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Magnetismo A Ley de Gauss para campos magn´ eticos La diferencia principal entre la ley de Gauss para campos magn´eticos y para el´ectricos es que para la primera las l´ıneas de campo son siempre cerradas; un conjunto de cargas en movimiento en un alambre recto (Fig.1) genera un campo magn´etico en forma de c´ırculos conc´entricos al alambre. Un im´an se puede dividir en dos, pero las dos partes tendr´ an cada una un polo norte y sur. A´ un cuando el volumen solo encierre a uno de los polos, la integral de Gauss seguir´a siendo nula: I B · dS = 0 S

Esta integral indica que todas las l´ıneas que salen de una cierta superficie cerrada vuelven a entrar.

Figura 1. Campo magn´etico en un alambre recto.

(a) Desde fuera

(b) Todo el fen´ omeno

Figura 2. De la imagen (a) se podr´ıa pensar que si rodeamos el polo norte, por ejemplo, se obtiene un valor diferente de cero en la integral de Gauss, pero en la (b) se observa claramente que las l´ıneas que salen del polo norte vuelven a entrar, pero por dentro del im´ an. De todo esto se concluye que no hay monopolos magn´eticos, y que la unidad b´asica en este campo no son las “Cargas magn´eticas”, sino que son dipolos magn´eticos, y los polos siempre existen juntos.

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B Ley de Biot-Savart Esta ley es equivalente en magnetismo a la ley de Coulomb para cargas el´ectricas.

dB =

µ0 Idl µ0 Irdl = 2 4π r 4π r3

Para una descripci´ on completa, hay que agregar al elemento de corriente Idl una direcci´on, y notar que el m´ aximo valor de la magnitud del campo magn´etico ocurre cuando es exactamente perpendicular a la corriente.

Figura 3. Secci´on infinitesimal de alambre, dl. El vector r − r0 es la diferencia entre la posici´ on del punto de medici´on P y la posici´on del elemento de corriente Idl. Como se ve en la Fig.3, las coordenadas son cil´ındricas (r,θ,z), y para un alambre recto infinito se tiene: I x (r − r0 ) = l = dl

=

|r − r0 | =

Iρθˆ ρtanφ ρ dφ cos2 φ ρ =r cosφ

Y finalmente se obtiene:

B = =

µ0 4π

Z

µ0 I 4πρ

π/2

−π/2

Z

Iρ ρ3 (cosφ)−3

π/2

cosφ dφ = −π/2

ρ dφ θˆ cos2 φ µ0 I µ0 I ˆ π/2 [senφ]−π/2 θˆ = θ 4πρ 2πρ

La coordenada θˆ indica que el campo magn´etico forma circulos conc´entricos alrededor del alambre (eje z). φ no es una coordenada, es un par´ ametro angular para realizar la integraci´on. Otras geometr´ıas de alambre se pueden calcular de esta forma, pero son mucho m´ as complicadas.

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C Ley de Amp` ere Con la ley de Gauss para campos magn´eticos no es posible encontrar el campo magn´etico generado por un elemento de corriente. La ley de Amp`ere establece que la integral de l´ınea (circulaci´on) del campo magn´etico en una curva cerrada alrededor de un cable conductor es igual al producto de la corriente que atraviesa el conductor y la permemabilidad magn´etica. I B · dl = µ0 I C

Notar que si la curva no encierra ning´ un cable o hilo que transmita corriente, entonces la integral es nula.

Figura 4. Campo magn´etico B generado por un alambre delgado y recto. Donde dl es el elemento de longitud de la curva cerrada, e I es la corriente que cruza la superficie delimitada por la curva C. Para un alambre rectil´ıneo (donde sabemos de antemano que la corriente y el campo magn´etico ser´an perpendiculares) que conduce una corriente I se obtiene: I

I B · dl = B

dl = B 2πr = µ0 I → B =

µ0 I 2πr

El producto punto es 1 solo si ambos tienen la misma direcci´on y m´odulo, por lo tanto, la direcci´on del campo el´ectrico ˆ y: tambi´en es θ, µ0 I ˆ θ 2πr La intensidad del campo magn´etico decrece con la distancia al cable conductor. B=

D Fuerza de Lorentz Es la combinaci´ on de la fuerza magn´etica y el´ectrica sobre una carga: F = q (E + v x B) 3

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Si la carga no se mueve con respecto a un campo uniforme (o el campo no se mueve con respecto a la carga) entonces no hay velocidad, y el producto cruz se anula. Lo mismo pasa si la velocidad de la carga y el campo magn´etico son perpendiculares.

