8.

1

A menudo en periódicos, revistas, televisión..., se muestran datos numéricos relacionados con numerosos aspectos del entorno que nos rodea: evolución del empleo y del desempleo, crecimiento de la población mundial, temperaturas máximas alcanzadas durante el mes de agosto, etc.

Estos datos se suelen representar de un modo más atractivo con el fin de facilitarnos la interpretación y comparación de los datos. Para ello se emplean diferentes formas de expresar la información, en forma de tablas, en diagramas y en gráficas.

En esta unidad vas a aprender a:

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•

Representar puntos en el plano.

•

Interpretar un conjunto de puntos.

•

Crear e interpretar tablas numéricas.

•

Utilizar los recursos necesarios para interpretar y analizar información expresada de forma gráfica.

Tablas y gráficas - 155

2

1. EJES DE COORDENADAS Si dibujamos dos rectas perpendiculares (ejes de coordenadas) sobre una cuadrícula como la siguiente, tendremos dividido el plano en cuatro cuadrantes. Eje de ordenadas Segundo cuadrante

Primer cuadrante Origen Eje de abscisas

Tercer cuadrante

Cuarto cuadrante

El eje horizontal lo llamaremos eje de abscisas. El eje vertical lo llamaremos eje de ordenadas. Y el punto donde se cortan los dos ejes lo llamaremos origen.

2. COORDENADAS DE LOS PUNTOS DEL PLANO Vamos a situar los siguientes puntos a partir de sus coordenadas: A (1,3), B (-3,-2), C(4,-3), D (3,1) y E (-1,2)

Para situar un punto en un plano necesitamos un par ordenado de números a los que llamamos coordenadas del punto. La primera coordenada corresponde al eje de las abscisas que se llama abscisa del punto. La segunda coordenada corresponde al eje de ordenadas que se llama ordenada del punto.

Observa que no es lo mismo (1,3) que (3,1)

Tablas y gráficas - 156

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3

1. Dibuja unos ejes de coordenadas y representa los puntos: A(-1,-1), B(0,0), C(2,0), D(3,-1), E(3,1), F(2,2), G(2,6), H(1,8), I(0,6), J(0,2), K(-1,1) Y L(-1,-1).

a) Si unes los puntos con líneas en orden alfabético, ¿Qué figuras obtienes? b) ¿Qué puntos tienen la misma abscisa? ¿Y la misma ordenada?

2. Escribe las coordenadas de los puntos representados en el diagrama.

3. Representa gráficamente los puntos: (2,3), (6,2), (-3,1), (-7,5), (-8,-6), (-2,4), (6,-6), (3,-2), (0,6), (6,0) y (0,0).

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Tablas y gráficas - 157

4 4. En busca del Tesoro

5. Hundir la Flota

Tablas y gráficas - 158

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5

?

A lo largo del año pasado hemos ido anotando cada mes la temperatura media en grados centígrados que ha hecho en el aeropuerto de Bilbao durante el año 2002 y hemos obtenido los siguientes resultados: Enero 11º, Febrero 11’1º, Marzo 12º, Abril 11’8º, Mayo 14’4º, Junio 16’9º, Julio 18º, Agosto 18’6º, Septiembre 18º, Octubre 17’2º, Noviembre 13’8º y Diciembre 13’1º. Para disponer de la información de una forma más sencilla hemos creado una tabla con los datos obtenidos:

Mes Temperatura ºC Enero 11 Febrero 11’1 Marzo 12 Abril 11’8 Mayo 14’4 Junio 16’9 Julio 18 Agosto 18’6 Septiembre 18 Octubre 17’2 Noviembre 13’8 Diciembre 13’1 Fuente: Eustat

Sin embargo, si queremos que esta información resulte más atractiva la vamos a representar sobre un diagrama de barras:

Como ves, un diagrama de barras consiste en representar los datos que habíamos recogido mediante una serie de barras, todas ellas de la misma anchura, cuya altura o longitud (depende de si las barras las dibujamos horizontal o verticalmente) representa la magnitud de los datos. Ayudándote de este gráfico o de la tabla de valores, responde a las siguientes preguntas: 1. ¿En qué mes la temperatura media recogida fue mayor? __________________ 2. ¿Y en cuál menor?________________________________________________ 3. Observa el diagrama, ¿cuál fue la temperatura media en los meses de junio y octubre?________________________________________________________ 4. Contesta a la misma pregunta pero mirando ahora la tabla de valores._________________________________________________________ 5. Según el gráfico en el mes de julio la temperatura media fue de 18 º. ¿Significa que en todos los días de julio hubo una temperatura de 18º?___________________________________________________________

