Razón de cambio promedio MATE 3013

11.1

El cálculo diferencial

Cambios en variables.

Razón de cambio promedio DEFINICION: La razón de cambio promedio con respecto a x, a medida que x cambia de x1 a x2, es la razón entre el cambio en los valores de salida y los valores de entrada : y2  y1 , x2  x1 donde x2 ≠ x1.

Razón de cambio promedio DEFINICION (conclusión): Si miramos la gráfica de f , observamos que

y2  y1 f (x2 )  f (x1 )  , x2  x1 x2  x1 representa la razón de cambio promedio y a la vez, es la pendiente de la recta que va desde P(x1, y1) a Q(x2, y2). La recta PQ, se conoce como una recta secante.

Razón de cambio promedio Ejemplo 1: Para y  f (x)  x 2 determinar la razón de cambio promedio a medida que: a) x cambia de 1 a 3. b) x cambia de 1 a 2. c) x cambia de 2 a 3. Solución: 2 y  f (x )  f (1)  1  1. 1 a) Cuando x1 = 1, 2 y  f (x )  f (3)  3  9. 2 Cuando x2 = 3, La razón de cambio promedio es 9 1 8   4. 31 2

Razón de cambio promedio Ejemplo 2 (conclusión): 2 y  f (x )  f (1)  1  1. b) Cuando x1 = 1, 1 2 y  f (x )  f (2)  2  4. Cuando x2 = 2, 1 La razón de cambio promedio es 4 1 3   3. 2 1 1 2 y  f (x )  f (2)  2  4. c) Cuando x1 = 2, 1 2 y  f (x )  f (3)  3  9. Cuando x2 = 3, 1 La razón de cambio promedio es 94 5   5. 3 2 1

La razón de cambio promedio es Práctica corta 1 Instrucciones: Describa en una oración corta la razón de cambio promedio para cada situación. No olvide incluir unidades.

a.) Llovió 4 pulgadas en un periodo de 8 horas. 4 in  0 in 4 in 1 in   . La razón de cambio promedio se calcula: 8 hr  0hr 8 in 2hr Descripción: La razón promedio de lluvia fue de 0.5 pulgadas por hora.

La razón de cambio promedio es Práctica corta (continuación) b.) Tu carro viaja 250 millas con 20 galones de gasolina. La razón de cambio promedio se calcula: 250mi  0 mi  250 mi  25 mi . 20 gal  0 gal

20 gal

2 gal

Descripción: El promedio de las millas viajadas es 12.5 millas por galón. c.) A las 2 p.m. , la temperatura era 82 degrees. A las 5 p.m. , la

temperatura era 76 degrees. La razón de cambio promedio se calcula:

82−76 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 2 𝑃𝑀 −5𝑃𝑀

=

6 −3

= −2

Descripción: El cambio promedio en temperatura fue de 2 grados por hora. Note que el negativo NO se escribe en la descripción, solo se interpreta como que la temperatura bajó durante esas horas.

Razón de cambio promedio DEFINICION: La razón de cambio promedio de f con respecto a x también se llama el cociente diferencial y está dada por f (x  h)  f (x) donde h ≠ 0. , h

El cociente diferencial es igual a la pendiente de la recta secante a la curva.

Razón de cambio promedio El cociente de diferencias es una FORMULA, que nos permite calcular la pendiente de una recta secante usando cualquier par de puntos que pertenecen a la curva bajo estudio. (x, f (x)) y (x+h, f (x+h)).

f (x  h)  f (x) , h

Razón de cambio promedio Ejemplo 2: Dado f (x)  x 2, determinar el cociente de diferencias cuando a) x = 5 y h = 3. b) x = 5 y h = 0.1. a) 1) Se sustituye x = 5 y h = 3 en la fórmula:

Razón de cambio promedio Ejemplo 2: Interpretamos el resultado gráficamente

Recta secante que pasa por dos puntos. La pendiente de la recta secante que pasa por (5, 25) y (8, 64) es

Razón de cambio promedio Ejemplo 2 (cont.): b) (1)Sustituimos x = 5 y h = 0.1 en la fórmula:

f ( x  h)  f ( x ) f (5  0.1)  f (5) f (5.1)  f (5)   h 0.1 0.1 5.12  52 26.01  25 1.01   10.1   0.1 0.1 0.1

Razón de cambio promedio Ejemplo 2 (conclusión):

Recta secante que pasa por dos puntos. La pendiente de la recta secante que pasa por (5, 25) y (8, 64) es

f ( x  h)  f ( x )  10.1 h

Razón de cambio promedio 2 f (x)  x Ejemplo 3: Para hallar una fórmula para el cociente diferencial para cualquier punto en la curva.

