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Cap´ıtulo 2
Normas de Vectores y Matrices
2.1.
Introducci´ on
En este cap´ıtulo repasaremos brevemente el concepto de norma de un vector para centrarnos en el estudio de las normas de matrices o, si se quiere, en las normas de los operadores lineales. El estudio de las normas de matrices es importante por varias razones. Es necesario, por ejemplo, para definir de forma precisa conceptos tales como series de potencias de matrices; y desde luego es b´asico para precisar lo que se entiende por proximidad o lejan´ıa entre matrices, aspectos fundamentales en el an´alisis de algoritmos en la computaci´on num´erica. Un par de ejemplos pueden servir para ilustrar estas ideas. Es conocido que si x es un n´ umero complejo de m´odulo menor que 1 entonces
p1 xq1 1
x
x2
x3
pI Aq1 I
A
A2
A3
...
Esto sugiere la f´ormula
31
...
32
Normas de Vectores y Matrices
para calcular la inversa de la matriz I A. Pero ¿cu´ando es tal f´ormula v´alida?. Resulta que es suficiente que una norma de la matriz A sea menor que 1, y adem´as cualquier norma sirve. De forma parecida se puede ver que bajo ciertas condiciones relativas a la norma de A la serie 8 1 ¸ Ak k i0 es convergente y sirve para definir la funci´on matricial eA . Por otra parte, el c´alculo num´erico con matrices que proceden de datos experimentales, no es exacto; por lo general matrices est´an sometidas, bien sea por errores de redondeo o por imprecisi´on en las mediciones,a peque˜ nas perturbaciones. Cu´an peque˜ nas son estas perturbaciones, o lo que es lo mismo, cu´an lejos est´a la matriz verdadera de la calculada son conceptos que se pueden hacer precisos utilizando normas. En todo este cap´ıtulo supondremos que F es el cuerpo R de los n´ umeros reales o el cuerpo C de los n´ umeros complejos.
2.2.
Normas de Vectores
2.2.1.
Definici´ on y Ejemplos
Como es bien sabido, el concepto de norma de un vector es una generalizaci´on del concepto de valor absoluto o m´odulo de un n´ umero complejo.
Definici´ on 2.1 .-Sea V un espacio vectorial sobre F (R o C). Una funci´on ν : V ÝÑ R es una norma en V si ν satiface las siguientes propiedades: (i) x 0 ñ ν pxq ¡ 0. (ii) ν pαxq |α|ν pxq, (iii) ν px
y q ¤ ν pxq
@α P F. ν py q,
@x P V
(desigualdad triangular)
2.2. NORMAS DE VECTORES
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Tres importante propiedades se siguen de forma inmediata de la Definici´on 2.2. Para cualquier norma ν 1. ν p0q 0 porque ν p0q ν p0xq 0ν pxq 0.
2. ν pxq ν pxq porque ν pxq | 1|ν pxq ν pxq
3. |ν pxq ν py q| ¤ ν px y q. En efecto, hay dos posibilidades:
a) ν pxq ¥ ν py q. En este caso |ν pxq ν py q| ν pxq ν py q y por la desigualdad triangular ν pxq ν ppx y q y q ¤ ν px y q ν py q.
b) ν pxq ν py q. Entonces |ν pxq ν py q| ν py q ν pxq y de nuevo por la desigualdad triangular ν py q ¤ ν py xq ν pxq ν px y q ν pxq. Ejemplo 2.2 Se puede definir una infinidad de normas en Fn , sin embargo las m´as utilizadas son las llamadas normas de H¨older o normas `p . En lo que sigue supondremos que x px1 , x2 , . . . , xn q P Fn es un vector de Fn . Para cada una de las normas dibujamos, a modo de ilustraci´on la correspondiente bola unidad en R2 ; i.e., el conjunto B p0, 1q tx P R2 | k x k¤ 1u.
(a)
La norma `1 : k x k1
n ¸
| xi | .
i 1
(b)
La norma `2 o norma eucl´ıdea: k x k2
dn ¸
i 1
| xi | 2 .
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Normas de Vectores y Matrices
(c)
La norma `8 : k x k8 m´ax |xi |.
¤¤
1 i n
(d)
La norma `p general (p ¥ 2): k x kp
n ¸
| xi | p
1{p
.
i 1
Demostrar que las normas `p son, en efecto, normas es f´acil salvo la desigualdad triangular que, en el caso general, se conoce como desigualdad de Minkowsky. ´esta a su vez, es consecuencia de otra desigualdad importante; la desigualdad de H¨older: Si p y q son n´ umeros reales tales que p1 1q 1 entonces
|xy| ¤k x kpk y kq . En el caso particular en que p 2 (y entonces tambi´en q H¨older se convierte en una desigualdad bien conocida:
2) la desigualdad de
|xy| ¤k x k2k y k2, la desigualdad de Cauchy-Schwartz.
Aparentemente la norma `8 no es una norma `p . Sin embargo se la puede considerar como tal porque para cualquier x P Fn se tiene que k x k8 l´ım k x kp .
Ñ8
p
2.2. NORMAS DE VECTORES
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Algo de esto ya se intuye en la forma que tienen las bolas unidad en R2 para las normas `p . Tambi´en admite, claro est´a, una demostraci´on rigurosa: Sea k x kp p|x1 |p
xn |p q1{p ,
y supongamos que k x k8 m´ax |xi | |xi1 | |xiq | m.
