Revista “Aportes Científicos en PHYMATH ISSN 1853-9866 (CD-ROM) ; ISSN 2313-9455 (Online)

Volumen 5, Diciembre 2015

Sobre los Aspectos Cuadrupolar y Octupolar de la Radiación Gravitacional Kozameh, C. N.; Ortega, R. G.

FACEN-UNCa. Avda. Belgrano 300. CP4700. Catamarca [email protected]

Recepción: 11/12/2014 Aceptado para publicación: 14/09/2015

Resumen: Trabajamos sobre las ecuaciones de momento angular y momento lineal para Fuentes de ondas gravitacionales en espacios-tiempo axisimétricos, usando la definición de la deformación con contribuciones de las partes cuadrupolar y octupolar. Mostramos las contribuciones cuadrupolar y octupolar a la radiación gravitacional como evidencia de la diferencia de masas de los objetos interactuantes en un impacto cabeza a cabeza.

Palabras Clave: Relatividad Radiación Gravitacional.

Sobre los Aspectos Cuadrupolar y Octupolar de la Radiación Gravitacional

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General;

Campos

Kozameh, C. N.; Ortega, R. G.

de

Einstein;

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Abstract: We work on the equations of linear moment and angular moment for sources of gravitational waves in axially symmetric spacestimes, using definition of the shear with contributions quadrupole and octupole parts. We show quadrupole and octupole contributions to gravitational radiation as evidence of the different masses of the objets interacting in a impact head to head.

Keywords: General Relativity; Einstein Fields; Gravitational Radiation.

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0. Introducción En el trabajo que aquí presentamos buscamos calcular el momento dipolar másico y el momento angular para la interacción de masas puntuales en un evento astrofísico con la consecuente emisión de radiación gravitacional, presentado una definición para el centro de masa. Asumimos como grandes simplificaciones en nuestra aproximación el tratamiento del problema para espacios tiempo asintóticamente

planos

que

son

axialmente

simétricos

y

escribimos las ecuaciones considerando únicamente la presencia de gravedad y carga nula (q=0). La principal herramienta utilizada para esta derivación es la noción de congruencia de geodésicas nulas asintóticamente sin deformación (shear cero). Básicamente, para un observador situado en el Infinito Nulo asociado a una congruencia nula, la radiación emitida alcanzará un detector como viniendo desde una fuente puntual si la deformación de la congruencia es cero en ℑ + . Sabiendo que aunque esta identificación es solo cierta en el espacio de Minkowski, la deformación de un cono nulo desde un punto arbitrario es genéricamente diferente de cero cuando alcanza el Infinito Nulo. Al hacer esto en un espacio curvo se están definiendo puntos en un espacio fiduciario llamado el Espacio de Observación; estos puntos son complejos y por lo tanto debemos dar un sentido geométrico o físico a sus partes real e imaginaria. El siguiente paso consiste en identificar una línea temporal especial en el espacio de observación que será la línea

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mundo centro de masa (complejo). Usando esta línea mundo, identificamos la parte real de la línea temporal con el centro de la masa y la parte imaginaria con el momento angular intrínseco del sistema. Para individualizar esta línea mundo compleja temporal especial aprovechamos el momento dipolar de masa que se construye a partir del tensor de Weyl definido para un sistema de tetradas de Bondi en el infinito futuro nulo. Si se utiliza para su construcción una congruencia nula de geodésicas sin deformación, imponemos que el término dipolar de masa sea cero ante una rotación nula del mismo sistema de Bondi, con lo cual básicamente estamos expresando que el vector posición del centro de masa es cero si nos situamos en el sistema de referencia centro de masa. Encontramos las ecuaciones para el momento lineal y el momento angular para fuentes de ondas gravitacionales en espacios-tiempo axialmente simétricos, usando la definición de la deformación (shear) con contribuciones de las partes cuadrupolar y octupolar a la radiación gravitacional para masas puntuales colisionando en la dirección z. Obtenemos una relación entre el momento lineal y la r r cuadrivelocidad del centro de masa (esencialmente P = Mv +otros términos), teniendo presente que el momento total de Bondi es un objeto bien definido en el Infinito Nulo. Por otro lado, la definición del momento angular no es tan simple ni es universalmente aceptada una definición univoca del mismo por la comunidad relativista. Hay ambigüedades relacionadas con la libertad de supertraslación disponible en ℑ + y hay también varias definiciones de momento angular. Pasaremos por alto esta libertad de supertraslación por tratar con datos

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gravitacionales

que

producen

resultados

idénticos

para

las

diferentes definiciones y porque realizamos una rotación nula del mismo sistema de Bondi. Nos proponemos aquí como objetivo presentar una definición del momento angular válida para nuestro nivel de aproximación e ir un poco más allá en las ecuaciones con la introducción de datos arbitrarios (no sólo cuadrupolares) y derivar las ecuaciones de movimiento para el centro de la masa y spín asociados con una fuente compacta aislada. Mostramos resultados sobre el movimiento del centro de masa y la ecuación para el momento angular, encontradas como una forma de distinguir la diferencia en masa de los objetos interactuantes. Perseguimos encontrar algunas respuestas a ciertos interrogantes que pueden presentarse para un evento axisimétrico que suponemos entre dos masas puntuales con emisión de radiación gravitacional, como son: ¿La emisión de Radiación Gravitacional es suficiente para frenar la partícula? ¿El centro de masa del sistema se desplaza o permanece estacionario? ¿Es posible emitir radiación gravitacional si el centro de masa permanece estacionario? También pretendemos para un evento en condiciones de axisimetría dar una definición unívoca de momento angular en el contexto de la Relatividad General. En la búsqueda de dar respuestas a estos interrogantes presentamos una definición de centro de masa y del momento angular intrínseco para Relatividad General. La principal diferencia entre este nuevo enfoque y muchos otros precedentes en la literatura es que seguimos una “aproximación para partículas” que define el momento angular de la partícula como una propiedad intrínseca y no como el valor del momento angular total cuando se limita a la del centro de masa.

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También

analizamos

las

ecuaciones

de

movimiento

que

se

obtienen para el centro de masa. Entonces podemos plantearnos un nuevo interrogante ¿Cómo se comporta el momento angular ante la emisión de radiación gravitacional? A priori debemos decir que no está claro lo que sucede y que es posible que el modelo en algunos aspectos tenga cierto déficit y no logremos responder consistentemente a todos estos interrogantes. En las secciones 1 y 2 presentamos una revisión de la estructura para espacios tiempo asintóticamente planos y del Formalismo de Newman-Penrose como nuestra base teórica de donde tomamos las ecuaciones principales y de los cual se deducen nuestros resultados y derivamos las ecuaciones para el caso axisimétrico. Una característica diferente es que luego adaptamos las ecuaciones para nuestro tratamiento usando los Polinomios de Legendre con peso de spin en la resolución de las ecuaciones. En la sección 3 presentamos una definición del centro de masa, obtenemos la ecuación del momento angular a partir de la definición del centro de masa. Además, en particular presentamos un cambio en la definición del momento angular usando la integral de Komar, que consideramos es resulta más adecuada al tratar con espacios tiempo axisimétricos. En esta sección se corrigen

algunas

consideraciones

realizadas

en

trabajos

precedentes [9]. En la sección 4 expresamos algunas predicciones que pueden ser probadas con los resultados con un rápido análisis de las ecuaciones encontradas en la sección precedente.

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1. Planitud Asintótica La noción de planitud asintótica es la herramienta adecuada para analizar la radiación gravitacional y electromagnética emitida por una fuente compacta arbitraria. Un espacio-tiempo puede ser pensado como asintóticamente plano si el tensor de curvatura es cero cuando se aproxima a infinito a lo largo de geodésicas nulas dirigidas al futuro en el espacio-tiempo. Todas las geodésicas nulas que alcanzan el infinito futuro nulo referido como ℑ + , el borde futuro del espacio-tiempo [1] [6]. Introducimos un conjunto natural de coordenadas en la vecindad de ℑ + llamadas las coordenadas de Bondi (u , r , ζ , ζ ) . En este sistema, el tiempo de Bondi “u” designa una familia especial de superficies nulas cuya intersección con ℑ + es una dos esfera S 2 , r es el parámetro afín a lo largo de cada geodésica nula de la superficie

u=const

y

ζ = e iϕ cot

θ 2

son

las

coordenadas

estereográficas complejas que designan las geodésicas nulas de la superficie nula. Asociadas con las coordenadas de Bondi existe un sistema de tetradas nulas basadas en las hipersuperficies nulas salientes designadas por

(l a , na , ma , ma ) .