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) 𝑥 + ℎ 2 − (𝑥)2 = ℎ ℎ 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − (𝑥)2 = ℎ 2𝑥ℎ + ℎ2 = ℎ ℎ(2𝑥 + ℎ) = 2𝑥 + ℎ = ℎ

Razón de cambio promedio Ejemplo 3: (cont.) Ahora para hallar el cambio promedio para 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 entre x = 3 y x=3.5 usamos la fórmula para el cociente diferencial que obtuvimos:

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + ℎ 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ℎ = ∆𝑥 ℎ ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 = 2 3 + 0.5 ∆𝑥 = 3.5 − 3 = 6 + 0.5 ∆𝑥 = .5 = 6.5 El cambio promedio en y

La pendiente de la recta secante que

cuando x cambia de 3 a 3.5 es 6.5.

pasa por (3,9) y (3.5, 12.25) es 6.5.

Razón de cambio promedio Ejemplo 4: Para f x   x 3 hallar una fórmula para el cociente diferencial para cualquier punto en la curva.

x  3x h  3xh  h  x  h h  3x 2  3xh  h 2   h  3x 2  3xh  h2 , h  0. 3

2

2

3

3

Razón de cambio promedio Ejemplo 4: (cont.) Ahora para determinar el cambio

promedio para 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 entre x = 2 y x = 3, usamos la fórmula para el cociente diferencial que obtuvimos: 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) = ℎ = 3(2)2 +3(2)(1) + 12

= 12 + 6 + 1 = 19 El cambio

ℎ = ∆𝑥 ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 ∆𝑥 = 3 − 2 ∆𝑥 = 1

promedio en y

La pendiente de la recta secante que

cuando x cambia de 2 a 3 es 19.

pasa por (2,8) y (3,27) es 19.

Razón de cambio promedio

3 Ejemplo 5: Para f x   x hallar una fórmula simplificada para el cociente diferencial

3  , h  0. x  x  h

Razón de cambio promedio Ejemplo 6: Utilizar la gráfica para estimar la razón de cambio promedio en el por ciento de nuevos empleados en Construcción entre 2005 y 2008. En el 2005, un 9% de empleados en Construcción eran nuevos.

En el 2008, un 4% de empleados en Construcción eran nuevos.

Razón de cambio promedio Ejemplo 6: Utilizar la gráfica para estimar la razón de cambio promedio en el por ciento de nuevos empleados en Construcción entre 2005 y 2008. En el 2005, un 9% de empleados en Construcción eran nuevos.

En el 2008, un 4% de empleados en Construcción eran nuevos.

Razón de cambio promedio Ejemplo 7 : Un submarino lanza un proyectil, la altura (en metros) por encima del nivel del mar, está dada por la función cuadrática: f (x) = -12x2 + 72x - 60 donde x es el tiempo en segundos. a) Construya una tabla calculando valores para x desde 1 hasta 5 en intervalos de 0.5

Razón de cambio promedio Ejemplo 7 (cont.) : Un submarino lanza un proyectil, …. f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos. a) Trace los puntos en un plano y esboce la gráfica. b) Calcule el cociente de diferencias entre cada dos puntos de la tabla.

𝑃2 − 𝑃1 = 0.5

𝑃3 − 𝑃2 = 0.5

𝑃4 − 𝑃3 = 0.5

𝑃5 − 𝑃4 = 0.5

𝑃6 − 𝑃5 = 0.5

𝑃7 − 𝑃6 = 0.5

𝑃9 − 𝑃8 = 0.5

Razón de cambio promedio Ejemplo 7 (cont.) : Un submarino lanza un proyectil, …. f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos. a) Trace los puntos en un plano y esboce la gráfica. b) Calcule el cociente de diferencias entre cada dos puntos de la tabla.

