SOLUCIONES MINIMOS 2º ESO TEMA 1 DIVISIBILIDAD Y NUMEROS ENTEROS

Ejercicio nº 1.Responde a las preguntas y justifica tu respuesta: a)) ¿El número 14 es divisor de 56? Explica por qué. b)) ¿El número 310 es múltiplo de 31? Explica por qué. Solución: a) Sí, 14 es divisor de 56 porque 56 : 14 = 4. b) Sí, 310 es múltiplo de 31 porque 31 · 10 = 310.

Ejercicio nº 2.Calcula todos los divisores de los siguientes números: a)) Divisores de 45. b)) Divisores de 96. Solución: a) Divisores de 45 = 1, 3, 5, 9, 15, 45 b) Divisores de 96 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96

Ejercicio nº 3.Escribe los múltiplos de 5 comprendidos entre 45 y 90.

Solución: 50 − 55 − 60 − 65 − 70 − 75 − 80 − 85

Ejercicio nº 4.¿Qué le tiene que ocurrir a un número para ser múltiplo de tres? Escribe cuatro números, mayores que 100, que sean múltiplos de tres.

Solución: Que la suma de sus cifras sea múltiplo de tres. Por ejemplo: 132, 243, 345, 468.

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Ejercicio nº 5.Descompón en factores primos los siguientes números: a)) 24 b)) 16 c)) 248 Solución:

a) 24 2

b) 16 2

12 2 6 2 3 1

3

24 = 23 ⋅ 3

c) 248

2

8 4

2 2

124 62

2 2

2 1

2

31 1

31

16 = 24

248 = 23 ⋅ 31

Ejercicio nº 6.Calcula mentalmente: a)) mín.c.m. (10, 15, 30)) b)) mín.c.m. (6, 8)) c)) máx.c.d. (8, 10)) d)) máx.c.d. (15, 20))

Solución: a) mín.c.m. (10, 15, 30) = 30 b) mín.c.m. (6, 8) = 24 c) máx.c.d. (8, 10) = 2 d) máx.c.d. (15, 20) = 5 Ejercicio nº 7.Calcula: a)) mín.c.m. (30, 60, 90)) b)) máx.c.d. (8, 16, 24)) Solución: a) 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5   60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5  90 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5 

mín.c.m. ( 30, 60, 90 ) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180

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b) 8 = 23

  16 = 2  24 = 23 ⋅ 3 

máx.c.d. ( 8, 16, 24 ) = 23 = 8

4

Ejercicio nº 8.En un albergue coinciden tres grupos de excursión de 40, 56 y 72 personas cada grupo. El camarero quiere organizar el comedor de forma que en cada mesa haya igual número de comensales y se reúna el mayor número de personas posible sin mezclar los grupos. ¿Cuántos comensales sentará en cada mesa?

Solución:

40 = 23 ⋅ 5   56 = 23 ⋅ 7  72 = 23 ⋅ 32 

máx.c.d. ( 40, 56, 72 ) = 23 = 8 comensales en cada mesa

Ejercicio nº 9.Un cine tiene un número de asientos comprendido entre 200 y 250. Sabemos que el número de entradas vendidas para completar el aforo es múltiplo de 4, de 6 y de 10. ¿Cuántos asientos tiene el cine?

Solución: 4 = 22

  6 = 2⋅3  10 = 2 ⋅ 5 

mín.c.m. ( 4, 6, 10 ) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60

Buscamos un múltiplo común a 4, 6 y 10 (el mínimo es 60) comprendido entre 200 y 250: 60 · 3 = 180 60 · 4 = 240 60 · 5 = 300 El cine tiene 240 asientos.

Ejercicio nº 10.Sitúa cada número (entero o natural) en el conjunto que le corresponda: −5

7

10

−6

−4

9

−3

5

−7

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Solución:

Ejercicio nº 11.Resuelve las siguientes operaciones con números enteros: a)) 10 − 6 + 2 − 7 − 1 + 8 b)) 15 − 14 + 7 − 5 − 8 + 4 Solución: a) 10 − 6 + 2 − 7 − 1 + 8 = 10 + 2 + 8 − 6 − 7 − 1 = 6 b) 15 − 14 + 7 − 5 − 8 + 4 = 15 + 7 + 4 − 14 − 5 − 8 = 26 − 27 = −1 Ejercicio nº 12.Calcula los siguientes productos y divisiones de números enteros: a)) (+10) (+ ) · (−5) (− ) · (−2) (− ) b)) (−3) (− ) · (+6) (+ ) · (+3) (+ ) c)) (+56) (+ ) : (−8) (− ) d)) (−91) (− ) : (−7) (− )

