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Durante la Edad Media, los árabes, además de recuperar un buen número de obras griegas, van a proporcionar a Occidente un gran tesoro que va a desarrollar de forma increíble la Aritmética, sentando de paso las bases de una nueva rama de las Matemáticas, el Álgebra. La palabra álgebra viene del término árabe al-jabr, que significa "restauración", y se refiere al cambio de términos de un miembro a otro en las ecuaciones. Durante mucho tiempo y hasta hace poco, esta palabra tuvo como acepción, según el Diccionario de la Real Academia, "Arte de restituir a su lugar los huesos dislocados". Por lo que si alguien era un algebrista, lo mismo podía ser un matemático que un médico especializado en restaurar huesos. Hacia el siglo XVI, los matemáticos se dieron cuenta de que el uso de los símbolos para representar las incógnitas, era una herramienta muy útil y práctica a la hora de resolver enunciados que escritos con palabras resultaban casi inaccesibles. Los árabes son, pues, los responsables del desarrollo del álgebra y su posterior difusión.
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
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PARA EMPEZAR 1.
Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados: a) Un número cualquiera. b) Un número aumentado en 15. c) Un número disminuido en 23. d) El triple de un número. e) Dos números consecutivos. f)
El doble de mis libros menos 5.
g) Un número par. h) La diferencia de dos números. i)
La mitad de un número más su tercera parte.
j)
El volumen de un cubo.
k) Un número impar. l)
2.
El perímetro de un rectángulo.
Indica si las siguientes expresiones son monomios, binomios, trinomios o polinomios. ¿Cuál es su grado? a) 2x − 5 e) xy 2 b) 3x − 4y + 5z f) x + y + xy c)
3x 3
g)
a2 −b2
d)
2x 4 + 5x 5 − 3x − 2
h)
−12x 4 +8x 3 + 4x 2 −20x
3.
Calcula el valor numérico del polinomio P = -2x2 - 3x + 6 para x = -2.
4.
Dados los polinomios: A = 2x3 - 3x2 + 4 y B = x3 - 4x2 + 3x +2, calcula A + B y A - B.
5.
Desarrolla las siguientes igualdades notables:
6.
a)
(3 + x )
b)
(2x − 3 )
c)
(3x + 2y )⋅(3x − 2y )=
2
= 2
=
Simplifica las siguientes expresiones: a)
3 (x − 2 )− 2 (3x −1)− (1− x )=
b)
−5 (x + 5 )+ 3 (2x −1)− (2x +3 ) =
78 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
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PARA RECORDAR 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Expresiones algebraicas: Las fórmulas que dan el área o el volumen de figuras geométricas son expresiones en las que intervienen números y letras unidos por operaciones aritméticas.
A triángulo =
b⋅h 2
A T:ortoedro = 2ab + 2ac + 2bc
Vcono =
π⋅r 2 ⋅h 3
Expresiones como las anteriores se llaman expresiones algebraicas.
Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. En una expresión algebraica se distinguen dos partes: el factor numérico llamado coeficiente y el conjunto de letras con los exponentes, denominada parte literal. Ejemplo:
2 2 {π r{h
coef . parte literal
Valor numérico de una expresión algebraica: El área de un rectángulo es Arectángulo = b · h. Para hallar el área de un rectángulo de 5 cm de base y 3 cm de altura, basta con sustituir las letras b y h por sus valores numéricos 5 y 3: Arectángulo = b · h = 5 · 3 = 15 cm. El número 15 es el valor numérico de la expresión algebraica b · h cuando b = 5 y h = 3. Para otros valores de b y h se obtienen otros valores numéricos. Una expresión algebraica tiene infinidad de valores numéricos según los valores que demos a las letras (incógnitas).
El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que se obtiene al sustituir las incógnitas por números determinados y efectuar las operaciones.
2. POLINOMIOS. Monomios:
Un monomio es el producto indicado de un valor conocido (coeficiente) y uno o varios valores desconocidos, representados por letras (parte literal). Se llama grado de un monomio al número de factores que forman su parte literal. Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal (mismas letras con los mismos exponentes).
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Ejemplos: a)
2 ab 2 → monomio de 3 ergrado ↓ ↓
coeficiente
parte literal
b)
2 ab2 y -3 π ab2 son semejantes (misma parte literal).
c)
2 ab2 y 5 xy2 no son semejantes (distinta parte literal).
dffPolinomio:
La suma o resta de dos monomios recibe el nombre de binomio. La suma o resta de tres monomios recibe el nombre de trinomio. En general la suma o resta de varios monomios recibe el nombre de polinomio. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. Cada uno de los monomios que componen el polinomio se llama término. El término de grado 0 del polinomio (si existe) es un número y se llama término independiente. Un polinomio se llama ordenado, respecto de una incógnita, cuando los grados de los términos van creciendo o decreciendo. Es conveniente que esté ordenado. Un polinomio se llama completo si tiene todos los términos para todos los grados desde el mayor hasta el término independiente.
PARA PRACTICAR 7.
