Tema I− FUNDAMENTOS DE DECISIÓN FINANCIERA

1− Capital financiero fijo. Se llama capital financiero fijo a un par ordenado (C,t), donde C " R y se llama cuantía y t " R y se llama vencimiento del capital financiero. Sí C < 0, diremos que el capital financiero es deudor y, si por el contrario C > 0, el capital financiero se denomina acreedor. Parece lógico definir el capital financiero fijo como una cuantía `C' medida en unidades monetarias (Ptas, euros, dólares,...), referido a un instante `t' del tiempo, medido en unidades temporales (días, años,...), ya que todo sujeto económico racional coincide en que no es lo mismo 100 u.m. disponibles el día de hoy (100,t0), que esas mismas 100 u.m. disponibles dentro de un año (100, t0+365). Por otra parte, y con relación a una persona determinada, un capital puede ser a su favor o acreedor, en cuyo caso la cuantía será positiva o puede estar obligado a pagarlo en cuyo caso la cuantía será negativa y el capital deudor. > 0 Acreedor Cuantía [C] Capital financiero (C,t) < 0 Deudor Vencimiento [t] 2− Espacio financiero. Se llama espacio financiero [E] al conjunto formado por todos los posibles capitales financieros fijos. E = { (C,t) / C " R , t " R } = R x R = R2 (plano). Representamos un capital financiero fijo en el espacio financiero como un punto del plano con referencia a un sistema de ejes cartesianos anotando C en el eje de ordenadas y t en el eje de abscisas. No obstante son frecuentes las representaciones simplificadas y esquemáticas. Simplificada. Esquemática. 3− Ley financiera. Se llama ley financiera a una función real de variable vectorial que representa la cuantía del capital equivalente en un punto (p) de un capital financiero fijo (C,t). F: R3 R (C,t,p) F (C,t,p) Verificando las siguientes condiciones: 1

1ª− F es homogénea de grado 1 respecto de C: F(C,t,p) = C · F (1,t,p). Diremos que F (1,t,p) > 0 es la Ley financiera unitaria y la representamos simplemente por F (t,p), con lo cual la primera de las condiciones es que F (C,t,p) = C · F (t,p). 2ª− F (C,t,t) = C ; F (t,t) = 1. Al ser el inicio y el final del periodo la misma fecha el intervalo es cero y, por consiguiente, el capital permanece inalterado. 3ª− Fijado el punto (p), F es estrictamente decreciente respecto de (t), es decir, y, además, fijado el punto t, F es estrictamente creciente respecto de (p), es decir:

Si la función fuese derivable respecto de t y de p, la derivada parcial de F(t,p) con respecto a t sería menor que 0 y con respecto a p sería mayor que 0 , es decir, que esta condición se expresaría de la forma:

4ª− F es continua respecto a (t) y a (p), separadamente. Ejemplo gráfico: tppt Gráficamente las propiedades son: 1ª− Estando el capital en el banco con un rendimiento anual del 2% 2ª− Si no transcurre un periodo de tiempo (t = p) el capital no varía. 3ª− Ejercicio: 1. Demostrar que la función

, con k>0 puede ser utilizada como ley financiera. 1º− F es homogénea de grado 1 respecto a la cuantía debido al propio enunciado del ejercicio.

, por ser una función exponencial. 2º−

2

3º−

y

4º− F es continua respecto de t y de p separadamente por ser una función exponencial.

Ejercicio: 2. Estudiar si la función puede ser utilizada como ley financiera. 1º− Al dar sólo la ley financiera unitaria queda demostrado que También es condicionante que F sea mayor que 0 en todo su dominio, de modo que en los puntos donde sea negativa la función no existe, es decir, no tiene dominio. De tal modo que aquí presentamos las condiciones para que sea mayor que 0. Para que F sea mayor que 0 se tiene que dar que:

a)

ó b)

2º−

3º−

3

4º− La función sólo tiene una discontinuidad en −5. TEORÍA: • Dominio temporal: se llama dominio temporal (Dt) de una ley financiera al subconjunto de formado por los pares (t,p) para los que cumple las cuatro condiciones de la definición de ley financiera. En los ejercicios anteriores no hemos calculado el dominio temporal, pero lo podemos hacer fácilmente, quedando así: En el ejercicio 1: En el ejercicio 2: • En una ley financiera vamos a considerar p como un número fijo, por lo que podemos hablar de ley financiera hasta p. • Si restringimos el dominio temporal de una ley financiera al subconjunto formado por los pares obtendremos el concepto de ley financiera de capitalización, mientras que si lo restringimos al subconjunto formado por los pares obtendremos el concepto de ley financiera de descuento. • La ley financiera de capitalización la vamos a notar por y a la ley financiera de descuento la vamos a notar por . • Gráficamente: L (t,p) 1 1 A (t,p) tppt Ejercicio: 3. Estudiar se la función , donde k>0, puede ser utilizada como ley de descuento calculando para ello su dominio temporal. 1º− Esto demuestra que 4

2º− 3º−

4º− Ejercicio: 4. Estudiar si pueden ser consideradas como leyes financieras las siguientes funciones: a) siendo k>0 1º− Homogénea

2º−

3º− Dominio:

5

b) siendo k>0 1º− Del propio enunciado del ejercicio se deduce que , ya que el enunciado sólo da la ley unitaria.

esta propiedad se cumple ya que para todo 2º− 3º− Dominio: 4− Relación de equivalencia entre capitales financieros fijos. Dada una ley financiera hasta p, en el espacio financiero ( ) se define la siguiente relación binaria: dos capitales financieros fijos están relacionados sí tienen la misma proyección en el punto p. Gráficamente: Esta relación binaria es de equivalencia ya que se verifican las siguientes propiedades: • Reflexiva: todo capital fijo es equivalente a sí mismo • Simétrica: • Transitiva: Cada clase de equivalencia estará formada por todos los capitales financieros fijos que están relacionados entre sí, es decir, que tienen la misma imagen o proyección en p, de manera que en cada momento tomaremos el capital financiero fijo con el vencimiento conveniente al problema en cuestión. Cada una de estas clases de equivalencia recibe el nombre de línea de indiferencia financiera o capital financiero; y el conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia se denomina mapa de indiferencia financiera. El capital financiero se va a representar por . 5− Operaciones con capitales financieros. 5.1) Suma Financiera: Diremos que el capital financiero

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, es la suma financiera de los capitales y según una ley financiera F(t,p) hasta p, cuando la proyección en p del primero sea igual a la suma de las proyecciones en p de los otros dos. La suma de capitales financieros cumple las siguientes propiedades: 1ª− Asociativa. 2ª− Conmutativa. 3ª− Elemento neutro: 4ª− Elemento opuesto: el opuesto de es Por tanto el conjunto de los capitales financieros con la suma tiene la estructura del grupo abeliano o conmutativo: siendo E el conjunto de los capitales financieros. 5.2) Producto de un capital financiero por un número real. Diremos que el capital financiero es el producto de un número real ( ) por un capital según una ley financiera F(t,p) hasta p, cuando la proyección del primero en p sea igual a por la proyección en p del segundo.

