16-10-2011

Sesión

Contenidos: ↘Concepto de par ordenado. ↘El Plano cartesiano. ∼El par ordenado en el plano cartesiano.

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↘ Conceptos de Relación y Función. ↘ Diferencia entre relación y Función. ↘ Dominio y recorrido e inversa. ↘ Gráfico de funciones.

Objetivo: ∼ Grafica puntos en los cuatro cuadrantes del plano cartesiano. ∼ Determina dominio, recorrido e inversa de relaciones por extensión. ∼ Transforma relaciones por comprensión en relaciones por extensión. ∼ Diferencia relaciones de funciones. ∼ Determina dominio, recorrido e inversa en funciones expresadas en notación funcional (implícita o Explícita). ∼ Grafica funciones lineales y racionales simples en el plano cartesiano.

Profesor: Víctor Manuel Reyes F. Asignatura: Matemática Básica (MAT-003) Segundo Semestre 2011

Introducción Mortalidad por enfermedades respiratorias

Concepto de Función La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva. Por ejemplo, la reacción de un organismo frente a un fármaco depende de la dosis del medicamento; el crecimiento de una población depende del número de individuos y de depredadores.

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¿Dónde se usan las Funciones? Una función se puede presentar mediante una tabla. Ejemplo: en la tabla siguiente se da la medida de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses). Edad Longitud (meses) (cm)

2 3 4 6 7 8 9

Representación Función 2 3 4 6 7 8 9

4 8 15 29 34 38 42

La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.

4 8 15 29 34 38 42

A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada. (2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses, mide 4 cm. (6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29 cm

Representación Función 4 8 15 29 34 38 42

2 3 4 6 7 8 9

La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.

Representación Función 2 3 4 6 7 8 9

4 8 15 29 34 38 42

La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.

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¿Son funciones?

Representación Función Plano Cartesiano Edad (meses)

Longitud (Cms)

Variable Independiente:

x

y = f ( x)

P ( x; f ( x ) )

Variable Dependiente:

y = f(x)

x f(x) es la imagen de x x es la preimagen de f(x)

Representación Función 4 8 15 29 34 38 42

El dominio de una o función es el conjunto de las primeras componentes (abscisas) de los pares ordenados de la relación. Es el conjunto de las preimágenes, es la parte que tomo del conjunto de partida. Y lo denotaremos por Dom (f)

Longitud

2 3 4 6 7 8 9

Dominio de una función

Ejemplos:

1) R = {(2,3), (5, 7), (1, −1), (3, 4)} DomR = {2,5,1,3}

Edad

2) S = {( José , María), ( Sebastián, Elena), ( Romeo, Julieta)} DomS = { José , Sebastián, Romeo}

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Recorrido de una función

Dominio y recorrido de una función

El recorrido de una función es el conjunto de las segundas componentes (ordenadas) de los pares ordenados de la relación. Es el conjunto de las imágenes, es la parte que tomo del conjunto de llegada. Y lo denotaremos por Rec (f) Ejemplos: 1) R = {(2,3), (5, 7), (1, −1), (3, 4)} Re cR = {3, 7, −1, 4}

2) S = {( José , María ), ( Sebastián, Elena ), ( Romeo, Julieta )} Re cS = {María, Elena, Julieta}

¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función? f ( x) = 4 + x + 2 Tabla de Evaluación

¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función? f ( x) = 4 + x + 2 Dominio

x+2≥0 ⇔

x ≥ −2 Dom ( f ) = [ −2; ∞ +[

Recorrido

y = 4+ x+2 ⇔ y−4= x+2

⇔ ( y − 4 )2 = x + 2 ⇔ ( y − 4 )2 − 2 = x

Re c ( f ) = [ 4; ∞ +[ Buscar condiciones para la variable x

Buscar condiciones para la variable y

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Propiedades de las funciones Función Inyectiva (1-1)

Propiedades de las funciones

Es si los elementos del conjunto B (imagen) le corresponde un solo elemento del conjunto A (pre-imagen). Esta función es llamada inyectiva o 1 a 1.

f (a ) = f (b ) ⇒ a = b

Función Epiyectiva (sobre)

∀a, b ∈ Dom( f )

Una función es Epiyectiva (exhaustiva, o suprayectiva, o suryectiva, o sobreyectiva) cuando todo elemento del conjunto de llegada (B) es imagen de al menos un elemento del conjunto de partida (dominio o A).

Re c( f ) = B

Función Biyectiva

Sea f una función biyectiva de A en B, si y sólo si f es epiyectiva e inyectiva a la vez, es decir que todos los elementos del conjunto inicial (A) tengan una imagen distinta en el conjunto de llegada (B) (inyectiva), y que ademas el recorrido sea igual al conjunto de llegada (epiyectiva)

Función Inversa

Ejemplo Función Inversa

Sea f : A → B una función biyectiva, entonces la función inversa f −1 de f es una función biyectiva tal que

Hallar la inversa y grafica de la siguiente función f ( x ) = 2 x − 1 Solución

f −1 : B → A

y

f −1 ( y ) = x ⇔ y = f ( x )

Para hallar la inversa de la función debemos despejar la variable x

Gráficamente podemos representar estas funciones de la manera siguiente:

f

f −1

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Ejemplo Función Inversa

f ( x) =

x +1 2

f (x ) = 2 x − 1

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