la suma y la multiplicación.

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Propiedad distributiva La propiedad distributiva consiste en quitar la agrupación de los términos (paréntesis) y eso se logra multiplicándolos por el factor que tienen en común. (a + b) c = ac + bc (El factor común en esta operación es el término c)

La expresión anterior se entiende: La suma de a y b, multiplicada por el término c es igual a multiplicar por separado cada término por c y sumarlo posteriormente. Ejemplo:

(5 + 3)(2) = (5)(2) + (3)(2) (8)(2) = 10 + 6 16 = 16

Propiedad distributiva

Ahora tenemos la siguiente operación: 3 – (4 + 5) Esto es válido si el factor común es un signo, lo veremos al final de la actividad, ya que para esto debemos primero explicar la ley de signos.

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Propiedad del 0 y el 1 Identidad para la suma y la multiplicación En la suma y en la multiplicación tenemos un elemento neutro o idéntico para cada uno de ellos, es decir al usarlos no modificamos el resultado de la operación, observa la siguiente tabla: Elemento Neutro o idéntico

Ejemplo

Suma

0

3+0=3

Multiplicación

1

(3)(1) = 3

Propiedad del inverso aditivo y multiplicativo

Suma

Inverso

Ejemplo

a  (a)  a  a  0

3  (3)  0

Multiplicación 1 (a )   1 a

1 (3)   1  3

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Ley de signos La ley de signos es válida sólo en la multiplicación y en la división, y es precisamente cuando tenemos más de un signo y debemos concluir con uno solo, por lo que se marcan las siguientes reglas. Multiplicación (+) (+)

=

(+) ( - )

División

+

+/+

+

=

-

+/-

-

(-)(+) =

-

-/+

-

(-)(-) =

+

-/-

+

Signos iguales siempre dan positivo (+), signos diferentes siempre dan negativo (- ).

Ley de signos Recuerdas el problema de la ley distributiva con signo negativo que dejamos pendiente, ahora si vamos a resolverlo. 3 – (4 + 5) Para quitar el paréntesis tengo dos opciones, la primera y mas fácil es realizar la operación dentro del paréntesis y posteriormente aplicar ley de signos (-)(+9)= -9 3 – (9) = 3 – 9 = - 6 La segunda opción es aplicar la ley distributiva, pero debo tomar en cuenta la ley de signos, por lo que la operación queda: 3–4–5=-6

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Integración de propiedades y ley de signos Vamos hacer algunos ejemplos, observa qué es lo que se está aplicando.

 3  9  2 | 12  2 || 10 | 10

 6  15   | 9 | (9)  9

3( 5)  15

 (2)(3)(4)  24

Valor absoluto El signo dentro del valor absoluto no entra en la ley de signo, primero se resuelve el valor absoluto. Ley de signo (+)(-)=(-) Ley de signo (-)(-)=(+), el resultado por (-) nos da (-)

Integración de propiedades y ley de signos

6  10  0  4  4(2  6)  4(4)  16  5(1 / 5)  1

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Bibliografía

Silva y Lazo. Fundamentos de Matemáticas. México: Editorial Limusa Noriega Editores, 2005. (ISBN 968-185095-5).

Créditos Diseño de contenido: Ing. Raquel Ramírez Peláez. Coordinador de área: Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED Edición de contenido: Lic. Miriam Gómez Moore, MED Edición de texto: Lic. Alejandra Zaragoza Scherman Diseño Gráfico: Miguel Angel Reynosa Castro, MANM

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