Gráficamente: El producto por un número cumple las siguientes propiedades: 1ª− Seudo−asociativa: 2ª− Distributiva respecto a la suma de capitales: 3ª− Distributiva respecto a la suma de números reales: 4ª− Elemento unidad: El conjunto de los capitales financieros con la suma y el producto por un número tiene estructura de especio vectorial: Ejercicio: 5. Dada la ley financiera donde p = 100, hallar la siguiente combinación lineal de capitales financieros: 7

• Hallar la combinación lineal anterior, pero obteniendo el capital con vencimiento en Ejercicio: 6. Hallar el valor de x para que el capital en , sea la suma financiera de los capitales , según la ley financiera con . 6− Relación de orden en el conjunto de los capitales financieros (fijos o no). Sean (C,t) y (C',t') , diremos que (C',t') es preferible o indiferente a (C,t) según la ley financiera F(t,p) hasta p si la proyección en p del primero es mayor o igual que la proyección en p del segundo. Consideramos [ ] como preferible o indiferente a... Esta relación binaria cumple las siguientes propiedades: 1ª− Reflexiva: 2ª− Transitiva: 3ª− Conexa o de orden total: según esta propiedad dados dos capitales uno tiene que ser preferible al otro: Con estas propiedades diremos que la relación preferible o indiferente es de pre−orden total en el conjunto de los capitales financieros fijos. Análogamente podría definirse esta relación entre capitales financieros, pero, además de las propiedades anteriores, se verifica también la propiedad antisimétrica: En este caso concreto, la relación preferible o indiferente es una relación de orden total en los capitales financieros. Ejercicio: 7. • Demostrar que la función , puede ser aplicada como ley financiera de valoración hallando para ello su dominio temporal. ♦ F es homogénea. Al dar sólo la función unitaria queda demostrado que .

♦ , esto queda demostrado porque:

8

♦ esto se da siempre porque:

esto también se da siempre ya que:

♦ • Sabiendo que el capital financiero es la suma financiera de los capitales según la anterior ley financiera con , hallar el valor de k.

como k no tiene solución real, suponemos que es 0'08. • Ordenar según la ley financiera anterior los capitales financieros fijos:

Ordenados de mayor a menor quedan de la siguiente forma: • Hallar el valor de x para que el capital financiero sea 2 veces el capital menos .

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Ejercicio: 8. Demostrar que las siguientes funciones de R2 R, son leyes financieras unitarias, indicando su dominio temporal. •

• F(C,t,p) es homogénea de grado uno respecto a C, por venir definida solamente la ley financiera unitaria: • • • Es continua respecto de p y t separadamente por ser una función exponencial.

• • F(C,t,p) es homogénea de grado uno respecto a C, por venir definida solamente la ley financiera unitaria: • • • Es continua respecto de p y t separadamente por ser una función polinómica.

• • F(t,p) es homogénea de grado uno respecto a C, por venir definida solamente la ley financiera unitaria: • • • Es continua respecto de p y t separadamente por ser una función exponencial. Ejercicio: 9 Sumar financieramente en t= 99 los capitales financieros siguientes: (1000,96), (1100,97) y (1050,98), según

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la ley financiera con i=0'10 y p=100. Ejercicio: 10 Hallar en t=99 la expresión 2(100,90)+3(150,95)−5(200,96), según la ley financiera

Ejercicio: 11 Hallar X para que la suma de los capitales financieros (10,2001), (9,2002), (5,2003) y (X,2004), sean (40,2004) según la ley financiera de descuento

Ejercicio: 12. Hallar i en la ley financiera con p=100 sabiendo que la suma de los capitales financieros (500,98) y (600,99) es (1500,100). Ejercicio: 13. Ordenar los capitales financieros (1000,96), (1100,97) y (1050,98) según la ley financiera con i=0'10 y p=100. Ejercicio: 14. Hallar i en la ley financiera con p=100 sabiendo que la suma de los capitales financieros (110,90), (120,91) y (150,95) es (500,96). Ejercicio: 15. Demostrar que la función puede ser considerada como ley financiera unitaria, indicando en caso afirmativo, su dominio temporal. Según esta ley financiera, ordenar los capitales (1500,98), (1600,95) y (1700,99), siendo p=100. Sumar financieramente los capitales anteriores y decir si la ley financiera utilizada es de capitalización o de descuento. • ¿Ley financiera?. • F(t,p) es homogénea de grado uno respecto a C, por venir definida solamente la ley financiera unitaria: • • 11

• Es continua respecto de p y t separadamente por ser una función compuesta por una función polinómica y una exponencial. • Ordenar los capitales: • Sumar los capitales: Ejercicio: 16. Hallar los valores de ð y k para los que la función con i>0, es una ley financiera, indicando su dominio temporal. • F(t,p) es homogénea de grado uno respecto a C: • • • Es continua respecto de p y t separadamente por ser una composición de una función exponencial y una polinómica. TEMA II− Operaciones y magnitudes financieras. 1− Concepto de operación financiera. Se llama operación financiera a toda acción por la que se intercambian o sustituyen unos capitales financieros por otros con distintos vencimientos. Se denomina origen de la operación al punto donde vence el primer capital y final al momento de vencimiento del último capital. La diferencia entre ambos vencimientos es la duración. La persona que entrega el primer capital inicia la operación como acreedor y a su compromiso total se le denomina prestación. Por el contrario la persona que recibe ese primer capital es inicialmente deudor y a su compromiso total se le denomina contraprestación. En toda operación financiera hay que tener en cuenta el postulado de equivalencia siguiente: toda operación financiera implica la existencia de una equivalencia financiera entre las sumas de los capitales que componen la prestación y la contraprestación en base a una ley financiera previamente fijada y acordada por ambas partes. Cuando la ley financiera es conocida, la operación se denomina perfecta, y en caso contrario recibe el nombre de imperfecta. A este segundo tipo de operaciones pueden asimilarse las operaciones de inversión. Ejemplo 1: Una cierta persona Y, se compromete a entregar a otra persona Z (prestación) los siguientes capitales: (C1,t1) = (10.000,1980), (C2,t2) = (20.000,1982), (C3,t3) = (15.000,1985), a cambio de recibir de Z (contraprestación) los siguientes capitales: (C1',t1') = (25.000,1981), (C2',t2') = (25.000,1986). Si la ley financiera de valoración pactada es A(t,p) = 1−k (t−p), con p=1980, ¿cuál ha de ser el valor de k para que tal intercambio constituya una operación financiera?.