Figura 5. La fuerza el´ectrica es paralela al campo el´ectrico, mientras que la fuerza magn´etica (qv x B) es perpendicular a v y B, los que a su vez forman un ´ angulo θ.

E Ley de Lenz Una corriente inducida por un campo magn´etico producir´a otro campo magn´etico, contrario al que indujo la corriente. La relaci´ on cuantitativa se expresa como:

ε=−

∂Φ ∂t

Donde ε es el voltaje inducido, y Φ el flujo magn´etico, que puede depender de las coordenadas espaciales (por eso la derivada parcial temporal). El signo negativo da cuenta de la oposici´on al campo magn´etico causado por la corriente inducida.

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Figura 6. El im´ an cae, creando corrientes; las mismas corrientes generan campos magn´eticos que se oponen a la aceleraci´ on del im´ an debido a la gravedad, haciendo que se mueva a velocidad constante. (El experimento se puede hacer con un im´ an y un tubo de cobre)

F Diferencias entre campos el´ ectricos y magn´ eticos

Direcci´ on fuerza Part´ıculas afectadas Energ´ıa

El´ectrico Paralela Cargadas en reposo o movimiento Trabajo sobre la carga

Magn´etico Perpendicular Cargadas, solo en movimiento Solo cambio de direcci´on

El campo magn´etico no realiza trabajo sobre una carga en movimiento; solo cambia su direcci´on de movimiento, su rapidez permanece constante.

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Ejercicios resueltos 1) Una bobina toroidal tiene N vueltas o espiras. ¿Cu´al es la intensidad del campo magn´etico para una distancia al centro de r < a, r > b y a < r < b?.

Figura 7. Bobina toroidal.

R:

(b) a ≤ r ≤ b

(a) r < a

(c) r > b

Figura 8. Bobina Para el caso (a), la circunferencia r < a no encierra ning´ un alambre, entonces: I B · 2πr = 0 → B = 0 C

Para el caso (b), a ≤ r ≤ b, y la ley de Amp`ere queda: I B · 2πr = µ0 N I → B = C

µ0 N I 2πr

Donde N es la cantidad de vueltas o espiras de la bobina, encerradas por la circunferencia de radio r.

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Para el caso (c), r > b, y al igual que el caso (a), no se encierra ning´ un alambre, entonces B = 0.

2) En el modelo del ´ atomo de hidr´ ogeno  de Niels Bohr de 1913, un electr´on circunda el prot´on a una distancia de 5,29·10−11 [m] a una rapidez de 2,19·106 m etico que este movimiento produce en s . Calcule la intensidad de campo magn´ la posici´ on del prot´ on. R:Ocup´ ando la ley de Biot-Savart, con R el radio de la ´orbita del electr´on, se obtiene: I B=

dB =

µ0 I 4πR2

I dl =

µ0 I µ0 I 2πR = 4πR2 2R

Adem´ as, si v es la rapidez del electr´ on alrededor del prot´on, la corriente es:

I=

Q = t

q 2πR v

=

qv 2πR

As´ı se tiene que la intensidad del campo magn´etico es: B=

µ0 qv = 15, 52[T ] 4πR2

3) Un electr´ on que se mueve a lo largo del eje x positivo perpendicular a un campo magn´etico experimenta una desviaci´ on magn´etica en la direcci´ on y negativa. ¿Cu´ al es la direcci´on del campo magn´etico?. R:Con FB = FB (−ˆ y ), v = vˆ x y q = −e se tiene: FB = qv x B = −ev x B x ˆ yˆ zˆ (0, −1, 0) = −1 0 0 = (0, z, −y) x y z El campo magn´etico debe estar en el eje z, y por el determinante anterior, z = −1 e y = 0, entonces: B = B(−ˆ z)

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  a lo largo del eje OX, 4) Se introduce un electr´ on en un campo magn´etico uniforme con una velocidad de 1, 5 · 107 m s not´ andose que en esta situaci´ on, no act´ ua ninguna fuerza sobre la carga. Cuando la carga se mueve a la misma velocidad, pero en direcci´ on positiva del eje OY, la fuerza ejercida sobre la carga es de 3, 2 · 10−8 [dyn] (1 [dyn]=10−5 [N]), estando dirigida dicha fuerza en el sentido positivo del eje OZ. Determinar el vector inducci´on B, en m´odulo, direcci´ on y sentido. R: El electr´ on (e− = 1, 6 · 10−19 [C]), no siente ninguna fuerza al moverse a lo largo de OX (Fig.8a), entonces el campo magn´etico es perpendicular al vector velocidad, v. Pero si el electr´on se mueve como en la Fig.8b, entonces el vector velocidad es perpendicular al campo magn´etico.