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Tablas y gráficas - 159

6 A la vez que íbamos apuntando las temperaturas medias del aeropuerto de Bilbao, recogimos también las temperaturas medias que hubo en el Igeldo de Donostia. Crea una tabla de valores similar a la anterior y dibuja un diagrama de barras VERTICAL a partir de los datos de la tabla sabiendo que las temperaturas fueron: Enero 11º, Febrero 10’2º, Marzo 11’6º, Abril 11’3º, Mayo 13’9º, Junio 16º, Julio 17’5º, Agosto 17’8º, Septiembre 17’8º, Octubre 16º, Noviembre 12’6º y Diciembre 11’8º ¿Qué observas? ¿Qué diferencias o similitudes encuentras entre ambas tablas?

Tablas y gráficas - 160

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7


El empleado de una tienda de automóviles ha recogido en una tabla la cantidad de coches que ha vendido a lo largo de los diez primeros días de trabajo. Día Nº de coches

1 2

2 4

3 0

4 3

5 5

6 1

7 0

8 5

9 4

10 3

Quiere representar los datos sobre un plano de coordenadas. Para ello, fijándose en la tabla, obtiene los siguientes pares de puntos: (1,2), (2,4), (3,0), (4,3), (5,5), (6,1), (7,0), (8,5), (9,4) y (10,3). ¿Le puedes ayudar a construir una gráfica de la tabla?


En la siguiente gráfica viene representado el número de habitantes de cinco ciudades. Construye una tabla de valores con los datos de la gráfica.

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Tablas y gráficas - 161

8

6. En la siguiente tabla se expresa el número de asistentes a lo largo de una semana a un determinado cine: Día Nº de personas

1 220

2 150

3 100

4 140

5 200

6 250

7 200

a) Representa los datos en un gráfico. b) ¿En qué días acude más gente al cine?

7. La gráfica muestra el número de periódicos vendidos durante un día en un quiosco: a) ¿A qué hora abren el quiosco? b) ¿A qué hora cierran? c) ¿A que hora venden más periódicos? d) ¿Y menos? e) Representa los datos en una tabla.

8. Hemos recogido en una tabla la altura a la que estarán unos ciclistas a lo largo de una etapa Distancia (Km) Altura (m)

0 550

25 400

50 500

75 1000

100 1500

125 2000

150 1500

175 500

200 500

225 1000

Dibuja el perfil de la etapa.

Tablas y gráficas - 162

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9 9.

En el gráfico siguiente se muestra el desarrollo de un viaje en coche: a) ¿Cuántos kilómetros recorrió durante las tres primeras horas? b) ¿Cuántas paradas hizo el coche a lo largo del viaje? ¿Cuánto duraron? c) ¿Cuántas horas estuvo en marcha? d) ¿Cuántos kilómetros recorrió en total?

10. Juan ha salido de casa a las 8 de la mañana. Describe el recorrido que ha realizado ayudándote del siguiente gráfico:

11. Interpreta el siguiente gráfico:

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Tablas y gráficas - 163

10 12. Un inspector de trenes toma nota de los minutos de retraso con que llegan los trenes a la última estación del recorrido. Su trabajo lo ha reflejado en el siguiente gráfico: a) Pasa los datos a una tabla y luego represéntalos en un diagrama mediante puntos.

b) ¿Cuántos trenes se han retrasado más de 10 minutos? c) ¿Cuántos han llegado con menos de 10 minutos de retraso?

?