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2− Clasificación de las operaciones financieras Las operaciones financieras pueden clasificarse atendiendo a distintos criterios: • Según la naturaleza de los capitales que la integran: • Operaciones financieras ciertas: son aquellas en las que todos los capitales que intervienen son de naturaleza cierta, es decir, son conocidos en términos reales. • Operaciones financiero−aleatorias: se dan cuando, al menos, uno de los capitales de la prestación o contraprestación es de naturaleza aleatoria. Por ejemplo un billete de lotería. • Respecto a la forma de su definición: • Operaciones predeterminadas: se da cuando en el contrato se especifican a priori los capitales de la prestación y de la contraprestación ya sean en términos ciertos o aleatorios. Por ejemplo, un préstamo. • Operaciones post−determinadas: estas operaciones se caracterizan por el no conocimiento previo de las cuantías o vencimientos de todos o parte de los capitales. Por ejemplo una cuenta corriente. • En base al grado de liquidez interna de la operación: • Operaciones con liquidez interna total: que se da cuando en las condiciones del contrato se establece el derecho de cancelar la operación en cualquier momento. Por ejemplo una cuenta corriente. • Operación con liquidez interna parcial o condicionada: se da cuando la cancelación está condicionada o requiere el acuerdo entre las dos partes. Por ejemplo, para la cancelación de un préstamo es necesario el acuerdo de voluntades entre el banco y el cliente. • En cuanto a su duración: • Operaciones financieras a corto plazo: se dan cuando el plazo es inferior a un año. • Operaciones financieras a largo plazo: se dan cuando el plazo de la operación es superior al año. • Por la distribución de los compromisos de las partes: • Operaciones simples: que se dan cuando la prestación y la contraprestación están formadas por un solo capital. Por ejemplo, un préstamo simple. • Operaciones compuestas, que se dan cuando bien la prestación, la contraprestación o ambas, están formadas por más de un capital. • Atendiendo a la posición del punto p de aplicación:

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• Operaciones de capitalización: se dan cuando p es mayor o igual que el último vencimiento. • Operaciones de descuento: se dan cuando p es menor o igual que el primer vencimiento. • Operaciones mixtas: se dan cuando p se encuentra en el intervalo comprendido entre el primer y el último vencimiento. • Según el sentido del crediticio de la operación: • De crédito unilateral: se da cuando la persona que inicia la operación conserva este carácter hasta el final. Por ejemplo un crédito hipotecario. • De crédito recíproco: se da cuando la persona que empieza como acreedora en algún momento de la operación pasa a ser deudora. Por ejemplo una póliza de crédito. • Respecto al número de leyes financieras utilizadas: • Operaciones homogéneas: son aquellas en las que la ley financiera es única. • Operaciones heterogéneas o complejas: son aquellas en las que se emplean varias leyes financieras. Ejemplo: 2. Vamos a clasificar la operación financiera del ejercicio anterior, atendiendo a las anteriores clasificaciones: • Cierta • Predeterminada • A largo plazo • Compuesta • De descuento • Homogénea. • No sabemos su grado de liquidez y el sentido crediticio de la operación porque no tenemos el contrato y nos faltan datos. 3− Reserva matemática o saldo financiero de una operación. Consideremos una operación financiera cierta, compuesta y homogénea, definida por el intercambio entre los dos conjuntos de capitales siguientes: Esta operación está regida por la ley financiera F(t,p) hasta p, siendo el origen y el final. El postulado de equivalencia en las operaciones financieras implica que la suma de los capitales de la prestación sea igual a la suma de los capitales de la contraprestación. Para hacer la suma tomamos un punto que va a ser el vencimiento de la suma de la prestación y de la contraprestación, y vamos a representar por S y S' las cuantías de la suma financiera en de la prestación y de la contraprestación respectivamente.

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Por el postulado anterior: S=S'. En el supuesto de que ð sea un punto intermedio de la operación, dividirá al intervalo [t1,tf] en dos partes sin elementos comunes que son la operación pasada o contenida en el intervalo [t1, ð] y la operación pendiente o futura contenida en [ð,tf]. Según esto los capitales [(S,ð)] y [(S',ð)] pueden descomponerse, cada uno, en dos sumandos:

Reserva matemática o saldo financiero por la derecha en el punto . Si escribimos que el saldo financiero expresaría las diferencias de cuantía entre las sumas en de la prestación y contraprestación pasadas mientras que si escribimos que el saldo financiero expresará la diferencia entre las sumas en de la prestación y contraprestación futuras. De esta forma se puede interpretar como el capital que restablece el equilibrio financiero entre las obligaciones pasadas y las futuras. Un signo positivo de indica que la prestación entregada a sido mayor que la contraprestación recibida y también indica que la contraprestación pendiente de recibir es superior a la prestación pendiente de entregar, por consiguiente el saldo es favorable a la prestación. Por el contrario un signo negativo de indica que la suma de los capitales de la prestación entregada es menor que la suma de los capitales de la contraprestación recibida, y que por tanto, la suma de los capitales de la prestación pendiente de entregar en mayor que la suma de los capitales de la contraprestación pendiente de recibir. En este caso, el saldo es favorable a la contraprestación.

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La determinación de la cuantía de la reserva matemática a través de la diferencia de valor entre los compromisos pasados recibe el nombre de método retrospectivo, mientras que la obtención de como diferencia de valor entre los compromisos futuros, recibe el nombre de método prospectivo. Existe un tercer método para el cálculo de la reserva matemática que se basa en el conocimiento de la reserva en un punto anterior y en la parte de la operación comprendida entre ambas y que recibe el nombre de método recurrente. Si en lugar de descomponer la duración [t1,tf] en los intervalos y , lo hacemos en y surge el concepto de reserva matemática en por la izquierda y que recibe la notación: . La distinción entre reserva matemática por la derecha y por la izquierda sólo tiene sentido en los puntos en que venza algún capital verificándose que:

, si pertenece a la contraprestación.

