Sumar y restar radicales

Radicales semejantes Decimos que dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando. Ejemplos: Los siguientes pares de radicales son semejantes.

3 5

y

8 5

3

2 3

y

3

4 3

54 2

y

4

2

Martin-Gay, Developmental Mathematics

2

Radicales semejantes Dos radicales semejantes se pueden sumar o restar usando la propiedad distributiva. Veamos como:

pn a  qn a   n a (p  q )  ( p  q )n a O sea, usando la propiedad distributiva podemos combinar radicales semejantes y reducir una expresión. Para reducir, sumamos (o restamos) los números p y q.

Martin-Gay, Developmental Mathematics

3

Ejemplos: Simplifique cada expresión a)

5 2  2 2  (5  2) 2  3 2

b)

3 3  13 3 (  8  5 ) 3  8 3 5 3 

c) d)

e)

3

3

7 3 3 5

10.5 2  4.2 2 

2 3 5 2  2 2 3 3 

Martin-Gay, Developmental Mathematics

4

Ejemplos: Simplifique cada expresión continuacion… f)

2 43 2 

g)

5 3

h)

5 5   9 2

Martin-Gay, Developmental Mathematics

5

Suma y resta de radicales Una expresión puede contener radicales que, inicialmente, NO son semejantes. A veces es posible lograr que los radicales sean semejantes mediante la simplificación.

Martin-Gay, Developmental Mathematics

6

Sumar raices con radicales compuestos a )  75  12  3 3   25  3  4  3  3 3 

 25  3  4  3  3 3  5 3  2 3 3 3 

 5  2  3

3  6 3

Martin-Gay, Developmental Mathematics

7

Ejemplos: Simplifique cada expresión

b)

160  90  3 40 

c) 49  44  81

Martin-Gay, Developmental Mathematics

8

Ejemplos: Simplifique cada expresión d)

5 50  2 8  7 18 

0

Martin-Gay, Developmental Mathematics

9

Multiplicar y dividir radicales

Multiplicación de radicales Si

n

a

y n

n

b son números reales,

a  n b  n ab

Podemos decir que cuando multiplicamos radicales con el mismo índice, el producto será un radical con el mismo índice y un radicando formado del producto de los radicandos.

Martin-Gay, Developmental Mathematics

11

Ejemplos

  

a) 2 3 5 6  25 3 6  10 18

b) 23 c)





 10 9 2   10 9 2  103 2  30 2

5 33 25 

 5  15  6  

Martin-Gay, Developmental Mathematics

12

Ejemplos d)

 3 5  6  



e) 4 





7 4 7 

Martin-Gay, Developmental Mathematics

13

División de radicales Si

n

a

n

y n n

b son números reales,

a n a  si b  0 b b

O sea, si tenemos dos radicales con el mismo índice y se están dividiendo, el resultado será un radical con el mismo índice y con la división de los radicandos.

Martin-Gay, Developmental Mathematics

14

Ejemplos a)

48 3



b) 2 15 

5

c)

21 12



Tenemos que hacer enfatizar, que estas dos propiedades aplican sólo a radicales con el mismo índice. Martin-Gay, Developmental Mathematics

15

Ejemplo a)

 3 5  6  

3 5  3 6  5 3  18

5 3

92

 5 3 3 2

Martin-Gay, Developmental Mathematics

16

Racionalizar el denominador Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. Este proceso se conoce como racionalizar el denominador.  Caso

1: Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada, se multiplican el numerador y el denominador por esa misma raíz cuadrada.

Martin-Gay, Developmental Mathematics

17

Ejemplo  Racionalice

el denominador. 12 2

Multiplicar el numerador y el denominador por el radical del denominador.

12 2 12 2    2 2 4  Racionalice

12 2  2

el denominador.

6 2 3 5  8

Multiplicar el numerador y el denominador por el radical del denominador simplificado.

3 5 3 5   42 2 2

3 5 2  2 2 2

3 10  2 4

Martin-Gay, Developmental Mathematics

3 10  4 18

Racionalizar el denominador  Caso

2: Si el denominador de la fracción contiene dos términos y al menos uno contiene una raíz cuadrada, se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

 Para

encontrar el conjugado de un binomio que incluye radicales, cambia el signo del segundo término a su opuesto como se muestra en la siguiente tabla. Martin-Gay, Developmental Mathematics

19

Pares conjugados Cuando multiplicamos un par de expresiones conjugados como (a+b)(a-b) tenemos como resultado

a2 –ab + ab – b2 = a2 – b2, pues los términos centrales son opuestos y suman 0. Por ejemplo:

( 5  3)( 5  3)

 ( 5 )2  3 5  3 5  9

 59  4 Martin-Gay, Developmental Mathematics

20

Ejemplo Racionalice el denominador en cada caso.

a)

b)

c)

2 1 6 3 3 7 1 11 7 3 Martin-Gay, Developmental Mathematics

21

Práctica Expresar cada radical en su forma más simple.

7)

6

27 36 52 Martin-Gay, Developmental Mathematics

22

Práctica Expresar cada radical en su forma más simple. = 4∙3

=2 ∙3

= 4∙7

=2 7

= 16 ∙ 3 = 4 3 = − 64 ∙ 2 = −8 2 = − 100 ∙ 3 = −10 3 = 7)

6

3

3

−27 ∙ 2 = −3 2

27 36 52 Martin-Gay, Developmental Mathematics

23

Recordatorio Las reglas en las secciones previas nos permiten separar un radical cuando el radicando es un producto o un cociente. NO podemos separar un radical si el radicando es una suma o diferencia..

ab  a  b a b  a  b Martin-Gay, Developmental Mathematics

24