Completa el siguiente cuadro. P = 3x3 - 2x2 + x - 3 3
Grado Términos Término independiente Orden creciente Orden decreciente ¿Es completo? 8.
-3 1 - 3x + 5x3 - 4x7 3x3
-
2x2
+x-3
Sí
Un número más la mitad de otro. El cuadrado de la suma de dos números. La suma del cuadrado de dos números. La diferencia de los cuadrados de dos números. El doble del producto de dos números. La mitad de la suma de dos números.
Agrupa los monomios semejantes entre sí e indica el coeficiente y la parte literal: 2x4
10.
5x3 , - 3x, + 1, - 4x7
Traduce al lenguaje algebraico: a) b) c) d) e) f)
9.
Q = 5x3 - 3x + 1 - 4x7
5t4
4x3
4t2
1/2x4
4x2
3/4t4
7x3
2/3x3
15x2
Ordena los polinomios siguientes en potencias crecientes de x: a)
3x 4 − 2 + 5x + x 5
b)
2x 3 − x + 3x 6 + 2 − 2x 4
80 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
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11.
12.
13.
Indica el nombre y el grado: a)
3x 2y 3
e)
x12
b)
x 4 + 4x + y 5
f)
x 4 y + 4ay + 8
c)
x6 − x5
g)
xy 7
d)
3 x
h)
2ab −1
Indica si los polinomios siguientes son completos y complétalos si no lo fueran: a)
3x 2 − 2x 5 + 3x 4 − x 3 + 3 − x
b)
x 5 − 2x + 3x 3
c)
4x 3 − 2x 2 + 4x −3x 5 + 2 − 6x 4
Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 2x - x3 + 3x2 - 5 para x = 3 y x = -1.
PARA RECORDAR 3. OPERACIONES CON POLINOMIOS. Operación Suma y resta
Multiplicación
¿Cómo se hace? Se suman o restan entre si los monomios semejantes (se suman los coeficientes y se deja la misma parte literal). Si los monomios no son semejantes, la suma o resta se deja indicada. Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio y se suman los resultados.
Ejemplo a) 3ab 2 − 4ab 2 +5ab 2 = 4ab 2 b) 2x 2 − 5b 2 + 8x 2 = 10x 2 -5b 2
a) −5x 2 ⋅3x 3y = -15x 5 y b) −3x (2x 2 −5x +3 )= -6x 3 +15x 2 -9x c)
(x
2
− x )⋅(x + 3 )= x 3 +3x 2 − x 2 −3x = x 3 +2x 2 -3x
Teniendo en cuenta el cuadro anterior y dados los polinomios A = 2x3 + 4x2 - 5, B = x2 - 3x + 2, C = 2x2 - 5: a) b) c) d) e)
Indica el grado de cada polinomio. Calcula A + 2B Calcula 2A - 3B Calcula (- A) · B ¿Cuál es el grado del polinomio resultante en cada uno de los tres apartados anteriores?
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81
PARA PRACTICAR 14.
Dados los polinomios A = 3x4 - 5x2 + 6x - 7, B = 2x4 + x2 - 5x + 2 y C = 3x3 + 7x2 - 5x - 4, calcula: a) A + B + C
15.
Realiza las siguientes multiplicaciones:
(4x −3x
a)
16.
b) B - A
3
+ 2x 2 −1) ⋅ (4x +2x 2 +3 ) =
b)
(3x − x
3
+ 3 ) ⋅ (x 2 −3x +1) =
Calcula:
(4x 3 (x
3
a) b)
4
− 2x 2 + x +1) − (3x 3 −x 2 −x −7 ) − (x 3 −4x 2+2x +8 ) = − 5x 3 + 3x − 2 ) − 4 (x 6 −5x 4 +3x 2 −1) =
c)
(4x + 3 )
d)
(x
e)
(4x + 7 )
2
⋅ (x 2 −1) − (4x 3 −3x +1) =
− 3x + 2 ) ⋅ (3 − 2x ) + (x −5 ) ⋅ (x 3 −x +4 ) = ⋅ (5x 2 −3 ) + 5 (2x −1) =
PARA RECORDAR 4. IGUALDADES NOTABLES. Hay tres igualdades que ya conoces, y vas a encontrar con mucha frecuencia a la hora de trabajar con expresiones algebraicas. Por ello es necesario que las manejes con soltura y destreza. Se suelen llamar igualdades notables y son las siguientes:
Igualdades notables:
(a + b ) = a 2 + 2ab +b 2 2 (a −b ) = a 2 − 2ab +b 2 (a + b )⋅(a −b )= a 2 −b 2 2
→
CUADRADO DE LA SUMA DE UN BINOMIO
→
CUADRADO DE LA RESTA DE UN BINOMIO
→
SUMA POR DIFERENCIA DE UN BINOMIO
Ejemplos: a)
(2x − 5 ) = (2x )
b)
(3x + 2) = (3x ) + 2⋅3x (x − x )(⋅ x + x )= x −x
c)
2
2
2
2
2
− 2 ⋅2x ⋅5 +5 2 = 4x 2 −20x +25
2 2
2
4
82 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
2
⋅2 + 2 2 = 9x 4 +12x 2+4
2
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a) Demuestra las tres igualdades notables realizando los tres productos siguientes: a+b a+b
a-b a-b
a+b a - b
b) ¿Serías capaz de encontrar fórmulas para el cubo de un binomio?