, si pertenece a la prestación. Por último, en el origen se verifica que

Y en el final :

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Ejercicio: 3. Consideramos la operación financiera consistente en, Prestación: {(12.000,0), (20.000,3), (40.000,8)} y, contraprestación: {(10.000,1), (15.000,4), (45.000,6)}. Ley financiera: . Hallar: • R2, por el método retrospectivo • •

, por los tres métodos , por el método recurrente.

Prestación:

Contraprestación:

a)

b) Método retrospectivo:

Método Prospectivo:

Método recurrente:

c) Método recurrente:

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Ejercicio: 4. Sabiendo que una operación financiera viene definida por: Prestación: Contraprestación: Ley: , con p=1. Determinar: • La cuantía x • Clasificar la operación atendiendo a los distintos criterios • Reserva matemática en el punto por los métodos prospectivo y retrospectivo. • Hallar la reserva por la derecha y por la izquierda en el punto por recurrencia. Representación gráfica de la operación financiera: Prestación:

Contraprestación:

a) b) La presente operación financiera, según los distintos criterios podemos clasificarla como: cierta, predeterminada, a corto plazo, compuesta, de capitalización, de crédito unilateral y homogénea. c) Método retrospectivo:

Método prospectivo:

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d) Ejercicio: 5. Cierta persona se compromete a entregar 40.000 pts al principio de cada uno de los próximos 4 años a cambio de recibir su equivalente transcurridos dos años y medio desde el día de hoy. Sí la ley de valoración la operación es: , con p igual al primer día del primer año (p=0). Calcular la cuantía que recibirá esa persona transcurridos los dos años y medio. Hallar la reserva por la derecha al finalizar los años segundo y tercero. Representación gráfica: Prestación:

Contraprestación:

Cálculo de la cuantía:

Reserva al finalizar el 2º año:

Reserva al finalizar el 3er año:

4− Magnitudes financieras. Hasta ahora hemos visto dos magnitudes financieras: cuantía [C] y vencimiento [t], a las cuales vamos a llamar magnitudes fundamentales. A continuación, vamos a definir otras magnitudes que son función de las magnitudes fundamentales y las llamaremos magnitudes derivadas. Estas nuevas magnitudes que vamos a definir son: • Factor financiero: ♦ De capitalización: 19

Sí consideramos dos capitales financieros (C1,t1) y (C2,t2), equivalentes según la ley financiera de capitalización [L(t,p)] hasta p, podemos ver que:

Factor financiero de desplazamiento positivo o a la derecha en el intervalo [t1,t2] y lo notamos como: U(t1,t2,p). La interpretación financiera del factor es que: U(t1,t2,p) es el número que multiplicado por C1, cuantía disponible en t1, nos da C2, cuantía disponible en t2, y equivalente a la primera. U(t1,t2,p) > 1. Demostración: ♦ De descuento: Sí consideramos dos capitales financieros (C1,t1) y (C2,t2), equivalentes según la ley financiera de descuento [A(t,p)] hasta p, podemos ver que:

Factor financiero de desplazamiento negativo o a la izquierda en el intervalo [t1,t2] y se representa: V(t1,t2,p). La interpretación financiera del factor financiero de descuento, consiste en que V(t1,t2,p) es el número que multiplicado por C2, cuantía disponible en t2, nos da el C1, cuantía disponible en t1 y equivalente al primero. También se cumple que: • Rédito: Se llama rédito al complemento a la unidad del correspondiente factor tomado en valor absoluto. Puede ser: ♦ De capitalización:

Interpretación financiera: el rédito de capitalización es una magnitud relativa que indica la ganancia obtenida, o el incremento experimentado por unidad monetaria, al diferir (aplazar) su disponibilidad desde t1 a t2. ♦ De descuento:

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La interpretación financiera consiste en que el rédito de descuento es una magnitud relativa que indica pérdida o disminución experimentada por la unidad monetaria al anticipar su disponibilidad desde t2 a t1. Los réditos se pueden expresar en tanto por uno o en tanto por ciento. • Tanto: Se llama tanto a la magnitud que resulta de dividir el rédito por la amplitud del intervalo correspondiente. ♦ De capitalización: Interpretación financiera: el tanto de capitalización es una magnitud relativa que expresa el incremento o plusvalía por unidad monetaria y por unidad de tiempo. [ =rho]. ♦ De descuento: Interpretación financiera: el tanto de descuento es una magnitud relativa que expresa la disminución por unidad de cuantía y unidad de tiempo, al adelantar la disponibilidad del capital. [ =delta]. Los tantos se pueden expresar igualmente en tanto por uno o tanto por ciento. Dentro del tanto, vamos a ver el tanto instantáneo. Se llama tanto instantáneo al límite del tanto ordinario cuando la amplitud del intervalo tiende a 0. ♦ De capitalización:

siendo ♦ De descuento: Siguiendo el mismo razonamiento: Los tantos instantáneos tienen la propiedad fundamental de que la ley y el factor pueden obtenerse a partir de ellos: • • • Interés y descuento: ♦ Interés: Consideremos dos capitales financieros de igual cuantía y vencimiento distinto, tales como: (C,t1) y (C,t2), 21

siendo t1
Ejercicio: 7. Sabiendo que el tanto instantáneo de una ley de descuento es: , determinar: • Expresión analítica de la ley correspondiente:

• Factor, rédito y tanto de descuento para el intervalo [t0,t0+1]:

Ejercicio: 8.

22

Una ley financiera de descuento A(t,p) tiene por tanto instantáneo: , siendo i>0. • Hallar la expresión de dicha ley de descuento:

• Si p es igual a 10, hallar el equivalente del capital financiero fijo (500,20), con vencimiento t = 15 sí i = 0'06.

• Hallar: • El factor de descuento en el intervalo (15,20) de tres formas distintas.

• Rédito de descuento en dicho intervalo.

• Tanto de descuento en dicho intervalo.

Ejercicio: 9. Una empresa tiene que pagar a otra los siguientes capitales: (1.000,20), (500,25) y (2.000,30) y a cambio ha de recibir de esta (1.500,22) y el capital necesario para saldar la operación en t = 28. Calcular dicha cuantía en base a la ley anterior: 23

Calcular además: ♦ , por el método retrospectivo.

♦ , por el método recurrente.

♦ Esta reserva la voy a calcular por el método prospectivo.

