Apuntes de A. Cabañó Matemáticas aplicadas a cc. ss.

MATRICES Y DETERMINANTES. CONTENIDOS: • • • • • •

Definición y terminología básica. Operaciones con matrices: suma y producto. Producto de una matriz por un escalar. Matriz opuesta. Matriz inversa. Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Determinante de una matriz cuadrada. Desarrollo por los elementos de una línea. Cálculo de la matriz inversa.

Definición de matriz. Se llama matriz de orden mxn sobre un cuerpo conmutativo R (números reales) a un cuadro dispuesto en m filas y n columnas. Esquemáticamente:

 a11 a12 .. a1n     a 21 a 22 .. a 2n   A=   .. .. .. ..    a m1 a m2 .. a mn  A los números reales que forman la matriz se les llama elementos de la matriz El número de filas y columnas recibe el nombre de dimensión de la matriz, y se designa por mxn. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Tipos de matrices: - Matriz nula es la que tiene todos sus elementos iguales a cero. - Matriz fila es la que tiene una sola fila. - Matriz columna es la que tiene una sola columna. - Matriz opuesta de la matriz A es al matriz B tal que B=-A. - Matriz cuadrada es la matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. - Matriz diagonal es la matriz cuadrada cuyos términos no situados en la diagonal principal son nulos. - Matriz escalar es la matriz diagonal que tiene iguales todos los elementos de la diagonal principal. - Matriz unidad es al matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1. - Matriz triangular es la matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos situados por encima o por debajo de la diagonal principal. - Matriz traspuesta es la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. Se representa por At - Matriz simétrica es la matriz cuadrada que tiene iguales sus elementos conjugados.Si una matriz coincide con su traspuesta, se llama simétrica Operaciones con matrices. - Suma de matrices. La suma o adición de dos matrices A y B del mismo orden mxn es otra matriz de orden mxn, cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de A y B que ocupan lugares homólogos. - Propiedades de la suma de matrices: - La suma de matrices es una ley de composición interna.

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∀A, B ∈ M mxn : A + B = C ∈ M mxn - Propiedad asociativa.

A + (B + C) = (A + B) + C

∀A, B,C ∈ M mxn

- Existe el elemento neutro.

A+ O = O + A = A - Existe el elemento simétrico o matriz opuesta.

A + (-A) = O - Propiedad conmutativa.

A+ B = B + A La diferencia de las matrices A y B se representa por A-B, y se define así: A-B=A+(-B) Producto de una matriz por un número. El producto de una matriz A por un número real k es otra matriz B de la misma dimensión que A tal que cada elemento de B se obtiene multiplicado k por cada elemento de A. -Propiedades : k(A+B)=kA+kB (k+h)A=kA+hA k[h(a)]=(kh)A Producto de matrices. Dadas dos matrices A de dimensión mxn y la matriz de dimensión nxp, se llama producto de A por B a la matriz C de dimensión mxp en donde el elemento genérico cij es igual a la suma de los productos siguientes: primer elemento de la fila i de A por el primero de la columna j de B, el segundo elemento de la fila i de A por el segundo de la columna j de B....,el n-ésimo de la fila i de A por el n-ésimo de la columna j de B. En general no se verifica la propiedad conmutativa. Ejemplos:

 − 1 2 3   2 − 3   6 20        4 1 2   1 1  = 13 − 1  − 1 2 5   2 5  10 30      

 2 1 0 1 1 1 0  4 3 3 0       3 2 0  2 1 1 0 = 7 5 5 0  1 0 1  2 3 1 2  3 4 2 2     

Matriz inversa Dos matrices de orden n son inversas si su producto es la matriz unidad de orden n. Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular. Daremos dos métodos para calcular la matriz inversa: - Aplicando la definición y resolviendo el sistema - Por el método de determinantes o adjuntos. Determinantes - Determinante de segundo orden. El determinante de una matriz cuadrada de segundo orden es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. - Determinante de tercer orden. Es fácil recordar el determinante de tercer orden mediante la regla de Sarrus: Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto. Los términos con signo – están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto

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Ejemplos:

3 2 1 5 4 0 =-19 2 −1 − 3

1 2 5 3 2 1 =-22 1 −1 0

Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea Se llama adjunto de un elemento al determinante que resulta de eliminar la fila y la columna a la que pertenece el elemento. El adjunto va precedido de un signo + o - , según que la suma de los subíndices de la fila y la columna sea par o impar El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos correspondientes. El valor del determinante es independiente de la fila o columna elegida para su desarrollo. Cálculo de la matriz inversa por determinantes. Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por adjA , a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto correspondiente. La condición necesaria para que una matriz tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero. La matriz inversa de una matriz dada es igual a la matriz adjunta de su traspuesta dividida por el determinante de la matriz dada.