El primer vector de las

tetradas es definido como [6];

la = ∇ a u B

(1)

Entonces l a = g ab ∇ b u B es un vector nulo tangente a las geodésicas de la superficie. Para el segundo vector de tetradas escogemos un vector nulo n a normalizado para l a

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na l a = 1

(2)

La tetrada se completa con la elección de un vector complejo nulo m a ortogonal a l a y n a , para el cual

ma m a = −1

(3)

La métrica del espacio tiempo es entonces [6]

g ab = l a nb + na lb − ma mb − ma mb

(4)

Pero lo más importante para nosotros es una elección diferente del corte original u B = const. de ℑ + , tal que

uB = Z (u,ζ ,ζ

Donde Z (u,ζ ,ζ

)

)

(5)

es una función compleja. Si denotamos

por T la función inversa de Z, tal que

u = T (u B , ζ , ζ

)

(6)

1 Es fácil demostrar que T& = ' , entonces el resto del Z sistema de coordenadas y el sistema de tetradas se construye como antes.

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2. Formalismo de Newman-Penrose El herramienta

formalismo

de

básica

trabajo

de

Newman-Penrose para

nuestro

(NP)

es

análisis,

la y

simplemente daremos aquí una breve formulación y dejamos los detalles para la referencia [6]. Focalizamos la forma general de las soluciones

asintóticamente

planas

de

las

soluciones

de

las

ecuaciones de Einstein-Maxwell en coordenadas de Bondi. La versión NP [6], [7] de las ecuaciones de vacío de Einstein (o de Einstein Maxwell) usan las componentes en tetradas

λac = (l a , n a , m a , m a ) con c = 1,2,3,4

(7)

más bien que la métrica, como variable básica. La métrica (4) puede ser escrita como

g ab = η cd λac λbd

(8)

Hay cinco componentes complejas en tetradas del tensor de Weyl

ψ 0 = −C abcd l a m b l c m d ; ψ2 = −

(

1 C abcd l a n b l c n d − C abcd l a n b m c m d 2

ψ 3 = C abcd l a n b n c m d ;

El

teorema

ψ 1 = −C abcd l a n b l c m d

de

)

ψ 4 = −C abcd n a m b n c m d

Peeling

de

Sachs

[8]

comportamiento del escalar de Weyl

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(9)

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nos

dá

el

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ψ0 =

ψ1 =

ψ2 =

ψ3 =

ψ4 =

ψ 00 r

5

ψ 10 r

4

ψ 02 r3

ψ 30 r

2

ψ 04 r

( )

(10)

( )

(11)

( )

(12)

( )

(13)

( )

(14)

+ O r −6

+ O r −5

+ O r −4

+ O r −3

+ O r −2

Además en ℑ + tenemos que

ψ 40 = −σ&&0

(15)

ψ 30 = ∂ˆ σ& 0

(16)

ψ 20 − ψ 20 = ∂ 2σ 0 − ∂ˆ 2σ 0 + σ& 0σ 0 + σ& 0σ 0

(17)

Donde el punto sobre los escalares significa que se ha tomado la derivada

∂ . ∂u

Una combinación lineal de los escalares de Weyl y las componentes de la conexión en tetradas definen el llamado aspecto de la masa, Ψ = ψ 20 + ∂ˆ 2σ 0 + σ 0σ& 0

Que satisface la siguiente condición de realidad

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(18)

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Ψ=Ψ

(19)

Finalmente de las identidades asintóticas de Bianchi, se obtienen la relaciones dinámicas (o de evolución)

ψ& 20 = −∂ˆ ψ 30 + σ 0ψ 40

(20)

ψ& 10 = −∂ˆ ψ 20 + 2σ 0ψ 30

(21)

ψ& 00 = −∂ˆ ψ 10 + 3σ 0ψ 20

(22)

Usando el aspecto de la masa (15) y (16), la primera de las identidades asintóticas de Bianchi puede ser reescrita en forma concisa

Ψ = σ& 0σ& 0

(23)

Una de las interpretaciones físicas inmediata se origina de las soluciones asintóticamente planas de la identificación de Bondi [1] en ℑ + , el cuadrimomento (energía/momento) del espacio tiempo interior. Dado el aspecto de la masa (18) y la expansión en armónicos esféricos Ψ = Ψ 0 + Ψ i Y10i + Ψ ij Y20ij

(24)

Uno define la masa de Bondi y el tri-momento con las contribuciones armónicas l=0 y l=1. MB = −

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c2 2 2G

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Ψ0

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(25)

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c3 i P =− Ψ 6G

(26)

i

2.1. Cortes Asintóticos sin Deformación (Shear) Ante un cambio de coordenadas el sistema de tétradas cambia

(l

*a

de

(l , n , m , m ) a un nuevo sistema ). Si un observador se sitúa en a

a

a

a

, n *a , m * a , m *a

de

tétradas

ℑ+

vé una

congruencia nula sin deformación (shear), los rayos nulos parecen venir desde un único punto en el interior. Dado que el shear asociado con las dos tetradas nulas está relacionado por

σ *0 = σ 0 − ∂ˆ (u ) LL⋅

(27)

⋅

donde σ *0 es la deformación asintótica de l *a [12], lo que significa ⋅ ⋅ que hay una elección especial de L(u, ζ , ζ ) ⋅ tal que σ *0 = 0 ; ∂ˆ (u )

representa el operador edth aplicado manteniendo u constante. El operador edth es definido como

(

)

(

)

∂ P sη ∂ˆ η = P 1− s ∂ζ

∂ P − sη ∂ˆ η = P 1+ s ∂ζ

donde “s” es el peso de spin y P = 1 + ζζ ) ⋅ . Por pedir que L(u, ζ , ζ ) ⋅ satisface la ecuación

σ 0 = ∂ˆ (u ) L + LL⋅

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(28)

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Tenemos en cada punto de ℑ + los rayos nulos que nos define un punto sobre un espacio fiduciario llamado Espacio de Observación. El espacio H es un espacio 4 dimensional con una métrica plana de Ricci que es la solución de la ecuación de buen corte (good cut equation).

∂ˆ 2 X = σ 0 (X , ζ , ζ

)

(29)

Si puede demostrar que la solución depende de 4 números

complejos

ξ a , es decir,

(

)

u = X ξ a ,ζ ,ζ .

Además,

seleccionamos una línea mundo arbitraria ξ a (τ ) , u = X (τ , ζ , ζ con su inversa τ = T (u, ζ , ζ

)

si

) junto

se puede mostrar que la solución de la

ecuación (28) está dada por L(u , ζ , ζ ) = ∂ˆ (τ ) X

τ =T (u ,ζ ,ζ

)

(30)

La libertad en la solución de la ecuación está dada por líneas mundo arbitrarias en el espacio H. Este es el punto de partida para construir el Espacio de Observación. Note que la expresión

ξ i (τ ) = ξ Ri (τ ) + iξ Ii (τ )

(31)

No es realmente una línea mundo sino una hoja mundo dado que τ = s + iλ es un parámetro complejo. Una condición de realidad se impone sobre X y esto fija únicamente λ = λ ( s ) . El Espacio de Observación tiene entonces líneas mundo en el espacio

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H. La función u = X R (s, ζ , ζ

)

es una familia monoparamétrica de

cortes en ℑ + .

2.2. Momento Dipolar de Masa. Centro de Masa El momento dipolar de masa para espacios tiempo asintóticamente planos está dado por la parte l=1 de ψ 10 . Si practicamos una rotación nula para las tetradas de Bondi

(l

a

, n a , m a , m a ), manteniendo fijo el vector n a , tendremos nuevas

tétradas asintóticas

(l

*a

, n *a , m *a , m *a ) es decir que n a = n *a , a las

cuales imponemos que tengan deformación cero. Usando la transformación entre los escalares de Weyl dados por

ψ 1*0i = (ψ 10 − 3Lψ 20 + 3L2ψ 30 − L3ψ 40 )

ψ 1*0i ≅ (ψ 10 − 3Lψ 20 )

i

i

(32) (33)

La primera ecuación es la parte l=1 de la anterior y la segunda es valida hasta el segundo orden en L y σ 0 . Escogiendo que ψ 1*0i = 0 , obtenemos una relación explícita entre el centro complejo de masa ξ i (u ) y los otros campos.

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2.3. Polinomios Asociados de Legendre con Peso de Spin Los polinomios asociados de Legendre Plms (x ) y Plm− s (x ) son soluciones de la ecuación diferencial asociada de Legendre, donde “l” y “m” son enteros positivos y s=0…..l. Son implementados en Matemática como Polinomios de Legendre P[l.m.x ] . Para s positivo y m=0, se pueden escribir en términos de los polinomios no asociados por la relación

(

Pl s ( x) = (1) s 1 − x 2

)

s

2

ds Pl ( x) dx s

(34)

Donde Pl (x) son los polinomios no asociados de Legendre. Los polinomios asociados de Legendre para s negativo se definen por la relación

Pl − s ( x) = (−1) s

(l − s )! P s ( x) (l + s )! l

(35)

Es necesario ser cuidadoso con los polinomios obtenidos desde diferentes fuentes. Una forma posible para distinguir las dos convenciones se debe a Abramowitz y Stegun [21], quienes usan la siguiente notación para distinguir uno de otro;

Pl − s ( x) = (−1) s Pl s ( x)

(36)

Las funciones asociadas de Legendre son parte de los armónicos esféricos, las cuales son soluciones de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas. Son ortogonales en el intérvalo [-1;1] con función peso igual a 1.