♦ ¿Cómo es esta operación según el sentido crediticio? Según el sentido crediticio esta operación la podemos clasificar como de crédito recíproco, ya que ambas partes son acreedoras en algún momento de la operación. TEMA III− LEYES FINANCIERAS CLÁSICAS DE CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO. 1− Leyes de capitalización: • Ley de capitalización simple. La ley de capitalización simple es aquella cuya expresión es de la forma: , donde y ; vamos a llamar z a (p−t), por tanto,

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A z la vamos a llamar tiempo interno y siempre es positivo, ya que se trata de la resta (p−t) y en su momento establecimos que . A i se le suele llamar tanto de capitalización simple y, normalmente, viene expresado en tanto por ciento anual. Normalmente, el tiempo en una ley de capitalización simple viene expresado en años, ahora bien, en ocasiones necesitamos expresar el tiempo en fracciones de año, a lo que llamaremos k−ésimos de año. Un k−ésimo de año es el periodo de tiempo que resulta de dividir un año en k partes iguales. NOTA: En matemáticas financieras el año se suele considerar de 360 días. TABLA DE K−ÉSIMOS MÁS COMUNES K 1 2 3 4 6 12 360

k−ésimos de año 1−ésimo = año 2−ésimo = semestre 3−ésimo = cuatrimestre 4−ésimo = trimestre 6−ésimo = bimestre 12−ésimo = mes 360−ésimo = día

Vamos a suponer que en la ley de capitalización simple el parámetro i viene expresado en tanto por ciento anual y que z viene expresado en años, pero que ahora queremos expresar el tiempo en k−ésimos de año. ¿Cuál será ahora el valor del parámetro i?.

a le vamos a llamar Tanto Equivalente en Capitalización Simple a i por k−ésimo de año. Ejemplo: Hallar el tanto trimestral equivalente a un 6% anual.

Ejercicio: 1. Hallar el capital equivalente a (1.000.000,1.996), según la ley financiera de capitalización simple de tanto anual 0'12 transcurridos:

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• 2 años.

• 7 meses. Vamos a cambiar a 12−ésimos:

Representación gráfica de la capitalización simple: • Ley de capitalización compuesta. La ley de capitalización compuesta es aquella que tiene la forma , donde i > 0 y . Si a la diferencia entre t y p le llamamos z, obtenemos: Al parámetro i, se le llama tanto de capitalización compuesta y normalmente viene expresado en tanto por ciento anual.

Cálculo del parámetro i: A se le llama Tanto Equivalente por k−ésimo de año en Capitalización Compuesta. Ejercicio: 2. Hallar el capital equivalente a (1.000,2.000), según la ley financiera de capitalización compuesta de tanto anual 0'12 transcurridos: • 5 años.

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• 5 meses. • Por años:

• Por meses: La representación gráfica de la capitalización compuesta es: En capitalización compuesta es muy frecuente que nos den el tanto por k−ésimo de año, no directamente, sino a través del llamado tanto nominal convertible / pagadero por k−ésimo de año, del que se obtiene el tanto equivalente por k−ésimo de año mediante una simple división. Si llamamos jk al tanto nominal convertible por k−ésimo de año se verifica que: , de esta forma la relación entre los tres tantos dados hasta ahora sería la siguiente: Cuadro Resumen: La palabra nominal añadida al tanto por ciento anual, indica que la fórmula que se sigue para el cálculo k−ésimo es la de capitalización simple: . Ejercicio: 3. Una cuenta corriente bancaria remunera los depósitos al 12 % nominal anual pagadero/convertible trimestralmente, hallar: • El tanto equivalente trimestral.

• El tanto efectivo anual.

• La cuantía resultante de un depósito de 100.000 pesetas durante 2 trimestres.

Ejercicio: 4. Una entidad financiera ofrece a sus ahorradores un 0'5 % mensual, hallar: • El tanto nominal anual. 27

• El tanto efectivo anual.

• La cantidad resultante de un depósito de 1.000.000 en 5 meses.

Ejercicio: 5. Dos capitales de la misma cuantía C se imponen dos entidades financieras A y B. El primero durante 6 años y el segundo durante 8 años, obteniéndose por ambos depósitos el mismo montante (cuantía final). Sabiendo que la entidad A capitaliza a tanto trimestral constante del 2% y la B a tanto bimestral constante obtener el valor de este último. A 2% trimestral constante 6 años cuantía C B X% bimestral constante 8 años cuantía C ¿Qué valor tendría que tomar dicho tanto para que el montante obtenido en la entidad B sea un 25% superior al de la entidad A.?

Ejercicio: 6. Determinar el tanto de rendimiento efectivo anual de una obligación de nominal 1.000 pts por la que se perciben unos intereses semestrales de 60 pts.

• Comparación entre las leyes de capitalización simple y compuesta. (PREGUNTA DE EXAMEN). Vamos a comparar las leyes de capitalización simple y capitalización compuesta cuando tienen un mismo tanto i. Capitalización simple: Capitalización compuesta: A f(i) le aplicamos el desarrollo de MacLaurin:

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, donde Aplicamos y nos queda que:

Vamos a restar las dos expresiones:

Casos: 1º) Sí 2º) Sí 3º) Sí Representación gráfica: Como conclusión podemos decir que a corto plazo es mejor la capitalización simple, mientras que a largo plazo es mejor la compuesta, siendo indiferente para el periodo de un año, es decir, para z = 1. Ejercicio: 7. Demostrar que el tanto efectivo anual i, es mayor que el correspondiente a un tanto nominal anual convertible por k−ésimo de año jk. Hay que usar la fórmula del binomio de Newton:

De esta expresión se deduce que si i es igual a jk más algo positivo, es evidente que i > jk. Ejercicio: 8.