¤¤
1 i n
Es decir, que las componentes i1 , . . . , iq son, en m´odulo, mayores que todas las dem´as, y que en todas ellas el valor de dicho m´odulo es el mismo e igual a m. As´ı, si tj1 , . . . , jnq u t1, . . . , nuzti1 , . . . , iq u tenemos que k x kp
pqm p |xj |p |xj |pq1 {p p 1{p p m q xmj xjm . n q
1
n q
1
x jk
Como
p
xj 1 conclu´ımos que pl´Ñ8 ım 0 y l´ım k x kp m k x k8 , tal y pÑ8 m k
m como se deseaba demostrar.
2.2.2.
Equivalencia de normas
Las normas son herramientas b´asicas para definir y analizar la convergencia de una sucesi´on de vectores en espacios vectoriales. Como es habitual, una sucesi´on txk u V se dice que converge a x (y se escribe xk Ñ x) si la sucesi´on de n´umeros reales tν pxk xqu converge a cero, ν pxk xq Ñ 0, siendo ν una norma definida en V . Esta definici´on depende de la norma ν. En principio podr´ıa suceder que una sucesi´on de vectores convergiera para una norma pero no para otra. De hecho, esto es perfectamente posible en espacios de dimensi´on infinita, pero no en espacios de dimensi´on finita. Ello es consecuencia de que todas las normas en un espacio vectorial de dimensi´on finita son equivalentes en el siguiente sentido: Definici´ on 2.3 Sean µ y ν normas definidas en V , espacio vectorial sobre F. Se dice que µ y ν son equivalentes si existen n´ umeros reales positivos c1 y c2 tales que c1
¤ µν ppxxqq ¤ c2, @x P V.
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Normas de Vectores y Matrices
Debe notarse que as´ı se define, en efecto, una relaci´on de equivalencia en el conjunto de todas las normas definibles en un espacio vectorial. (Se ver´a en los ejercicios que hay una infinidad de normas definibles en cualquier espacio vectorial). Nuestro objetivo es demostrar que todas las normas en un espacio de dimensi´on finita son equivalentes. Para ello debemos recordar algunos resultados b´asicos de topolog´ıa. En todo espacio normado, pM, k . kq podemos definir una distancia: dpx, y q k x y k, que hace de pM, dq un espacio m´etrico, y por lo tanto topol´ogico con una base de abiertos dada por las bolas abiertas centradas en cada punto de M . Por consiguiente, si V es un espacio vectorial en el que tenemos definida una norma, autom´aticamente tenemos en V estructuras de espacio m´etrico y topol´ogico. Si en M tenemos definidas dos normas, las bolas abiertas definidas por ambas normas pueden ser diferentes (ve´ase el Ejemplo 2.2). A pesar de que las bases de abiertos determinadas por dichas normas sean diferentes, las topolog´ıas determinadas por ´estos pueden ser iguales. La propiedad de que las normas son equivalentes determina que, en efecto, las topolog´ıas inducidas por ellas son la misma; es decir, todo abierto respecto de una de las normas lo es respecto de la otra. En efecto, recordemos que si ν es una norma en M , un conjunto A M es abierto si para cada x P A existe un n´ umero real ρ ¡ 0 tal que B px, ρq ty P V |ν px y q ρu est´a contenido en A. Ahora, si en M hay definidas dos normas equivalentes, digamos ν y µ, entonces existen constantes positivas c1 y c2 tales que c1 µpxq ¤ ν pxq ¤ c2 µpxq para todo x P M . Supongamos que A es abierto respecto de la norma ν. Esto significa que para todo x P A existe r ¡ 0 tal que ν px y q r implica que y P A. Veamos que A es abierto respecto de µ. Sea x P A un elemento cualquiera y definamos s de modo que 0 s cr2 . Si µpx y q s tenemos que ν px y q ¤ c2 µpx y q c2
r c2
r.
Por lo tanto y P A y A es abierto respecto a µ. La demostraci´on de que todo abierto respecto a µ lo es respecto a ν se hace igual. As´ı pues, todas las normas equivalentes definidas en un conjunto M inducen la misma topolog´ıa en dicho conjunto. En consecuencia, todos los invariantes topol´ogicos (compacidad, conexi´on, . . . ) se mantienen. Es decir, si un conjunto es compacto o conexo respecto de una de las normas lo es respecto de la otra.
2.2. NORMAS DE VECTORES
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Estas propiedades tienen un inter´es sobre todo te´orico, pero nos ahorra tener que estar prestando atenci´on continuamente a las normas empleadas cuando se prueban resultados topol´ogicos. En cualquier caso, una primera consecuencia es que la convergencia de sucesiones de vectores en espacios de dimensi´on finita es independiente de la norma elegida. La demostraci´on de que todas las normas definidas en un espacio vectorial de dimensi´on finita son equivalentes se puede hacer de diversas formas. La que adoptamos aqu´ı no es la m´as directa pero tiene la virtud de poner de manifiesto una propiedad fundamental de los espacios vectoriales de dimensi´on finita: estos espacios vectoriales est´an caracterizados por el hecho de que las esferas unidades respecto de cualquier norma son conjuntos compactos. Demostraremos esta importante propiedad (que usaremos de manera significativa posteriormente) en el siguiente Lema. En la prueba usaremos que las normas `1 y `2 en Fn son equivalentes. En efecto, tal y como se propone demostrar en los ejercicios, se tiene la siguiente desigualdad para todo xıFn : ? (2.1) }x}2 ¤ }x}1 ¤ n}x}2. Una u ´ltima observaci´on: n´otese que la acotaci´on no se conserva por homeomorfismo (el intervalo p0, 1q es homeormorfo a R) pero si dos normas son equivalentes y un conjunto es acotado respecto de una de ellas lo es, por la definici´on de equivalencia de normas, respecto de la otra. Lema 2.4 (a) Todas las normas definidas en V , espacio vectorial sobre F, son funciones continuas cuando en V se considera la topolog´ıa inducida por ν y en R la topolog´ıa habitual (la inducida por el valor absoluto). (b) Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita y ν una norma en V . La esfera unidad de V respecto de la norma ν, Sν tx P V |ν pxq 1u, es un conjunto compacto con la topolog´ıa en V inducida por dicha norma. Demostraci´ on.(a) Sea ν una norma definida en V y consideremos en V la topolog´ıa inducida por esta norma. Sea ε ¡ 0 un n´ umero real arbitrario. Escogemos 0 δ ε. Entonces, como para todo x, y P V
|ν pxq ν pyq| ¤ ν px yq,
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Normas de Vectores y Matrices
resulta que si ν px y q es continua.