𝑃2 − 𝑃1 0.5 = 42

𝑃3 −𝑃2 0.5

=30

𝑃4 − 𝑃3 0.5 = 18

𝑃5 − 𝑃4 0.5 =6

𝑃6 − 𝑃5 0.5 −6

𝑃7 − 𝑃6 0.5 − 18

𝑃9 − 𝑃8 0.5 = −42

Razón de cambio promedio Ejemplo 7 (cont.) : Un submarino lanza un proyectil, …. f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos. c) ¿Qué patrones observas en los cálculos? d) Llene los blancos adecuadamente: Cuando la función es creciente, las pendientes de las rectas secantes son ________. Cuando la función decrece las pendientes de las rectas secantes horizontales son _________. Las pendiente de las rectas horizontales (paralelas al eje x) son iguales a _________. 𝑃2 − 𝑃1 0.5 = 42

𝑃3 −𝑃2 0.5

=30

𝑃4 − 𝑃3 0.5 = 18

𝑃5 − 𝑃4 0.5 =6

𝑃6 − 𝑃5 0.5 −6

𝑃7 − 𝑃6 0.5 − 18

𝑃9 − 𝑃8 0.5 = −42

Razón de cambio promedio – Práctica adicional Ejemplo 7: Según los datos de La Liga Superior de Beisbol, el precio promedio de un boleto para un partido de Grandes Ligas se puede aproximar con la siguiente función, donde x es el número de años a partir de 1991 y p(x) es en dólares. (Fuente de los datos: www.teammarketing.com) 𝑝 𝑥 = 0.03𝑥 2 + 0.56𝑥 + 8.63

Determina: a) el precio de un boleto en 1995

b)

el precio de un boleto en 2008

𝑝 4 = 0.03(4)2 +0.56(4) + 8.63 𝑝 4 = 0.48 + 2.24 + 8.63 𝑝 4 = $11.35

𝑝 17 = 0.03(17)2 +0.56(17) + 8.63 𝑝 17 = 8.67 + 9.52 + 8.63 𝑝 17 = $26.82

Razón de cambio promedio Ejemplo 7 (cont): Según los datos de La Liga Superior de Beisbol, el precio promedio de un boleto para un partido de Grandes Ligas se puede aproximar con la siguiente función, donde x es el número de años a partir de 1991 y p(x) es en dólares. (Fuente de los datos: www.teammarketing.com) 𝑝 𝑥 = 0.03𝑥 2 + 0.56𝑥 + 8.63

Determina: c)

𝑝 17 −𝑝(4) . 17−4

Interpreta este resultado.

26.82 − 11.35 = 17 − 4 El precio promedio de un boleto para 15.47 un partido de Grandes Ligas ha = 13 aumentado un promedio de $1.19 ≈ 1.19 anuales desde 1991.

Razón de cambio promedio Ejemplo 8: La cantidad de dinero en una cuenta de ahorro que tiene un balance inical de $2000 y recibe un 6% de interés compuesto 4 veces en el año está dado por Determina: a) 𝐴 3

𝐴 𝑡 = 2000(1.015)4𝑡

𝐴 3 = 2000(1.015)4(3) 𝐴 3 = $2391.24 b)

𝐴 5 𝐴 5 = 2000(1.015)4(5) 𝐴 5 = $2693.71

Razón de cambio promedio Ejemplo 8: La cantidad de dinero en una cuenta de ahorro que tiene un balance inical de $2000 y recibe un 6% de interés compuesto 4 veces en el año está dado por 𝐴 𝑡 = 2000(1.015)4𝑡 Determina:

c)

A 5 −A(3) . Interpreta este resultado. 5−3

2693.71 − 2391.24 = 5−3 302.47 La cuenta aumenta un promedio de = 2 $151.24 anuales. ≈ $151.24