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Demostrar que el tanto efectivo anual i correspondiente a un tanto nominal anual convertible por k−ésimos de año jk, es creciente respecto de k. Supongamos que: y que por otra parte:

Suponemos además que k'>k, entonces:

Por tanto, como sabemos por el enunciado que k' es mayor que k, se cumple el enunciado del ejercicio. • Leyes de descuento: • Ley de descuento simple comercial. La ley de descuento simple comercial, es aquella que tiene la forma , donde d>0, y a la que vamos a llamar tiempo interno, quedando Al parámetro d se le suele llamar Tanto de Descuento Comercial y suele venir referido al año. Se puede deducir que el tanto de descuento comercial equivalente por k−ésimo de año es

La representación gráfica del descuento simple comercial es la siguiente: Es una nota característica, que esta es la ley de descuento que usan los bancos, ya que descuenta más y, por tanto, resulta más beneficioso para ellos. Con esta ley se puede descontar hasta un límite temporal dado por

• Ley de descuento racional o matemático. La ley de descuento racional o matemático es aquella que tiene la forma:

, donde i>0, 30

y siendo z el tiempo interno, obteniendo que Al parámetro i, se le suele llamar Tanto de Capitalización Simple, y suele ser anual. Se puede demostrar que el tanto equivalente a i por k−ésimo de año queda: . La representación gráfica del descuento racional es la siguiente: El nombre de este descuento, descuento racional o matemático, viene dado por ser el que racionalmente debería usarse ya que, como se expresa en el cuadro posterior con el ejemplo, es el que crea un tanto equivalente para invertir la situación de capitalización simple. Es decir, si una determinada cantidad la capitalizamos con el sistema de capitalización simple y posteriormente calculamos el descuento de esa cantidad resultante para el mismo periodo vemos que la cantidad no es la misma. • Comparación entre las leyes de descuento simple comercial y descuento racional o matemático. Ley de descuento simple o comercial: Ley de descuento racional o matemático:

Para compararlas, las vamos a restar:

Conclusión: El descuento racional es mayor que el descuento comercial, ahora bien, el descuento comercial descuenta más que el descuento racional. Gráficamente: Ejercicio: 9. Una cuantía de 1.000.000 debe ser cobrada el día 10 de Febrero del año 2001. Si queremos disponer de ella hoy (10−11−2000). Hallar: • ¿El descuento comercial al 12%?

• ¿El descuento racional al 12%?

31

Luego descuenta más el descuento racional que el descuento comercial, como se demostró en la teoría. • Ley de descuento compuesto. La ley de descuento compuesto es aquella que tiene la forma: Sí a z le llamamos tiempo interno, la ecuación nos queda: La representación gráfica es: A(z) 1 z • Comparación entre las leyes de descuento comercial, racional y compuesto. Ley de descuento comercial: . Ley de descuento racional: . Ley de descuento compuesto: Gráficamente: A(z) 1

1Z Como comentario podemos decir que a corto plazo es mejor la Ley de Descuento Racional, mientras que a largo plazo, es mejor la Ley de Descuento Compuesto, mientras que para períodos menores al año, la mejor es la Ley de Descuento Comercial. TEMA IV: INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LAS RENTAS. 1− Concepto financiero de renta.

32

Sea I un intervalo finito o infinito de la recta temporal; y sea una partición de I formada por n subintervalos, se llama Renta en sentido financiero a un conjunto de n capitales: , con la condición de que: . Gráficamente sería: Los capitales que componen la renta reciben la denominación de términos de la renta y los subperíodos I1, I2, ....,In, se llaman períodos de maduración. En toda renta hay que distinguir entre su origen, que es el inicio del primer intervalo de maduración [t0] y su final que es el momento tn, es decir, el instante en que concluye el último período de maduración. Por último, la duración es el tiempo que media entre el origen y el final, es decir, [tn−t0]. Ejemplo: Un ejemplo de renta es el pago del alquiler mensual de una oficina los días 5 de cada mes durante un año por 50.000 pesetas mensuales. Una renta puede estar formada por: • Un conjunto finito de términos, por ejemplo el anterior. • Un conjunto infinito numerable, por ejemplo, las rentas producidas por un terreno. • Un conjunto infinito no numerable; esto se da cuando a lo largo de la duración, se produce un flujo continuo de capitales con cuantías y periodo de maduración infinitesimales. En este caso tendríamos: Siendo C(x), la función de densidad de cuantía. 2− Valor capital de una Renta. Dada una renta, y fijado el criterio de valoración mediante una ley financiera F(t,p), se denomina valor capital o valor financiero de la renta a la cuantía de la suma financiera de los términos de la renta. (C1, ) + (C2, ) + ····· + (Cn, ) = (V, ), siendo, V, el valor capital o valor financiero de la renta.

, siendo el factor financiero de desplazamiento positivo o negativo en el intervalo , según la ley financiera F(t,p). Una renta puede valorarse en cualquier momento del tiempo, ya sea dentro o fuera del intervalo I. Pero existen dos casos particulares que reciben nombres especiales dada su especial relevancia: 33

• , en cuyo caso el valor capital recibe el nombre de valor actual o valor actualizado. • , en cuyo caso el valor capital recibe el nombre de valor final o valor capitalizado. 3− Clasificación de las Rentas. Vamos a clasificar las rentas atendiendo a diversos criterios: • Atendiendo a la aleatoriedad de los elementos de la renta: • Rentas ciertas, se da cuando los términos de la renta son conocidos en términos de certeza. • Rentas aleatorias, que es cuando no se conoce alguno de los componentes de la renta, aunque si es conocida su distribución de probabilidad, por ejemplo, la pensión de un jubilado, ya que finaliza con el fallecimiento de éste y este dato no es conocido a priori. • Atendiendo a la amplitud de los periodos de maduración: • Rentas discretas, se da cuando los periodos de maduración son finitos, y distinguimos entre: • Rentas periódicas, cuando todos los periodos de maduración son de la misma amplitud. • Rentas no periódicas, cuando todos los periodos de maduración no son de la misma amplitud. • Rentas continuas, cuando los periodos de maduración son infinitesimales. • Atendiendo a las cuantías de los capitales: • Rentas constantes, cuando todas las cuantías son iguales, es decir, C1 = C2 = ··· = Cn = C. Cabe destacar en este punto las rentas unitarias, que se dan cuando C=1. • Rentas variables, cuando las cuantías son distintas, pudiendo seguir alguna ley de formación, por ejemplo, variar en progresión aritmética o geométrica. • Atendiendo a la duración: • Rentas temporales, cuando la duración es finita. • Rentas perpetuas, cuando la duración es infinita. • Atendiendo al momento en que vencen los términos de la renta dentro de cada periodo de maduración: • Rentas pre−pagables, cuando los capitales vencen en el extremo inferior de cada periodo de maduración, es decir, cuando • Rentas post−pagables, cuando los términos de la renta vencen en el extremo superior de cada periodo de maduración, es decir, . • Atendiendo al momento de valoración: • Rentas inmediatas, cuando el momento de valoración está situado dentro del intervalo I, es decir, "I=[t0,tn]. • Rentas diferidas, cuando, es anterior al origen, es decir, < tn. • Rentas anticipadas, cuando, es posterior al final, es decir, > tn. Ejercicio: 1. Obtener el valor capital de la renta formada por los siguientes términos: (1.000,1), (1.200,1'5), (800,2'5) y (1.100,4), asociados a los períodos de maduración, [0, 1], (1, 1'5], (1'5, 2'5] y (2'5, 4], respectivamente. Utilizando la ley financiera de valoración A(t,p)=1−0'05 (t−p), con p=0, en los siguientes momentos: =0 y =2. Clasifique también esta renta atendiendo a los distintos criterios. • Con =0: 34

• Con =2.