δ entonces |ν pxq ν pyq| ε. Esto demuestra que ν
(b) Supongamos que dim V siguiente funci´on: g :
n y sea tv1, . . . , vnu una base de V . Definimos la
Fn a pa1 , . . . , an q
Ñ Ñ
V
v
a1 v 1
an v n
donde la topolog´ıa en V es la derivada de la norma ν. Esta aplicaci´on es un isomorfismo de espacios vectoriales; es decir, es una aplicaci´on lineal y biyectiva. Y desde el punto de vista topol´ogico es tambi´en un homeomorfismo cuando en V y Fn se consideran las topolog´ıas derivadas de las normas ν y `1 . Es decir, g es una aplicaci´on continua con inversa continua. No obstante, para llegar al resultado deseado s´olo necesitamos que g sea continua. Aunque, tal y como se acaba de decir, ´este es un hecho conocido, lo demostramos porque la demostraci´on es muy sencilla y esta propiedad se usar´a con frecuencia en este curso. Que la inversa de g tambi´en es continua requiere m´as trabajo. Aunque no se va a utilizar, demostraremos esta propiedad al final de la secci´on. Sea ε ¡ 0 un n´ umero real dado. Tenemos que encontrar un n´ umero real δ tal que si k a b k1 δ entonces ν pg paq g pbqq ε. Ahora bien ν pg paq g pbqq
n °
ν
¤ ¤
|ai bi|ν pviq M k a b k1 ,
n °
¡0
paivi biviq ¤
i 1
i 1
donde M m´axtν pv1 q, . . . , ν pvn qu. Observamos que M ¡ 0 porque vi 0 para todo i 1, . . . , n por ser vectores de una base de V . Basta escoger 0 δ Mε para obtener el resultado deseado. Sea Sν V la esfera unidad respecto de la norma ν: Sν tx P V |ν pxq 1u. Este conjunto es acotado respecto de la m´etrica determinada por ν. Y tambi´en es cerrado porque es la anteimagen por la aplicaci´on continua ν del cerrado t1u de R. Como g es continua, g 1 pSµ q es cerrado. El conjunto g 1 pS q tambi´en es acotado. Esto es, en realidad, una consecuencia inmediata de un resultado que veremos en la pr´oxima lecci´on. Sin dicho resultado, necesitamos
2.2. NORMAS DE VECTORES
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una demostraci´on. Ya hemos visto que g : Fn Ñ V y ν : V continuas. Entonces, la composici´on de ambas f :
Fn p a1 , . . . , a n q
ÝÑ ;
ν pa1 v1
R
Ñ R son funciones
an v n q
tambi´en lo es. Sea S1n1 tx P Fn |}x}1 1u la esfera unidad de Fn respecto de la norma `1 . Este conjunto es cerrado y acotado respecto de la norma `1 . Por (2.1) tambi´en es cerrado y acotado respecto de la norma eucl´ıdea. Ahora bien, sabemos (Teorema de Heine-Borel) que ser cerrado y acotado en Fn (F R o C) respecto de la norma eucl´ıdea equivale a ser compacto. As´ı pues S1n1 es compacto. Consecuentemente, f restringida a S1n1 alcanza su m´ınimo. Sea m m´ınyPS1n1 f py q. Notemos que m ¡ 0 porque si y P S1n1 entonces y 0, por lo que vy y1 v1 yn vn 0 y f py q ν pvy q ¡ 0. Sea ahora a pa1 , . . . , an q P g 1 pSν q. Esto significa que x a1 v1 Sν y as´ı
1 ν pxq
Pero como
a1 , . . . aan1 a 1
}}
}}
ν
ν
}a}1
vi
f
P
}a}1
vi
i 1
P S1n1 resulta que
an vn
n ° ai vi i1
n ° ai
} a} 1 ν
n ¸ ai i 1
a1 an ,... }a}1 }a}1
¥ m.
