Tema 2: Potencial eléctrico

1/41

Tema 2: Potencial Eléctrico

Fátima Masot Conde Ing. Industrial 2010/11

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

Tema 2: Potencial Eléctrico

2/41

Índice: 1. Introducción 2. Energía potencial eléctrica 1. de dos cargas puntuales 2. de un sistema de cargas 3. Interpretación de la Ep 3. Potencial eléctrico 4. Cálculo del potencial eléctrico 5. Cálculo del campo a partir del potencial. Gradiente 6. Superficies equipotenciales Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

3/41

Introducción

~e y del Hemos hablado de la fuerza eléctrica F ~ (fuerza eléctrica por unidad de carga). campo E Ahora nos preguntamos: ¿Cuál ¿Cuál es es el el trabajo trabajo que que realiza realiza esa esa fuerza? fuerza? Análogamente al caso gravitatorio, la fuerza eléctrica es CONSERVATIVA, y veremos que ese trabajo se puede expresar en términos de Energía Potencial (eléctrica) o simplemente Potencial (energía potencial por unidad de carga) Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

4/41

Introducción

Igual que en el caso gravitatorio, el potencial se define respecto de un nivel de referencia arbitrario, dándose entonces una asimilación de potencial a lo que en realidad son diferencias de potencial entre un punto y el de referencia.

A A las las diferencias diferencias de de potencial potencial también también se se les les llama llama voltaje voltaje Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

5/41

Energía Potencial Eléctrica ¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza cualquiera para llevar a la partícula desde a hasta b?

Recordamos: a

F

fuerza

~ F

T ~F

b

d~l

Componente tangente de la fuerza

=

Z

b

FT dl =

a

Z

a

escalares

Fátima Masot Conde

Wa→b =

b

a

velocidad

b

Z

elemento de longitud tangente al camino

~ · d~l = F

producto escalar

Energía cinética

dv m dl = Ek,b − Ek,a dt

El trabajo que realiza una fuerza cualquiera es el incremento de energía cinética

FT Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

6/41

Energía potencial ¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza conservativa para llevar a la partícula desde a hasta b?

Recordamos: a

Si la fuerza es conservativa, la energía total se conserva en cada punto del camino:

~ F

c

Etotal = (EK + EP )A = (EK + EP )B

~Fc

b

d~l

Wa→b =

Z

b a

F~C · d~l = −

Z

Este signo es necesario para obtener este orden

b a

dEP = EP,A − EP,B

El trabajo que realiza una fuerza conservativa (además de ser el incremento de Energía Cinética) es igual al menos incremento de Energía Potencial Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

7/41

Energía potencial eléctrica en un campo uniforme

Análogo gravitatorio

~g

m

+++++++++++

Ep,max

~ E

EK,max ref. 0

La masa, siguiendo la direcci´ on del campo, aumenta su EK y disminuye su Ep

Fátima Masot Conde

q +

Ep,max

EK,max ref. 0

––––––––––––

La carga positiva, siguiendo la direcci´ on del campo, aumenta su EK y disminuye su Ep

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

8/41

Energía potencial eléctrica en un campo uniforme

Desplazamientos espontáneos (Trabajo positivo realizado por el campo) +++++++++++ +++++++++++

~ E ~ E

q +

q

-

–––––––––––– ––––––––––––

Caso anterior

Fátima Masot Conde

La carga negativa espont´ aneamente sigue la direcci´on con~ (aumentando su EK ) traria a E y disminuyendo su Ep Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

9/41

Energía potencial eléctrica en un campo uniforme

Desplazamientos no espontáneos (inducidos o forzados) El trabajo positivo es realizado por un agente exterior contra el campo. +++++++++++

~ E

Análogo gravitatorio

~g q +

––––––––––––

m

~ E

ref. 0

q

-

––––––––––––

La carga negativa se mueve a favor del campo, aumentando su Ep

La carga positiva (o masa) se mueve contra el campo, aumentando su Ep Fátima Masot Conde

+++++++++++

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

10/41

Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales Calculemos el trabajo para llevar una carga prueba q0 desde a hasta b en el campo de otra carga fija q.

Tenemos libertad para elegir la trayectoria, porque la fuerza eléctrica es conservativa y el trabajo a lo largo de cualquiera de ellas es el mismo: Wa○→a =

∫F

C

⋅ d l = E P , A − EP , A = 0

Wa →b C = Wa →b C = … = Wa →b Cualquier camino = EP , A − EP , B 1

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

2

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

11/41

Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales…

Así que elegimos la trayectoria más conveniente: la acb, compuesta por dos tramos: ~ E

arco de circunferencia ac + rayo (segmento) cb

acb

a

c q

Wa →b

acb

b

c

a

a

= ∫ FC ⋅ d l = ∫ FC ⋅ d l = Wa →c

porque F es

a dl

Wc →b

+

arco (r=cte)

∫

b

c

b

q0 + +

FC ⋅ d l =

+ Wc →b

rayo (θ =cte)

0

rayo (θ =cte)

porque F es rb

rb

ra

ra

= ∫ Fr dr = ∫

a dr

qq0 ⎛ 1 1 ⎞ 1 qq0 dr = ⎜ − ⎟ 2 4πε 0 r 4πε 0 ⎝ ra rb ⎠

Fr Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

12/41

Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales…

El trabajo total en todo el recorrido:

Wa →b = Wa →c + Wc →b

Identificando con

qq0 ⎛ 1 1 ⎞ = ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎝ ra rb ⎠

Wa →b = EP , A − EP , B

Podemos definir la energía potencial como una función de punto:

1 qq0 Ep(r) = 4πε0 r

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Propiedad compartida por ambas cargas

Energía potencial eléctrica para dos cargas puntuales Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

13/41

Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales…

La energía potencial eléctrica es positiva para dos cargas del mismo signo

Fátima Masot Conde

Y es negativa para cargas de signo opuesto

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

14/41

Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales…

La Ep es cero en el infinito (para distancia infinita entre cargas). Pero ese nivel de referencia es arbitrario, siempre se puede a˜ nadir una constante, tal que Ep = 0 en un punto elegido por conveniencia.

En general: •Para distribuciones de cargas finitas, la referencia se tomará en el infinito. •Para distribuciones de carga infinitas, la referencia se elegirá en algún punto a convenir.

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

15/41

Interpretación de la Energía potencial eléctrica

¿Qu´e representa la Ep ? Ep (r) =

1 qq0 4πε0 r

Ep (r) = Ep (r) − Ep (∞)

~ E

r

Seg´ un la definici´ on de W en funci´ on de Ep

q

≡

q0

=0

Puesto que:

campo Wr→∞

La Ep (r) representa el trabajo que tiene que hacer el campo de q para llevar a q0 desde una distancia r hasta el infinito.

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

16/41

Interpretación de la Energía potencial eléctrica…

Análogo gravitatorio

Análogo gravitatorio

~g

m

~g

Ep,max

Fext

m

EK,max ref. 0

Trabajo realizado por el campo desde A hasta B: campo

Wa→b

b

a

a

b

= ∫ E ⋅ d l = −∫ E ⋅ d l

∫

a

b

a

ref. 0

=

=

externa (− E ) ⋅ d l = ∫ Fext ⋅ d l = WbFza →a

Fátima Masot Conde

b

Trabajo realizado por el agente externo contra el campo La fuerza externa es igual y opuesta al campo (condiciones estacionarias para que no se acelere la partícula), y el recorrido es opuesto. Desde B hasta A.

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

17/41

Interpretación de la Energía potencial eléctrica…

¿Qu´e representa la Ep ? Ep (r) =

1 qq0 4πε0 r

~ E q0 r q

Fátima Masot Conde

Ep (r) representa el trabajo que tiene que hacer el campo para llevar la carga q0 desde r hasta el ∞, pero tambi´en el que tendr´ıa que hacer el agente externo contra el campo para traer a q0 desde el ∞ hasta r.

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

18/41

Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales

Si el campo, en lugar de por una sola carga q, estuviera generado por un sistema de cargas {q1 , q2 , q3 , . . .} a distancias {r1 , r2 , r3 , . . .} de nuestra carga test q0

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

19/41

Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales • La fuerza total sobre q0 es la suma vectorial de las fuerzas debidas a cada carga individual (teorema de superposición) Eltrabajo trabajototal totalque queseserealiza realizasobre sobreq es la • El W =∫ 0 0 q es de la suma de las contribuciones suma las contribuciones individuales individuales

F = ∑ Fi i

F ⋅dl = ∫

a

b

∑F ⋅dl i

i

donde

• La energía potencial del sistema es igual al trabajo:

EP = W =

Fátima Masot Conde

=

Wi =

∑W

i

i

q0 qi 4πε 0 ri

⎞ q0 ⎛ q1 q2 q3 q0 qi … + + + = ⎜ ⎟ ∑ 4πε 0 ⎝ r1 r2 r3 ⎠ i 4πε 0 ri

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

20/41

Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales

Otra expresión para la Ep del sistema: Para traer la primera carga desde el infinito, no hay que hacer ningún trabajo (aún no hay campo ni fuerza que vencer)

Considerándola como trabajo de ensamblaje entre cargas Para traer la segunda, hay que vencer la fuerza que aparece entre ellas:

r12 q1

q1

q1 q2 W2 = 4πε0 r12

W1 = 0

Fátima Masot Conde

q2

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

21/41

Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales

Para traer la tercera r12 q1

q2

r13

r23

Y así sucesivamente para ir trayendo una a una cargas desde el infinito hasta un punto Pi del espacio…

q3 W3 = W13 +W23 =

Fátima Masot Conde

q1q3 qq + 2 3 4πε 0 r13 4πε 0 r23

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 2: Potencial eléctrico

22/41

Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales

Para ensamblar el sistema completo: q1

q3

trabajo 1ª carga q1q2 4πε 0 r12

trabajo 2ª carga

q1q3 qq + 2 3 4πε 0 r13 4πε 0 r23

trabajo 3ª carga

+

q2 r3n

W2 =

W3 =

r12

r13

W1 = 0

Wn =

qn

q1qn qq q q + 2 n + … + n −1 n 4πε 0 r1n 4πε 0 r2n 4πε 0 rn-1,n

W=

trabajo n-sima carga

∑W

i

i

1 X qi q j Ep (r) = W = 4πε0 i