MATRICES 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes;

−1 3 A=   0 7

2   0 −1 6   −1 1 5 6 8  −1  , B=  − 2 − 4 2  , C=  4 − 3 0 1 6      7   5 1 − 1 − 3 − 5 4 1 7 4 

2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A  − 6 0 3   1 − 5 − 6   6 3 − 1   1 0 0           2 ⋅ A − 3⋅ 2 3 1  =  2 3 1  − 5 ⋅  0 1 1  − 2 ⋅  1 0 2   − 1 − 2 0  4 5 3   4 3 2    0 0 1    

a) b) c) d)

 0 0 − 1  −1 3 2  −1 2 5       3. Sean A =  4 1 8  , B =  2 1 4  y C =  3 0 2  determinar: 0 1 6   −1 0 3  6 −1 2       At+6B+3C (A-C)t+7B−6Bt 7A-2C+3(6At-2B) A-At-3(B+C)

4. Dadas las siguientes matrices A =

−1 1 

 − 3 1 5   , B =   4 1 0 y C = 2 5  0 0 1   2 3

Calcular: a) A·B·C b) A·(B+C) c) B·C·At d) (7B-6C)·At 5. Calcular A·B y B·A siendo A y B las matrices:  3     1  A = (1 3 2 −1) ; B =   −2    2    4 

5

− 1 

6. Dada la matriz A =  − 3 − 4 1  , calcular A², A3 y A428 − 3 − 4 

0 7. Sea la matriz  0  0

0 

1 0

  0

0 1 determinar A², A3 y An 0

1

0 1

 0

0 1

8. Sea A =  0 1 0  . Hallar An para todo n natural.



9. Probar que An = 2n-1·A, siendo A =

 1 1  1 1  

 −1 0 1    3 0 2  −1 1 5  

1

1 1

 1

1 1

10. Calcular An siendo A =  1 1 1  .



a 1  n 11. Hallar las matrices A y B siendo A =  0 1  0 0  n

n

1  n 0  yB= 1  

 cos α  senα 

− senα  cos α

 

a b  1 1  y V =   siendo a, b ∈ ℜ 12. Se consideran matrices M =  0 a    0 1 a) Calcular Mn, n = 1,2,... b) Hallar todas las matrices de M tales que M100 = V.

2 − 1 2 1 0 0     13. Dadas las matrices A =  − 1 − 1 1  e I =  0 1 0   −1 − 2 2  0 0 1     a) calcular la matriz (A−I)² b) haciendo uso del apartado anterior determinar A4.

14. Se consideran las matrices A =

1 0  0

1 0  1 1 yB=



0 1

0 0  0

1 0  0 1 , calcular B3 y A4 (Sugerencia:



0 0

A=B+I) 4  0 3   15. Siendo A =  1 − 4 − 5  . Calcular:  −1 3 4   a) Demostrar A3+I3=0 b) Teniendo en cuenta el apartado anterior calcular A10.

16. Demostrar (A+B)t=At+Bt 17. Demostrar que cualquier matriz cuadrada puede escribir como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. 18. Calcular la matriz inversa de

 2 − 2 

− 1 3

 y comprobar que lo es multiplicándola por la dada. 

1 4 4  

19. Hallar la matriz inversa de 0 2 4   0 0 1

20. Dada la matriz

1 0  4

Calcular la inversa para m = 2.

0 m 1

−1   3 averiguar, para qué valores del parámetro m tiene inversa.  − m

 1  2  − 2

21. Dadas las matrices A =

2 5 −4

  yB=  − 5 3

7

 3 − 4   2

− 2 − 1 1 0



− 1 , demostrar que A es inversa  1 

de B. 22. Sea A =

a + b  2a 

b

 . Calcular para que valores de a y b existe A−1. Calcular la inversa de 

a + b

A en función de a y b.

 3x 23. Determinar para que valores de x tiene inversa la matriz  0  0

x

x

3x − x 0

x

  y calcularla en  

función de x.