(a + b )
=
(a −b )
=
3
3
PARA PRACTICAR 17.
Calcula las siguientes igualdades notables: a)
(x +1)
b)
(x + 3 )
c)
(x −3 )
d)
(2x −1)
e)
(5x + 2 )
f)
(5x + 2y )
g) h)
(x +1)(x −1) = (x + 3 )(x −3 ) =
i)
(2x + 5 )(2x −5 )
j)
(x
2
=
n)
(x + 7 )
=
o)
(x −11)
=
=
p)
(2x +1)
=
2
=
q)
(3x − 4 )
=
=
r)
(x −3y )
=
s)
(3x + 2x ) =
t)
(x + 7 )(x − 7 ) = (1+ x )(1− x ) =
2
2
2
2
2
=
u)
2
= 2
2
2
2
2 2
=
v)
+ 2 )(x − 2 ) =
(3 − 4x )(3 + 4x )
w)
(2x −1)(2x +1)
x)
1 ⎞ ⎛ ⎜x− ⎟ = ⎝ 2x ⎠
y)
⎛ 5x 2 ⎞ ⎜ +x ⎟ = ⎝ 2 ⎠
z)
1 ⎞ ⎛3 ⎜ x− y⎟ = 2 4 ⎝ ⎠
2
2
k)
⎛2 ⎞ ⎜ x −5 ⎟ = 5 ⎝ ⎠
l)
⎛2 ⎞ ⎜ + 4x ⎟ = ⎝5 ⎠
= =
2
2
2
2
2
x y m) ⎛⎜ − ⎞⎟ = 3 2⎠ ⎝
PARA APRENDER 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. División de monomios: El cociente de dos monomios se obtiene al dividir entre si los coeficientes por un lado y las partes literales de ambos por otro. El resultado que se obtiene puede ser un número, otro monomio o una fracción algebraica. Ejemplos: a) −4x 3 :5x 3 = c) 2x 2 : 3x 4 =
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−4x 3 −4 = → Un número 5x 3 5
b) −6x 3 y 2 : 2x 2y =
−6x 3 y 2 = −3xy → Un monomio 2x 2y
2x 2 2 = 2 → Una fracción algebraica (cociente indicado de dos polinomios) 4 3x 3x EXPRESIONES ALGEBRAICAS
83
División de un polinomio por un monomio: Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término del polinomio por el monomio. Ejemplos: a)
(3x
b)
(4x
3
3
− 6x 4 +12x 5 ):3x 3 = + 5x 7 − x 4 ): 4x 2 =
3x 3 6x 4 12x 5 − + =1 −2x +4x 3x 3 3x 3 3x 3
4x 3 5x 7 x 4 5 1 + 2 − 2 =x + x 5− x 2 4x 4x 4x 4 4
2
2
División de polinomios: El cociente entre dos polinomios se obtiene de forma similar a como hacemos con los números, considerando cada uno de los monomios como cada una de las cifras que forma el número. Para poder dividir un polinomio por otro es necesario que el grado del primero sea mayor o igual que el grado del 2º. Si no es así la división se deja indicada.
Ejemplo: 6x4 + 5x3 - 7x2 + 3x + 2
2x2 + 3x - 1 3x2
15382
25 6
6x4 + 5x3 - 7x2 + 3x + 2 - 6x4 - 9x3 + 3x2 - 4x3 - 4x2
2x2 + 3x - 1 3x2
15382 -150 3
25 6
6x4 + 5x3 - 7x2 + 3x + 2 - 6x4 - 9x3 + 3x2 - 4x3 - 4x2 + 3x
2x2 + 3x - 1 3x2 - 2x
15382 -150 38
25 61
6x4 + - 6x4 +
5x3 - 7x2 + 3x + 2 9x3 + 3x2 4x3 - 4x2 + 3x 4x3 + 6x2 - 2x 2x2 + x 3 5x - 7x2 + 3x + 2 9x3 + 3x2 4x3 - 4x2 + 3x 4x3 + 6x2 - 2x 2x2 + x + 2
2x2 + 3x - 1 3x2 - 2x
15382 -150 38 - 25 13
25 61
2x2 + 3x - 1 3x2 - 2x + 1
15382 -150 38 - 25 132
25 615
5x3 - 7x2 + 3x + 2 9x3 + 3x2 4x3 - 4x2 + 3x 4x3 + 6x2 - 2x 2x2 + x + 2 - 2x2 - 3x + 1 - 2x + 3
2x2 + 3x - 1 3x2 - 2x + 1
15382 -150 38 - 25 132 - 125 7
25 615
6x4 + - 6x4 + 6x4 + - 6x4 +
Dividendo = 6x4 + 5x3 - 7x2 + 3x + 2 divisor = 2x2 + 3x - 1
Dividendo = 15382 divisor = 25
Cociente = 3x2 - 2x + 1 Resto = - 2x + 3