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1

∫

−1

Pl s ( x) Pl s ` ( x)dx =

2 (l + s )! δ lr 2l + 1 (− s )!

(37)

Y ortogonales sobre [-1;1] con respecto a s con la función

(

peso 1 − x 2

)

−1

; 1

∫

−1

Pl s ( x) Pl s ` ( x)

dx 2 (l + s )! δ ss ` = 2 2l + 1 s (l − s )! 1− x

(

)

(38)

Los polinomios asociados de Legendre también obedecen las siguientes relaciones de recurrencia

(l − s )Pl s ( x) = x(2l − 1)Pl −s 1 ( x) − (l + s − 1)Pl −s 2 ( x)

(39)

Resulta también muy útil considerar las identidades

(

Pl l ( x) = (− 1) (2l − 1)! 1 − x 2 l

)

1

(40)

2

Pl l+1 ( x) = x(2l + 1)Pl l ( x)

(41)

En adición escogiendo x = cos θ obtenemos los polinomios de

Legendre

Pl s (cos θ ) .

En

el

apéndice

A

presentamos

los

polinomios de Legendre para s = 0;1;2 y los productos entre ellos que resultan de utilidad para la resolución de las ecuaciones aquí presentadas.

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3.

Espacios

Tiempo

Axisimétricos-Centro

de

Masa

y

Momento Angular La simetría axial es la simetría alrededor de un eje (también llamada rotacional o radial o cilíndrica). El uso de esta simetría permite que muchos problemas físicos sean más fáciles de resolver y las ecuaciones resulten más sencillas. Los problemas en física con este tipo de simetría son tales que si los datos de partida tienen

esta

simetría

entonces

las

soluciones

encontradas

conservan o preservan la misma simetría. Además desde un punto de vista más Físico y real del universo, la existencia de un eje de simetría

supone

la

posibilidad

de

analizar

entes

físicos

rotacionales. De ahora en más, consideramos que trabajamos con un espacio tiempo que tiene simetría axial y que el movimiento de las fuentes se desarrolla a lo largo del eje de simetría que elegimos como el eje z, sobre el cual supondremos se encuentra el centro de masa del sistema. Aunque suponemos que el movimiento de las fuentes es restringido, hay sin embargo, muchos casos de interés que se pueden analizar. Usamos los polinomios de Legendre con peso de spin (spin weight) en la definición de las cantidades físicas y la resolución de las ecuaciones. Al usar estos polinomios de Legendre podemos claramente identificar los términos que dependen de θ y que son independientes de φ en la esfera de direcciones nulas, resulta entonces más sencillo discriminar los términos en las ecuaciones que contribuyen efectivamente en el caso axisimétrico. Sobre todo se usan los polinomios de Legendre con pesos de spin 0, 1, 2; y los productos entre ellos listados en el apéndice A en la resolución de los productos en las ecuaciones.

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En este estudio asumimos que la radiación gravitacional no es solamente de naturaleza cuadrupolar, sino que (de acuerdo con el desarrollo multipolar) vamos un poco más allá incluyendo una contribución octupolar a la radiación gravitacional; que creemos puede resultar en cierta forma significativa en el estudio del problema. Para introducir este nuevo aspecto en el estudio de la radiación gravitacional, suponemos que la deformación asociada a la radiación de la congruencia nula es una combinación de términos en polinomios de Legendre con peso de spin s = 2 con l = 2 y l = 3 (Apéndice A). Para incluir ambos aspectos (cuadrupolar y octupolar) escribimos la deformación como

σ = σ 2 P22 (cos θ ) + σ 3 P32 (cos θ )

(42)

El formalismo de Newman-Penrose (NP) nos proporciona una representación conveniente de las cantidades con peso de spin relacionadas a la radiación. Para ello tenemos en cuenta que la componente de radiación de Weyl (15) es ψ& 40 = −σ&&0 . En particular las componentes del tensor de Weyl (15) pueden estar asociadas con la radiación gravitacional contenida en el espacio tiempo. La radiación decae como ≈

σ decae como ≈

1 (14), mientras que r

1 . Usualmente la deformación está directamente r2

relacionada con los momentos multipolares de la fuente y corrientemente se escribe solo hasta el orden cuadrupolar, a diferencia de lo aquí presentado en que se incluye el orden cuadrupolar. Por ello es que la ecuación para la deformación (42) la escribimos usando coeficientes de la parte o del aspecto

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cuadrupolar de la radiación σ 2 y de la parte o aspecto octupolar de la radiación σ 3 . Para cualquier espacio tiempo σ 2 y σ 3 se pueden escribir como

Donde

&& Q

2G && && Q+ + iQ × 4 2c

σ3 =

2G

&& O

y

(

σ2 =

2c

4

(O&&

+

&& + iO ×

)

(43)

)

(44)

son respectivamente, los momentos

cuadrupolar y octupolar de la fuente. Las relaciones (43), (44) se escriben

considerando

el

gauge

TT

con

términos

de

la

correspondiente expansión multipolar [16] [17]. Pero nuestro tratamiento asumimos un espacio-tiempo axisimétrico y considera la definición de cantidades con los polinomios de Legendre en una dirección privilegiada z. && , O && representan los momentos de Las componentes Q + + && , O && representan los momentos de corriente tal como masa y Q × × son referidas en recientes aproximaciones Postnewtonianas [22] [23] [24]. Para contribuir a un mejor entendimiento de lo aquí presentado para (43) y (44) haremos en cierta forma una muy breve reseña de aspectos que creemos son importantes para nuestro estudio de resultados presentados en publicaciones en la temática,

desde

el

punto

de

vista

de

las

aproximaciones

postnewtonianas, Es por ello que en el Apéndice C transcribimos algunas ecuaciones que si bien no son empleadas en los cálculos nos sirven como referencia y sustento de nuestro estudio, en su significado e interpretación física.

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De

acuerdo

con

los

órdenes

de

magnitud

de

los

momentos multipolares de masa y corriente sabemos que el momento cuadrupolar de masa es dominante en la emisión de radiación gravitacional, seguido en orden de magnitud por el momento octupolar de masa y el momento cuadrupolar de corriente. Mientras que el momento octupolar de corriente es de un orden magnitud aún más pequeño que los recién mencionados y para objetos rotantes a baja velocidad es despreciable [22]; por esta razón de ahora en más para este trabajo, aunque estén presentes en las ecuaciones que aquí se muestran, en el análisis && = 0 y no contribuye. del sistema tendremos en mente que O × En orden a preservar las condiciones de axisimetría cuando tratamos de analizar las interacciones entre objetos masivos restringidos a una sola dirección de movimiento es de esperar que los vectores momento angular total y momento angular intrínseco permanezcan alineados. Si esto no sucede quebraríamos o violaríamos la axisimetría. Como consecuencia a veces es posible que el término de && pueda no contribuir a las ecuaciones corriente cuadrupolar Q × (apéndice C), para el problema aquí considerado, sin violar las condiciones de axisimetría.

3.1. Razón de Cambio de la Masa y el Momento La ecuación para el aspecto de la masa en términos de los polinomios de Legendre puede escribirse como

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Ψ=−

2 2 6G GMP00 (cosθ ) − 3 P z P10 (cosθ ) + terms(l ≥ 2 ) 2 c c

(45)

Aplicando la ecuación de pérdida de masa de Bondi (23) solo para gravedad, usando las ecuaciones (43) y (44) y resolviendo convenientemente los productos entre polinomios de Legendre (ver apéndice A), obtenemos dos ecuaciones para la razón de cambio de la masa en términos de P00 (cosθ ) y del momento lineal, en términos de P10 (cosθ )

(

)

(

G &&& &&& &&& &&& 9G &&& &&& &&& &&& M& = − 7 Q O+ O+ + O×O× + Q + + Q×Q× − 5c 28c 7

(

3 10G &&& &&& &&& &&& P& z = − Q+ O+ + Q×O× 35c 6

)

)

(46)

(47)

De estas ecuaciones podemos ver que la razón de cambio de la masa (46) tiene dos contribuciones separadas, una parte cuadrupolar y una parte octupolar. Mientras que para la razón de cambio

el

momento

lineal

(47)

las

contribuciones

no

son

independientes una de otra. En estas ecuaciones si no hubiéramos consideramos el carácter octupolar de la radiación, la razón de cambio de la masa dependería únicamente del aspecto cuadrupolar y sería diferente de cero con el solo hecho de que exista emisión de radiación. Mientras que el momento lineal sería una cantidad física conservada, a pesar de que existiera emisión de radiación de tipo cuadrupolar únicamente.

