Problemas tema 2: Potencial eléctrico

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Problemas de Potencial Eléctrico Boletín 2 – Tema 2

Fátima Masot Conde Ing. Industrial 2010/11

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Problemas tema 2: Potencial eléctrico

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Problema 1 Ocho partículas con una carga de 2 nC cada una están uniformemente distribuidas sobre el perímetro de una circunferencia de 10 cm de radio. Calcule: a) el potencial electrostático en el centro de la circunferencia y b) el campo eléctrico. Si ahora las cargas se distribuyen de una forma aleatoria sobre el perímetro de la circunferencia: c) ¿cambia el potencial? d) ¿Y el campo eléctrico? qi=q=2nC ri=r=10cm

a)

Sabemos: El potencial debido a un sistema de cargas puntuales:

R=10 cm

V (r ) =

∑ i

=8

Fátima Masot Conde

q 4πε 0 r

Dpto. Física Aplicada III

qi

4πε 0 ri =8

=

2 nC = 1440 V 4πε 0 ×10 ⋅10−2 m Universidad de Sevilla

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Problema 1

b)

unitarios en las direcciones de qi a O

2 nC

E=

∑ i

qi

4πε 0 ri

2

ui =

q 4πε 0 r

2

[u

1 +

u2

+…+

u8

]

10 cm Por simetría, la suma vectorial de todos esos vectores se cancela dos a dos

E= 0 c) d)

en el origen

Si las cargas se distribuyen aleatoriamente sobre la circunferencia, el potencial no cambia en O, debido a que es una cantidad escalar que sólo depende de los módulos de las distancias de las cargas a O (que no cambian); mientras que el campo eléctrico sí cambia, porque lo harían los unitarios que posicionan el punto O desde cada carga. Si la distribución es aleatoria, en general no se cancelarían.

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Problema 2 Una carga positiva de 2 mC se encuentra en el origen de coordenadas. a) Calcular el potencial a 4 m del origen suponiendo que el potencial de referencia está en el infinito (V (∞) = 0 ) b) Calcular el trabajo que debe realizar un agente exterior para llevar una carga de 3 mC desde el infinito hasta una distancia de 4 m del origen, admitiendo que la carga de 2 mC se mantiene fija.

y

a)

El potencial V(P) es el trabajo que haría el campo de q para llevar a la carga unidad desde el punto P hasta el infinito,

= V (4 m) =

V ( P) O

q=2 μC 4m

P

Q= 3 μC

b)

= 4.5 × 103 V

4πε 0 r

Y es idéntico al que tiene que hacer el agente externo contra el campo para realizar el camino inverso, y llevarla desde el infinito hasta P. Para una carga Q cualquiera:

W = Q V ( P) Q= 3 μC = Q V(P)

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q

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q 4πε 0 r

= q=2 μC = 13.5 mJ 4m

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Problema 3 Un protón ( q = 1.602 ⋅10−19 C ) se desplaza una distancia d=0.5 m en línea recta en el interior de un acelerador lineal. El campo eléctrico a lo largo de esa línea se puede considerar constante, de valor E = 1.5 ⋅107 V/m . Hallar a) la fuerza sobre el protón. b) El trabajo que el campo eléctrico realiza sobre él, c) la diferencia de potencial entre los puntos inicial y final del recorrido.

a)

F = q E = (1.602 ⋅10−19 C) (1.5 ⋅107 V/m)= = 2.4 ⋅107 N

+

E = 1.5 ⋅107 V/m

= 1.5 ⋅107 eV/m

q = 1.602 ⋅10−19 C

d = 0.5 m

Electronvoltio

c)

VA − VB = E ⋅ d = (1.5 ⋅107 V/m)(0.5 m)= = 7.5 MV

b)

Wcampo = q(VA − VB ) = (1.602 ⋅10−19 C) (7.5 MV) = O bien:

= F ⋅d =

(2.4 ⋅107 N) (0.5 m) = = 1.2 ⋅10-12 J = 7.5 MeV

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Problema 4 En el tubo de imagen de un televisor los electrones parten del reposo y se aceleran dentro de una región en la que existe una diferencia de potencial de 30.000 V antes de golpear sobre el revestimiento de material de fósforo de la pantalla. Calcular la velocidad con la que los electrones chocan con la pantalla. Datos: me = 9.11⋅10−31 kg, qe = −1.602 ⋅10−19 C

Sería un movimiento acelerado,

v f = at

( vo = 0 )

Pantalla v0=0

eΔV

donde la aceleración es la que le imprime el campo eléctrico:

=30.000 V

a =  

Fe qE = = me me

V d me

q

No sabemos d

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Problema 4

Pero no hace falta:

1 2 d = at 2

V d ⋅d = 2ad = 2 me q

vf 2

= 2

qV me

v f 2 = a 2t 2 vf =

2

qV = 108 m/s me

Si todo está en unidades internacionales, v también, sin necesidad de hacer derivaciones.

