N´ umeros reales

Conceptos b´asicos

Algunas propiedades

En ´algebra es esencial manejar s´ımbolos con objeto de transformar o reducir expresiones algebraicas y resolver ecuaciones algebraicas.

Debido a que muchos de estos s´ımbolos representan n´ umeros reales, es importante revisar brevemente el sistema de ´estos y algunas de sus propiedades fundamentales. Estas propiedades proporcionan las reglas b´asicas para manejar los s´ımbolos en ´algebra. Como es conocido, en el conjunto de los n´ umeros reales, existen dos operaciones b´asicas: la adici´ on y la multiplicaci´ on. Estas operaciones, que se anotan por + y · respectivamente, satisfacen las siguientes propiedades: 1. Propiedades de la Adici´ on y la multiplicaci´ on (a) Clausura: La suma y producto de dos n´ umeros reales arbitrarios es un n´ umero real. (b) Asociatividad: Dado 3 n´ umeros reales arbitrarios x, y y z, se cumplen: x + (y + z) = (x + y) + z

x(yz) = (xy)z

es decir, Al sumar o multiplicar tres n´ umeros, el resultado no depende del orden en que se realicen las operaciones (c) Elemento neutro: • El n´ umero 0, llamado neutro aditivo, cumple que para todo real x: x+0=x es decir, 6

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Algunas propiedades 7

Todo n´ umero sumado con 0 es igual a dicho n´ umero • El n´ umero 1, llamado neutro multiplicativo, cumple que para todo real x: x·1=x es decir, Todo n´ umero multiplicado con 1 es igual a dicho n´ umero (d) Elementos inversos: • Inverso Aditivo: Para cada n´ umero real x, existe el n´ umero −x, llamado inverso aditivo de x u opuesto de x, tal que: x + (−x) = 0 es decir, Todo n´ umero real sumado con su inverso aditivo es igual a 0 • Inverso Multiplicativo: Para cada n´ umero real x, distinto de 0, existe 1 −1 el n´ umero x (= x ), llamado inverso multiplicativo de x, tal que: x · x−1 = 1 es decir, Todo n´ umero real (no nulo) multiplicado con su inverso multiplicativo es igual a 1 (e) Conmutatividad: Dado 2 n´ umeros reales arbitrarios x e y, se cumple: x+y =y+x

xy = yx

es decir, El resultado obtenido al sumar o multiplicar 2 n´ umeros, es independiente del orden en que se efect´ ue la suma Inst. de Matem´atica y F´ısica

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Algunas propiedades 8

Observaci´ on: En R existen dos operaciones m´as: la sustracci´on (−) y la divisi´on (:). Ellas vienen definidas por: Sustracci´on: x − y = x + (−y) Divisi´on: x:y=

x = x · y −1 , y

y 6= 0

Propiedades generales: 1. Para x, a, b, c, d, n´ umeros reales se cumple: (a) Ley de simplificaci´on: • Si a + b = a + c, entonces b = c • Si ab = ac, a 6= 0, entonces b = c (b) Posibilidad de sustracci´on: Si a + x = b, entonces x = b − a (c) Posibilidad de divisi´on: Si ax = b, a 6= 0, entonces x =

b a

(d) Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0 a c ac (e) · = , b 6= 0, d 6= 0 b d bd ad a c (f) ÷ = , b 6= 0, c 6= 0, d 6= 0 b d bc ad + bc a c , b 6= 0, d 6= 0 (g) + = b d bd Orden en los n´ umeros reales: Existe un subconjunto de R llamado conjunto de los n´ umeros reales positivos, deno+ tado por R , con las siguientes propiedades: • Si x es un n´ umero real cualquiera, exactamente una de las afirmaciones siguientes es verdadera: x∈R Inst. de Matem´atica y F´ısica

o

x=0

o

− x ∈ R+ Universidad de Talca

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• El conjunto de los reales positivos es cerrado para la adici´on, es decir: x, y ∈ R

=⇒

x + y ∈ R+ .

• El conjunto de los reales positivos es cerrado para la multiplicaci´on: x, y ∈ R

=⇒

x · y ∈ R+ .

A partir de estas propiedades se puede definir una relaci´on de orden en los n´ umeros reales: Si a, b ∈ R, se dice que “a es menor que b” (o que b es mayor que a), denotado a < b (´o b > a) si y solo si b − a ∈ R+ . Si a, b ∈ R se dice que “a es menor o igual que b” (o “b es mayor o igual que a”) denotado a ≤ b ( ´o b ≥ a) si y solo si a < b ´o a = b. Propiedades de la relaci´ on 0 entonces a · c < b · c a b c < c

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y

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Algunas propiedades 10

3. Si se multiplica o divide por un mismo n´ umero negativo ambos lados de una desigualdad, la desigualdad original cambia de sentido. Es decir: Si a < b y c < 0 entonces a · c > b · c a b c > c

y

Observaci´ on: Propiedades an´alogas cumplen las otras relaciones de desigualdad.

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