A Ainhoa le han encargado hacer una encuesta sobre los resultados obtenidos en los exámenes de matemáticas de los alumnos de 1º de ESO y sobre lo fácil o difícil que les ha parecido el examen. Los datos que ha recogido son los siguientes: 4, 8, 4, 5, 6, 7, 6, 8, 5, 9, 10, 2, 3, 6, 7, 9, 8, 6, 9, 6, 7, 7, 8, 7, 8, 7 MUY FÁCIL, FÁCIL, FÁCIL, FÁCIL, FÁCIL, FÁCIL, MUY FÁCIL, MUY FÁCIL, MUY FÁCIL, MUY FÁCIL, FÁCIL, FÁCIL, DIFÍCIL, DIFÍCIL, DIFÍCIL, MUY DIFÍCIL, FÁCIL, FÁCIL, FÁCIL, FÁCIL, FÁCIL, FÁCIL, FÁCIL, FÁCIL, DIFÍCIL, MUY DIFÍCIL. Ahora, Ainhoa quiere mostrar estos resultados en la revista del colegio, pero de un modo más atractivo y de manera que facilite a los lectores la interpretación de los datos. Observa que Ainhoa lo que ha hecho en realidad es una OBSERVACIÓN ESTADÍSTICA y que cada dato que ha recogido es un DATO ESTADÍSTICO.

ESTADÍSTICA: Ciencia que mediante la observación de hechos recoge, clasifica y analiza datos para después interpretar los resultados.

Como has visto, los datos que se van a analizar son de dos tipos. El primero, la nota del examen, es una magnitud que se puede expresar mediante un número, por lo tanto, diremos que la nota de un examen es una CARACTERÍSTICA CUANTITATIVA. Sin embargo, el segundo representa una cualidad y no se expresa con un número, así que diremos que la dificultad del examen es una CARACTERÍSTICA CUALITATIVA. CARACTERÍSTICA CUANTITATIVA: Se puede expresar mediante un número. CARACTERÍSTICA CUALITATIVA: Representa Una cualidad y no se expresa mediante un número.

Tablas y gráficas - 164

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11 Recuerda que para trabajar con los datos estadísticos había que seguir unos pasos: 1. DEFINIR EL PROBLEMA En nuestro ejemplo, el problema sería que Ainoa quiere saber las notas que han obtenido los alumnos de 1º de ESO en matemáticas y qué les ha parecido el examen. 2. a) IDENTIFICAR QUIÉN ES LA POBLACIÓN Y CUÁLES SON LAS VARIABLES A ANALIZAR POBLACIÓN: Conjunto sobre el que se realiza la observación. VARIABLE: Es el sobre qué nos queremos informar. Población: Variables:

Alumnado de 1º de ESO. Variable 1: Nota del examen Variable 2: Opinión sobre el examen.

b) DEFINIR LA MUESTRA MUESTRA: Es una serie de personas o elementos representativa de la población. De esta muestra a cada persona o elemento se le llama INDIVIDUO.

Muestra: 26 alumnos de 1º de ESO 3. RECOGER LOS DATOS Y CLASIFICARLOS, REGISTRÁNDOLOS EN UNA TABLA Aquí deberás anotar la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa y el porcentaje de cada modalidad, así como los totales por columnas MODALIDAD: Cada una de las facetas que puede presentar una característica. FRECUENCIA ABSOLUTA (f): Número de veces que se repite una modalidad. FRECUENCIA RELATIVA (fr): Cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de la muestra

fr =

f N

Vamos a recoger los datos relacionados a la variable 2 (opinión del examen): Variable Opinión

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Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Porcentaje f % f

fr =

Muy fácil

5

Fácil

15

Difícil

4

Muy difícil

2

Suma

26

N

5 26 15 26 4 26 2 26

19’23 %

1

100 %

57’69 % 15’38 % 7’69 %

Tablas y gráficas - 165

12 Prueba tu ahora a hacer una tabla con los valores de las notas de los exámenes.

4. REPRESENTAR LOS DATOS GRÁFICAMENTE Para representar los datos estadísticos gráficamente podemos optar por diferentes tipos de gráficos:

Diagrama de barras

Pictograma

Tablas y gráficas - 166

Polígono de frecuencias

Diagrama de sectores

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13 5. CALCULAR LAS MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN MEDIA ARITMÉTICA ( x ): Es el valor que correspondería a cada modalidad si fueran todas iguales. Se calcula sumando todas las modalidades numéricas (S) y dividiéndolo entre el número total de datos (N).

x=

S N

MEDIANA: Es el valor que se encuentra en el centro, una vez ordenados los datos. MODA: Modalidad de mayor frecuencia. Ahora, deberás intentarlo tú. Representa de las cuatro formas posibles los datos referentes a las notas del examen y calcula las medidas de centralización.