Cociente = 615 Resto = 7
Dividendo = divisor · Cociente + Resto
D=d·C+R
6x4 + 5x3 - 7x2 + 3x + 2 = (2x2 + 3x - 1)·(3x2 - 2x + 1) + (- 2x + 3) 84 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
15382 =25 ·615 + 7
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División por (x - a). Regla de Ruffini: Con mucha frecuencia nos vamos a encontrar con divisiones de polinomios en las que el divisor es un binomio de grado 1 de la forma (x - a), donde a es un número real. Tomemos la siguiente división:
(3x3 + 2x2 - 4) : (x + 1)
Si la realizamos como en el ejemplo anterior: 3x3 + 2x2 + 0x - 4 - 3x3 - 3x2 - x2 + 0x + x2 + x x-4 -x-1 -5
x+1 3x2 - x + 1
Ruffini
En la práctica la división de un polinomio por un binomio de la forma (x - a) se puede escribir de una forma esquemática como te explicamos a continuación. Ordenamos el dividendo en orden decreciente, añadiendo los términos que faltan con los coeficientes y se disponen de la siguiente forma: Dividendo:
3x3 + 2x2 + 0x - 4
Divisor:
x + 1 = x - (-1) 3
2
0
Coeficientes: 3 2 0 - 4
3
-4
2
0
3
-4
2
0
-4
1
-1
1
-5
+
a=-1
-3
1
3
-1
1
3
2
0
-1
a=-1
-3
1
-5
3
-1
1
-5
-4
3
2
0
-4
+
a=-1
-3 3
-1
1 1)
· (-
1
a=-1
-1
-3 3
)
1 · (-
-1
+
-1
a=-1
-3 3
-5
1
-1
1
-1 1)
· (-
-5
Observa la división y el cuadro que hemos obtenido: 3x3 + - 3x3 +
2x2 + 0x - 4 3x2 x2 + 0x x2 + x x-4 -x-1 - 5
x+1 3x2 - x + 1
3 a=-1 3
2
0
-4
-3
1
-1
-1
1
- 5
Coef. cociente Resto Cociente: 3x2 - x + 1 Resto: - 5
Este método se conoce con el nombre de Regla de Ruffini.
Prueba tu ahora a hacer la división (x3 - 4x2 + 5) : (x - 2) utilizando la regla de Ruffini y compara los coeficientes que vas obteniendo con la división normal.
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85
PARA PRACTICAR 18.
Realiza en tu cuaderno las siguientes divisiones eligiendo el método más adecuado: a) b) c) d) e) f) g) h)
(3x − 5x + x ) : (x ) (6x −14x − 4x +5x + 4 ) : (3x −x +2 ) (x + 2x − 3x + 6x −8 ) : (x −3 ) (8x −14x −5x ) : (2x −5x +3 ) (x − 3x − x −3 ) : (x −3x ) (x + 4x + 6 ) : (x −4 ) (3x + 2x +1) : (x +1) (x + x − 3 ) : (x +3 ) 4
3
4
2
3
6
5
5
2
2
2
j)
4
4
6
3
3
3
i)
k) l)
2
2
m) n)
2
o)
5
6
p)
2
(6x + 5x − 25x +31x −13x +2 ) : (2x −3x +2 ) (10x − 27x +16x +18x −24x ) : (−2x +3 ) (x + 6x −7x −60 ) : (x +x −12 ) (2x − 4x + x + 8x −9x +3 ) : (x −x +1) (3x − 5x + 6x −2 ) : (x −3 ) (2x + 3x − 4 ) : (x +1) (´x − 6x + 2x +3x −4 ) : (x +x +2 ) (x + x +1) : (x −2 ) 5
4
6
3
4
3
2
3
2
4
4
3
3
2
3
9
2
2
2
7
4
2
3
2
2
3
2
5
19.
Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 2x3 - 5x2 + 3x - 8 para x = - 2 y x = - 1.
20.
Dados los siguientes polinomios P = 3x2 - 2x + 5, Q = x3 + 4x2 - x + 1, R = 3x4 - 2x2 - 6x - 3, calcula: a) P + Q = b) P - Q = c) P - (Q - R) =
21.
22.