Esta renta la podemos clasificar atendiendo a los distintos criterios como cierta, discreta no periódica, variable, temporal, post−pagable e inmediata. TEMA V: ESTUDIO Y VALORACIÓN DE RENTAS CONSTANTES 1− Rentas inmediatas y post−pagables. • Rentas unitarias y temporales. 1 1 ··········· 1 1 0 1 2 ············ n−1 n

Cuando una renta sea inmediata, calcularemos su valor capital sólo en el origen (valor actual) y en el final (valor final). Aunque una renta puede valorarse utilizando cualquier ley financiera, desde ahora en adelante sólo utilizaremos la valoración la capitalización o el descuento compuestos. Vamos a notar por an i, al valor actual de una renta unitaria, temporal de n− términos, post−pagables al tanto i. =

=

35

Esta nomenclatura fue adoptada en el congreso de actuarios de Londres en 1.898. Ahora vamos a calcular el valor final de una renta unitaria, temporal con n− términos, pos−pagable al tanto i: 1 1 ········· 1 1 0 1 2 ·········· n−1 n =

=

=

Relación entre el valor actual y el valor final:

= La demostración es sencilla, simplemente hay que multiplicar el valor actual de la renta unitaria por la expresión (1+i)n. · (1+i)n =

Representación gráfica del valor actual y final: Hay que explicar los puntos de corte, asíntotas... de las dos funciones pero yo sólo lo voy a hacer del valor actual: 1) Puntos de corte: a) Eje de abscisas:

b) Eje de ordenadas:

36

2) Crecimiento (1ª derivada): • Renta constante y temporal. Ahora consideramos una renta igual a la anterior, con la excepción de que su capital no es unitario, pero si constante, es decir, todos los capitales son iguales a C. C C ·············· C C 0 1 2 ·············· n−1 n Los valores actual y final se calculan respectivamente así:

Ejercicio: 1. Una persona tiene derecho a percibir una renta de 100.000 pesetas anuales y post−pagables durante 10 años. Determinar los valores actual y final si se opera en capitalización compuesta al 12'5 % anual. 105 105 105 ··········· 105 0 1 2 3 ··········· 10 Vo =100.000 =

V10=100.000 =

• Rentas perpetuas. En las rentas perpetuas, el valor final no existe. 1 1 1 ················· 0 1 2 3 ················· El valor actual sería: = =

Si la renta en lugar de ser unitaria fuese constante, el valor actual sería: 37

Ejercicio: 2. ¿Qué capital habrá que colocar hoy en una entidad financiera para que en el futuro pueda pagarse un premio cultural de 1.000.000 de pesetas anuales a perpetuidad, teniendo en cuenta que la entidad abona intereses al 10 % anual?. 106 106 106 ········ 0 1 2 3 ·······

de pesetas. Ejercicio: 3. Una persona tiene derecho a percibir una renta de 1.000.000 al final de cada año durante los próximos 12 años. Si se valora en capitalización compuesta a un tanto del 10% anual, obtener. • El valor actual y el final de esta renta. 106 106 ············ 106 0 1 2 ················· 12

• Comprobar que el valor final se obtiene capitalizando el valor actual.

2− Estudio y valoración de rentas inmediatas y pre−pagables. • Rentas unitarias y temporales. Valor actual: 1 1 1 ············ 1 0 1 2 ············· n−1 n 1

38

Podemos ver que el resultado guarda una cierta relación con el valor de una renta pos−pagable, cuya relación es:

Valor final: 1 1 1 ················· 1 0 1 2 ··············· n−1 n

valor final de una renta temporal (n−términos), unitaria y prepagable valorada al tanto i. La relación entre los valores final e inicial de una renta prepagable es la misma que en el caso de las rentas post−pagables:

• Renta temporal y constante. 39

C C C ······················ C 0 1 2 ······················ n−1 n Valor actual: Valor final: Relación entre al valor actual y final: Representación gráfica: Valores actuales: n in Valores finales: n in • Rentas perpetuas. Rentas unitarias. 1 1 1 1 ············· 0 1 2 3 ············

Rentas constantes. C C C C ············· 0 1 2 3 ············

Recordemos que las rentas perpetuas no tienen valor final. 3− Estudio y valoración de rentas diferidas. Recordemos que una renta está diferida respecto al momento de valoración cuando éste es anterior al origen de la renta. 40

• Renta unitaria, temporal y post−pagable. 111 0 1 2 ······· d d+1 d+2 ················ d+n Diferimiento Duración de la renta Llamamos d al diferimiento de la renta, es decir, vamos a valorar la renta d períodos antes de su comienzo. La renta es de n términos, así que el final de la renta se da en el momento d+n. Nosotros ya sabemos valorar la renta en el momento inicial, que en este caso es el momento en el que acaba el diferimiento, es decir, el instante d. Esta valoración sería: , por lo que lo único que tenemos que agregar es el diferimiento, el cual será: , por lo que el valor actual de una renta temporal (n−términos), post−pagable, unitaria, diferida n períodos y valorada al tanto i, será: d/ = · • Renta unitaria, temporal y pre−pagable. Valor actual: d/ = · • Relación entre pre−pagable y post−pagable. d/ = ·d/ El valor final de la renta diferida no varía, es decir que sigue siendo el mismo que cuando no era diferida la renta. 4− Estudio y valoración de rentas anticipadas. Una renta está anticipada respecto al momento de valoración cuando éste es posterior al final de la renta. 111 0 1 2 ··········· n n+1 n+2 ····················· n+h Duración de la renta Período de anticipación Llamamos h al número de períodos que se anticipa la renta y como conocemos la valoración final de una renta, simplemente tenemos que agregarle el efecto del anticipamiento. Esto se hace multiplicando la expresión por . Con lo que nos queda que el valor final de una renta temporal (n términos), unitaria, post−pagable, anticipada h períodos y valorada al tanto i, es: h/ = · 41