Por lo tanto
1 ν pxq ¥ }a}1 m, 1 y como m ¡ 0 obtenemos }a}1 ¤ . As´ı pues, g 1 pSν q est´a acotado en m la norma `1 (y por lo tanto en al norma `2 ). Y como tambi´en es cerrado en ambas normas por ser equivalentes, y F R o C, g 1 pSν q es compacto. Finalmente, como g biyectiva, g pg 1 pSν qq Sν . Ahora bien, la imagen de un compacto por una aplicaci´on continua es compacto. Conclu´ımos entonces que Sν es compacto, tal y como se deseaba demostrar. El rec´ıproco del apartado (b) del lema anterior tambi´en es verdadero. Aunque no lo vamos a utilizar lo exponemos por completitud. La demostraci´on usa el siguiente resultado de Riesz, que no demostramos:
40
Normas de Vectores y Matrices
Lema 2.5 (Lemma de Riesz) Sea E un espacio vectorial y ν una norma definida en ´el. Sea S E un subespacio propio y 0 α 1. Existe xα P E zS tal que ν pxα q 1 y ν ps xα q ¡ α para cada s P S. Teorema 2.6 Un espacio vectorial V es de dimensi´on finita si y s´olo si la esfera unidad en V , respecto de cualquier norma, es un conjunto compacto. Demostraci´ on.- La necesidad de que la esfera unidad sea un conjunto compacto para que V sea de dimensi´on finita se ha probado en el Lema 2.4. Demostremos ahora la suficiencia. Sea ν una norma en V y supongamos que V es de dimensi´on infinita. Sea x1 P V cualquier vector tal que ν px1 q 1. Sea V1 x1 ¡ el subespacio generado por x1 . Como V es de dimensi´on infinita, V1 es un subespacio propio de V , por el Lema de Riesz, existe x2 P V tal que ν px2 q 1 y ν px2 y q ¥ 21 para todo y P V1 . Sea V2 x1 , x2 ¡ el subespacio generado por x1 y x2 . De nuevo, V2 V es un subespacio propio de V . Aplicando otra vez el Lema de Riesz, existe x3 P V tal que ν px3 q 1 y ν px3 y q ¥ 21 para todo y P V2 . Siguiendo as´ı sucesivamente, constru´ımos una sucesi´on de vectores txn u con las siguientes propiedades: (a) ν pxn q 1 para n 1, 2, . . . (b) ν pxn xm q ¥
1 2
para n m, n, m P N.
Por lo tanto hemos constru´ıdo una sucesi´on de vectores en la esfera unidad de V , respecto de la norma ν, que no admite una subsucesi´on convergente. Esto significa que la esfera unidad no es un conjunto compacto en V , contradiciendo la hip´otesis. Demostramos finalmente el resultado sobre la equivalencia de normas que busc´abamos. Teorema 2.7 Todas las normas definidas en un espacio vectorial de dimensi´on finita son equivalentes.
2.2. NORMAS DE VECTORES
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Demostraci´ on.- Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita sobre F, y sean ν y µ dos normas definidas en V . Sea Sµ tx P V |µpxq 1u. Por una parte, este conjunto es compacto con la topolog´ıa en V inducida por la norma µ. Hemos visto en la demostraci´on del Lema 2.4 que si g :
Fn a pa1 , . . . , an q
Ñ Ñ
V
v
a1 v 1
an vn
entonces g 1 pSµ q es compacto en Fn con la topolog´ıa habitual (la derivada de la norma eucl´ıdea o de la `1 ). Tambi´en se ha demostrado g es continua cuando en V se considera la topolog´ıa derivada de cualquier norma, en particular, de la norma ν. Como la imagen de un compacto por una aplicaci´on continua es un compacto y g es biyectiva, conclu´ımos que Sµ es compacto en V con la topolog´ıa inducida por la norma ν. As´ı pues, cuando en V consideramos la topolog´ıa inducida por ν tenemos que ν es una aplicaci´on continua y Sµ un compacto. Por lo tanto, ν alcanza en Sµ su m´aximo y su m´ınimo. Pongamos c2 m´ın ν py q y c1 m´ax ν py q. Entonces, para y PSµ y PSµ x P Sµ y x P V , tenemos que µ p xq ν pxq µpxqν Y de la misma forma ν pxq µpxqν
x µpxq
x µpxq
¥ µpxq m´ ın ν py q c2 µpxq. y PS µ
¤ µpxq m´ ax ν py q c1 µpxq. y PS µ
Una consecuencia inmediata de la equivalencia de normas en espacios de dimensi´on finita es que los isomorfismos algebraicos de espacios vectoriales normados son isomorfismos topol´ogicos u homeomorfismos: Corolario 2.8 Sean V1 y V2 dos espacios vectoriales de dimensi´on finita n sobre F y sea f : V1 Ñ V2 un isomorfismo. Sean ν y µ normas definidas en V1 y V2 , respectivamente. Entonces f y f 1 son aplicaciones continuas cuando en V1 y V2 se consideran las topolog´ıas inducidas por estas normas.
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Normas de Vectores y Matrices
Demostraci´ on Probamos la continuidad de f , la de f 1 se demuestra igual. En primer lugar, es f´acil demostrar que la aplicaci´on η : V1 Ñ R definida por η pxq µpf pxqq es una norma en V1 . Como V1 es de dimensi´on finita, η y ν son equivalentes. Existe una constante positiva c2 tal que η pxq ¤ c2 ν pxq para todo x P V1 . Sea ahora ε ¡ 0 un n´ umero real dado. Escojamos δ de modo que 0 Entonces, si x, y P V1 cumplen que ν px y q δ, se sigue µpf pxq f py qq µpf px y qq η px y q ¤ c2 ν px y q c2 δ
δ
ε . c2
ε.
Esto demuestra que f es uniformemente continua en V1 . Una consecuencia inmediata es el siguiente resultado anunciado en la demostraci´on del Lema 2.4: la inversa de g :
Fn a pa1 , . . . , an q
Ñ Ñ
V
v
a1v1
an vn
es una aplicaci´on continua.
2.3. 2.3.1.
