MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL    Son valores numéricos que localizan e informan sobre los valores medios de una serie o  conjunto  de  datos,  se  les  considera  como  indicadores  debido  a  que  resumen  la  información como un todo.    Las medidas de tendencia central pueden calcularse a partir de datos originales o  a partir  de datos agrupados en una tabla de distribución de frecuencias, las que consideraremos  en este curso son la media aritmética, la mediana y la moda.    MEDIA ARITMÉTICA.     Es la medida de posición mas utilizada debido a que en forma empírica la hemos utilizado  cuando determinamos el promedio aritmético de calificaciones semestrales; también se le  conoce con el nombre de valor medio. Nos sirve para determinar el promedio matemático  de un conjunto de datos, y posee como características la unicidad, facilidad de cálculo y la  influencia negativa que ejercen los valores extremos en su determinación.      Se  simboliza  por  la  letra  griega      μ  (mu)  si  tomamos  datos  poblacionales  y  con  la  letra  romana  X  (equis  barra)  si  consideramos  una  muestra.  Por  Ejemplo  al  realizar  una  investigación  respecto  a  los  honorarios  diarios  que  perciben  5  médicos  de  Tepic,  se  reportaron como valores $150.00, $150.00, $150.00, $200.00 y $1000.00.    Para  determinar  el  promedio  sumamos  los  valores  y  al  resultado  lo  dividimos  entre  el  numero  de  observaciones:  150+150+150+200+1000  =  1650/5  =  330    valor  no  muy  representativo del conjunto de datos como un todo ya que el único valor atípico ha tenido  el efecto de inflar la media.      Para  hacer  la  determinación  matemática  de  la media  los  cálculos  respectivos  se  pueden  realizar  para  datos  originales  o  sin  agrupar  y  para  datos  agrupados  en  una  tabla  de  distribución de frecuencias.     Para  un  conjunto  de  datos  sin  agrupar,  sea  X1,  X2,  X3,.........Xn,  la  media  aritmética  se  obtiene sumando los productos de los valores por su frecuencia de aparición y dividiendo  el  valor  obtenido  entre  el  número  total  de  datos  que  se  sumaron,  lo  cual  se  puede  apreciar en el siguiente modelo matemático:                                                            

                                                Si los datos estan ordenados con su frecuencia de aparicion el modelo cambia a:   

    Donde  Xi  = Cada uno de los valores que forman el conjunto.               n  = Numero total de observaciones.               fi   = Numero de veces que se repite un mismo numero.    A este modo de obtención de la media aritmética se le conoce como método largo.    Ejemplo. Determine la media de los siguientes números:     X1 = 2, X2 = 12, X3 = 9,  X4 = 10 y X5 = 7.   

x

 = 2 + 12 + 9 + 10 + 7 / 5 =  8 

  Si graficamos estos números y su media tendremos:               *                                     *              *       *                   *  0 – 1 –2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 

x

                             Podemos observar claramente que la media aritmética es el punto de equilibrio entre los  datos.                         Para un conjunto de datos agrupados en un tabular, la media se calcula partiendo de la  suposición que todos los valores que caen dentro de un determinado intervalo de clase se  localizan  en  el  punto  medio  de  clase  el  cual  se  obtiene  calculando  el  promedio  de  los  límites superior e inferior del intervalo. El modelo matemático es el siguiente:   

x=

∑

mi n

fi  

  Ejemplo: Dados los siguientes datos agrupados en una tabla de distribución de frecuencias  calcule su media aritmética.    CLASES  fi  pm o mi  42‐46  2  42 + 46 /2 = 44  47‐51  9  47 + 51/2 = 49  52‐56  31  52 + 56/2 = 54  57‐61  50  57 + 61/2 = 59 

52‐66  67‐71  72‐76 

51  30  7 

52 + 66/2 = 64  67 + 71/2 = 69  72 + 76/2 = 74 

    El punto medio del primer intervalo equivale a 42 + 46 entre 2 = 44. Los puntos medios de  los siguientes intervalos pueden determinarse siguiendo el procedimiento antes descrito,  o  bien  pueden  calcularse  sumando  la  amplitud  del  intervalo  de  clase  al  punto  medio  anterior.    Si la amplitud es igual a 5, el punto medio del segundo intervalo seria igual a 44 + 5 = 49 y   así sucesivamente los siguientes puntos medios.       44  +  5  =  49  49 +  5  =  59  50 +  5  =  64  51 +  5  =  69  52 +  5  =  74    Para encontrar la media aritmética, de acuerdo con el modelo matemático multiplicamos  el punto medio por la frecuencia absoluta correspondiente de cada clase, sumamos estos  productos y el resultado se divide entre el numero total de datos (n).    CLASES  pm  o   mi  fi  mi ∙ fi  42 – 46  44  2  88  47 – 51  49  9  441  52 – 56  54  31  1674  57 – 61  59  50  2950  62 – 66  64  51  3264  67 – 71  69  30  2070  72 – 76  74  7  518    TOTALES  180  11,005                                                   11,005 