(a) Electr´ on en la direcci´ on OX

(b) Electr´ on en la direcci´ on OY

Figura 9. Electr´on viajando en diferentes direcciones La intensidad (m´ odulo del vector campo magn´etico) del campo ser´a entonces:

F = qvB → B =

F = 0, 133[T ] qv

La direcci´ on claramente es paralela al eje x, y el sentido se puede establecer viendo hacia d´onde apunta el vector fuerza; apunta hacia arriba, entonces el campo magn´etico apunta en el sentido se˜ nalado en la Fig.9b.

5) Una bobina circular de alambre de 25 vueltas tiene un di´ametro de 1 [m]. La bobina se coloca con su eje a lo largo de la direcci´ on del campo magn´etico de la tierra de 50 [µT] y luego en 0,2 [s] se gira 180o . ¿Cu´al es la fem promedio generada en la bobina?. R:El ´ area de una de las espiras circulares es:

A=

πd2 = 0, 7853[m2 ] 4

En t = 0[s] el flujo a trav´es de una vuelta es perpendicular a la superficie: φ0 = BAcos0o = 50 · 10−6 · 0, 7853[W b] = 39, 27 · 10−6 [W b] 8

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Luego t = 0, 2[s]: φ2 = BAcos180o = −39, 27 · 10−6 [W b] Los cambios en el flujo y el tiempo son: ∆φB = φ2 − φ1 = −78, 53 · 10−6 [W b] ∆t = 0, 2[s] Con N = 25, la fem inducida es:

ε = −25

−70, 53 · 10−6 = 9, 81 · 10−6 [V ] 0, 2

6) Cuatro largos conductores paralelos llevan iguales corrientes de I=5 [A]. Una vista de los extremos de los conductores se muestra en la Fig.10. La direcci´ on de la corriente es hacia adentro de la p´agina en los puntos A y B (indicado por las cruces) y hacia afuera de la p´ agina en los puntos C y D (indicado por los puntos). Calcule la magnitud y direcci´ on del campo magn´etico en el punto P, localizado en el centro del cuadrado cuyos lados tienen una longitud de 0,2 [m].

Figura 10. Cuatro cables paralelos que transmiten corriente en diferentes sentidos. R: La distancia de cada cable al punto P es 0, 2 · sen45o = 0, 141[m]. Por la ley de Amp`ere, la intensidad del campo magn´etico producida por la corriente en cada cable es la misma, y es igual a:

B=

4π · 10−7 µ0 I = = 7, 1 · 10−6 [T ] 2πr 2π · 0, 141

En la Fig.11 se observa que las componentes horizontales de cada campo magn´etico se anulan entre s´ı en el punto P, y quedan solo las componentes verticales, las que apuntan hacia abajo:

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Figura 11. Campos generados por la corriente en cada cable.

La intensidad del campo magn´etico que apunta hacia abajo es: B = 4 · 7, 1 · 10−6 · sen45o = 20, 1 · 10−6 [T ]

7) Una bobina circular, que est´ a formada por 100 espiras de 2 [cm] de radio y 10 [Ω] de resistencia, se encuentra colocada perpendicularmente a un campo magn´etico de 0,8 [T]. Si el campo magn´etico se anula al cabo de 0,1 [s], determine la fuerza electromotriz inducida, la intensidad que recorre el circuito y la cantidad de carga transportada. ¿C´omo se modifican las magnitudes anteriores si el campo magn´etico tarda el doble de tiempo en anularse? R:El flujo de campo magn´etico que atraviesa inicialmente a la bobina es: φB = N BS = N BScos(θ) = 100 · 0, 8 · π(0, 02)2 · cos(0) = 0, 032 · π[W b] Con la ley de Lenz:

ε=−

∆φB 0 − 0, 032 · π =− = 0, 32 · π[V ] ∆t 0, 1

Y con la ley de Ohm:

I= Finalmente, con I =

q ∆t ,

ε 0, 32 · π = = 0, 032 · π[A] R 10

se obtiene que la carga transportada es: q = I∆t = 0, 032 · π · 0, 1 = 3, 2 · 10−3 π[C]

Si el campo tarda el doble en anularse, ∆t = 0, 2[s], entonces la rapidez con que var´ıa el flujo magn´etico es menor, por lo que disminuye el valor de la fem y la intensidad de la corriente; no obstante, la cantidad de carga transportada permanece igual.