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Solución: a) (+10) · (−5) · (−2) = 100 b) (−3) · (+6) · (+3) = −54 c) (+56) : (−8) = −7 d) (−91) : (−7) = 13 Ejercicio nº 13.Resuelve escribiendo el proceso paso a paso: a)) (−7) (+3) (− ) · [(+ (+ ) + (+4) (+ ) − (2 + 5 − 1))] b)) (−7) (−5) (− ) · (+1) (+ ) − [(− (− ) + (−2) (− ) − (−3) (− )] · (−2) (− ) Solución: a) (−7) · [(+3) + (+4) − (2 + 5 − 1)] = (−7) · (7 − 6) = (−7) · 1 = −7 b) (−7) · (+1) − [(−5) + (−2) − (−3)] · (−2) = (−7) · (+1) − (−4) · (−2) = (−7) − (+8) = −15 Ejercicio nº 14.Ramón ha pagado 4 euros por un refresco y una hamburguesa, y Marta ha pagado 5 euros por dos refrescos y una hamburguesa. ¿Cuánto vale un refresco? ¿Y una hamburguesa? Solución:

5 euros → 2 refrescos y 1 hamburguesa −4 euros → 1 refresco y 1 hamburguesa 1 euro → 1 refresco Refresco = 1 euro 4 − 1 = 3 euros una hamburguesa Ejercicio nº 15.A las 8 de la mañana el termómetro marcaba −5 °C; a las 12 del mediodía, la temperatura había subido 8 °C y, ahora, a las 12 de la noche, ha vuelto a bajar 5 °C. ¿Qué temperatura marca ahora el termómetro? Solución: −5 + 8 = 3 °C a las 12 h 3 − 5 = −2 °C A las 12 de la noche el termómetro marca −2 °C. Ejercicio nº 1.Responde a las preguntas y justifica tu respuesta: a)) ¿Cuál de estos números es múltiplo de 3? Explica por qué. 20

15

49

13

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b)) ¿Cuál de estos números es divisor de 48? Explica por qué. 20

11

16

9

Solución: a) 20 15 49 15, porque 15 = 5 · 3

13

b) 20 11 16 16, porque 48 : 16 = 3

9

Ejercicio nº 2.Calcula todos los divisores de los siguientes números: a)) Divisores de 46. b)) Divisores de 58. Solución: a) Divisores de 46 = 1, 2, 23, 46 b) Divisores de 58 = 1, 2, 29, 58 Ejercicio nº 3.Escribe los diez primeros múltiplos de 15. Solución: 15 − 30 − 45 − 60 − 75 − 90 − 105 − 120 − 135 − 150 Ejercicio nº 4.Observa estos números y responde a las preguntas: 356 − − − −

411

814

645

390

624

¿Cuáles son múltiplos de dos? ¿Cuáles son múltiplos de tres? ¿Cuáles son múltiplos de cinco? ¿Cuáles son múltiplos a la vez de dos y de cinco?

Solución: − − − −

Son múltiplos de dos: 356 − 814 − 390 − 624. Son múltiplos de tres: 411 − 645 − 390 − 624. Son múltiplos de cinco: 390 − 645. Son múltiplos a la vez de dos y de cinco: 390.

Ejercicio nº 5.Descompón en factores primos los siguientes números: a)) 18 b)) 50 c)) 504

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Solución:

a) 18 2 9 3 3 3 1

b) 50 2 25 5 5 5 1

18 = 2 ⋅ 3 2

50 = 2 ⋅ 52

c) 504 252 126 63

2 2 2 3

21 7 1

3 7

504 = 23 ⋅ 3 2 ⋅ 7 Ejercicio nº 6.Calcula mentalmente: a)) mín.c.m. (6, 12, 24)) b)) mín.c.m. (6, 9)) c)) máx.c.d. (8, 16, 24)) d)) máx.c.d. (8, 12))

Solución: a) mín.c.m. (6, 12, 24) = 24 b) mín.c.m. (6, 9) = 18 c) máx.c.d. (8, 16, 24) = 8 d) máx.c.d. (8, 12) = 4 Ejercicio nº 7.Calcula: a)) mín.c.m. (12, 24, 36)) b)) máx.c.d. (60, 72, 84)) Solución:

a)12 = 22 ⋅ 3   24 = 23 ⋅ 3  36 = 22 ⋅ 32 

mín.c.m. (12, 24, 36 ) = 23 ⋅ 32 = 72

b) 60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5   72 = 23 ⋅ 3 2  máx.c.d. ( 60, 72, 84 ) = 22 ⋅ 3 = 12 84 = 22 ⋅ 3 ⋅ 7  Ejercicio nº 8.Un electricista tiene tres rollos de cable de 96, 120 y 144 metros de longitud. Desea cortarlos en trozos iguales de la mayor longitud posible, sin que quede ningún trozo sobrante. ¿Qué longitud deberá tener cada trozo?