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En tanto que si la radiación gravitacional presenta ambos caracteres (cuadrupolar y octupolar) la razón de cambio de la masa sigue siendo diferente de cero y posiblemente se evidencie una mayor pérdida de masa que cuando la radiación es solo cuadrupolar; y el momento lineal ya no es una cantidad conservada. El cambio del 3-momento de Bondi para este caso, debería analizarse cuidadosamente por cuanto parece evidenciar que el centro de masa ante la emisión de radiación gravitatoria estaría cambiando su posición o bien su estado de movimiento.

3.2. Centro de Masa y Momento Angular

3.2.1. Definición de Centro de Masa Sea una línea mundo ξ a (u ) con conos de luz generados desde ella y que intersectan con ℑ + . Dado un sistema de tetradas nulas en un sistema de Bondi (l a , n a , m a , m a ) vamos a calcular la componente ψ 10 del tensor de Weyl en el infinito futuro nulo, es decir buscamos

lim r→∞ ψ 10 = − lim r→∞ C abcd l a n b l c m d r

(48)

Con ψ 10 ello vamos a definir el momento dipolar de masa y el momento angular. En un espacio-tiempo es axisimétrico, el centro de masa estará dado por la línea mundo ξ a (u ) a lo largo del eje de simetría elegido como el eje z.

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Para definir la línea mundo centro de masa sobre el sistema de Bondi particular practicamos una rotación nula manteniendo fijo el vector n a . Ante una rotación nula del mismo sistema de Bondi tendremos un nuevo sistema de tétradas rotadas

(l

*a

, n *a , m *a , m *a ) . Para este nuevo sistema de tétradas tendremos un

nuevo ψ 1*0 , y ahora imponemos que en este nuevo sistema que el parámetro de deformación (shear) de la congruencia de geodésicas nulas sea nulo, es decir σ * = 0 y el centro de masa es una línea mundo para la cual el momento dipolar de masa es cero y el momento angular es cero. Ahora definimos una función compleja Z. La función Z es una variable dinámica y no se hace ninguna otra asunción a priori sobre su comportamiento. Los parámetros (uB ,ζ ,ζ

) geométricamente identifican los

valores de las coordenadas de Bondi en ℑ + , donde cada geodésica nula se intersecta con ℑ + . Se pueden elegir muchos sistemas de tetradas libres, pero para nosotros lo más importante es una elección diferente de los cortes u B = const. : de ℑ + tales que

uB = Z (u;ζ ;ζ

)

(49)

Si designamos por T la función inversa de Z tal que

u = T (u B ;ζ ;ζ

La

función

Z(u)

puede

)

escribirse

(50)

practicando

una

expansión en Polinomios de Legendre con peso de spin Plms (cos θ ) , como

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Z (u ) = uP00 + Z i (u ) P10i + Z ij (u ) P20ij

(51)

Para una aproximación a baja velocidad y hasta el primer orden podemos decir que

Z (u ) = u + δu

(52)

La función Z satisface la ecuación de “good cut”

∂ˆ 2 Z = σ (u B ;ζ ;ζ

)

(53)

∂ˆ Z = L(uB ;ζ ;ζ

)

(54)

Donde además

siendo u B = u + δu , tomamos ∂ˆ Z

u = const .

y dado que por la última

ecuación u es función de u B , obtenemos finalmente una función que depende del tiempo de Bondi u B . Obtenemos el campo de ángulos estereográficos L(uB ;ζ ;ζ

)

que satisface la ecuación

L(uB ;ζ ;ζ ) = −

Donde

∂ˆ (uB )

y

∂ˆ (uB )T ˆ = ∂ (u ) Z (u;ζ ;ζ T&

∂ˆ (u )

significan

)

(

u =T uB ;ζ ;ζ

)

(55)

respectivamente

que

aplicamos el operador eth manteniendo u B = const. : y u = const. Usamos las soluciones de la ecuación de “good cut” porque de esta manera cuando nos posicionamos en un punto del infinito futuro

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nulo ℑ + para el observador todos los rayos parecen venir de un mismo punto en el espacio de Minkowski. En otra palabras trabajamos con un mapeo lineal a un espacio de Minkowski, es decir en un espacio fiduciario. Para presentar una definición del centro de masa, recordando

que

estamos

tratando

con

un

espacio-tiempo

axisimétrico, comenzamos con la obtención del término dipolar de masa en un sistema de Bondi y luego empleamos la ecuación de transformación aplicada al mismo sistema de Bondi ante una rotación nula. La ecuación de transformación es

ψ 1*0 = ψ 10 − 3Lψ 20 + 3L2ψ 30 − L3ψ 40

(56)

Escribiendo esta expresión hasta el segundo orden, se reduce a

ψ 1*0 = ψ 10 − 3Lψ 20

(57)

La ecuación (56) es la ecuación de transformación sobre la cual para definimos el centro de masa imponiendo como condición ante la transformación que

ψ 1*0 (Z , ζ , ζ ) = 0

(58)

Entonces aplicando esto a la ecuación de transformación tenemos que

ψ 10 (Z , ζ , ζ ) − 3L(Z , ζ , ζ )ψ 20 (Z , ζ , ζ ) = 0

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(59)

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Si ahora practicamos una expansión de Taylor en el segundo miembro de (49) y recordando que tenemos Z = u + δu y que la función L = ∂ˆ (δu ) , entonces

18 10 L = ∂ˆ (δu ) = ξ z P11 (cos θ ) + 12σ 2 P21 (cos θ ) + σ 3 P31 (cos θ ) 5

(60)

Por una expansión de Taylor tenemos la siguiente transformación

[ψ (u, ζ , ζ ) + δuψ& (u, ζ , ζ ) − 3∂ˆ (δu )(ψ (u, ζ , ζ ) + ψ& (u, ζ , ζ )δu )] = 0 0 1

0 1

0 2

0 2

(61)

Las soluciones comprenden una parte real más una parte imaginaria. En nuestra aproximación para el centro de masa consideramos

la

parte

real.

Todas

las

aproximaciones

son

desarrolladas considerando baja velocidad y las ecuaciones son presentadas hasta el segundo orden; considerando un sistema de Bondi en reposo con respecto a la línea mundo al tiempo inicial. En un sistema de Bondi, el momento dipolar de masa para espacios tiempo asintóticamente planos está definido por la

[ ]

parte real de la componente con l = 1 de ψ 10 , es decir Re ψ 10 y la

[ ]

parte imaginaria con l = 1 de ψ 10 , es decir Im ψ 10 representa el momento angular. Es decir −

[

c2 ψ 10 (u, ζ , ζ 6 2G

)] = D + i J c

(62)

Para obtener el centro de masa imponemos como condición que ante una rotación nula del sistema de Bondi

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manteniendo fijo el vector n a de tétradas, para el sistema rotado se cumpla que −

[

c2 ψ 1*0 (u, ζ , ζ 6 2G

)] = D

*

+

i * J =0 c

(63)

El centro de masa en el espacio-tiempo es la línea mundo para el cual la ecuación (63) se satisface ante un cambio de coordenadas. Entonces (51) hasta el segundo orden es

[

Re ψ 10 (u, ζ , ζ

Ahora

)]

i

[

)

)]

las

ecuaciones

(

= Re 3∂ˆ (δu ) ψ 20 (u , ζ , ζ ) − δuψ& 10 (u, ζ , ζ

trabajamos

con

i

(64)

para

las

componentes de Weyl ψ 10 y ψ 20 (9); [6]. Usando la ecuación para la componente de Weyl ψ 20 de la ecuación (18) y ψ& 10 , usando los productos entre polinomios de Legendre (ver apéndice A) tenemos

ψ 10 z = −

6 2 192 3G 108 10 (2σ 2σ 3 − 3σ 3σ 2 ) GM B ξ z − σ 2 PBz + 2 3 35 c 5c

(65)

Esta ecuación representa la primera componente de Weyl y como es una ecuación compleja se puede separar en sus partes real e imaginaria. Es decir

−

c2 16 6 18 5c 2 (σ 2 Rσ 3R + σ 2 I σ 3I ) ψ 10(zR ) = M Bξ R z + σ 2 R PBz + 5c 35G 6 2G

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(66)

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−

c2 16 6 18 5c 2 (σ 2 I σ 3R − σ 2 Rσ 3I ) ψ 10(zI ) = M Bξ I z + σ 2 I PBz − 5c 7G 6 2G

(67)

Está basada en consideraciones previas relacionadas a la definición de centro de masa y condiciones de axisimetría, además de las ecuaciones (62), (66); obtenemos para el momento dipolar de masa