Normas de Matrices Definiciones, Ejemplos y Primeras Propiedades
Dado que Fmn es un espacio vectorial todo lo dicho en la secci´on anterior es de aplicaci´on a las matrices de tama˜ no m n con elementos en el cuerpo de los n´ umeros reales o complejos. En particular, todas las normas definidas en Fmn son equivalentes; i.e. generan la misma topolog´ıa,y son funciones continuas. Debemos observar que las propiedades que definen una norma tienen en cuenta las operaciones propias de la estructura de espacio vectorial sobre el que se definen: el producto por escalares y la suma de vectores (desigualdad triangular). Sin embargo las matrices, en algunos casos, se pueden multiplicar. Una norma sobre Fnn se dir´a que es una norma de matriz cuando respecto al producto se verifica una propiedad similar a la desigualdad triangular para la suma. Tomar en consideraci´on esta propiedad de las matrices nos conduce a la siguiente definici´on:
2.3. NORMAS DE MATRICES
43
Definici´ on 2.9 .- Sean µ, ν y ρ normas definidas en Fmn , Fnp y Fmp , respectivamente. Diremos que µ, ν y ρ son consistentes si para todas matrices A P Fmn y B P Fnp se verifica ρpAB q ¤ µpAqν pB q.
En particular una norma ν definida en Fnn se dice que es consistente si ν pAB q ¤ ν pAqν pB q para todas A, B P Fnn .
Una norma ν definida en Fnn consistente tambi´en se dice que es multiplicativa o submultiplicativa. Una norma definida en Fnn se dice que es una norma de matriz si es consistente. Un caso particular importante es el de las normas consistentes (tambi´en llamadas en este caso compatibles) con las normas de vector: Si µ es una norma definida en Fnn y ν es una norma definida en Fn entonces se dice que µ es consistente o compatible con la norma de vector ν si para toda matriz A P Fnn y todo vector x P Fn se tiene que ν pAxq ¤ µpAqν pxq Ejemplo 2.10
1. - La norma eucl´ıdea en Fmn ser´a k A k
m n ¸¸
| aij |2
12
i 1j 1
A esta norma se le llama tambi´en norma de Frobenius y se suele representar por k A kF . En algunos sitios se le llama tambi´en norma de Schur o de HilbertSchmidt. Nosotros utilizaremos el nombre de norma eucl´ıdea o de Frobenius. La norma de Frobenius en Fnn es una norma de matriz. M´as general, las normas de Frobenius en Fmn , Fnp y Fmp son consistentes. En efecto, supongamos que A P Fmn y B P Fnp . Entonces AB P Fmp y, llamando a1j a la j-´esima columna de A , tenemos: k AB k2F
p m ¸ ¸
i 1j 1
| ai b j | 2
p m ¸ ¸
i 1j 1
|a1ibj |2
44
Normas de Vectores y Matrices
Usamos ahora la desigualdad de Cauchy-Schwartz: |x y | ¤ }x}2 }y }2 . As´ı
¤
k AB k2F
p m ° °
i 1j 1 n m
}a1i}22}bj }22
° ° 1 |a
k 1i 1 m n
° °
i 1k 1
° 2 ki |
p °
n
|aik |
2
k 1j 1 p n
° °
k 1j 1
|bkj |2 |bkj |2 }A}2F }B }2F
donde hemos usado que para un n´ umero complejo |z | |z¯|. 2. - La norma `8 en Fmn ser´a:
k A k m´ax |ai,j | ¤¤ ¤¤
1 i m 1 j n
Esta norma en Fnn no es una norma de matriz como lo demuestra el siguiente ejemplo: 1 1 2 2 2 A A AA 1 1 2 2 y k AA k 2 ¡ 1 k A kk A k 3. - En general la norma `p en Fmn se definir´a como: k A k
m n ¸¸
|aij |2
p1
i 1j 1
Utilizando la desigualdad de H¨older se puede demostrar que en Fnn esta norma es una norma de matriz si y s´olo si 1 ¤ p ¤ 2. 4. - Una peque˜ na modificaci´on en la definici´on de la norma `8 nos permite obtener una norma de matriz en Fnn : k A k n m´ax |ai,j | ¤ ¤
1 i,j n
En efecto, si a m´ax |aij | y b m´ax |bij | entonces ¤ ¤
¤ ¤
1 i,j n
1 i,j n
n n ° ° k AB k n m´ax aik bkj ¤ n m´ax |aik bkj | ¤ 1¤i,j ¤n 1¤i,j ¤n k 1 k1 n °
¤n
m´ax ¤ ¤
1 i,j n
k 1
ab na nb k A kk B k
2.3. NORMAS DE MATRICES
45
La norma de Frobenius se puede escribir alternativamente de cualquiera de las dos formas siguientes: a) k A kF
a
trpA Aq
b) k A k2F k a1 k22 k a2 k22 . . . k an k22 , donde A est´a escrita en t´erminos de sus vectores columna.
2.3.2.
ra1
a2 an s
P Fnn
Normas de Matriz Inducidas
Una t´ecnica general para obtener normas de matriz a partir de normas vectoriales es la siguiente: Sea A P Fmn y pensemos en A como una transformaci´on u operador lineal: A : Fn Ñ Fm x Ñ Ax Consideremos en Fn y Fm normas }}n y }}m , respectivamente. Es un hecho conocido que las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales normados de dimensi´on finita son operadores acotados. Que un operador h : E1 Ñ E2 entre dos espacios normados es acotado significa que @x P E1 existe una constante M ¡ 0 tal que }hpxq} ¤ M }x} donde hemos representado con el mismo signo, }}, y sin posibilidad de confusi´on,las dos normas definidas en E1 y E2 . Lo que sigue es una demostraci´on de esta propiedad. Si E1 y E2 son espacios vectoriales de dimensi´on finita, hemos visto en el Corolario x 2.8 que las aplicaciones lineales son continuas. Si x P E1 entonces }x} est´a en la esfera unidad S1 de E1 que, por el Lema 2.4, es un conjunto compacto en E1 . Por consiguiente, si h es lineal entonces, como las normas son siempre funciones continuas, }} h restringido a S1 alcanza su m´aximo y m´ınimo. Sea M m´ax }hpy q}.