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0 − 0, 032 · π = 0, 16 · π[V ] 0, 2 0, 16 · π = 0, 016 · π[A] 10

ε = − I

=

q

=

0, 016 · π · 0, 2 = 3, 2 · 10−3 π[C]

8) Una bola alica de 30 [g] que tiene una carga neta Q=5 [µC] se lanza horizontalmente por una ventana a una rapidez  met´ . La ventana est´ a a una altura h=20 [m] sobre el suelo. Un campo magn´etico horizontal uniforme de magnitud v=20 m s B=0,01 [T] es perpendicular al plano de la trayectoria de la bola. Encuentre la fuerza magn´etica que act´ ua sobre la bola antes de que ´esta golpee el suelo. R: Lo primero es establecer las direcciones y sentidos de la velocidad, campo magn´etico y posiciones. Recordar tambi´en que el campo magn´etico est´ a presente en todo el espacio en la direcci´on descrita; se considerar´a que el campo es peque˜ no, por lo que la velocidad horizontal permanecer´ a constante, y la bola describir´a una trayectoria parab´olica.

Figura 12. Bola cayendo desde una ventana por efecto de la gravedad, inmersa en un campo magn´etico. 2 De la ecuaci´ on vx2 = vxi + 2ax (x − x√ i ), con vxi = 0, x = 0 (justo en el momento de tocar el suelo) e xi = h = 20[m], se obtiene la √ rapidez de la bola, que es 2gh; entonces la velocidad vertical de la bola justo en el momento de tocar el suelo es vx = − 2ghˆ x.

La fuerza magn´etica estar´ a dada entonces por: p p FB = Qv x B = Q(vx + vy ) x B zˆ = QvB(ˆ y x zˆ) − Q 2ghB(ˆ x x zˆ) = QvB x ˆ + Q 2ghB yˆ Reemplazando todos los datos, se obtiene finalmente: 5 · 10−6 · 20 · 0, 01ˆ x + 5 · 10−6 ·

p

2 · 9, 8 · 20 · 0, 01ˆ y = FB = 10−6 [N ]ˆ x + 10−6 [N ]ˆ y

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9) Un selector de velocidades se compone de campos magn´etico y el´ectrico descritos por las expresiones E=Eˆ z y B=Bˆ y. Si B=0,015 [T], determine el valor de E tal que un electr´on sometido a 750 [V] que se mueva a los largo del eje x positivo no se desv´ıe. R: Para que no haya desviaci´ on las fuerzas el´ectricas y magn´eticas sobre el electr´on deben ser iguales: FB qvB

= =

FE qE

La energ´ıa cinetica, K, es e·750 [eV]; entonces la rapidez del electr´on es v = r E = vB = B

2K = 0, 015 · m

s

q

2K m .

La intensidad del campo el´ectrico, E, es:

  2 · 750 · 1, 6 · 10−19 5 V = 2, 44 · 10 9, 11 · 10−31 m

10) Un cubo de lado l=2,5 [cm] est´ a colocado como se muestra en la Fig.13. A trav´es de ´el hay una regi´on de campo magn´etico uniforme dado por B = 5ˆ x + 4ˆ y + 3ˆ z [T]. a) Calcule el flujo a trav´es de la cara sombreada. b) ¿Cu´ al es el flujo total a trav´es de las seis caras?.

Figura 13. Campo magn´etico atrav´es de un cubo de lado l.

R: a) El flujo magn´etico a trav´es de la cara sombreada es: Z φB

= =

B · dA = B · A = (5ˆ x + 4ˆ y + 3ˆ z ) · (2, 5 · 10−2 )2 x ˆ

3, 12 · 10−3 [W b] = 3, 12 · 10−3 [W b]

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b) Para cualquier superficie cerrada, el flujo es nulo (todas las l´ıneas que salen, vuelven a entrar): I (φB )total =

B · dA = 0

11) Una corriente de 0,2 [A] est´ a cargando un capacitor que tiene placas circulares de 10 [cm] de radio. Si la separaci´ on de placas es de 4 [mm], a) ¿Cu´ al es la rapidez de incremento en el tiempo del campo el´ectrico entre las placas? b)¿Cu´ al es el campo magn´etico entre las placas a 5 [cm] del centro? R: El flujo del campo el´ectrico es φE = EA, y sabiendo en este caso que EA = εQ0 , se tiene: dφE d(EA) dQ/dt I = = = dt dt ε0 ε0 Entonces: a)   I V dE 11 = = 7, 19 · 10 dt ε0 A ms

b) I

  Q dφE d 2 Bds = µ0 I = ε0 µ0 → 2πrB = ε0 µ0 πr dt dt ε0 A µ0 Ir µ0 · 0, 2 · 5 · 10−2 B = = = 2 · 10−7 [T ] 2A 2π · 0, 12