x =

 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  =   61.14                                                                                     180    MEDIANA    Dentro de un conjunto de datos la mediana es un punto que tiene como característica el  que divide al  conjunto en dos partes iguales, se le identifica por el signo X  o  Me  o  Md.  Tratándose  de  datos  originales  no  necesitamos  ninguna  formula  para  hallar  la  mediana  pero es preciso ordenarlos de menor a mayor o viceversa. Por ejemplo calcule la mediana 

de los números 3.0, 27, 3.4, 3.2, 3.3, 3.1 y 12. Primero ordenamos los datos: 3.0, 3.1, 3.2,  3.3, 3.4, 12, 27.    Por tanto la mediana será igual a 3.3 debido a que como el número de datos es 7 el valor  de la mediana nos lo proporcionara el valor de orden X4.    Para conjuntos de datos asimétricos la mediana es una mejor medida de tendencia central  que la media.    Si el numero de valores en un conjunto es par, los valores que dividen al conjunto en dos  partes iguales son dos, por tanto Md será igual al promedio de estos valores centrales, por  ejemplo los datos 54, 56, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 68 y 70 se hallan ordenados, el valor de la  Md estará dado por el promedio de las observaciones X5 y X6  es decir  Me = 65 + 66 / 2 =  65.5.    Si queremos determinar el valor de la mediana a partir de datos incluidos en una tabla de  distribución de frecuencias los pasos a seguir son:    1. Localice  la  clase  que  contiene  a  la  mediana  por  medio  de  las  frecuencias  acumuladas relativas, buscando cual de las clases contiene 50% de la información  o poco mas.  2. Calcule la mediana con el siguiente modelo matemático:     

⎛ n / 2 − fa ⎞ ~ ⎟⎟ i x = Lri + ⎜⎜ fc ⎠ ⎝

        Lri  = Limite real inferior de la clase que contiene la mediana.           n   =  Numero total de observaciones del conjunto.         fa   =  Frecuencia acumulada de la clase mediana.          fc   =  Numero de observaciones en la clase que contiene la mediana.           i   =  Tamaño del intervalo de clase.    Ejemplo: Tabular de salarios mensuales de 100 trabajadores no calificados de la empresa  Hotel Garza Canela en la ciudad de San Blas, Nayarit.    CLASES   fi  fai  2400‐2599  7  7  2600‐2799  20  27  2800‐2999  33  60  3000‐3199  25  85  3200‐3399  11  96  3400‐3599  4  100 

           total 

100 

 

 

~ x

                       (100/2 – 27 )  200                                                                  =  2799.50 + ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  = 2,938.90                                     33 

  MODA O MODO    Es una medida de tendencia central que es poco usada porque  puede no existir y muy a  menudo  puede  no  ser  un  valor  único.  La  moda  se  define  como  el  valor  que  ocurre  con  mayor frecuencia en un conjunto de datos, si existe un solo valor máximo decimos que es  unimodal,  si  tiene  dos  o  mas  valores  con  la  misma  frecuencia  máxima  decimos  que  el  conjunto es bimodal, trimodal, etc. Se representa por las letras Mo o por  X (equis pico).    Ejemplo: Sean los siguientes valores ordenados de manera ascendente.                         56, 62, 62, 65, 65, 65, 65, 68, 70, 72.    Como podemos observar en este conjunto de datos el numero 65 se presenta 4 veces, por  tanto es el valor que ocurre con mayor frecuencia, por ello la moda será igual a 65.    Si  deseamos  calcular  la  moda  para  datos  agrupados  en  una  tabla  de  distribución  de  frecuencias debemos seguir los siguientes pasos:    1. Localizar  la  clase  que  contiene  a  la  moda,  a  través  de  la  frecuencia  absoluta  que  tenga mayor valor numérico.  2. Una vez localizada la clase modal aplicamos la siguiente ecuación:                                                                 

xˆ =

⎛ Δ1 ⎜  Lri  +   ⎜ Δ 1 + Δ ⎝

2

⎞ ⎟⎟ i ⎠

 

      Donde:  Lri     = Limite real inferior de la clase modal.  Δ1    = Diferencia entre la fi de la clase modal y fi de la clase inmediata inferior.  Δ2    = Diferencia de la fi de la clase modal y la fi de la clase inmediata superior.    i     = Tamaño del intervalo de clase.         