Entonces }hp }xx} } M }x}.
¤ M . Pero }hp }xx} }
P
y S1
} } }hpxq}, de donde se sigue que }hpxq} ¤ 1 x
En particular para la aplicaci´on lineal A se tiene que @x P Fn existe una constante M ¡ 0 tal que }Ax}m ¤ M }x}n . Y esto significa que el conjunto
"
}Ax}m : x P Fn, x 0* }x}n
46
Normas de Vectores y Matrices
est´a acotado superiormente. Consecuentemente, tiene un supremo. Podemos as´ı definir la siguiente funci´on: f : Fmn Ñ R A Ñ f pAq donde
f pAq
sup n
P
0 x F
k Ax km k x kn
Es claro que el cociente k Ax km k x kn es no negativo. Probaremos que f es una norma consistente con las normas de vector que sirven para definirla. Comenzaremos observando que el sup se alcanza y que, por lo tanto, podemos sustituir sup por max. Para ello probamos, en primer lugar, que (supondremos siempre x P Fn ): f pAq sup k Ax km .
kxkn 1
En efecto si M
sup
0 x
kAxkm kxkn
entonces M
¥
kAxkm , kxkn
Ax km , @x P Fn tal que k x kn 1, con lo que M
te, si M
sup
kxkn 1
k Ax km , entonces M
¥
@x 0. En particular M ¥k
sup
kxkn 1
k Ax km . Rec´ıprocamen-
¥k Ax km, @x P Fn tal que k x kn 1. Sea
P Fn un vector no nulo arbitrario; entonces kxkx es un vector unitario, de modo x 1 km kxk k Ax km . Por lo tanto M ¥ sup kAxk . En conclusi´on que M ¥k A kxk kxk 0xPF f pAq sup k Ax kn . kxk 1
x
n
m
n
n
n
n
n
Ahora bien, k km es una funci´on continua respecto de cualquier norma de Fn y tambi´en A es una funci´on continua (por ser una funci´on lineal). Por otra parte, la esfera unidad es un conjunto compacto (respecto de cualquier norma) de Fn , y cualquier funci´on continua alcanza sus valores m´aximo y su m´ınimo en ella. As´ı pues f pAq
m´ax
kxkn 1
k Ax km
m´axn
P
0 x F
k Ax km . k x kn
Demostraremos ahora que f pAq es una norma vectorial consistente con las normas } }m y } }n . A estas normas se les llama tambi´en normas de operador.
2.3. NORMAS DE MATRICES
47
Teorema 2.11 .- Sea k kn y k km normas definidas en Fn y Fm , respectivamente. a) La funci´on real f definida en Fmn por f pAq
m´ax
kxkn 1
k Ax km
m´axn
P
0 x F
k Ax km k x kn
es una norma que denotaremos con k km,n . b) Si A P Fmn y B
c) d)
P Fnp entonces }AB }m,p ¤ }A}m,n}B }n,p. En particular, si m n entonces la norma } }n,n es una norma de matriz. Las normas k km,n , k km y k kn son consistentes. Si µ es cualquier otra norma de matriz consistente con k km y k kn , entonces k A km,n ¤ µpAq, @A P Fmn .
En lo sucesivo, y para evitar una notaci´on excesivamente pesada, no escribiremos los sub´ındices que asocian cada norma al espacio en el que est´a definida y representaremos todas las normas con el s´ımbolo } }. La raz´on es que en todo momento es claro en qu´e espacio est´a el vector o la matriz sobre el que act´ ua la norma. mn As´ı, escribiremos }x} y }A} en vez de }x}n o }A}m,n porque si A P F entonces la norma en Fmn es }}m,n y no se necesita precisar los sub´ındices; y, adem´as, Ax s´olo tiene sentido si x P Fn y no se precisa especificar el sub´ındice en el correspondiente s´ımbolo de la norma. Demostraci´ on.- a) Debemos verificar todos los axiomas que definen las normas de matriz (i) Si A 0 existe x m´ax k Ax k¡ 0.
P Fn tal que Ax 0. Por lo tanto k Ax k¡ 0 y k A k
kxk 1
(ii) Para todo λ P F k λA k m´ax k λAx kv m´ax |λ| k Ax k
kxk 1
|λ| kxk m´ax 1
kxk 1
k Ax k |λ| k A k .
48
Normas de Vectores y Matrices
(iii) Probamos ahora que si A, B efecto kA
¤
P Fmn entonces k A
B k m´ax k pA
kxk 1
m´ax pk Ax k
kxk 1
k A k
B k¤k A k
B qx k m´ax k Ax
kxk 1
k Bx kq ¤ m´ax k Ax k
kxk 1
k B k. En
Bx k¤ m´ax k Bx k
kxk 1
kBk.
b) Sean A P Fmn y B
P Fnp. Por definici´on k AB k m´ax k ABx k . }x}1
Sea x0 P Fp un vector con k x0 k 1 donde se alcanza el m´aximo: k AB kk ABx0 k. Ahora bien, para cada matriz X k X k m´ax
y 0
de donde resulta que k Xy k¤k X k k y k, @y
k Xy k kyk
0. As´ı
k AB kk ApBx0 q k¤k A k k Bx0 k¤ ¤k A k k B k k x0 kk A k k B k, porque k x0 k 1; que es lo que se quer´ıa demostrar. En particular si m n p y A, B
P Fnn entonces }AB }n,n ¤ }A}n,n }B }n,n.