12) La barra conductora ilustrada en la Fig.14 de masa m y longitud l se mueve sobre 2 rieles paralelos sin fricci´ on en presencia de un campo magn´etico uniforme dirigido hacia adentro de la p´agina. A la barra se le da una velocidad inicial vi hacia la derecha y se suelta en t=0. Encuentre la velocidad de la barra como una funci´on del tiempo.

Figura 14. Barra conductora deslizando sin roce.

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R: La intensidad de la fuerza magn´etica sobre la barra es FB = −IlB. Si la barra se mueve en la direcci´on x positiva, entonces: Fx = ma = m

dv = −IlB dt

La fem o voltaje inducido es ε = Bvl, asi que la corriente es: I=

ε Blv dv Blv = →m = −IlB = − lB R R dt R

Todo resulta en una ecuaci´ on diferencial: dv = dt Z v dv = v vi   v ln = vi

B 2 l2 v mR 2 2 Z t B l − dt mR 0 −

−

B 2 l2 t mR

Finalmente la velocidad de la barra en funci´ on del tiempo es: v(t) = vi e−

B 2 l2 mR

t

13) Un alambre recto infinitamente largo que conduce una corriente I1 est´a parcialmente rodeado por una espira como se muestra en la Fig.15. La espira tiene una longitud L y un radio R, y conduce una corriente I2 . El eje de la espira coincide con el alambre. Calcule la fuerza ejercida sobre la espira.

Figura 15. La corriente I1 va hacia arriba, pero I2 simplemente recorre la espira alrededor del alambre recto.

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0 I1 , y de direcci´ on anti R: La corriente en el alambre central genera un campo magn´etico con una intensidad de B = µ2πR horaria en c´ırculos conc´entricos. Cuando la corriente I2 recorre las zonas curvas de la espira, el campo magn´etico anterior se encuentra en el mismo plano, por lo que la fuerza percibida es nula (l x B = 0).

Los tramos de alambre paralelos al alambre central sienten una fuerza Il X B hacia la derecha, entonces:

FB = 2I2 L

µ0 I1 µ0 I1 I2 L = , hacia la derecha 2πR πR

14) Un i´ on positivo tiene una masa de 3,2 ·10−26 [kg]. Despu´es de ser acelerado desde el reposo por una diferencia de potencial de 833 [V], el i´ on entra perpendicularmente a un campo magn´etico de 0,92 [T]. Calcule el radio de la trayectoria del i´ on en el campo.

Figura 16. Electr´ on entrando perpendicularmente al campo magn´etico.

R:La energ´ıa cin´etica del electr´ on es: 1 mv 2 = qV → v = 2

r

2qV m

La intensidad de la fuerza magn´etica debe ser igual a la fuerza centr´ıpeta, necesaria para que el electr´on describa la trayectoria circular observada:

qvB = m

v2 r

De la ecuaci´ on anterior, depejando r, se tiene: mv m r= = qB qB

r

2qV 1 = m B 15

s

2mV q

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Reemplazando los valores, se obtiene: 1 r= 0, 92

s

2 · 3, 2 · 10−26 · 833 = 1, 98[cm] 1, 6 · 10−19

15) Un largo conductor cil´ındrico de radio a tiene dos cavidades cil´ındricas de di´ametro a a lo largo de toda su longitud, como se muestra en la secci´ on transversal de la Fig.17. Una corriente I se dirige hacia afuera de la p´agina y es uniforme por toda la secci´ on transversal del conductor. Encuentre la magnitud y direcci´on del campo magn´etico en funci´ on de µ0 , I, r y a en el punto P1 y en el P2 .

Figura 17. Conductor cil´ındrico perforado a lo largo de su longitud. R: Si la corriente recorre longitudinalmente el cable, entonces la densidad de corriente es J = que atraviesa la corriente es:

I A,

y el ´area transversal

  a2 a2 πa2 2 A=π a − − = 4 4 2 Y la densidad de corriente es J =

2I πa2 .