En el caso de una renta temporal (n términos), unitaria, pre−pagable, anticipada h períodos y valorada al tanto i, nos queda: h/ = · El valor actual (o inicial) de una renta con período de anticipación no varía con respecto a una renta que carezca de él. Ejercicio: 4. Dentro de 4 años y medio se va a percibir el primer capital de una renta post−pagable de duración 10 años y cuantía semestral constante de 500.000 pesetas. Si la renta se valora en capitalización compuesta a tanto semestral constante del 5%, obtener el valor de dicha renta en este momento. 5·105 5·105 5·105 5·105 ............... 5·105 0 1 2 3 4 5 6 ............... 14 Diferimiento: 4 años Duración de la renta: 10 años Ejercicio: 5. Se tiene derecho a percibir una renta de 100.000 pesetas mensuales y post−pagables durante los próximos 5 años y se desea sustituirla por otra de carácter pre−pagable anual y duración 6 años, percibiendo el primer capital dentro de 3 años. Si se utiliza como tanto de valoración el 8% efectivo anual, obtener la cuantía anual que podría percibirse. 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 0 1 2 12 24 60 XXXXXX 0123456789

Ejercicio: 6. Una persona ha depositado en una entidad financiera 100.000 pesetas trimestrales durante 10 años. La última imposición la realizó hace 3 años. Sabiendo que la entidad aplica un 2'5 % trimestral de interés. Obtener el 42

montante del que dispondrá hoy si las imposiciones se realizaron: • Con carácter pos−pagable. • Con carácter pre−pagable y la primera imposición se hizo hace 13 años. a) Pospagable. 100.000 100.000 100.000 100.000 0 1 2 3 40 44 48 52 Duración de la renta: 10 años Anticipación: 3 años

b) Prepagable. 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 0 1 2 39 40 44 48 52

OPERACIONES FINANCIERAS 2º LADE 1er CUATRIMESTRE −1− C (C,t) t C 0t C

43

t 5−10−98 5−10−99 5−10−00 5−10−01 5−10−02 F (C,t,p) C 1 F (1,t,p) F (C,t,p) = C · F (1,t,p) 1020 1000 1'02 1 tt+1 C F (C,t,t) t=p t fijo p p' Curvas de indiferencia t t' p fijo I=[0−1] tiempo en años C1 C2 ... Cn−1 Cn t0 t1 t2 ... tn−2 tn−1 tn I1 I2 In−1 In I

C' C 44

t t' p (fijo) C'' C' C t t' t'' p C C1 t1 t2 p (fijo) C2 C1

p (fijo) t1 t2 C2−C1 L(z) L(z)=1+iz ð 1 Z L(z) L(z) = (1+i)z 1 Z

45

Características • A c/p, la capitalización simple es mayor. • A l/p, la capitalización compuesta es mayor. • Para un periodo unitario, ambas son indiferentes.

1 1Z

A(z) 1 0Z

46

1 0z • La función es decreciente porque: • Es cóncava porque: • El eje x es una asíntota horizontal ya que:

Ejemplo: Tenemos 1.000.000 de pesetas hoy (10−11−00) y queremos saber a cuento equivale dentro de un año (10−11−01) según la ley financiera de capitalización simple con un tanto de capitalización del 6%.

Si ahora calculamos por el método de descuento simple o comercial la cantidad que correspondería al adelantar 1.060.000 del 10−11−01 al día de hoy (10−11−00) con un tanto de descuento comercial del 6%, debería ser 1.000.000, pero vemos que no es así, sino que la cuantía obtenida es de es decir que efectivamente la cuantía no es la misma. Por el contrario, si usamos la ley de descuento racional,

vemos que si da el millón esperado, por lo que a esta última ley se le llama ley de descuento racional o matemático. cuando D1 D2 A2(z) A1(z) Z cuando an i an i

47

an i sni sni an i an i n 1/i in n 1/i in Renta constante, postpagable y temporal. I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 I10 I11 I12 50.000 50.000 50.000 50.000 50.000 50.000 50.000 50.000 50.000 50.000 50.000 50.000

C(x)dx I to t t+dt tn C1 V Cn to t1 t n−1

48

tn an i an i an i (1+ i ) n

012n sni sni sni sni

sni an i an i sni ani sni an i sni a" i an i 49

an i an i an i än i än i än i an i sni sni

Leyenda Pos−Pagable Pre−Pagable

50

NOTA: Capital financiero fijo: es un par (C,t). Capital financiero: es una clase de equivalencia [(C,t)], pero lo notamos (C,t) diferenciándolos por el contexto.

C´ C t´ t p

51

52

53

54

S'2 S'1 S2 S1 P: ð C: ð

Clave: Sin ', nos estamos refiriendo a la prestación Con ', nos referimos a la contraprestación. Con el subíndice 1, nos referimos al pasado Con el subíndice 2, nos referimos al futuro.

55

C2 C1 t1 t2 p C2−C1 C2 C1 P t1 t2

CR C t1 ð t2 I

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Características • Recta. • Ordenada en el origen = 1. • Pendiente: i. •

Características • Función exponencial. • Ordenada en el origen = 1. Tanto efectivo anual Tanto nominal anual Tanto equivalente por k−ésimos Capitalización Simple i Cap. Simple

Capitalización Compuesta i Tanto efectivo 57

Tanto nominal jk

Otra forma:

Características • La representación gráfica es una recta decreciente. • La pendiente es −d. • La ordenada e el origen es 1.

Características • La representación gráfica es una función exponencial. • La pendiente es decreciente. 58

• Tiene una asíntota en el eje de abscisas. • La forma es cóncava. Leyenda A1(z) A2(z) A3(z) an i än i sni sni sni ·· sni ·· äni sni äni ·· ·· ·· ·· ·· ani äni äni ani äni 59

ani sni sni sni sni ·· ·· ä"i äni äni äni äni ä"i ·· ·· ani

ani Momento de valoración Origen de la renta Final de la renta

sni Origen de la renta Final de la renta Momento de valoración

60

sni sni

sni sni ·· ··

Final de la renta Origen de la renta Fecha de valoración ani a 20 0.05 a 20 0.05 Origen de la renta Final de la renta Fecha de valoración Origen de la renta Final de la renta a 60 0.006 ä 6 0.08 ä 6 0.08 meses años Origen de la renta 61

Final de la renta Fecha de valoración s 40 0.025 s 40 0.025 sni sni sni sni ·· ·· ·· ··

62