Es decir,
} }n,n es una norma de matriz.
c) Ya hemos visto que @A P Fnn y @x P Fn , x 0, se tiene que k Ax km ¤k A km,n k x kn . Y para x 0 se obtiene la igualdad de forma evidente. Por consiguiente, las normas k km,n , k km y k kn son consistentes.
2.3. NORMAS DE MATRICES
49
d) Tambi´en hemos visto m´as arriba que existe x0
P Fn con k x0 k 1 tal que
k A kk Ax0 k . Como µ es consistente con k km y k kn resulta que k A kk Ax0 km ¤ µpAq k x0 kn µpAq, tal y como se deseaba demostrar.
Ejemplo 2.12 .- Vamos a ver c´omo se definen expl´ıcitamente las normas de matriz `p para p 1, 2, 8. 1. - La norma de matriz `1 : Sea A P Fmn y escribamos esta matriz en funci´on de sus columnas A ra1 a2 an s. Vamos a probar que la norma de matriz inducida por la norma `1 es : k A k1 m´ax
¤¤
1 j n
o, equivalentemente,
m ¸
|aij |
i 1
k A k1 m´ax k aj k1
¤¤
1 j n
1m´ ax }a } . Vamos a demostrar que M m´ax }Ax}1 . ¤j ¤n j 1 }x} 1 Para ello probamos primero que M ¥ }Ax}1 para todo x P Fn con }x}1 1; En efecto, pongamos M
1
i.e. que M es una cota superior del conjunto
t}Ax}1 : }x}1 1, x P Fnu, Y a continuaci´on que esta cota se alcanza. Es decir, que existe x0 }x0} 1 y M }Ax0}1. Sea x P Fn con }x}1
P Fn tal que
1, y sean px1, . . . , xn) sus componentes. Entonces
}Ax}1 }x1a1 xnan}1 ¤ ¤ p|x1|}a1}1 |xn|}an}1q ¤ ¤ p|x1| |xn|q 1m´ ax }a } M }x}1 M ¤j ¤n j 1
50
Normas de Vectores y Matrices
Por lo tanto, M es una cota superior de t}Ax}1 : }x}1 1, x P Fn u. Ahora, si el m´ax }aj }1 se alcanza, digamos, para la columna k entonces M }ak }1 .
¤¤
1 j n
k Tomando x0
Ó
ek p0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0q P Fn, tenemos que }x0}1 1 y }ak }1 }Aek }1 }Ax0},
M
de modo que M es una cota superior de t}Ax}1 : }x}1 alcanza. Esto es m´ax }aj }1 m´ax }Ax}1 }A}1
¤¤
1, x P Fnu que se
}x}1 1
1 j n
2. - La norma de matriz `8 : De forma similar a lo que hemos visto m´as arriba, vamos a demostrar que la norma de matriz inducida por la norma `8 es k A k8 m´ax
¤¤
1 i n
n ¸
|aij |.
j 1
° 1m´ ax |aij |. Por una parte ¤i¤n n
Pongamos M
j 1
° n n ° |a x | ¤ k Ax k8 m´ax aij xj ¤ m´ax 1¤i¤n j 1 1¤i¤n j 1 ij j n n ° °
¤ 1m´ ax |a ¤i¤n j 1 ij M }x}8. As´ı pues
m´ax |xk |
¤¤
1 k n
}A}8
m´ax
kxk8 1
m´ax
¤¤
1 i n j 1
|aij |
k Ax k8 ¤ M.
k x k8
(2.2)
Para demostrar la desigualdad en sentido contrario vamos a probar que para cada i 1, . . . , n existe un vector xi con }xi }8 1 tal que
n ¸ |aij | aij xij , j 1 j 1 n ¸
donde xij es la j-´esima componente de xi .
(2.3)
2.4. SUCESIONES Y SERIES DE MATRICES
Supuesto esto demostrado es f´acil ver que }A}8 i 1, . . . , n
}A}8
51
¥ M . En efecto, para cada
° n m´ax }Ax}8 ¥ }Axi } m´ax aij xij 1 ¤ i ¤ n j 1 }x}8 1 n ° m´ax
¤¤
1 i nj 1
|aij | M
As´ı pues, debemos demostrar (2.3). Basta encontrar xi tal que aij xij Pero esta misma identidad nos sirve de definici´on: a ¯ij xij |aij |
|aij |.
siempre que aij 0 y xij 1 si aij 0. Con esta definici´on de xi tenemos que }xi}8 1 y se verifica (2.3) porque cada sumando aij xij |aij | es positivo.
En conclusi´on
}A1}8 }xm´ ax }Ax}8 M m´ax 1¤i¤n }8 1
n ¸
|aij |
j 1
tal y como se deseaba demostrar. 3. - La norma de matriz `2 : A la norma de matriz inducida por la norma `2 se le llama tambi´en Norma Espectral. Veremos en un tema posterior que tiene un significado muy importante que todav´ıa no estamos en condiciones de comprender bien.
2.4.