−

(

)

c2 32 3G z && 54 5G && && && O && ψ 10(zR ) = M Bξ (zR ) + PB Q+ + Q+ O+ + Q × × = D 5 6 5c 35c 6 2G

(68)

Y con (62), (67); para el momento angular

−

(

)

c2 32 3G z && 54 5G && && 1 && O && ψ 10(zI ) = M Bξ Iz + PB Q× + Q+ O× − Q J (69) × + = 5 6 5c 7c c 6 2G

Ahora solo considerando el momento dipolar de masa D tendremos para el centro de masa la ecuación

M Bξ (zR ) = D i (u ) −

(

32 3G z && 54 5G && && && O && PB Q+ − Q+ O+ + Q × × 5c 3 35c 6

)

(70)

Derivando con respecto de “u” esta última ecuación obtenemos la ecuación para el momento lineal del centro de masa

32 3G &&& ⎞ 54 5G && && z⎛ && O && M Bξ&(zR ) = PB ⎜⎜1 − Q+ ⎟⎟ − Q+ O+ + Q × × 3 6 5c 35c ⎝ ⎠

(

)

•

(71)

El momento lineal P B es de orden cuadrático, por lo tanto su producto por cualquier otra cantidad dará algo de tercer orden

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o más. Como hemos dicho que escribiríamos las ecuaciones hasta el segundo orden podemos decir que el momento lineal es

(

54 5G && && z && O && PB = M Bξ&(zR ) + Q+ O+ + Q × × 35c 6

)

•

(72)

Diferenciado una vez más la ecuación (71) obtenemos la ecuación para la aceleración del centro de masa, teniendo en cuenta la ecuación para la razón de cambio del momento lineal dado por la ecuación (47), es decir

M Bξ&&(zR ) = −

(

)

(

3 10G &&& &&& &&& &&& 54 5G && && && O && Q+ O+ + Q×O× − Q+ O+ + Q × × 6 35c 35c 6

)

•• ⋅

(73)

Estas son las ecuaciones de movimiento del centro de masa para espacios-tiempo axialmente simétricos.

3.3.2. Momento Angular Si continuamos con lo presentado en la subsección precedente el momento angular se define con la ecuación (56), que hasta el segundo orden se escribe como

J = cM Bξ Iz +

(

54 5G && && && O && Q+ O× − Q × + 7c 5

)

(74)

Donde en ausencia de emisión gravitacional, la ecuación se reduce a J z = cM B ξ (zI ) = S z

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(75)

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Donde S z es el momento angular intrínseco. Como

estamos

tratando

con

espacios

tiempo

axisimétricos, esta definición puede ser mejorada, sobre todo en cuanto

a

la

conservación

del

momento

angular.

Por

ello

proponemos revisar la definición del momento angular para el caso de

espacios

tiempo

axisimétricos introduciendo en su

definición una simetría del tipo rotacional. Hacemos esto porque pretendemos aplicar las ecuaciones a un sistema axisimétrico en el que interactúan dos masas puntuales en una única dirección de movimiento elegida arbitrariamente como el eje z, con la consecuente emisión de radiación gravitacional. En

este

sentido,

para

espacios-tiempo

axialmente

simétricos proponemos usar la integral de Komar en la definición del momento angular. Esto se debe a que la integral de Komar [15] para un vector rotacional de Killing ξ (aφ ) da una definición de la componente z del momento angular que tiene importantes propiedades esperables para espacios tiempo con simetría axial. Entonces el momento angular está dado por

Jz =

1 lim S →∞ ∫ ∇ a ξ (bφ ) dS ab 16π

(76)

Es una constante de movimiento para cada espaciotiempo y se puede explícitamente integrar la ecuación (63) dando entonces la siguiente definición de momento angular

Jz =−

(

c Im ψ 10 − σ∂ˆ σ 6 2G

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)

l =1

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(77)

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En relación a la definición para el momento angular presentada en la ecuación (74) estaríamos considerando en la definición la presencia de un término adicional no contemplado antes σ∂ˆ σ . Como ya hemos calculado la parte imaginaria de la componente del tensor de Weyl ψ 10 ecuación (67). Solo resta entonces calcular el producto σ∂ˆ σ =

3 10 (σ 2σ 3 − 2σ 3σ 2 ) , Entonces 35

reemplazando en esta ecuación con (67) en (77), encontramos la expresión para el momento angular, como

J = cM Bξ Iz +

(

9(61) 5G && && && O && Q+ O× − Q × + 70c 5

)

(78)

Esta nueva definición del momento angular con la integral de Komar puede resultar en cierta manera disociada de la definición del momento dipolar de masa. En realidad es esperable que tanto el momento dipolar de masa como el momento angular se deriven del mismo objeto matemático. Sin embargo entendemos que esta definición del momento angular para axisimetría es razonable. Además, si no existe emisión de radiación gravitacional el momento angular es igual al momento angular intrínseco, es decir J=S. Dado que hemos definido la ecuación para el momento angular como (77) podemos escribir la ecuación para la razón de cambio del mismo derivando con respecto de u; entonces

(

(

J& z = l =1 Im ψ& 10 − σ&∂ˆ σ + σ∂ˆ σ&

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))

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(79)

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Resolver esta ecuación es relativamente simple, dado que puede calcularse ψ&10 usando las identidades de Bianchi (20), (21) de la cual tomando la parte imaginaria y resolviendo los productos

(σ&∂ˆ σ ); (σ∂ˆ σ& ) podemos escribir que

J& z = 0

(80)

Vemos, de esta última ecuación, que para el caso axisimétrico el momento angular es una cantidad conservada, aún considerando contribuciones cuadrupolares y octupolares para espacios tiempo axisimétricos.

4. Ecuaciones de Movimiento para Colisiones Cabeza a Cabeza Pongamos atención ahora sobre las ecuaciones obtenidas (72) y (78), sobre las cuales podemos hacer algunas apreciaciones. Si usamos las ecuaciones obtenidas y tomamos en cuenta las contribuciones cuadrupolar y octupolar es posible hacer algunas asunciones. Vamos a suponer que se produce una colisión cabeza a cabeza entre dos masas puntuales en la dirección z. Consideramos que la radiación gravitacional emitida presenta ambos aspectos cuadrupolar y octupolar (ver apéndice B), y en una colisión cabeza a cabeza en la dirección z posicionamos nuestro sistema de referencia en el centro de masa, tal que para t=0 tenemos ξ 0z = 0 y v0 = 0 . Trataremos de predecir la aceleración

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del centro de masa del sistema y el momento angular ante la emisión de radiación gravitacional en una colisión cabeza a cabeza de dos masas puntuales inicialmente en reposo en el infinito. Pensamos en considerar tres casos, ante la situación planteada.

4.1. Caso 1: Masas Idénticas m1 ≈ m2 y spines ( S1 y S 2 ) paralelos o antiparelelos Si

asumimos

que

las

masas

que

interactúan

son

idénticas, entonces no existirá radiación octupolar (ver apéndice B), es decir que la radiación gravitacional emitida es únicamente de naturaleza cuadrupolar. Como el sistema es axisimétrico los spines (momento angular intrínseco de cada masa) están alineados y solo podemos diferenciar si son paralelos o antiparalelos. Si los spines son paralelos por la ecuación presentada ⎛S S ⎞ por Kidder en [22] Δ = m⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟ , tendremos que el momento ⎝ m2 m1 ⎠

&& = 0 . Dicho de otro cuadrupolar de corriente no contribuye, Q × modo solo nos queda que contribuye el momento cuadrupolar de masa. Entonces las ecuaciones para la razón de cambio de la masa (46) y la razón de cambio del momento lineal (47) se reducen a

G &&& &&& M& = − 7 Q + Q+ 5c

(81)

P& z = 0

(82)

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De estas ecuaciones deducimos que existe pérdida de masa por la emisión de radiación gravitacional, y además, como el momento octupolar es cero, el momento lineal es una cantidad conservada. En

contrapartida,

si

los

spines

son

antiparalelos,

entonces (apéndice C) aparece un momento cuadrupolar de

&& ≠ 0 , y las ecuaciones para la pérdida de masa se corriente Q × modifica levemente a

(

G &&& &&& &&& &&& M& = − 7 Q + Q + + Q×Q× 5c

)

(83)

Mientras que el momento lineal sigue siendo conservado, es decir

P& z = 0

(84)

Como en ambas situaciones, si los spines son paralelos o antiparalelos, existe conservación del momento lineal del centro de masa, podemos esgrimir algunas conclusiones sobre las ecuaciones presentadas.