24. Sean las matrices A =

−1 1  2

0 −2 3

  y B = − 2  0   

1

0

 , obtener si procede (B·A)

 0  7 25. Se sabe (no es necesario que lo compruebe) que la matriz A =   − 9  2 igualdad

−1

− 1 2

3 4 −2 5

A² = A + I, siendo I la matriz identidad. Calcular A−1 y A4.

2 −1  1 −6  verifica la 1 7  3 − 3

26. Determinar el rango de cada una de las siguientes matrices

1 1 

−1 2  0 2

− 4  3   − 1  4 0 0 27. Sea A =   0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

1 3  2

1 1 2 1

1 2 3 5

−1 2  3  4

 − 1 2  − 1 2  1 5  1 4     1 6  0 0 5    2 1  3 2  − 3 1 5 2 2   1 0 1 2   2    3 1 0 0 1  0 0 0 0  1   1 2 1 1  

1 2  1 6

2 1  1 3

1

1

2  1  3  0

1 −1   0 4

1 3 0 1

1 1 2 2

3  5  1  1

0  0  , se pide: 1  0

a) Calcular el rango de A b) Hallar A12 28. Sean las matrices A =

1 4 

3  yB= 2

2 5 

1  . Calcular una matriz X para que se cumpla la 3

igualdad; A = X · B

− k − k 29. Hallar los valores de k para los cuales la matriz   − k − k a)

no tiene inversa

4 5 6   1 2 3  − k 0 −1  − k − k − 1

b) tiene rango 3 30. Determinar una matriz cuadrada A de orden 2 tal que A + At = 2I, y det(A) = 2, siendo I la matriz identidad, y At la transpuesta de la matriz A. −1 − 2

0 −1  1

31. Dada la matriz A =



− 2 , determinar, si es posible, un valor de k para el que la  3 

0 1

matriz (A − k · I)² sea la matriz nula. 32. Dada la matriz A =

2 1 

3

1  , hallar una matriz X tal que A · X · A = C, siendo C =  2 

2

1

.

3

33. Resolver la ecuación matricial: A · B · X – C · X = 2C siendo: A=

34. Sea A = B = P−1·A·P. 35. Sea A =

1 2  0

4 3 

− 6

1 0 

2

2



1 ,B=  1

1

1



− 1 1

y

C=

1 −1  1

1

0



1 .  − 1 1 2

− 3

4 yB=   − 5 6

0 yB=   1 1

3 2 

 encontrar una matriz simétrica P no singular tal que

− 5

1

 . Hallar una matriz X, tal que A·X + B = A 

− 1

36. Determinar los valores de x, y, z para que se verifique la igualdad

37. Dada la matriz A =

3 2 

− 4

a  encontrar las matrices B =  0 

− 3

1 x 

y

1  · y 

z

x

0

5  =0 



z

5

b

 tales que A·B = −B·A.

c

38. Hallar una matriz de 2x2, distinta de I y de −I, cuya inversa coincida con su transpuesta siendo I la matriz identidad. 39. Sean A y B matrices de orden n. Demostrar que si A y B son invertibles, A·B también lo es y que se verifica (A·B)−1 = B−1·A−1.

1 3

40. Comprobar que A² = 2A − I siendo A= 

0

1  e I=  0 

1

0

−1 8  . Determinar A y la matriz A .

1

41. Sea A una matriz cuadrada. Si A² + 2A + I = 0 donde I es la matriz unidad, comprobar que A es invertible. 42. Si A es una matriz cuadrada de orden nxn, tal que A² = A, e I es la matriz unidad de orden nxn, ¿Qué matriz es B², sí B = 2A − I?