6. SACAR CONCLUSIONES ¿Qué conclusiones puedes obtener una vez representados gráficamente los datos y después de obtener la media, la moda y la mediana?

7. TOMAR DECISIONES EN BASE A LAS CONCLUSIONES ¿Qué decisión tomarías después de sacar conclusiones?

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Tablas y gráficas - 167

14

13. El siguiente gráfico representa el número de coches vendidos en un concesionario durante los seis primeros meses del año: a) ¿Cómo se llama a este tipo de gráfico? b) ¿En qué meses se vendieron menos coches? c) ¿Y en cuáles más? d) Construye, a partir del gráfico, el polígono de frecuencias. e) Interpreta la gráfica.

14. En el gráfico aparecen representados los resultados de una encuesta sobre el gusto de ciertos tipos de libros: a) ¿Cómo se denomina este gráfico? b) Interpreta el gráfico

15. En el gráfico se ha representado la temperatura que ha registrado un termómetro a lo largo de un día:

a) ¿Cómo se llama el diagrama? b) Interpreta los datos

Tablas y gráficas - 168

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15 16. Ana ha preguntado a sus compañeros de clase sobre el número total de hermanos que son en su familia y ha obtenido los siguientes datos: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 5, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 4, 4 a) Recoge los datos en una tabla b) Represéntalos gráficamente c) Interpreta los datos

17. Indica cuáles son características cualitativas y cuáles cuantitativas: a) b) c) d) e)

El número de entradas vendidas en un cine. La altura de una persona. La temperatura tomada en una estación meteorológica. El tiempo climático. El color de los ojos.

18. El número de miembros que componen 27 familias elegidas al azar son: 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 4, 4, 3, 3, 4, 3, 4,5, 5, 5, 5, 6, Analiza los datos.

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Tablas y gráficas - 169

? 19. En una fábrica de equipos multimedia se está evaluando un nuevo lector de DVD que se quiere

16

lanzar al mercado. Para ello se han elegido 40 equipos al azar y se ha tomado nota del número de fallos que han tenido los DVDs en 10 intentos. Los resultados fueron: 15 no tuvieron ningún fallo, 7 tuvieron un fallo, 4 tuvieron dos fallos, 7 tuvieron tres fallos, 5 tuvieron cuatro y 2 tuvieron cinco fallos. Expresa los datos en una tabla de frecuencias absolutas y relativas y representa los datos en un diagrama de sectores.

? 20. En una población de Irak, una ONG ha atendido en un hospital a diferentes enfermos y ha anotado el número de enfermos atendidos y las edades de estos. Edad Nº de enfermos a) b) c) d)

Tablas y gráficas - 170

5 16

15 13

20 38

35 42

30 23

35 15

40 35

45 21

Representa los datos mediante un diagrama de barras. Dibuja el polígono de frecuencias. ¿Cuál es la edad media de estos enfermos? ¿Cuál sería la moda?

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? 21. Representa mediante un polígono de frecuencias y un diagrama de sectores las superficies de los

17

continentes. Continente Europa Asia África América Australia y Oceanía Antártida

Superficie (Millones de Km2) 10’5 44’2 30’2 42’2 9’9 13’2

22. Se ha hecho un estudio sobre el número de accidentes automovilísticos producidos en un fin de semana y sus causas, y los resultados se recogen en el siguiente diagrama:

a) ¿Cuál es la causa principal de accidente? b) ¿Qué porcentaje de los accidentes están relacionados con el consumo de alcohol y drogas?

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Tablas y gráficas - 171

18 23. Se ha realizado una encuesta sobre el gusto musical entre jóvenes de 10 a 20 años y se ha obtenido la siguiente información:

a) ¿Qué tipo de música gusta más? b) Representa los datos en un diagrama de sectores.

24. Durante la temporada anterior de fútbol, los equipos de primera división se gastaron los siguientes millones de euros en la contratación de futbolistas: 20, 15, 30, 35, 45, 10, 25, 10, 30, 20, 25, 35, 30, 15, 10, 15, 15, 30, 20, y 25. Haz un estudio estadístico completo con los datos anteriores.