      Ejemplo:  Con  los  datos  incluidos  en  la  siguiente  distribución  de  frecuencias  calcule  la  moda.    CLASES  fi  30.5‐33.5  1  33.5‐36.5  2  36.5‐39.5  6  39.5‐42.5  11  42.5‐45.5  16  45.5‐48.5  9  48.5‐51.5  4  51.5‐54.5  1    1er.  PASO    Determinemos  cual  es  el  intervalo  de  clase  que  tenga  mayor  frecuencia  absoluta,  claramente  podemos  observar  que  para  este  conjunto  la  case  modal  es  42.5  ‐  45.5 debido y su frecuencia 16.    2º. PASO Para aplicar la formula ubiquemos primeramente los valores conocidos, nuestra  incógnita y sustituyamos los valores en la ecuación.      DATOS                       FORMULA Y DESARROLLO    Lri = 42.5    Δ1 =  16 – 11 = 5                 Λ

x = 42.5 + Δ2 =  16 –  9  = 7               

5 (3) = 42.5 + 1.25 = 43.75   5+7

 i   =   3                         Mo =  ?            RELACION Y USO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL    La media aritmética es la medida de posición más usual, ya que es la que mejor representa  el valor medio de la población sin que influya el número de observaciones de la muestra. 

La  media  es  el  valor  de  tendencia  central  recomendado  para  variables  numéricas  discretas.  La mediana es la medida de tendencia central menos sensible ante un cambio de valor en  una  observación  extrema,  por  lo  que  se  recomienda  utilizarla  cuando  la  curva  presenta  asimetría o valores indeterminados, también es útil para variables continuas.     La  moda  es  la  menos  usada  por  su  alta  sensibilidad,  aunque  su  cálculo  sea  fácil  de  obtener. Solo se usa con buenos resultados para variables categóricas nominales.     Relación para polígonos de frecuencia unimodales y moderadamente asimétricos:       

−

Λ

x =

−

≈

x = 3( x − x )

                                  Relación para polígonos simétricos y unimodales:    

−

Λ

 

≈

x = x = x

 

      CALCULO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON DATOS NO AGRUPADOS.    Ejemplo: Veinticinco empleados de la cadena de Moteles Candida estudiaron un curso de  primeros  auxilios,  al  termino  del  mismo  se  les  practico  un  Evaluación  de  lo  aprendido  contando con 20 puntos en total y los resultados fueron los siguientes: 17, 17, 16, 16, 17,  19,  12,  19,  17,  16,  14,  15,  18,  18,  14,  20,  15,  15,  17,  18,  17,  16,  16,  13,  17.  Con  la  información proporcionada calcule las Medidas de Tendencia Central.    Primero  ordenamos  los  datos  de  manera  ascendente  y  la  concentramos  en  un  tabular,  donde en l primera columna ubicamos los posibles datos diferentes, seguida de las veces  que  se  repite  cada  uno  de  ellos.  Enseguida  consideramos  los  modelos  matemáticos  a  utilizar  o  bien  los  razonamientos  en  los  que  nos  basaremos  para  calcular  la  media,  mediana y moda.      Xi  fi  Xi*fi  fai  12  1  12  1  13  1  13  2  14  2  28  4  15  3  45  7 

16  17  18  19  20   

5  7  3  2  1  Σ 25 

80  119  54  38  20  Σ 409 

12  19  22  24  25   

   

x=

409 = 16 . 36 ≈ 16 . 4   25

Como  la  mediana  se  define  como  el  valor  o  dato  que  divide  al  conjunto  en  2  partes  exactamente iguales, como n = 25, el dato buscado es X13 pues hay 12 datos antes y 12  después, y su valor lo obtenemos a través de la frecuencia acumulada absoluta, y así  X13 =  17.     La moda es el valor que mas veces se repite, por lo que analizando el tabular observamos  que el valor 17 es el que se repite mas veces ( 7 ), por tanto la moda es 17.  CALCULO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON DATOS AGRUPADOS.    Ejemplo: Los datos corresponden a estatura de 150 alumnos elegidos al azar de la Escuela  Vocacional No.7 en México D. F. en el ciclo escolar 1999‐2000. Determine las Medidas de  Tendencia Central correspondientes.      Clases  fi  mi    fai  mi*fi  146‐151  8  148.5  8  1,188.0  152‐157  18  154.5  26  2,781.0  158‐163  38  160.5  64  6,099.0  164‐169  30  166.5  94  4,995.0  170‐175  39  172.5  133  6,727.5  176‐181  12  178.5  145       2,142.0  182‐187  4  184.5  149          738.0  188‐193  1  190.5  150      190.5  TOTAL  150      24,861.0     

x=  

24 ,861 . 0 = 165 . 74 150

 

⎛ 150 / 2 − 64 ⎞ ~ x = 163 .5 + ⎜ ⎟ 6 = 163 .5 + 2 .2 = 165 .70 30 ⎠ ⎝    

xˆ =              

⎛ 9 ⎞ ⎟6 = 169 .5 + 1.5 = 171 .00    169,5  +   ⎜ ⎝ 9 + 27 ⎠