2 b

43. Determinar todas las matrices A = 

a

1  tales que su inversa sea 2I−A, donde I =  0 

c

t 5

44. Calcular los valores del parámetro t para que la inversa de la matriz A=  con su opuesta.

− 2

0



1

 , coincida

−t

1

0

 1

 1

45. Siendo las matrices A =  0 1  y B =

1 0 

1 1

t t t  . Comprobar la igualdad: (A·B) = B ·A

1 1

−2 −2 4   − 5 − 6 12  verifica A2 = A (no es preciso comprobarlo), −3 −2 6   − 3 − 3 7  determinar un valor no nulo del número real λ tal que (λA − I)2 = I, siendo I la matriz identidad. 3  6 46. Sabiendo que la matriz A =  3  3 

47. Para cada numero entero n, se considera la matriz:  cos nx sen nx   , x ∈ ℜ A =   − sen nx cos nx  a) Compruébese que A n · A m = A n+ m. b) Como aplicación de lo anterior, calcúlese An−1.

a)

48. Determinar los valores del parámetro real λ para los que tiene solución única la ecuación matricial 1 1 0  0 1 2     AX = B, siendo A =  λ 1 − 1 y B =  1 0 1   0 2 − 1  1 −1 0     

b) Resolver dicha ecuación matricial para λ = 0.

49. Hallar todos los valores del parámetro real a para los cuales la matriz A no tiene inversa. a a a   A =  a 2 a  . Calcular A−1 para a = 1, si existe.  a a 3   50. Estudiar el rango de la matriz A, según los valores de los parámetros a y b. 1 1 a 1    A = 2 − b 4 2   b −1 1 − 3  

3 12 6   a   1 4 2 51. Discutir razonadamente en función de a y b el rango de la matriz A =  b  a + b 4 16 8    2 1  − 2 4   2 1 − 2  4 52. Dada la matriz A=  : Calcular A² y A−1. 2 1 −2 4     1 −2 4 2   53. Siendo A una matriz cuadrada de tercer orden y At su transpuesta, demostrar que A+At es 1 2 1   t una matriz simétrica. Obtener la matriz inversa de (A+A ) donde A =  0 1 0   2 0 3  

 1 0 2   54. Hallar la matriz X que satisface la ecuación AX = BA, siendo A =  0 1 1  y  −1 0 1     0 1 − 1   B= 1 0 2   −1 0 2    55. ¿Tiene inversa siempre una matriz diagonal de orden 4?. Justifica la respuesta. ¿Tiene inversa la matriz B? En caso de que la tenga calcúlese. 1 0 0 0    0 a 0 0 B= : a , b, c ∈ ℜ 0 0 b 0   0 0 0 c  

 2a b 1    56. Calcula la inversa de la matriz A en función de a y b. A =  2 ab 1   2 b a    a −1 a −1 3    0 a − 2 − 2 1  57. Estudiar el rango de la matriz A =  según los valores de a. 0 1 a + 3 − 1   0 − a 0 a   0 2  58. Dada la matriz A =  0 0 0 0  unidad de orden 3, entonces I + A + A²

− 1  1  demostrar que A3 es la matriz nula, y que si I es la matriz 0  es la inversa de la matriz I−A.

 −1 0 0    59. Sea A =  − 1 − 1 5  . Compruebe que (A+I)²=0, siendo I la matriz identidad y 0 la matriz  0 0 − 1   nula. Justifica que A es invertible y obtener A−1 y A² en función de A. a b 60. Sea A =   , con a, b, c y d pertenecientes a ℜ y que la matriz A cumple las propiedades c d A·A = I y det(A) = 1, siendo I la matriz identidad, calcular los coeficientes de la matriz A. 61. (Puntuación máxima: 2 puntos) Sea A una matriz cuadrada y sea I la matriz unidad. Pruébese que sí A2 + 5A = I, entonces A es una matriz regular. Recuérdese que A es regular si admite función inversa o si tiene determinante no nulo) 0 r   , siendo r y s dos números reales tales que 62. Calificación máxima: 2 puntos. Sea M =   s 0 r·s ≠ 1. Calcular M2, M3, M4, y M2 k para k ∈ N. a)

63. Calificación máxima: 2 puntos. Hallar razonadamente los valores del parámetro p para los que la matriz A tiene inversa. 0 0  p   A =  1 p +1 1  1 0 p − 1 

b) Hallar la inversa para p = 2