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Solución: 96 = 25 ⋅ 3

  120 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5  144 = 24 ⋅ 32  3

máx.c.d. ( 96, 120, 144 ) = 23 ⋅ 3 = 24 metros cada trozo

Ejercicio nº 9.El autobús de la línea A pasa por cierta parada cada 12 minutos, el de la línea B pasa cada 18 minutos y el de la línea C, cada 24 minutos. Si todos coinciden a las 10 de la mañana, ¿a qué hora vuelven a coincidir? Solución: 12 = 22 ⋅ 3   18 = 2 ⋅ 32  24 = 23 ⋅ 3 

mín.c.m. (12, 18, 24 ) = 23 ⋅ 32 = 72 minutos = 1 h 12 m

Los autobuses coinciden cada 72 minutos = 1 h 12 min. 10 h + 1 h 12 min = 11 h 12 min Los autobuses volverán a coincidir a las 11 h 12 min. Ejercicio nº 10.Sitúa cada número (entero o natural) en el conjunto que le corresponda: −2

4

6

−3

−1

7

2

−4

−5

Solución:

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Ejercicio nº 11.Resuelve las siguientes operaciones con números enteros: a)) 11 − 7 − 9 + 3 + 7 + 5 b)) 15 − 5 − 7 + 3 − 8 Solución: a) 11 − 7 − 9 + 3 + 7 + 5 = 11 + 3 + 7 + 5 − 7 − 9 = 10 b) 15 − 5 − 7 + 3 − 8 = 15 + 3 − 5 − 7 − 8 = 18 − 20 = −2 Ejercicio nº 12.Calcula los siguientes productos y divisiones de números enteros: a)) (+7) (+ ) · (−2) (− ) · (+4) (+ ) b)) (+5) (+ ) · (−2) (− ) · (−11) (− ) c)) (−600) ) : (−30) (− (− ) d)) (−72) (− ) : (+6) (+ ) Solución: a) (+7) · (−2) · (+4) = −56 b) (+5) · (−2) · (−11) = 110 c) (−600) : (−30) = 20 d) (−72) : (+6) = −12 Ejercicio nº 13.Resuelve escribiendo el proceso paso a paso: a)) (−3) (+3) (− ) · [(+ (+ ) + (+5) (+ ) − (5 + 4 − 2))] b)) (−6) (−4) (− ) · (+2) (+ ) − [(− (− ) + (−3) (− ) − (−3) (− )] · (−2) (− )

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Solución: a) (−3) · [(+3) + (+5) − (5 + 4 − 2)] = (−3) · (8 − 7) = (−3) · 1 = −3 b) (−6) · (+2) − [(−4) + (−3) − (−3)] · (−2) = (−6) · (+2) − (−4) · (−2) = −12 − 8 = −20 Ejercicio nº 14.Un comerciante compra 225 sacos de café de 45 kg cada saco y los envasa en bolsas de 250 g. ¿Cuánto ingresará si vende la mercancía a 2 euros la bolsa? Solución: 225 · 45 = 10 125 kg 10 125 · 1000 = 10 125 000 g 10 125 000 : 250 = 40 500 bolsas de café Ingresará 40 500 · 2 = 81 000 euros. Ejercicio nº 15.Anaximandro, filósofo y matemático griego, nació en el año 611 a. C. y murió en el año 547 a. C. ¿Qué edad tenía al morir? Solución: 611 − 547 = 64 años Ejercicio nº 1.Responde a las preguntas y justifica tu respuesta: a)) ¿Cuál o cuáles de estos números son múltiplos de 12? Explica por qué. 96

58

84

99

b)) ¿Cuál o cuáles de estos números son divisores de 96? Explica por qué. 14

12

16

18

Solución: a) 96 58 84 99 96 y 84, porque 96 = 12 · 8 y 84 = 12 · 7 b) 14 12 16 18 12 y 16, porque 96 : 12 = 8 y 96 : 16 = 6 Ejercicio nº 2.Calcula todos los divisores de los siguientes números: a)) Divisores de 40. b)) Divisores de 56. Solución: a) Divisores de 40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b) Divisores de 56 = 1, 2, 4, 14, 28, 56

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Ejercicio nº 3.Escribe cinco múltiplos consecutivos de 16 comprendidos entre 75 y 150. Solución: 80 − 96 − 112 − 128 − 144 Ejercicio nº 4.Observa estos números y responde a las preguntas: 248 − − − −

790

633

711

147

508

¿Cuáles son múltiplos de dos? ¿Cuáles son múltiplos de tres? ¿Cuáles son múltiplos de cinco? ¿Cuáles son múltiplos a la vez de dos y de cinco?