Sucesiones y Series de Matrices
Tal y como hemos dicho en la secci´on anterior, el uso de normas nos permite hablar de convergencia de sucesiones de vectores y, por lo tanto, de matrices. El objetivo de esta secci´on es introducir las serie de matrices y demostrar un resultado que necesitaremos en un tema posterior. Sea tAk u8 on infinita de matrices con elementos en Fnm , recordemos k0 una sucesi´ que F R o C. Con esta sucesi´on formamos otra, la de las sumas parciales Sk
k ¸
j 0
Aj ,
k
¥ 0.
52
Normas de Vectores y Matrices
Definici´ on 2.13 La serie
8 °
j 0
Aj converge si la sucesi´on tSk u es convergente; i.e. si
existe el l´ım Sk . Adem´as, si S k
Ñ8
kl´Ñ8 ım Sk entonces escribiremos 8 ¸
Aj
S.
j 0
La convergencia de la serie
8 °
j 0
8 °
Aj se puede reducir a la de la serie num´erica
j 0
}Aj } de la siguiente forma:
Proposici´ on 2.14 Si la serie num´erica
8 °
j 0
matriz, tambi´en converge la serie matricial
}Aj }
8 °
converge para alguna norma de
Aj .
j 0
Demostraci´ on.- Sea ε ¡ 0 un n´ umero real dado. Veremos que existe un entero N ¡ 0 tal que si p, q ¥ N entonces k Sp Sq k ε. Esto demuestra que la sucesi´on tSnu de sumas parciales es una sucesi´on de Cauchy. Como Fmn es completo, tSnu converge. En efecto
q p q q ¸ ¸ ¸ ¸ k Sp Sq k Aj ¤ } Aj } }Aj } } Aj } . j p 1 j p 1 j 0 j 0
Ahora bien, si
8 °
j 0
}Aj } converge, existe N ¡ 0 tal que si p, q ¥ N entonces p q ¸ }A } ¸ }A } ε, j j j 0 j 0
que es lo que se quer´ıa demostrar.
2.4. SUCESIONES Y SERIES DE MATRICES
53
En particular, para matrices cuadradas la serie de potencias
aj Aj es conver-
j 0
8 °
gente si lo es la serie num´erica
8 °
j 0
|aj | }A}j . En realidad, este resultado no es un caso
particular de la Proposici´on 2.14 pero se demuestra igual teniendo en cuenta que la norma elegida es una norma de matriz. En efecto, basta observar que si Bj aj Aj entonces }Bj } ¤ |aj | }Aj } ¤ |aj | }A}j , donde la u ´ltima desigualdad se debe a que las normas de matriz tienen la propiedad submultiplicativa. Como muchas funciones escalares se pueden definir como series de potencias convergentes en ciertas regiones del plano complejo, la posibilidad de reducir la convergencia de una serie de potencias matriciales a la de sus correspondientes normas permite definir de forma sencilla algunas funciones matriciales. Concretamente, sea f pz q
8 °
aj z j en un entorno de z
j 0
convergencia R y consideremos la serie matricial
8 °
aj Aj con A
j 0
alguna norma de matriz para la que }A} podemos definir f pAq
8 ¸
0 con un radio de
R, la serie
8 °
j 0
P
Fnn . Si hay
|aj | }A}j
converge y
aj Aj .
j 0
En particular, cada una de las siguientes funciones est´a perfectamente definidas:
8
° j!1 Aj , @A P Fnn. j 0 8 p1qj ° senpAq A2j 1 , @A P Fnn . p 2j 1 q ! j 0 8 p1qj ° 2j nn cospAq p2j q! A , @A P F .
eA
j 0
De la misma forma se podr´ıan definir otras funciones matriciales como ln A, tanpAq, etc. Nos interesa especialmente la serie geom´etrica
8 °
j 0
a
1
1z
p1 zq1 si |z| 1:
z j que sabemos que converge
54
Normas de Vectores y Matrices
P Fnn y }A} 1 para alguna norma de matriz, entonces 8 ° In A es invertible. Adem´as, en tal caso pIn Aq1 Aj y }pIn Aq1 } ¤
Proposici´ on 2.15 Si A
j 0
1
1 }A}
.
Demostraci´ on.- Si }A} 1 entonces la serie geom´etrica te, y por la Proposici´on 2.14 la serie matricial
8 °
8 °
j 0
}A}j es convergen-
Aj converge. Sea B
j 0
pongamos Sk
k ¸
8 °
Aj y
j 0
Aj .
j 0
Entonces
pI AqSk pIn AqpIn Como l´ım Sk B resulta que kÑ8
A
l´ım pIn AqSk
k
y tambi´en
Ñ8
Ak q In Ak 1 .
pIn AqB,
l´ım pIn AqSk
kl´Ñ8 ım pIn Ak 1 q. Ahora bien, l´ım pIn Ak 1 q In porque }In Ak 1 In } ¤ }A}k kÑ8 num´erica t}A}k u converge a cero por ser }A} 1. En consecuencia pIn AqB In y k
Ñ8
1
y la sucesi´on
8 ¸ 1 pIn Aq B Aj . j 0 Finalmente, como B
8
k
j 0
° j ° Aj kl´Ñ8 ım A y } } es continua, j 0
8 k k k 8 ¸ Aj }B } l´ım ¸ Aj ¤ l´ım ¸ }Aj } ¤ l´ım ¸ }A}j ¸ }A}j , kÑ8 kÑ8 j 0 kÑ8 j 0 j 0 j 0 j 0
2.4. SUCESIONES Y SERIES DE MATRICES
donde hemos usado la desigualdad triangular de las normas y que de matriz. As´ı pues
8 8 ¸ ¸ }pIn Aq1} Aj ¤ }A}j 1 1}A} . j 0 j 0
55
} } una norma
56
Normas de Vectores y Matrices