A −1 =

adjA t | A|

El primer paso para hallar la inversa de una matriz es calcular su determinante. Si es 0, se termina el proceso. No tiene inversa. Las matrices inversas se utilizan para la resolución de sistemas de ecuaciones y de ecuaciones matriciales. Sistema de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones puede expresarse matricialmente de la forma AX=B siendo A la matriz de los coeficientes, X la matriz columna de las incógnitas y B la matriz columna de los términos independientes. Si A es una matriz inversible, en le ecuación matricial se puede despejar X multiplicando por la izquierda en ambos miembros por la matriz inversa A-1 y se tiene X=A-1 B - Sistemas de Cramer. Si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas, la matriz A de los coeficientes será cuadrada y el sistema será compatible determinado cuando det A ≠ 0. Se dice, en esta caso, que es un sistema de Cramer. El valor de cada incógnita viene dado por una fracción cuyo denominador es el determinante de los coeficientes y cuyo numerador es el determinante de la matriz que resulta de sustituir en la matriz de los coeficientes la columna de los coeficientes de la incógnita por los términos independientes. Ecuaciones matriciales. Puesto que el producto de matrices no es conmutativo, a la hora de multiplicar una matriz por otra conviene si ha de hacerse por la derecha o por la izquierda. Antes de empezar a operar con las matrices dadas conviene despejar la matriz incógnita. Ejemplos.

1 1   3 4

Si las matrices A, B y C son las siguientes: A = 

3

 2 1  B =   1 1

1 2   C =  1 3 

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Expresar el valor de la matriz X en las siguientes ecuaciones: a) XA=B+I

b) AX+B=C

c) XA+B=2C

d) AX+BX=C

e) XAB-XC=2C

Las soluciones de cada ejercicio son las siguientes:

 9 − 2  − 2 1 

a) X= 

 3 4  −1 1

d) X= 1/7 

− 4 2    3 − 1

 − 9 3   − 11 4 

b) X= 

c) X= 

 − 14 4    − 23 6 

e) X=1/4 

EJERCICIOS 1. Dadas las matrices

 2 0 1   A =  3 0 0 5 1 1  

1 0 1    B = 1 2 1  1 1 0   

calcular A+B; A-B; AB; BA; AA; BB.

2. Calcular AB y BA, si es posible, siendo:

 2 − 1   A= 1 0 − 3 4   

1 − 2 − 5  B =  0  3 4

3. Calcular A2-3B-I, siendo A y B las matrices del ejercicio 1. 4. Calcular los potencias n-ésima de las siguientes matrices:

1 1 1   B = 1 1 1 1 1 1  

a 1  A =  0 a

 2 3  y comprobar el resultado multiplicándola por la matriz 1 1  

5. Hallar la matriz inversa de A =  dada.

6. Aplicando la definición de matriz inversa, calcular la inversa de la siguiente matriz diagonal:

1 0 0   A = 0 2 0  0 0 3   7. Calcular la matriz inversa utilizando el método del determinante:

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1 4 4   A =  0 2 4 0 0 1  

1 1 0   B = 1 0 1 0 1 0  

2 2 1   8. Dada la matriz: A=  1 3 1  se pide: 1 2 2   a) Calcular (A-I)2·(A-5I) b) Obtener la inversa de A

 2 3 1 1   B=   2  2 −1

9. Calcular una matriz X que verifique la igualdad A·X=B con A=  1 10. Encontrar una matriz X tal que AX+B=C, siendo

 0 1 1  C =   1 1 3

1 1 0   B =  1 2 1 

 1 1  A =   2 1

1 2 1  1 0 − 1     11. Encontrar una matriz X que verifique X-B =AB siendo A =  1 3 1  B =  2 2 2  0 0 2 0 0 6       2 1  hallar su inversa y calcular A 2 − 2 A 12. Sea la matriz A =  2 3    3 − 1  − 4 − 2  B =   Averiguar si son ciertas las dos 13. Siendo A y B las matrices A =  5  2 1   3 2

igualdades siguientes ( A + B ) = A + B t

t

( AB) t = B t A t

t

 2 1   2 3

14. Resolver la ecuación AX=I donde A= 

 1 − 1  Hallar una matriz B tal que A·B=A+I 0 2 

15. Sea la matriz A= 

1 0 1   16. Hallar A y A siendo A=  0 1 0  0 0 1   -1

n

100

17. Calcular A

1 0 0    siendo A= 1 1 0  1 0 1   

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18. Hallar una de las matrices X cuadradas de orden 2 y simétrica tales que AX=0 siendo