1)

Aceleración del centro de masa. Como no existe momento octupolar que contribuya a la radiación gravitacional de la ecuación (73) se puede ver que

M B ac = 0

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(85)

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La aceleración del centro de masa ante la emisión de radiación gravitacional es nula. A partir de esta ecuación se pueden extraer conclusiones. Si para t=0 consideramos que

ξ z = 0 y que ξ& z = v z = 0 entonces inicialmente P0 z = 0 en un sistema de Bondi. Como hemos concluido para este caso de (84) que el momento lineal es P z = const , entonces mantiene siempre el valor inicial y en consecuencia v z = 0 y el centro de masa no cambia su posición.

2)

Momento Angular: de la misma forma de las ecuaciones encontradas

podemos

analizar

la

expresión

para

el

momento angular (77) J z = cM B ξ (zI ) = S z = const.

(86)

Siendo que S z = cM B ξ (zI ) es el momento angular intrínseco, vemos que J z es también una constante del movimiento. El momento

angular

coincide

con

el

momento

angular

intrínseco y ambas cantidades se preservan.

4.2. Caso 2: Masas Diferentes m1 ≠ m2 y spines ( S1 y S 2 ) paralelos Si

las

masas

son

diferentes,

ahora

la

radiación

gravitacional emitida no es solo cuadrupolar sino que también presenta una contribución del momento octupolar de masa, es

&& ≠ 0 ; dado decir ahora en las ecuaciones debemos considerar que O +

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que el momento octupolar es proporcional a la diferencia de masas (Apéndice B). Además como consecuencia de que los spines son ⎛S S ⎞ paralelos, si pensamos en la relación Δ = m⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟ se puede ver ⎝ m2 m1 ⎠

&& ≠ 0 y (apéndice C) que el momento cuadrupolar de corriente es Q × contribuye en las ecuaciones. Entonces las ecuaciones del cambio en la masa (46) y cambio del momento lineal (47) son

(

)

(

G &&& &&& &&& &&& 9G &&& &&& M& = − 7 Q O + O+ + Q+ + Q×Q× − 5c 28c 7

(

3 10G &&& &&& P& z = − Q+ O+ 35c 6

)

(87)

)

(88)

En referencia al caso anterior se revela una mayor pérdida de masa por la emisión, pero por sobre todo, ahora el momento lineal no es conservado. ¿Qué sucede ahora con la posición del centro de masa y el momento angular? 1)

Aceleración del centro de masa: Usando la ecuación (73) para la aceleración del centro de masa

M B ac = −

(

)

(

3 10G &&& &&& 51 5G && && Q+ O+ − Q+ O+ 6 35c 35c 6

)

•• ⋅

(89)

La aceleración del centro de masa es ahora diferente de cero,

fundamentalmente

debido

que

en

el

evento

intervienen masas diferentes y hay contribución octupolar.

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120

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Esta última ecuación se puede integrar y así dar el cambio en la velocidad del centro de masa. Esto es

Δvc = −

3 5G 1 35c 6 M

⎡ 2 &&& &&& && O && Q+ O+ + 17 Q + + 2 u0

uf

(

∫ ⎢⎣

)

(

)

•• ⋅

⎤ ⎥du ⎦

(90)

Vemos que Δvc ≠ 0 debido a la presencia de contribuciones octupolares, Si la velocidad inicial es cero v0 = 0 , entonces el signo de este resultado es opuesto a la radiación gravitacional emitida, lo que se puede interpretar como que el centro de masa retrocede en sentido opuesto a la emisión de radiación. Resulta de gran interés calcular la velocidad del centro de masa debido a la emisión de radiación gravitacional y verificar si los resultados son consistentes con los cálculos realizados

por otras aproximaciones

presentadas en publicaciones sobre la temática.

2)

Momento

Angular:

para

la

situación

que

ahora

consideramos el momento angular es

J = cM Bξ Iz −

(

9(61) 5G && && Q×O+ 70c 5

)

(91)

Siendo que S z = cM B ξ (zI ) es el momento angular intrínseco. El momento angular sigue siendo una cantidad conservada, pero presenta ahora una nueva contribución que depende del momento cuadrupolar de corriente y el momento octupolar de masa.

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4.3. Caso 3: Masas Diferentes m1 ≠ m2 y spines ( S1 y S 2 ) antiparalelos Este debería ser el caso con las contribuciones más grandes o significativas a la radiación gravitacional. Debido a que la radiación gravitacional emitida no es solamente de naturaleza cuadrupolar sino que también presenta una contribución del

&& ≠ 0 . El momento octupolar de masa momento octupolar de masa O + es proporcional a la diferencia de masas (Apéndice C). Además como consecuencia de que los spines son ⎛S S ⎞ antiparalelos la relación Δ = m⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟ toma ahora su máximo ⎝ m2 m1 ⎠

valor, como consecuencia de que los spines están alineados y son antipararelos, entonces el momento cuadrupolar de corriente es significativo

se

puede

ver

(apéndice

C)

que

el

momento

&& ≠ 0 y contribuye en las ecuaciones. cuadrupolar de corriente es Q × Es esperable que

(Q&& )

× CASO 3

( )

&& > Q ×

CASO 2

y salvo por esta

consideración el resto de las ecuaciones no difieren de las ya mostradas en el caso 2. Es decir se mantienen las ecuaciones de pérdida de masa y momento lineal, salvo por el hecho de que estas debería ser mayores que las obtenidas en el caso 2.

(

)

(

9G &&& &&& G &&& &&& &&& &&& O + O+ M& = − 7 Q + Q+ + Q×Q× − 5c 28c 7

(

3 10G &&& &&& P& z = − Q+ O+ 35c 6

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122

)

)

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(92)

(93)

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Idénticas suposiciones al caso 2 tendremos para la aceleración y velocidad del centro de masa como para el momento angular. 1)

Aceleración del centro de masa: Usando la ecuación (73) para la aceleración del centro de masa

M B ac = −

(

)

(

3 10G &&& &&& 51 5G && && Q+ O+ Q + O+ − 6 35c 35c 6

)

•• ⋅

(94)

El cambio en la velocidad del centro de masa es

3 5G 1 Δvc = − 35c 6 M

⎡ 2 ∫u ⎢⎣ 2 Q&&&+O&&&+ + 17 Q&&+O&&+ 0

uf

(

)

(

)

•• ⋅

⎤ ⎥du ⎦

(95)

Este Δvc debería ser mayor al encontrado en el caso 2; es decir

(Δvc )CASO3 > (Δvc )CASO2 .

2) Momento Angular: idéntico resultado se tiene para el momento angular

J = cM Bξ Iz −

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(

9(61) 5G && && Q×O+ 70c 5

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)

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(96)

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5. Conclusiones Una revisión de las ecuaciones obtenidas para el momento lineal y para el momento angular en condiciones de axisimetría permite encontrar resultados que a nuestro entender resultan razonables. Las ecuaciones fueron desarrolladas para un sistema de Bondi definiendo la deformación (shear) para una congruencia de geodésicas nulas en el infinito con las contribuciones cuadrupolar y octupolar a la radiación gravitatoria, como aspectos simultáneos y concurrentes. Se analizan las ecuaciones obtenidas en tres casos, intentando

considerar

las

contribuciones

de

los

momentos

cuadrupolares y octupolares de masa y corriente a la radiación gravitacional. Tratados tres casos, entre las posibilidades de tener en un evento de colisión cabeza a cabeza de masas puntuales en una dirección arbitraria, con diferentes alternativas de tener masas idénticas o diferentes y spines (momentos angulares intrínsecos de las masas puntuales) paralelos o antiparalelos. Se encuentra que cuando los momentos octupolares

(

)

&& = 0 no existe aceleración del (masa o corriente) no contribuyen O

centro de masa y el mismo mantiene su posición inicial. Mientras que cuando existe alguna contribución de tipo

(

)

&& ≠ 0 el momento lineal no se conserva y el centro de octupolar O + masa presenta una aceleración opuesta a la emisión de radiación gravitacional. El centro de masa en este caso no conserva su posición luego de un supuesto e idealizado impacto cabeza a cabeza en la dirección arbitraria z.

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Finalmente propusimos que para un espacio tiempo axisimétrico es más adecuado definir el momento angular usando la integral de Komar contando con un campo rotacional de vectores

de

Killing.

El

momento

angular

en

ausencia

de

contribuciones de carácter octupolar coincide con el momento angular intrínseco y permanece constante a pesar de la emisión de radiación gravitacional (solo cuadrupolar). Aparece

una

diferencia

sustancial

en

el

momento

angular si existen contribuciones de tipo octupolar a la radiación gravitacional por cuanto esto supone una nueva contribución que ante la emisión de radiación haría cambiar el momento angular intrínseco, por cuanto el momento angular total es constante. Esta situación merece un análisis o estudio más detallado, dado que no podemos físicamente predecir que sucedería en esta caso con el momento angular intrínseco obligado por la axisimetria a estar alineado con el momento angular total.