Realiza las siguientes operaciones: a)
(5 − 3x
b)
(2x
c)
(5x
d)
(3x − 2 )⋅(4x 2 −3 )− ⎡⎣3x 2 + (x −1)⋅(x +3 )⎤⎦ −1
3
2
2
+ 4x )( ⋅ x 3 − 2x − 2 ) =
− 3x 2 − 6x + 2 )( ⋅ 3x 2 −5 ) =
− 2 )( ⋅ x 2 + 3x −1)+ (x −1)⋅(x 3 +3x −1) =
=
Calcula las siguientes identidades notables: a)
(x
b)
(2x +1) = 2 (x + 3 ) =
c)
2
+1)(x 2 +1) = 2
(x − 7 )
h)
(x − 6x ) = (2x + 4x ) = (3x + 5 ) =
i)
d)
⎛1 2 ⎞⎛ 1 2⎞ ⎜ − 2x ⎟ ⎜ + 2x ⎟ = ⎝3 ⎠⎝ 3 ⎠
e)
⎛2 ⎞ ⎜ x +1⎟ = ⎝3 ⎠
f)
(3x
2
2
g)
j)
2
86 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
= 2 2
3
5 2
2
2
2
k)
− 5x 3 ) =
2
l)
2⎞ ⎛ ⎜ 4x + ⎟ = 3⎠ ⎝ (x + 3 ) = COLEGIO VIZCAYA
PARA APRENDER 6. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS. Cuando descomponemos un número entero como producto de factores primos, lo expresamos como una multiplicación de dos o más factores y para ello basta con tener en cuenta las reglas de divisibilidad por 2, 3, 5… 6=2·3 30 = 2 · 3 · 5 45 = 32 · 5 …................. Descomponer un polinomio en factores consiste en expresarlo como una multiplicación de dos o más polinomios (factores) tales que su producto sea el polinomio dado. Por ejemplo: porque
x 3 + 2x 2 − x − 2 = (x +1)⋅(x −1)⋅(x +2 )
x +1)⋅(x −1r)⋅(x + 2 )= (x 2 −1)⋅(x +2 )=x 3 +2x 2 −x −2 =x 3 +x 2 −2 (suuuuuuuuuuuu suuuuuur
No siempre es posible factorizar un polinomio pero vamos a ver varias técnicas que nos facilitan factorizar polinomios.
Métodos para factorizar polinomios: 1. Extracción de factor común. a)
Observa el polinomio 6x2 - 15x 3x ⋅2x { ⋅5 12 3 −3x
Se puede escribir de la siguiente forma:
6x 2
15x
3x es un factor común en todos los términos del polinomio, entonces escribimos: 6x 2 -15x =3x ⋅(2x-5 )
Hemos escrito el polinomio 6x2 - 15x como producto de dos factores. b)
2 2 2 3 2x ⋅3x Polinomio: 4x3 - 2x2 + 6x5 = 2x { ⋅1+ 2x 1 42⋅4 3 − 2x 1 424 3 2 4x 3
2x
6x 5
4x 3 -2x 2 +6x 5 =2x 2 ⋅(2x-1+3x 3 )
Factor común: 2x2
2. Utilización de las igualdades notables. a)
Observa el polinomio 4x2 + 12x + 9
(2x ) +2⋅2x ⋅3 +3 2 2
Se puede escribir de la siguiente forma: Como a 2 + 2ab +b 2 = (a +b ) escribimos: 2
4x 2 +12x + 9= (2x +3 ) = (2x +3 )⋅(2x +3 ) 2
Hemos escrito el polinomio 4x2 + 12x + 9 como producto de dos factores.
b)
2 Polinomio: 25x2 - 49 = (5x ) − 7 2
Como a 2 − b 2 = (a + b )⋅(a +b ) escribimos: c)
Polinomio: 9x6 - 30x3 + 25 =
(3x ) − 2⋅3x 3 2
Como a 2 − 2ab +b 2 = (a −b ) escribimos: 2
COLEGIO VIZCAYA
25x 2 − 49= (5x +7 )⋅(5x -7 ) 3
⋅5 + 5 2
9x 6 − 30x 3 + 25= (3x 3 −5 )
2
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
87
PARA PRACTICAR 23.
Calcula las siguientes igualdades notables: a)
24.
25.
26.
27.
28.