Solución: − Son múltiplos de dos: 248 − 790 − 508. − Son múltiplos de tres: 633 − 711 − 147. − Son múltiplos de cinco: 790. − Son múltiplos a la vez de dos y de cinco: 790. Ejercicio nº 5.Descompón en factores primos los siguientes números: a)) 54 b)) 26 c)) 888 Solución:

a) 54 2

b) 26

2

c) 888

2

27 3

13 13

444

2

9 3

1 26 = 2 ⋅ 13

222 111

2 3

37

37

3 3

1 54 = 2 ⋅ 3

3

1 888 = 23 ⋅ 3 ⋅ 37

Ejercicio nº 6.Calcula mentalmente: a)) mín.c.m. (5, 10, 15)) b)) mín.c.m. (6, 8)) c)) máx.c.d. (8, 12, 16)) d)) máx.c.d. (10, 15))

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Solución: a) mín.c.m. (5, 10, 15) = 30 b) mín.c.m. (6, 8) = 24 c) máx.c.d. (8, 12, 16) = 4 d) máx.c.d. (10, 15) = 5 Ejercicio nº 7.Calcula: a)) mín.c.m. (20, 24, 36)) b)) máx.c.d. (48, 72, 84)) Solución:

a) 20 = 22 ⋅ 5   24 = 23 ⋅ 3  36 = 22 ⋅ 32 

mín.c.m. ( 20, 24, 36 ) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 = 360

b) 48 = 24 ⋅ 3

  2 72 = 2 ⋅ 3  máx.c.d. ( 48, 72, 84 ) = 2 ⋅ 3 = 12 84 = 22 ⋅ 3 ⋅ 7  3

2

Ejercicio nº 8.Un granjero ha recogido de sus gallinas 24 huevos morenos y 36 huevos blancos. Quiere envasarlos en cajas con la mayor capacidad posible y con el mismo número de huevos (sin mezclar los blancos con los morenos). ¿Cuántos huevos debe poner en cada caja? Solución:

24 = 23 ⋅ 3  2  máx.c.d. ( 24, 36 ) = 2 ⋅ 3 = 12 huevos en cada caja 36 = 22 ⋅ 32  Ejercicio nº 9.Silvia visita a su abuela cada 8 días y su hermano Alberto, cada 14 días. Hoy han coincidido en la visita. ¿Cuándo volverán a coincidir? ¿Cuántas visitas habrá hecho cada uno a su abuela?

Solución:

8 = 23

  14 = 2 ⋅ 7 

mín.c.m. ( 8, 14 ) = 23 ⋅ 7 = 56 días

Volverán a coincidir dentro de 56 días. En ese tiempo, Silvia hará a su abuela 56 : 8 = 7 visitas. Y Alberto le hará 56 : 14 = 4 visitas.

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Ejercicio nº 10.Sitúa cada número (entero o natural) en el conjunto que le corresponda: −3

5

8

−4

−2

7

−1

3

−5

Solución:

Ejercicio nº 11.Resuelve las siguientes operaciones con números enteros: a)) 12 − 9 + 3 − 6 + 7 + 4 b)) 5 − 10 + 8 − 9 + 3 Solución: a) 12 − 9 + 3 − 6 + 7 + 4 = 12 + 3 + 7 + 4 − 9 − 6 = 11 b) 5 − 10 + 8 − 9 + 3 = 5 + 8 + 3 − 10 − 9 = 16 − 19 = −3

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Ejercicio nº 12.Calcula los siguientes productos y divisiones de números enteros: a)) (+6) (+ ) · (−2) (− ) · (+8) (+ ) b)) (−5) (− ) · (+10) (+ ) · (−2) (− ) c)) (−160) ) : (−40) (− (− ) d)) (+200) ) : (+5) (+ (+ )

Solución: a) (+6) · (−2) · (+8) = −96 b) (−5) · (+10) · (−2) = 100 c) (−160) : (−40) = 4 d) (+200) : (+5) = 40

Ejercicio nº 13.Resuelve escribiendo el proceso paso a paso: a)) (−6) (+5) (− ) · [(+ (+ ) + (+3) (+ ) − (3 + 5 − 1))] b)) (−3) (−4) (− ) · (+2) (+ ) − [(− (− ) + (−4) (− ) − (−5) (− )] · (−4) (− ) Solución: a) (−6) · [(+5) + (+3) − (3 + 5 − 1)] = (−6) · (8 − 7) = (−6) · 1 = −6 b) (−3) · (+2) − [(−4) + (−4) − (−5)] · (−4) = (−3) · (+2) − (−3) · (−4) = (−6) − 12 = −18

Ejercicio nº 14.Por ocho horas de trabajo un obrero recibe 120 euros. ¿Cuánto ganará por 40 horas de trabajo?

Solución: 120 : 8 = 15 euros por hora 15 · 40 = 600 euros Ganará 600 euros por 40 horas.