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APENDICE A

A.1. Polinomios de Legendre con Peso de Spin Usando las definiciones presentadas en la sección 2 es posible calcular los polinomios asociados de Legendre para diferentes pesos de spin. Con s=0 (peso de spin cero) tenemos los bien conocidos polinomios no asociados de Legendre

P00 = 1

(A-1)

P10 = cosθ

(A-2)

1 ( 3 cos 2 θ − 1) 2

(A-3)

1 ( 5 cos3 θ − 3 cosθ ) 2

(A-4)

1 ( 35 cos 4 θ − 30 cos2 θ + 3) 8

(A-5)

1 (63cos5 θ − 70 cos3 θ + 15 cosθ ) 8

(A-6)

1 (231cos6 θ − 315 cos4 θ + 105 cos2 θ − 5) 16

(A-7)

P20 = P30 = P40 = P50 = P60 =

Y sus relaciones inversas que son

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1 = P00

(A-8)

cosθ = P10

(A-9)

cos2 θ =

1 (2P20 + P00 ) 2

(A-10)

cos3 θ =

1 (2 P30 + 3P10 ) 5

(A-11)

cos4 θ =

1 (8P40 + 20P20 + 7 P00 ) 35

(A-12)

cos5 θ =

1 (8P50 + 28P30 + 27P10 ) 63

(A-13)

1 (16P60 + 72P40 + 110P20 + 33P00 ) 231

(A-14)

cos6 θ =

Los polinomios con peso de spin s=1 se obtienen definiendo la derivada eth como

(

)

(A-15)

)

(A-16)

Pl s (cosθ ) = ∂ˆ s Pl 0 (cosθ );0 ≤ s ≤ l

(A-17)

s Pl s (cosθ ) = (− 1) ∂ˆ − s Pl 0 (cosθ );−l ≤ s ≤ 0

(A-18)

Pl s (cosθ ) = 0; l ≤ s

(A-19)

∂ (senθ )− s F ∂ˆ F = −( senθ ) s ∂θ

(

∂ (senθ )s F ∂ˆ F = −( senθ ) − s ∂θ

Definiendo el Pl s (cosθ ) como

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Usando la relación de recurrencia

(l − s )(l + s + 1)Pl s+1 (cosθ ) = ∂ˆ Pl s (cosθ ) ; tal que

(l )(l + 1)Pl1 (cosθ ) = ∂ˆ Pl 0 (cosθ ) donde

∂ 0 ∂ˆ Pl 0 (cosθ ) = − Pl (cosθ ) ; ∂θ

obtenemos

los

polinomios

Legendre con s=1,

1 senθ 2

(A-20)

3 senθ cosθ 6

(A-21)

1 3⎞ ⎛ 15 senθ ⎜ cos 2 θ − ⎟ 2⎠ 12 ⎝2

(A-22)

1 15 ⎞ ⎛ 35 senθ ⎜ cos3 θ − cosθ ⎟ 2 20 ⎝ 2 ⎠

(A-23)

5 senθ (63 cos 4 θ − 42 cos 2 θ + 3) 8 30

(A-24)

P11 = − P1−1 = P21 = − P2−1 =

P31 = − P3−1 =

P41 = − P4−1 = P51 = − P5−1 =

Y sus relaciones inversas que son

senθ = 2P11 6 1 P2 3

(A-26)

2⎛ 3 2 1⎞ ⎜ 12 P31 + P1 ⎟⎟ ⎜ 15 ⎝ 2 ⎠

(A-27)

senθ cosθ =

senθ cos2 θ =

(A-25)

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de

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senθ cos3 θ =

senθ cos4 θ =

2 ⎛ 5 6 1⎞ ⎜ 20 P41 + P2 ⎟⎟ ⎜ 36 ⎝ 2 ⎠

1 ⎛ 8 30 1 26 12 1 27 2 1 ⎞ ⎜ P5 + P3 + P1 ⎟⎟ 63 ⎜⎝ 5 5 5 ⎠

(A-28)

(A-29)

Los polinomios con peso de spin s=2 se pueden calcular por

(l − s )(l + s + 1)Pl s+1 (cosθ ) = ∂ˆ Pl s (cosθ ) , es decir que tenemos (l − 1)(l + 2)Pl 2 (cosθ ) = ∂ˆ Pl1 (cosθ )

Donde

∂ ⎛ 1 ⎞ Pl1 (cosθ )⎟ . ∂ˆ Pl1 (cosθ ) = − senθ ⎜ ∂θ ⎝ senθ ⎠

(A-30)

Entonces

se

encuentra que

P22 = − P2−2 = P32 = − P3−2 =

3 2 6

sen 2θ

15 sen 2θ cosθ 120

(A-31)

(A-32)

A.2. Productos con Polinomios P11 ; P21 ; P31 Usando las relaciones precedentes se pueden calcular los siguientes productos

P11 P11 =

1 0 ( P0 − P20 ) 3

1 ⎞ ⎛4 P11 P21 = 3⎜ P10 − P30 ⎟ 5 ⎠ ⎝5

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(A-33)

(A-34)

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P11 P31 =

6 0 ( P2 − P40 ) 7

1 1 12 P21 P21 = P00 + P20 − P40 5 7 35 P21 P31 =

P31 P31 =

2 ⎛ 20 0 4 0 177 0 ⎞ P1 ⎟ ⎜ − P5 + P3 − 4 ⎝ 21 15 70 ⎠

1 ⎛ 300 0 158 0 1 0 443 0 ⎞ P6 + P4 + P2 + P0 ⎟ ⎜− 12 ⎝ 77 385 14 140 ⎠

(A-35) (A-36)

(A-37)

(A-38)

A.3. Productos con Polinomios P22 ; P32 Los productos entre estos polinomios son

P22 P22 =

3 0 2 0 1 0 P4 − P2 + P0 35 7 5

1 3 ⎞ ⎛1 P22 P32 = 20 ⎜ P50 − P30 + P10 ⎟ 15 70 ⎠ ⎝ 21 P32 P32 =

10 0 3 0 1 0 P6 − P4 + P0 77 11 7

(A-39)

(A-40)

(A-41)

A-4. Otros Productos Útiles Otros productos entre los polinomios que resultan de interés práctico en el cálculo de las ecuaciones son

P11 P10 =

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3 1 P2 3

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(A-42)

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P21 P10 =

P31 P10 =

6⎛ 3 2 1⎞ ⎜ 12 P31 + P1 ⎟⎟ ⎜ 15 ⎝ 2 ⎠

(

1 3 20 P41 + 4 6 P21 7 12

P31 P20 =

P31 P30 =

(A-43)

(A-44)

10 1 3 1 P4 − P2 7 7

(A-45)

3 ⎛ 3 20 1 6 1⎞ ⎜ + P P2 ⎟ 4 21 ⎟⎠ 6 ⎜⎝ 35

(A-46)

P11 P30 =

P21 P30 =

)

6 1 1 1 P3 − P1 5 5

P11 P20 =

P21 P20 =

(A-43)

3 ⎛ 4 30 1 3 12 1 3 2 1 ⎞ ⎜ P5 − P3 − P1 ⎟⎟ 315 35 6 ⎜⎝ 63 ⎠

(A-47)

1 ⎛ 2 30 1 9 12 1 18 12 1 ⎞ ⎜ P5 + P3 + P1 ⎟⎟ 70 35 12 ⎜⎝ 7 ⎠

(A-48)

1 ⎛⎜ 50 42 1 15 + 66 20 1 ⎛ 4790 15 6 3 2 ⎞ 1 ⎞⎟ ⎟ P2 (A-49) − + P6 − P4 + ⎜⎜ ⎟ ⎟ 77 1232 7 2 12 ⎜⎝ 231 ⎝ ⎠ ⎠ 3 ⎛ 2 20 1 4 6 1 ⎞ P22 P21 = ⎜⎜ − P4 + P2 ⎟⎟ 4⎝ 35 21 ⎠

P32 P31 =

(A-50)

P22 P31 =

2 ⎛ 4 30 1 61 12 1 12 2 1 ⎞ ⎜− P5 + P3 − P1 ⎟⎟ 8 ⎜⎝ 21 5 35 ⎠

(A-51)

P32 P21 =

3 20 ⎛ 8 30 1 16 12 1 4 2 1 ⎞ ⎜− P5 + P3 + P1 ⎟⎟ 8 ⎜⎝ 315 315 35 ⎠

(A-52)

(

)

10 ⎛ 20 42 1 180 20 − 315 1 44 6 + 119 1 ⎞ ⎜− P6 + P4 + P2 ⎟⎟ 8 ⎜⎝ 231 350 56 ⎠

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(A-53)

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APÉNDICE B

Consideraciones Clásicas sobre Momentos Cuadrupolar y Octupolar

B.1. Contribución Cuadrupolar y Octupolar a la Radiación Gravitacional Intentamos demostrar que en un evento de colisión entre dos

objetos

masivos

que

se

aproximan

en

una

dirección

privilegiada z, es significativa la contribución octupolar, en un desarrollo multipolar de la radiación. Escribimos las expresiones para el momento cuadrupolar definido en términos de los Polinomios de Legendre en la esfera. Asumimos que los cuerpos en colisión tienen densidad constante y se aproximan para impactar en la dirección z únicamente. La

ecuación

para

los

términos

cuadrupolares

Qlm

también se puede escribir en componentes como

[

]

Qlm = 2π ∫ ρ ( x ) 3 xi x j − δ ij r 2 d 3 x

(B-1)

Gráficamente consideramos un punto de referencia donde Z es la posición del centro de masa de un objeto masivo de

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simetría esférica M y radio r’ es tal que ri = ri '+ Z . La densidad ρ ( x ) suponemos que es constante.