Tablas y gráficas - 172

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19

25. Según los últimos datos, debido a una mayor información sobre los problemas perjudiciales que conlleva el consumo de tabaco, parece ser que éste hábito ha disminuido respecto los datos de años anteriores. Se ha hecho un estudio sobre los hábitos de consumo de tabaco entre los jóvenes de un colegio de secundaria y se han recogido estos datos: 0, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 4, 5, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6 Compara estos resultados con los obtenidos en el año 2003:

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Tablas y gráficas - 173

20 26. En una fábrica textil se ha preguntado a 46 personas sobre su estatura y su peso. Los datos que se han recogido son: Estatura(m) Nº de personas Peso (Kg) Nº de personas 1’50 3 50 2 1’55 4 55 5 1’60 9 60 11 1’65 7 65 8 1’70 9 70 7 1’75 5 75 7 1’80 4 80 2 1’85 2 85 2 1’90 2 90 1 1’95 1 95 1 Haz un estudio estadístico completo.

Tablas y gráficas - 174

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21 ? 27. Se ha representado sobre un gráfico el número de kilogramos de tomates, aceitunas y fresas que se producen en cuatro ciudades a lo largo de un año.

a) ¿Qué ciudad produce menos cantidad de fresas? b) ¿Y de aceitunas? c) ¿Qué ciudad produce más cantidad de tomates? d) ¿Y de fresas? e) ¿Cuántos kilos de aceitunas se producen entre las cuatro ciudades, al año? f)

¿Y de fresas?

g) ¿Cuántos kilos de tomates producen la ciudad C y la ciudad D más que la ciudad B y la ciudad A?

h) Todos los tomates que ha producido la ciudad C se han vendido a 15 céntimos de euro el kilogramo. ¿Cuánto habrá recaudado esta ciudad por todas las tomates vendidas?

i)

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La ciudad B ha recaudado por todas las aceitunas que ha producido un total de 75000 euros. ¿por cuánto vendió cada kilogramo?

Tablas y gráficas - 175

22 Vocabulario

El eje horizontal lo llamaremos EJE DE ABSCISAS. El eje vertical lo llamaremos EJE DE ORDENADAS. Y el punto donde se cortan los dos ejes lo llamaremos ORIGEN. Para situar un punto en un plano necesitamos un par ordenado de números a los que

Ejes cartesianos llamamos COORDENADAS DEL PUNTO.

La primera coordenada corresponde al eje de las abscisas que se llama ABSCISA DEL PUNTO. La segunda coordenada corresponde al eje de ordenadas que se llama ORDENADA DEL PUNTO.

ESTADÍSTICA: Ciencia que mediante la observación de hechos recoge, clasifica y analiza datos para después interpretar los resultados. CARACTERÍSTICA CUANTITATIVA: Se puede expresar mediante un número.

Lenguaje estadístico

CARACTERÍSTICA CUALITATIVA: Representa Una cualidad y no se expresa mediante un número. POBLACIÓN: Conjunto sobre el que se realiza la observación. VARIABLE: Es el sobre qué nos queremos informar. MUESTRA: Es una serie de personas o elementos representativa de la población. De esta muestra a cada persona o elemento se le llama INDIVIDUO.

MODALIDAD: Cada una de las facetas que puede presentar una característica.

Recuento y clasificación

FRECUENCIA ABSOLUTA (f): Número de veces que se repite una modalidad. FRECUENCIA RELATIVA (fr): Cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de la muestra

fr =

Medidas de centralización

f N

MEDIA ARITMÉTICA ( x ): Es el valor que correspondería a cada modalidad si fueran todas iguales. Se calcula sumando todas las modalidades numéricas (S) y dividiéndolo entre el número total de datos (N).

x=

S N

MEDIANA: Es el valor que se encuentra en el centro, una vez ordenados los datos. MODA: Modalidad de mayor frecuencia.

Representaciones DIAGRAMA DE BARRAS PICTOGRAMA gráficas

Tablas y gráficas - 176

POLÍGONO DE FRECUENCIAS DIAGRAMA DE SECTORES

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