Ejercicio nº 15.-

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Armando tiene 15 euros, pero debe 7 a su hermana. Su abuelo le da 8 euros de paga, y se gasta 13 euros en una cinta de música. ¿Cuánto le queda?

Solución: 15 − 7 + 8 − 13 = 15 + 8 − 7 − 13 = 23 − 20 = 3 euros. Le quedan 3 euros.

Ejercicio nº 1.Responde a las preguntas y justifica tu respuesta: a)) ¿El número 64 es múltiplo de 4? Explica por qué. b)) ¿El número 6 es divisor de 42? Explica por qué. Solución: a) Sí, 64 es múltiplo de 4 porque 16 · 4 = 64. b) Sí, 6 es divisor de 42 porque 42 : 6 = 7.

Ejercicio nº 2.Calcula todos los divisores de los siguientes números: a)) Divisores de 54. b)) Divisores de 99. Solución: a) Divisores de 54 = 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 b) Divisores de 99 = 1, 3, 9, 11, 33, 99

Ejercicio nº 3.Escribe los múltiplos de 8 comprendidos entre 100 y 160.

Solución: 104 − 112 − 120 − 128 − 136 − 144 − 152

Ejercicio nº 4.Observa estos números y responde a las preguntas:

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180 − − − −

255

303

565

468

804

¿Cuáles son múltiplos de dos? ¿Cuáles son múltiplos de tres? ¿Cuáles son múltiplos de cinco? ¿Cuáles son múltiplos a la vez de dos y de cinco?

Solución: − − − −

Son múltiplos de dos: 180 − 468 − 804. Son múltiplos de tres: 180 − 255 − 303 − 468 − 804. Son múltiplos de cinco: 180 − 255 − 565. Son múltiplos a la vez de dos y de cinco: 180.

Ejercicio nº 5.Descompón en factores primos los siguientes números: a)) 12 b)) 36 c)) 450

Solución:

a) 12 2 6 3 1

b) 36 2

2 3

18 2 9 3 3 3 1

12 = 22 ⋅ 3

36 = 22 ⋅ 32

c) 450 2 225 75 25 5 1

3 3 5 5

450 = 2 ⋅ 32 ⋅ 52

Ejercicio nº 6.Calcula mentalmente: a)) mín.c.m. (4, 8, 16)) b)) mín.c.m. (5, 7)) c)) máx.c.d. (6, 10, 12)) d)) máx.c.d. (8, 12))

Solución: a) mín.c.m. (4, 8, 16) = 16 b) mín.c.m. (5, 7) = 35

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c) máx.c.d. (6, 10, 12) = 2 d) máx.c.d. (8, 12) = 4

Ejercicio nº 7.Calcula: a)) mín.c.m. (20, 30, 50)) b)) máx.c.d. (30, 45, 75))

Solución: a) 20 = 22 ⋅ 5   30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5  50 = 2 ⋅ 5 2 

mín.c.m. ( 20, 30, 50 ) = 22 ⋅ 3 ⋅ 52 = 300

b) 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5   45 = 32 ⋅ 5  75 = 3 ⋅ 52 

máx.c.d. ( 30, 45, 75 ) = 3 ⋅ 5 = 15

Ejercicio nº 8.El dependiente de una papelería tiene que organizar, en botes, 36 bolígrafos rojos, 60 bolígrafos azules y 48 bolígrafos negros. Todos los botes han de ser iguales y con el mayor número de bolígrafos, sin mezclar los colores. ¿Cuántos pondrá en cada bote?

Solución:

36 = 22 ⋅ 32

  60 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5  máx.c.d. ( 36, 60, 48 ) = 22 ⋅ 3 = 12 bolígrafos en cada bote 48 = 24 ⋅ 3  2

Ejercicio nº 9.Un cometa es visible desde la Tierra cada 24 años y otro, cada 36 años. El último año que fueron visibles conjuntamente fue en 1944. ¿En qué año volverán a coincidir?

Solución:

24 = 23 ⋅ 3  3 2  mín.c.m. ( 24, 36 ) = 2 ⋅ 3 = 72 años 36 = 22 ⋅ 32  Los cometas coinciden cada 72 años, y 1944 + 72 = 2016. Los cometas volverán a coincidir en el año 2016.