M r´

Z

r t

Bajo esta representación obtenemos para el momento cuadrupolar:

2 Q zz = 2 MZ 2 + Mr 2 5

(B-2)

Tomando la doble derivada con respecto de u tenemos

&& = 4 MZ& 2 + 4 MZZ&& Q zz

(B-3)

Mientras que para el momento octupolar escribimos

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[

]

Oijk = 2π ∫ ρ ( x ) 15 xi x j xk − 3 x jδ ik r 2 − 3 xiδ jk r 2 − 3 x k δ ij r 2 d 3 x

(B-4)

La misma consideración geométrica se aplica para la componente octupolar axisimétrica

O zzz = 6 MZ 3 +

18 MZr 2 5

(B-5)

Tomando la doble derivada obtenemos

&& = 36 MZZ& 2 + 18 M ⎡ 1 r 2 + Z 2 ⎤ Z&& O zzz ⎥⎦ 5 ⎢⎣ 5

Las

relaciones

(B-3);

(B-6)

son

(B-6)

particularmente

importantes en el cálculo de (44) (45). Si consideramos dos cuerpos esféricos en proceso de colisión en la dirección z, de respectivas masas M 1 y M 2 , y radios r 1 y r 2 ; si además tomamos como punto de referencia en el espaciotiempo para el cual las posiciones de los centros de masa con vectores Z 1 y Z 2 . Para estos objetos en proceso de colisión los momentos cuadrupolar y octupolar son respectivamente

2 2 2 2 2 2 Q zz = 2 M 1 Z1 + 2 M 2 Z 2 + M 1 r1 + M 2 r2 5 5 O zzz = 6 M 1 Z1 − 6 M 2 Z 2 + 3

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3

18 18 2 2 M 1 Z1 r1 + M 2 Z 2 r2 5 5

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(B-7) (B-8)

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De estas relaciones es fácil obtener la doble derivada. Si los objetos de masas M 1 y M 2 están colisionando, entonces Z 1 y Z 2 , escribimos

[

] [

&& = 4 M Z& 2 + M Z& 2 + 4 M r Z&& + M r Z&& Q zz 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

[

]

]

[

&& = 36 M r Z& 2 − M r Z& 2 + 108 M r 2 Z&& + M r 2 Z&& O zzz 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 5

(B-9)

]

(B-10)

En las condiciones de axisimetría es de significación particular que la contribución octupolar, comparada con la parte cuadrupolar, particularmente cuando consideramos la colisión de dos cuerpos de simetría esférica de masas y radios que no son idénticos. La relación (B-10) es muy significativa cuando un objeto supermasivo está presente, por ejemplo un agujero negro.

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APENDICE C

C.1. Gauge TT y el tensor h ij Para considerar la radiación un método común es usar la componente compleja del tensor de Weyl ψ 40 que está relacionada con la segunda derivada del tensor hij . Para ello se usa el gauge TT (Transverse Traceless) [20] tal que toda la información acerca de la perturbación métrica está contenida en el tensor TT hij donde i y j son índices espaciales. Las ondas decaen como

1 donde r es la distancia desde la r

( )

fuente, de acuerdo con ψ 4 = ψ 4 r −1 + O r −2 0

decae como

y el shear asintótico σ

1 ; entonces podemos decir que r2

ψ 40 =

σ&

= hij

(C-1)

M + O (r −2 ) r

(C-2)

r

Donde

hij = Aij

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Siendo M la masa del sistema y Aij un tensor TT. Esta aproximación solo es válida cuando estamos lo suficientemente alejados de la fuente. Es

muy

conveniente

usar

la

combinación

h+ − ih×

relacionadas a ψ 4 por una doble derivación respecto del tiempo 0

ψ 4 0 = h&&+ − ih&&×

(C-3)

Se puede mostrar que h+ − ih× se descomponen en modos usando los armónicos esféricos con peso de spin Ylm de peso de s

spin 2 [20]; para el caso general para cualquier espacio-tiempo y cualquier orientación de la fuente

M h+ − ih× = r

∞

m =l

∑ ∑H l =2 m=−l

lm

(t )Ylm

−2

(θ , φ )

(C-4)

donde los parámetros de expansión H lm son funciones complejas del tiempo retardado t-r, y si dejamos fijo r como el radio de la esfera en la cual se extraen la ondas entonces los H lm son solo funciones de t. Los coeficientes de expansión están dados por

H lm =

2 1 Ylm (θ , φ )(rh+ − irh× )dΩ ∫ M

(C-5)

Si ψ 4 es usado en la extracción de la onda entonces H lm 0

está dado por dos integrales temporales del correspondiente modo de ψ 4 . 0

Definimos h+

(lm )

− ih×

(lm )

como las partes real e imaginaria

de H lm de acuerdo a

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rh+

(lm )

(t ) − irh×

(lm )

(t ) ≡ Mhlm (t )

(C-6)

entonces para nosotros de acuerdo con las identidades de Bianchi, ecuación ψ& 40 = −σ&&0 , tendremos que la deformación con peso de spin s = -2 está relacionada ahora a cantidades h+ y h× con idéntico peso de spin. Escribimos entonces que

σ&& = h&&+ − ih&&×

(C-7))

C.2. Momentos Cuadrupolares y Octupolares de Corriente El cálculo de los efectos del spin de los cuerpos en o sobre la radiación gravitacional emitida puede resultar más que importante para la energía, el momento angular y el momento lineal. Pero para objetos rotando lentamente el efecto del spin sobre los momentos de corriente puede ser muy pequeña y despreciable [22]. Podemos

ver

estas

consideraciones

aún

mejor

escribiendo las fórmulas que se obtienen de un tratamiento Postnewtoniano del tema desde la publicación [22] [23] en la que se escriben los momentos cuadrupolar y octupolar de corriente en coordenadas relativas y con la corrección post-Newtoniana para el momento cuadrupolar de corriente de Wiseman [18], ecuaciones que aquí reproducimos

[

⎧ j J ij = ∑ ⎨mA x iA ( x A × v A ) A ⎩

{ [

]

+

]

+ 2(x iA x Aj S Ak )

STF

J ijk = ∑ mA x iA x Aj ( x A × v A )

k STF

3 i j STF ⎫ (x A S A ) ⎬ 2 ⎭ STF

(C-8)

}

A

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(C-9)

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En coordenadas relativas son

J ij = − μ +

{[x (x × v ) ] m

δm

j STF

i

[

5 (1 − 2η )rr& × v i (x × v ) j 28

m⎤ 1 1 ⎡ 2 ⎢⎣1 + 28 (13 − 68η )v + 14 (27 + 30η ) r ⎥⎦ + (C-10) STF ⎫ 3 i j STF ⎬ − η (x Δ ) ⎭ 2

]

[

J ijk = μ (1 − 3η ) x i x j ( x × v )

]

k STF

+ 2η (x i x j ξ k )

Donde v A es la velocidad orbital; μ = reducida; δm = m1 − m2 ; η =

STF

m1 m2 m

(C-11)

es la masa

μ

⎛S S ⎞ y Δ = m⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟ . m ⎝ m2 m1 ⎠

&& Para calcular Q ×

&& y O ×

debemos practicar la doble

derivada del término con spin y dado que los spines de los cuerpos están alineados con el momento angular, si ninguno de ellos precesa (mantienen la axisimetría) entonces S& A = 0 . En definitiva para el problema con simetría axial presentado en este trabajo, no existirá contribución orbital y por lo tanto v A = 0 . Por ello, en estas circunstancias, en las ecuaciones únicamente tenemos en cuenta las contribuciones relativas al spin.

&& Para el caso del momento cuadrupolar de corriente Q × hay un término que será diferente de cero, el que contiene a ⎛S S ⎞ Δ = m⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟ , aún cuando practicamos la doble derivada en el ⎝ m2 m1 ⎠

&& . Este término será nulo solo sí m ≈ m y además S y cálculo de Q × 1 2 1 S 2 son paralelos.

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