Para calcular el campo magn´etico generado en el punto P1 , primero se calcula el campo generado por el cable como si no tuviera huecos, con la ley de Amp`ere: Bsolido =

µ0 Jπa2 en sentido antihorario 2πr 16

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Donde la densidad de corriente multiplicada por el ´area es la corriente. Luego se calcula el campo generado por cada hueco, como si fueran conductores s´olidos:

Bsuperior

=

Binf erior

=

µ0 Jπ(a/2)2 en sentido antihorario 2π(r − (a/2)) µ0 Jπ(a/2)2 en sentido antihorario 2π(r + (a/2))

Como el campo magn´etico cumple con el principio de superposici´on, entonces sustrayendo el campo de los “conductores” superior e inferior al campo del conductor s´ olido se encontrar´a el campo en el punto P1 :

BP1 Reemplazando J por

= Bsolido − Bsuperior − Binf erior = 2I πa2 ,

2µ0 I 2π

  1 1 µ0 Jπa2 1 − − 2π r 4(r − (a/2)) 4(r + (a/2))

se obtiene: 

   4r2 − a2 − 2r2 µ0 I 2r2 − a2 = BP 1 = en sentido antihorario 4r(r2 − (a2 /4)) πr 4r2 − a2

El mismo procedimiento se aplica para hallar el campo en el punto P2 , pero ahora el vector campo magn´etico de los “conductores” inferior y superior tienen cierto a ´ngulo con respecto al eje horizontal.

Figura 18. Campos magn´eticos generados por los “cables conductores” superior e inferior, y el campo del cable conductor, si este no tuviera huecos. En el punto P2 el campo del conductor sin huecos es igual que en el punto P1 , entonces:

Bsolido =

µ0 Jπa2 2πr

Las componentes horizontales de los campos de los conductores inferior y superior se anulan entre s´ı, pero las verticales apuntan hacia arriba, y son iguales, entonces: 17

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µ Jπ(a/)2 p0 2π r2 + (a/2)2

Binf erior = Bsuperior =

Y el coseno necesario para calcular las componentes verticales es: cosθ = p

r r2

+ (a/2)2

Entonces el campo en el punto P2 es:

BP2

= =

" # p mu0 Jπa2 µ0 Jπ(a/2)2 p = −2 Bsolido − (Bsuperior + Binf erior ) p r2 + (a/2)2 2 2 2 2 2πr r + (a/2) 2π r + (a/2)   r2 µ0 Jπa2 1− 2πr 2(r2 + (a/2)2 ) r

Reemplazando J, se obtiene finalmente:     µ0 I 2r2 + a2 2µ0 I 2r2 B = 1− 2 = en sentido antihorario P2 2πr 4r + a2 πr 4r2 + a2

16) Una esfera de radio R tiene una densidad de carga volum´etrica constante ρ. Determine el momento magn´etico de la esfera cuando ´esta gira como un cuerpo r´ıgido a velocidad angular w alrededor de un eje que pasa por su centro.

Figura 19. Esfera cargada rotando alrededor de su eje. R: El volumen de un anillo infinitesimal es dV = 2πr2 senθdθdr (en coordenadas esf´ericas). 2πrsenθ es la circunferencia del anillo y rdθdr es el “grosor”. El ´ area del anillo es A = πr2 sen2 θ.

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La carga total por anillo es igual al producto del volumen con la densidad de carga: dq = ρdV = 2ρπr2 senθdθdr La corriente por anillo es el producto de la carga y la velocidad angular (T =

dI =

2π w ),

entonces:

dq w = 2ρπr2 senθdθdr = ρwr2 senθdθdr T 2π

El m´ odulo del momento magn´etico es µ = IA, y se conserva la direcci´on del vector superficie, que ser´ıa hacia arriba, en el eje de rotaci´ on. El momento magn´etico infinitesimal es: dµ = AdI = πr2 sen2 θ · ρwr2 senθdθdr = πρr4 sen3 θdθdr Integrando se obtiene: Z µ=

Z dµ = πρw

R

r4 dr

0

Z

π

sen3 θ dθ

0

Con el cambio de variable: sen2 θ d[cosθ] cosθ cosπ cos0

= = = = =

1 − cos2 θ −senθdθ x −1 1

Finalmente, el momento magn´etico es: Z πρw 0

R

r4 dr · −

Z

−1

(1 − x2 ) dx = πρw

1

Z 0

4 R5 4 = µ= πρwR5 = πρw 5 3 15

19

R

r4 dr

Z

1

−1

(1 − x2 ) dx