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Ejercicio nº 10.Sitúa cada número (entero o natural) en el conjunto que le corresponda: −6

8

11

−7

−5

10

−4

6

−8

Solución:

Ejercicio nº 11.Resuelve las siguientes operaciones con números enteros: a)) 3 − 6 − 2 + 5 + 2 + 6 b)) 1 + 3 − 14 + 5 − 8 + 10 Solución: a) 3 − 6 − 2 + 5 + 2 + 6 = 3 + 5 + 2 + 6 − 6 − 2 = 8

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b) 1 + 3 − 14 + 5 − 8 + 10 = 1 + 3 + 5 + 10 − 14 − 8 = 19 − 22 = −3

Ejercicio nº 12.Calcula los siguientes productos y divisiones de números enteros: a)) (+5) (+ ) · (−4) (− ) · (+3) (+ ) b)) (+5) (+ ) · (−4) (− ) · (−2) (− ) c)) (−500 ) : (+10) (− (+ ) d)) (+150) ) : (−30) (+ (− )

Solución: a) (+5) · (−4) · (+3) = −60 b) (+5) · (−4) · (−2) = 40 c) (−500 ) : (+10) = −50 d) (+150) : (−30) = −5

Ejercicio nº 13.Resuelve escribiendo el proceso paso a paso: a)) (−6) (+2) (− ) · [(+ (+ ) + (+3) (+ ) − (6 + 3 − 2))] b)) (−5) (−2) (− ) · (+3) (+ ) − [(− (− ) + (−5) (− ) − (−8) (− )] · (−3) (− ) Solución: a) (−6) · [(+2) + (+3) − (6 + 3 − 2)] = (−6) · (5 − 7) = (−6) · (−2) = 12 b) (−5) · (+3) − [(−2) + (−5) − (−8)] · (−3) = (−5) · (+3) − (1) · (−3) = −15 + 3 = −12

Ejercicio nº 14.En un edificio de 6 plantas hay tres viviendas por planta y en cada vivienda hay 9 ventanas. Si cada ventana tiene tres cristales, ¿cuántos cristales son necesarios para acristalar todas las ventanas del edificio?

Solución: 6 · 3 = 18 viviendas 18 · 9 = 162 ventanas 162 · 3 = 486 cristales Se necesitan 486 cristales.

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Ejercicio nº 15.Las temperaturas máxima y mínima de ayer fueron +20 °C y −3 °C. ¿Cuál fue la máxima diferencia de temperaturas de ayer?

Solución: 20 + 3 = 23 °C fue la máxima diferencia de temperaturas. Ejercicio nº 1.Responde a las preguntas y justifica tu respuesta: a)) ¿El número 6 es divisor de 30? Explica por qué. b)) ¿El número 155 es múltiplo de 31? Explica por qué. Solución: a) Sí, porque 30 : 6 = 5. b) Sí, porque 155 = 31 · 5.

Ejercicio nº 2.Calcula todos los divisores de los siguientes números: a)) Divisores de 34. b)) Divisores de 82. Solución: a) Divisores de 34 = 1, 2, 17, 34 b) Divisores de 82 = 1, 2, 41, 82

Ejercicio nº 3.Escribe los diez primeros múltiplos del número 12.

Solución: 12 − 24 − 36 − 48 − 60 − 72 − 84 − 96 − 108 − 120

Ejercicio nº 4.-

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¿Qué le tiene que ocurrir a un número para ser múltiplo de seis? Escribe cuatro números, mayores que 100, que sean múltiplos de seis.

Solución: Ha de ser múltiplo de 2 y de 3 a la vez, es decir, que termine en cero o en cifra par y que la suma de sus cifras sea múltiplo de tres. Por ejemplo: 276 − 372 − 516 − 738.

Ejercicio nº 5.Descompón en factores primos los siguientes números: a)) 22 b)) 30 c)) 644

Solución:

a) 22 2 11 11

b) 30 2 15 3

1 22 = 2 ⋅ 11

5 1

5

30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5

c) 644 322

2 2

161 7 23 23 1 644 = 22 ⋅ 7 ⋅ 23

Ejercicio nº 6.Calcula mentalmente: a)) mín.c.m. (3, 6, 9)) b)) mín.c.m. (10, 15)) c)) máx.c.d. (12, 16)) d)) máx.c.d. (9, 18))

Solución: a) mín.c.m. (3, 6, 9) = 18 b) mín.c.m. (10, 15) = 30 c) máx.c.d. (12, 16) = 4 d) máx.c.d. (9, 18) = 9

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Ejercicio nº 7.Calcula: a)) mín.c.m. (15, 16, 18)) b)) máx.c.d. (32, 40, 48))

Solución: a) 15 = 3 ⋅ 5   16 = 24  18 = 2 ⋅ 32 

mín.c.m. (15, 16, 18 ) = 24 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 720

5 b) 32 = 2

  40 = 2 ⋅ 5  48 = 24 ⋅ 3 

máx.c.d. ( 32, 40, 48 ) = 23 = 8

3

Ejercicio nº 8.Un carpintero dispone de tres listones de madera de 30, 45 y 60 cm de longitud, respectivamente. Desea dividirlos en trozos iguales y de la mayor longitud posible sin desperdiciar nada. ¿Qué longitud debe tener cada trozo?