 3 − 3  A =   2 − 2  1  19. Calcular el valor de A35 siendo A=  0 0  

1 7 1 0

1  7 0 1  

3 1  determinar otra matriz B tal que A+B=AB. 1 2

20. Dada la matriz A= 

3 X − 5Y = A 1 − 2  2 4  B=   siendo A=  4 X − 3Y = B 8 −1   3 0

21. Determinar dos matrices X e Y tales que 

¿Es inversible la matriz X+Y?. Calcular una matriz C tal que (X-Y)C=I2. 22. Resolver la ecuación matricial AX+B=2C siendo

2 0    1 −1

A= 

 3 1 0   −1 2 1

B= 

 4 −1 2  0 0 1

C= 

1 0 0  2 0 1     23. Resolver la ecuación BX=C, siendo B=  2 1 0  C=  1 3 0  1 0 1 0 0 1     24. Hallar la matriz X tal que AX=B+2C, siendo

1 0 0   A=  0 2 0   1 0 3  

 1 0 − 1   0  B=  0 0  9 3 − 3  

1 1 1   C=  2 3 0   3 4 5  

25. Hallar k para que la matriz A no tenga inversa:

k 1 −1   k  A=  0 2 4 0 − k   2 −1 0 x + 3 = 1 − 7x 26. Resolver la ecuación x − 1 1 x−2 4 1

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EJERCICIOS PROPUESTOS.

 1 2  . Calcular ( At A-1 )2 A . 1º- Se considera la matriz A =  3 5 2 7  Sol:   3 10  2º- Dadas las matrices:

 1 -1 0   2 -1 1   2 -1         2 1 -1   D =  0 1  A =  3 0 - 1  B =  0 3 - 1  C =         3 1 1  -1 2 0   1 1  1 3 -2  Hallar: a) A-1; b) B-1; c) A.B; d) B.A; e) 3A+2B; f) C.A; g) C.B; h) C.D; i) A2; j) B2; k) 3A + A2; l) B2A.B Soluciones:

 - 3/2 1 - 1/2   1/3 1/3 - 1/3   2 -4 2      -1 -1 A =  - 5/2 1 - 1/2  B =  1/6 1/6 1/3  A.B =  7 - 5 3      1   - 9/2 2 - 3/2   1/2 - 1/2  4 4 -2

    

 0 1 -1   7 -5 2       4 -5 1   B.A =  8 - 3 - 1  3A + 2B =  9 6 - 5  C.A =       7 0 -3   5 1 -2   1 13 - 6   3 -3 3   - 2 -1 1      5 -1 1   3 -2  2   C.D =   A =  2 - 6 2  B 2 =  1 7 - 3  C.B =      5 2 2  7 -1  8 7 1 2 7 3     1  1 -4  1 1 1     3A + A2 =  11 - 6 - 1  B 2 - A.B =  - 6 12 - 6       -6 3 -1   11 2 - 5  3º- Dadas las matrices A y B. Calcula A+B, A-B, A2, B2, AB, BA

 1 0 1   A =  2 1 1    1 1 0

2 1 2   B =  1 0 1    0 2 1

Solución:

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3 1 3 2    2 A+ B =  3 1 2  A =  5    3  1 3 1  2 3 3 6    A.B =  5 4 6  B.A =  2     3 1 3 5

5 6 7  - 1 - 1 - 1     2 A - B =  1 1 0  B =  2 3 3      1 - 1 - 1  2 2 3

1 1  2 3  1 2  3 3  1 1  3 2 

4º- Halla AX = B donde:

 1 1  A =   0 1

 1 1 0  B =   - 1 0 1

 2 1 - 1  Sol :   - 1 0 1

5º- Calcula los siguientes determinantes de orden 3:

1 1 -2

2 0

1

1 0

-1

2 1 -1

1 1 -1

1 2

1

1 3

2 1

2

1

3

Sol: -9; 7; -4

1 -3

6º- Hallar la solución de la ecuación:

1 1 a) 1 x

1

1 2 4

1 = 0 b) 2

1 1 x2

1 1 -1

x 8 = 0 c) 2

3 6

x

1

3 x

3 =0 2

Sol: a) x=-1; x=1; b) x=4; x=12; c) x=2 7º- Resolver las ecuaciones: a) A.X = B; b) A + X = B; c) A-1.X = B; d) 2A-X = 3B, siendo

 1 -1 0    B= 0 1 1     1 2 1

 2 1 -1    A=  0 1 1     1 0 -2 

0 -4 -2    -1 - 2 1      Sol : a) X =  1/2 4 5/2  ; b) X =  0 0 0       0 2 3  - 1/2 - 3 - 3/2   1 -3 0   1 5 -2      c) X =  1 3 2  ; d) X =  0 - 1 - 1       -1 -5 - 2   - 1 6 -7 

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