(x
2
+ x )(x 2 + x )=
e)
b)
(3x + 2 )(3x − 2 )=
f)
c)
(7x
g)
d)
⎛x ⎞ ⎜ +8 ⎟ = ⎝3 ⎠
6
+ 8x
)=
2 2
2
h)
(x − 3 ) = 2 (x + 5 ) = 2
(3x + 2a ) = (2x + 6x ) = 2 2
3
2
Sacar factor común: a)
x4 + x =
g)
9x 2 − 3x =
b)
x 2 + xy =
h)
2ax 2 − 4a 2x +12ax =
c)
3x 2 y 3 − xy 2 +5x 3y 4 =
i)
10x 2y − 25xy 2 =
d)
a 4b5 + 2a 2 −5a 3b 3 =
j)
49x 2 − 21ax + 42x 3 =
e)
2xy − 3xy 3 − x =
k)
x (x + 2 )− 6 (x + 2 )=
f)
x 2 yz 3 + 3xy 3 −5xy 2z =
l)
x 2 (x −1)+ x (x −1)=
Descomponer en factores utilizando las igualdades notables: a)
x 2 − 6x + 9 =
g)
16y 2 − x 4 =
b)
x 2 −1=
h)
3x 2 − 6x + 3 =
c)
x 4 −1=
i)
a 6 −1=
d)
4x 2 −12x + 9 =
j)
z 2 − 9b 2 =
e)
x 6 − 2x 3y + y 2 =
k)
4a 2 − 4a +1=
f)
4x 2 − 9 =
l)
45a 2y 4 −125x 2 =
Descomponer en factores: a)
x 5 − 81 x =
g)
x 2 − 49 =
b)
2a 2 − 2b 2 =
h)
4m2 −16 =
c)
32 − 2a 4 =
i)
96 −8t 4 =
d)
3x 2 −12x −15 =
j)
20 + 20x + 5x 2 =
e)
y 4 − 25a 2y 2 =
k)
16y 2 − x 4 =
f)
t 2 − 6t + 9 =
l)
9x 2 − 3x =
Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos: a)
x 2 − 2x + _____ =
f)
4x 2 + _____ + y 2 =
b)
x 2 − 6x + _____ =
g)
9x 2 + 24x + _____ =
c)
x 2 + _____ + y 2 =
h)
x 2 + 2x + _____ =
d)
x 2 − 4xa + _____ =
i)
9x 2 + _____ +16 =
e)
a 2 − _____ + 36 =
j)
4x 2 − _____ + 9 =
Descomponer en factores como se indica en el ejemplo: a)
ac −bc + ad −bd = c (a −b )+d (a −b )= (c +d )(a −b )
b)
ay − 2by − 2bx +ax =
c)
a 2 − ab + ax −bx =
d)
6ab − 9b 2 + 2ax −3bx =
e)
14ax 2 − 7a 2 − 2x 2 +a =
88 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
COLEGIO VIZCAYA
PARA APRENDER 7. FRACCIONES ALGEBRAICAS. Al dividir polinomios hemos visto que podíamos obtener diferentes tipos de resultados. 3x 4 1 =− 6x 4 2
Un número:
−
Un polinomio:
(6x
Una fracción algebraica:
(x
2
4
− 3x 2 −15x ):3x = 2x 3 − x − 5
+ 2x +1): x 2 =
x 2 2x 1 2 1 + + =1+ + 2 x2 x 2 x 2 x x
Aunque en general una fracción algebraica es el cociente indicado entre dos polinomios. Operar con polinomios es muy fácil, pero en muchas ocasiones tendremos que trabajar con fracciones algebraicas. Por ello tenemos que aprender a operar con ellas. Las operaciones con fracciones algebraicas son similares a las operaciones con fracciones numéricas, habrá que simplificar fracciones, reducir a común denominador, etc.
Simplificación de fracciones algebraicas: 1. Si en el numerador y denominador sólo aparecen monomios (solo hay multiplicaciones) a) Simplifica:
6x 2 y 5 z 12xy 4
Se actúa igual que si estuviésemos dividiendo dos monomios: 6 x 2 y 5 z xyz = 2 12 x y 4 2
2. Si en el numerador o denominador no hay monomios (hay sumas y restas) a) Simplifica:
2x 2 +2xy 4x 2 - 4y 2 2 x (x + y ) 2x (x + y ) 2x 2 +2xy 2x (x + y ) x = = = = 2 2 2 2 4x - 4y 4 (x − y ) 4 (x + y )(x − y ) 4 2 (x + y ) (x − y ) 2 (x- y ) ↑ ↑ ↑ sacar factor común
igual. notables
simplificar
PARA PRACTICAR 29.
30.
Sacar factor común: a)
x 4 − 5ax 2 =
c)
5b − 25b 2 =
b)
−x + x 2 − x 3 + x 4 =
d)
8a 2 x 3 −16a 3x 2 − 4a 2x 2 +12a 5x 2 =
Descomponer en factores utilizando las igualdades notables: a)
x4 − y4 =
c)
− x 2 − 2xy − 6y 2 =
b)
x2 y2 + +2= y2 x 2
d)
x 5 −16x =
COLEGIO VIZCAYA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
89
31.
32.
Descomponer en factores: a)
16a 8 −81b 8 =
d)
x 6 − 2x 3y + y 2 =
b)
3x 2 − 6x + 3 =
e)
5x 2 + 5x −30 =
c)
a2 b 2 − = 9 25
Simplificar: a)
8a3bc = 12ac 2
g)
16a 3 −12a 2b 3 = 8ab 2
b)
4x 2a = 12xya 2
h)
mx −nx = xy
c)
−3m5n = −6m4n3z
i)
m2 − mn = m +n
d)
35mm3 = 21 m 2
j)
mx −my = ax − ay
e)
ab − a 2 = ax − a 2
k)
3ax − 3ay = 9y 2 − 9x 2
f)
ax −bx = a −b
l)
(a −b )
2
a2 −b2
=
PARA APRENDER Reducción de fracciones algebraicas a común denominador: 1. Si en el numerador y denominador sólo aparecen monomios (solo hay multiplicaciones) a) Escribe con el mismo denominador: 2 15 6 , , 2x 3y y 2
→
1 5 6 , , x y y2
↑ simplificar
→
2 15 6 , , 2x 3y y 2
xy 2
↑ m.c.m. = x ⋅ y2
,
(de los denominadores)
xy 2
,
xy2
→
y 2 5xy 6x , , xy2 xy2 xy2
↑ calcular numeradores
2. Si en el numerador o denominador no hay monomios (hay sumas y restas) a) Escribe con el mismo denominador: x- y 2x 3 , , x 2 -2xy+y2 2x2 -2y2 x2 +2xy+y2
x- y 2x 3 , 2 , 2 2 2 x -2xy+y 2x -2y x +2xy+y 2 2
x −y 2x 3 , , x 2 − 2xy + y 2 2 (x 2 − y 2 ) x2 +2xy +y2
→
↑ sacar factor común →
x −y
(x − y )
2
,
2x 3 , 2 (x + y )(x −y ) (x +y )2
90 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
→
↑ igual. notables
1 x 3 , , x −y (x +y )(x −y ) (x +y 2)
↑ simplific ar
→
(x+y ) , x (x+y ) , 3 (x- y ) 2 2 2 (x+y ) (x- y ) (x+y ) (x- y ) (x+y ) (x- y ) 2
→
↑ 2 m.c.m. = (x +y ) (x- y )
COLEGIO VIZCAYA
PARA PRACTICAR 33.