Solución: 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5   45 = 32 ⋅ 5  60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 

máx.c.d. ( 30, 45, 60 ) = 3 ⋅ 5 = 15 cm cada trozo

Ejercicio nº 9.Una rana corre dando saltos de 30 cm, perseguida por un gato que da saltos de 45 cm. ¿Cada cuántos centímetros coinciden las huellas del gato y las de la rana?

Solución:

30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5  2  mín.c.m. ( 30, 45 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 90 cm 45 = 32 ⋅ 5  Las huellas coinciden cada 90 cm.

Ejercicio nº 10.Sitúa cada número (entero o natural) en el conjunto que le corresponda: −4

6

9

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−5

−3

8

−2

4

−6

Solución:

Ejercicio nº 11.Resuelve las siguientes operaciones con números enteros: a)) 12 + 7 − 3 − 6 + 8 − 9 b)) 13 − 7 − 9 − 4 + 6 Solución: a) 12 + 7 − 3 − 6 + 8 − 9 = 12 + 7 + 8 − 3 − 6 − 9 = 9 b) 13 − 7 − 9 − 4 + 6 = 13 + 6 − 7 − 9 − 4 = 19 − 20 = −1

Ejercicio nº 12.Calcula los siguientes productos y divisiones de números enteros:

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a)) (−7) (− ) · (−3) (− ) · (−2) (− ) b)) (+4) (+ ) · (−9) (− ) · (−10) (− ) c)) (+300) ) : (−12) (+ (− ) d)) (−88) (− ) : (−11) (− )

Solución: a) (−7) · (−3) · (−2) = −42 b) (+4) · (−9) · (−10) = 360 c) (+300) : (−12) = −25 d) (−88) : (−11) = 8

Ejercicio nº 13.Resuelve escribiendo el proceso paso a paso: a)) (−2) (+6) (− ) · [(+ (+ ) + (+4) (+ ) − (3 + 7 − 1))] b)) (−2) (−2) (− ) · (+7) (+ ) − [(− (− ) + (−8) (− ) − (−4) (− )] · (−3) (− ) Solución: a) (−2) · [(+6) + (+4) − (3 + 7 − 1)] = (−2) · (10 − 9) = (−2) · 1 = −2 b) (−2) · (+7) − [(−2) + (−8) − (−4)] · (−3) = (−2) · (+7) − (−6) · (−3) = (−14) − 18 = −32

Ejercicio nº 14.Un comerciante recibe un pedido de 225 cajas que contienen, cada una, seis bolsas de 5 kg de naranjas. Después de una semana ha vendido dos de cada tres bolsas. ¿Cuántos kilos de naranjas le quedan?

Solución: 6 · 5 = 30 kg cada caja 225 · 30 = 6 750 kg 6 750 : 3 = 2 250 kg Le quedan 2 250 kg de naranjas.

Ejercicio nº 15.Un avión que vuela a 5 400 metros de altura, debe descender 500 metros para evitar una tormenta. Desde esa altura detecta en su vertical a un submarino que está sumergido a

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70 metros de profundidad y que, a su vez, asciende 25 metros. ¿Qué distancia separa el avión del submarino después del movimiento de ambos?

Solución: 5 400 − 500 = 4 900 m 70 − 25 = 45 m 4 900 + 45 = 4 945 m separan el avión y el submarino.

Ejercicio nº 1.Responde a las preguntas y justifica tu respuesta: a)) ¿El número 6 es divisor de 30? Explica por qué. b)) ¿El número 155 es múltiplo de 31? Explica por qué. Solución: a) Sí, porque 30 : 6 = 5. b) Sí, porque 155 = 31 · 5.

Ejercicio nº 2.Calcula todos los divisores de los siguientes números: a)) Divisores de 40. b)) Divisores de 56. Solución: a) Divisores de 40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b) Divisores de 56 = 1, 2, 4, 14, 28, 56

Ejercicio nº 3.Escribe los múltiplos de 8 comprendidos entre 100 y 160.

Solución: 104 − 112 − 120 − 128 − 136 − 144 − 152

Ejercicio nº 4.-

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¿Qué le tiene que ocurrir a un número para ser múltiplo de tres? Escribe cuatro números, mayores que 100, que sean múltiplos de tres.

Solución: Que la suma de sus cifras sea múltiplo de tres. Por ejemplo: 132, 243, 345, 468.