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Problema 5 Una gota esférica de agua transporta una carga de 30 pC uniformemente distribuida en su volumen, y el potencial en su superficie es 500 V (considerando el potencial de referencia (V=0 en el infinito). a) ¿Cuál es el radio de la gota? b) ¿Cuál es el valor del potencial en el centro de la gota? , c) Si la gota se combina con otra del mismo radio y la misma carga para formar una sola gota, determinar el potencial en la superficie de la nueva gota.

a)

V = 500 V

Radio? Sabemos:

El potencial sobre la superficie de una esfera cargada:

R

q = 30 pC =30 ⋅ 10

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-12

C

V ( R) =

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q 4πε 0

1 = 500 V → R = 0.54 mm R

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Problema 5

b)

Potencial en el centro de la gota? Necesitamos calcular el potencial en un punto del interior. V(R), dato: 500 V

V ( r ) − V (∞ ) = ∫

Sabemos: ⎧ ρr ⎪ 3ε ⎪ E =⎨ 0 ⎪ Q ⎪⎩ 4πε 0 r 2

∞

R

∞

r

R

E ⋅ d r =∫ E ⋅ d r + ∫ E ⋅ d r =

r

r≤R r≥R

∫

R

r

E ⋅dr =

R

ρr

r

3ε 0

∫

⋅ dr =

ρ 3ε 0

r2 2

R

= r

ρ 3ε 0

⎛ R2 r 2 ⎞ − ⎟ ⎜ 2⎠ ⎝ 2

Integramos

∫

∞

R

E ⋅ d r = V ( R) =

q 4πε 0

4 π R3 ρ 1 R2 ρ 3 = = 4πε 0 R 3ε 0 R

R2 ρ ρ ⎛ R2 r 2 ⎞ R2 ρ ⎛ r2 ⎞ V ( r ) − V (∞ ) = + − ⎟ = ⎜ ⎜1 − ⎟ 3ε 0 3ε 0 ⎝ 2 2⎠ 2ε 0 ⎝ 3R 2 ⎠

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Problema 5

V (r = 0) =

R2 ρ kQ =750 V = 3 2ε 0 2R

4 Q = π R3 ρ 3

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Nm 2 K= = 9 ⋅10 4πε 0 C2 1

9

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Problema 5

c)

ρ

ρ

ρ =

+ R R

RT

R R

m

+

m

=

2m

La masa de las dos gotas es la misma, y la densidad del agua, también (las gotas no se comprimen por el hecho de fundirse). Por tanto, el volumen de la nueva gota:

4 2 V = VT = 2 π R 3 3

→ RT = R 3 2 Potencial de la 1º gota sobre su superficie =500 V

4 π R3 3 Y el potencial de la nueva gota sobre su superficie:

2Q = 2 ρ V = V ( RT ) =

QT

4πε 0 RT

=

4πε 0 R

3

2

=

2ρ R 2 3ε 0

3

22 / 3 ρ R 2 = 3ε 0 2 = 794 V

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Problema 6 Un dipolo consta de dos cargas iguales y opuestas de valor q, separadas una distancia 2 a. Supongamos que se encuentra alineado con el eje x y centrado en el origen de coordenadas. Calcule a) el potencial eléctrico en cualquier punto del eje x. y b) el campo eléctrico en un punto muy alejado del dipolo.

a)

n E

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e s a l c

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Problema 6

Imagen del potencial en el plano de un dipolo eléctrico. El potencial debido a cada carga es proporcional a la carga e inversamente prop. a la distancia. © 1990 Richard Menga /Fundamental Photographs

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Problema 6 Otro ejemplo, del mismo tipo: Si tuviéramos dos cargas de igual signo como éste (ya no sería un dipolo):

Su potencial:

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Problema 7 Un plano infinito con densidad de carga superficial s uniforme, se encuentra en el plano x=0. Calcular el potencial en función de la distancia x al plano de carga. Sabemos: ⎧σ ⎪ 2ε i ⎪ 0 E=⎨ ⎪− σ i ⎪⎩ 2ε 0

σ

x≥0

Así Asíque, que,operamos: operamos:

x≤0

⎛ σ dV = − Ed = − ⎜ ⎝ 2ε 0

Para x>0 ⎞ i ⎟ ⋅ dx i + dy j + dz k = ⎠

(

= −

Y que:

dV = − Ed

E

E

x

σ dx 2ε 0

EEintegramos: integramos:

∫

x

0

dV = V ( x) - V (0)= −

Potencial de referencia en x=0

x=0 O sea:

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)

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σ x 2ε 0

V0

V ( x) = V0 −

σ x 2ε 0

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Problema 7

Para x>L.

a)

Potencial sobre el eje x?

dy

r = (x2 + y2 )1/2 y

2L

P

λ V ( P) = 4πε 0

x

+L

dy ∫− L ( x 2 + y 2 )1/ 2 = Q / 2L

λ L2 + x 2 + L = ln 4πε 0 L2 + x 2 − L

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Problema 8

b)

Límite cuando x>>L? Cuando x>>L x 2 + L2 → x

L x+L x = ln ⎛1 + L ⎞ − ln ⎛ 1 − L ⎞ ∼ 2 L ln ∼ ln ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ L x−L x x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1− x 1+

Despreciando términos de orden mayor

Sabemos: n x 2 x3 x 4 n +1 x ln(1 + x) ∼ x − + − … + (−1) +… n 2 3 4

−1 ≤ x ≤ 1

V ( P) =

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λ 2L 1 Q 2L 1 Q = = 4πε 0 x 4πε 0 2 L x 4πε 0 x

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Problema 9 Una esfera conductora hueca, de radios a y b tiene en su centro una partícula cargada con carga q. Suponiendo que la esfera no tiene carga neta y que está aislada, calcule el potencial al que se encuentra, y la carga sobre sus superficies interior y exterior.

a)

n E Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

e s a l c

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Problema 9

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Problema 10 Una esfera conductora hueca, (corteza esférica), de radio R y carga Q.

n E Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

e s a l c

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Problema 11 Dos conductores cargados, de radios R1 y R2, conectados por un alambre conductor.

n E Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

e s a l c Universidad de Sevilla