Ejercicio nº 5.Descompón en factores primos los siguientes números: a)) 54 b)) 26 c)) 888

Solución:

a) 54 2

b) 26

2

c) 888

2

27 3

13 13

444

2

9 3

1 26 = 2 ⋅ 13

222 111

2 3

37

37

3 3

1 54 = 2 ⋅ 3

3

1 888 = 23 ⋅ 3 ⋅ 37

Ejercicio nº 6.Calcula mentalmente: a)) mín.c.m. (5, 10, 15)) b)) mín.c.m. (6, 8)) c)) máx.c.d. (8, 12, 16)) d)) máx.c.d. (10, 15))

Solución: a) mín.c.m. (5, 10, 15) = 30 b) mín.c.m. (6, 8) = 24 c) máx.c.d. (8, 12, 16) = 4 d) máx.c.d. (10, 15) = 5

Ejercicio nº 7.-

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Calcula: a)) mín.c.m. (20, 30, 50)) b)) máx.c.d. (30, 45, 75))

Solución: a) 20 = 22 ⋅ 5   30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5  50 = 2 ⋅ 5 2 

mín.c.m. ( 20, 30, 50 ) = 22 ⋅ 3 ⋅ 52 = 300

b) 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5   45 = 32 ⋅ 5  75 = 3 ⋅ 52 

máx.c.d. ( 30, 45, 75 ) = 3 ⋅ 5 = 15

Ejercicio nº 8.Un electricista tiene tres rollos de cable de 96, 120 y 144 metros de longitud. Desea cortarlos en trozos iguales de la mayor longitud posible, sin que quede ningún trozo sobrante. ¿Qué longitud deberá tener cada trozo?

Solución:

96 = 25 ⋅ 3

  120 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5  144 = 24 ⋅ 32  3

máx.c.d. ( 96, 120, 144 ) = 23 ⋅ 3 = 24 metros cada trozo

Ejercicio nº 9.Un cine tiene un número de asientos comprendido entre 200 y 250. Sabemos que el número de entradas vendidas para completar el aforo es múltiplo de 4, de 6 y de 10. ¿Cuántos asientos tiene el cine?

Solución: 4 = 22

  6 = 2⋅3  10 = 2 ⋅ 5 

mín.c.m. ( 4, 6, 10 ) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60

Buscamos un múltiplo común a 4, 6 y 10 (el mínimo es 60) comprendido entre 200 y 250: 60 · 3 = 180 60 · 4 = 240 60 · 5 = 300 El cine tiene 240 asientos.

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Ejercicio nº 10.Sitúa cada número (entero o natural) en el conjunto que le corresponda: −6

8

11

−7

−5

10

−4

6

−8

Solución:

Ejercicio nº 11.Resuelve las siguientes operaciones con números enteros: a)) 3 − 6 − 2 + 5 + 2 + 6 b)) 1 + 3 − 14 + 5 − 8 + 10 Solución: a) 3 − 6 − 2 + 5 + 2 + 6 = 3 + 5 + 2 + 6 − 6 − 2 = 8 b) 1 + 3 − 14 + 5 − 8 + 10 = 1 + 3 + 5 + 10 − 14 − 8 = 19 − 22 = −3

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Ejercicio nº 12.Calcula los siguientes productos y divisiones de números enteros: a)) (−7) (− ) · (−3) (− ) · (−2) (− ) b)) (+4) (+ ) · (−9) (− ) · (−10) (− ) c)) (+300) ) : (−12) (+ (− ) d)) (−88) (− ) : (−11) (− )

Solución: a) (−7) · (−3) · (−2) = −42 b) (+4) · (−9) · (−10) = 360 c) (+300) : (−12) = −25 d) (−88) : (−11) = 8

Ejercicio nº 13.Resuelve escribiendo el proceso paso a paso: a)) (−2) (+6) (− ) · [(+ (+ ) + (+4) (+ ) − (3 + 7 − 1))] b)) (−2) (−2) (− ) · (+7) (+ ) − [(− (− ) + (−8) (− ) − (−4) (− )] · (−3) (− ) Solución: a) (−2) · [(+6) + (+4) − (3 + 7 − 1)] = (−2) · (10 − 9) = (−2) · 1 = −2 b) (−2) · (+7) − [(−2) + (−8) − (−4)] · (−3) = (−2) · (+7) − (−6) · (−3) = (−14) − 18 = −32

Ejercicio nº 14.Ramón ha pagado 4 euros por un refresco y una hamburguesa, y Marta ha pagado 5 euros por dos refrescos y una hamburguesa. ¿Cuánto vale un refresco? ¿Y una hamburguesa?

Solución:

5 euros → 2 refrescos y 1 hamburguesa −4 euros → 1 refresco y 1 hamburguesa 1 euro → 1 refresco Refresco = 1 euro 4 − 1 = 3 euros una hamburguesa

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Ejercicio nº 15.Las temperaturas máxima y mínima de ayer fueron +20 °C y −3 °C. ¿Cuál fue la máxima diferencia de temperaturas de ayer?

Solución: 20 + 3 = 23 °C fue la máxima diferencia de temperaturas.

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