Reduce a común denominador: a)
a a −b c , , bc ac ab
b)
a a −1 a +b , , 2b 3b 6b
c)
a b c , , 2 2 a − b a + b a −b
d)
x −3 x +3 1 , , x + 3 x − 3 x 2 −9
e)
1 1 4 , , 2 x + 2 x −2 x −4
f)
x − y x −z y −z , , z y x
PARA APRENDER 8. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS. Suma y resta: Para sumar o restar fracciones algebraicas éstas se reducen primero a común denominador y después se opera de forma análoga a las fracciones numéricas. 1. Cuando en los denominadores sólo aparecen números. a) Calcula:
xy 3xy 5xy 2xy + 3xy −15xy −10xy -5xy + = = = 3 6 2 6 6 3 ↑ ↑ ↑ m.c.m.= 6
operar
simplificar
2. Cuando en los denominadores aparecen monomios (sólo multiplicaciones) a) Calcula:
2 10 6y 2y 2 +10xy − 6xy 2y 2 + 4xy 2y (y + 2x ) 2 (y+2x ) + - = = = = x y y2 xy 2 xy 2 xy 2 xy ↑ ↑ ↑ ↑ m.c.m.= xy
2
op erar
factorizar
simplificar
3. Cuando en los denominadores no aparecen monomios (hay sumas y restas) a) Calcula:
5 2 5 2 5 ⋅2 ( x − y ) − 2 ( x + y ) = − = = x 2 +2xy+y 2 2x 2-2y 2 ( x + y ) 2 2( x + y )( x − y ) 2 ⋅( x +y ) 2 (x −y ) ↑ ↑ ↑ factorizar
=
m.c.m.
4 (2x − 3y ) 2 (2x-3y ) 10x −10y − 2x −2y 8x −12y = = = 2⋅( x + y) 2 ( x − y ) 2 ⋅( x + y ) 2 (x −y ) 2 ⋅(x +y ) 2 (x −y ) (x+y)2 (x- y ) ↑ ↑ factorizar
COLEGIO VIZCAYA
operar
simplificar
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
91
PARA PRACTICAR 34.
35.
36.
Simplificar: a)
4zx 3 = −12z5 y
d)
x2 − y2 = x+y
b)
35 mn3 = 21 m 2n
e)
4a 2 − 9b 2 = 2a −3b
c)
6a 4b5c 2 = 2a3b 2
f)
2x 2 − 8 = 2x 2 + 4x
Reduce a común denominador: a)
a −b a − c b −c , , ab ac bc
b)
2x 3y 2x − 3y , , x + y x − y x 2 −y 2
c)
a + 2b 3a −2b 6ab , , 3a − b 3a + b 9a 2 −b 2
Calcular las siguientes sumas y restas: a)
a 3a 5a + − = 3 4 12
b)
x 2x 7x − + = 5 3 15
c)
a + b a −b 2a −b + − = 3 4 6
d)
4a − 7 2a + 6 a −5 + − = 6 9 3
e)
a 3a + = b 4b
f)
3 5 1 9a + 2 + + 3− = 2 2a 2a 3a 6a 3
g)
3 4 5 + − = a a2 a 3
h)
3 2 1 − 2+ = 3 a 3a a
i)
b 2 + = 2 −b 2 +b
j)
a + b a −b − = a −b a +b
k)
4x − y x + 3y − = x −y x2 −y2
l)
2x x −4 − = x + 3 3 + 2x
m)
3 − x 5 − y x − y x −3 − − − = 6 20 15 10
n)
6a 3a 2a − = − 1− x 2 1− x 1+ x
o)
x −y 3x 2 − y 2 − 2 = x + y x + 2xy + y 2
92 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
COLEGIO VIZCAYA
PARA APRENDER Multiplicación y división: 1. Cuando en los denominadores aparecen monomios (sólo multiplicaciones) a) Calcula:
2x 5y 2x ⋅5y 5 ⋅ 3= 2 = 2 2 3 3y 6x 3y ⋅6x 9x y ↑ ↑ operar
b) Calcula:
simplificar
2x 5y 2x ⋅6x 3 4x 4 = = : 3y2 6x 3 3y 2 ⋅5y 5y 3 ↑ ↑ operar
simplificar
2. Cuando en los denominadores no aparecen monomios (hay sumas y restas) a) Calcula:
a 2 -b 2 2a+2b (a + b )(a −b ) 2 (a +b ) 1 ⋅ = ⋅ = 2 2 2 a +2ab+b 4a- 4b (a +b ) 4 (a −b ) 2 ↑ ↑ factori zar
b) Calcula:
simplific ar
a 2 -b 2 2a+2b (a + b )(a −b ) 2 (a +b ) (a +b )4 (a −b ) 2(a-b) 2 = = = : : 2 3 2 2 a +2ab+b 4a- 4b (a+b) 2 4 (a − b ) 2 (a +b ) (a + b ) ↑ ↑ ↑ 2
fact orizar
op erar
simplificar
PARA PRACTICAR 37.
Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones: a)
x 2 + 2ab + a 2 = bx + ba
b)
2x x 2 − y 2 ⋅ = x −y 2
c)
1+ y x 2 − xy ⋅ = x 2y 2
d)
x 2 − y 2 3x ⋅ = x 2 + xy x − y
e)
3ab 2 4xy ⋅ = 9ab 2x 2
f)
( x + y) 2 x − y ⋅ = x2 −y2 x +y
g)
3a3b5 6a 3b 4 : 2 = c3 c
h)
4x 2 3ax 3 : = 5ay 2 5y
i)
3x 2x : = 2x − 2 x −1
j)
a2 − x 2 a − x : = 4ax 6x
(a + b )
2
k)
2
a −b
2
:
a +b = a −b
COLEGIO VIZCAYA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
93
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS LOS ÁRABES Y LAS MATEMÁTICAS. Mohammed ibn-Musa Al-Khwarizmi (780-835), nació en Jwarizm (actualmente Jiva, Uzbekistán). Fue un astrónomo y matemático árabe que durante la dinastía del califa Al-Mamun fundó en Bagdad La Casa de la Sabiduría. Su obra más importante es Al-jabr wa'l Muqabala en la que entre otros temas expone el sistema de numeración decimal hindú y prepara el camino para el posterior desarrollo del álgebra. La palabra al-jabr significa "restauración", y se refiere a pasar miembros de un lado a otro de una ecuación. La palabra muqabala significa "comparación" y consistiría en reducir términos semejantes. En lenguaje actual:
La ecuación
4x - 5 = 2x + 3
se transforma por al-jabr en
4x - 2x = 3 + 5
y esto a su vez por al-muqabala en
2x = 11
Los seis primeros capítulos del libro tratan de cada una de las formas de las ecuaciones de primer y segundo grado, pero el libro no usa ningún tipo de simbolismo y expresa todos los razonamientos mediante palabras, de este modo llamará cosa a la incógnita:
Cuadrado de la cosa igual a cosa
x2 = bx
Cuadrado de la cosa igual a número
x2 = c
Cosa igual a número
bx = c
Cuadrado de la cosa más la cosa igual a número
x2 + bx = c
Cuadrado de la cosa más número igual a cosa
x2 + c = bx
Cuadrado de la cosa igual a cosa más número
x2 = bx + c
En los textos árabes para referirse a la incógnita cosa utilizaban la palabra árabe shay, que se tradujo como xay usando los vocablos romanos, que finalmente se abrevió escribiendo sólo la inicial, es decir, x, que es como actualmente se le denomina a la incógnita en todo el mundo. Pero no sólo debemos a los árabes el álgebra sino que ellos son también los responsables de la difusión del sistema de numeración hindú. A principios del siglo XI los números indo-arábigos son utilizados por sabios, pero también por comerciantes y mercaderes desde la India hasta la España musulmana, llegando así hasta la Cristiandad.
94 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
COLEGIO VIZCAYA
La aceptación universal de este sistema de numeración se debe al hecho de que con sólo diez símbolos, los mismos en todas las lenguas, podemos expresar cualquier número por muy grande que sea. Su gran ventaja es su carácter posicional: una misma cifra representa distintos valores según el lugar que ocupe.
SIGLO IX
SIGLO XI
SIGLO XIII EVOLUCIÓN DE LOS NÚMEROS
Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Qué consecuencias tiene para el mundo occidental el florecimiento cultural árabe?
b) ¿De dónde derivan nuestros signos numéricos? ¿Por qué son tan importantes?
c) Traduce al lenguaje actual el siguiente problema: ¿Cuánto vale la cosa que si se triplica y se le añaden diez, vale lo mismo que la cosa más la cosa más 15?
d) Transforma la expresión del apartado anterior por al-jabr y por al-muqabala.
COLEGIO VIZCAYA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
95
PARA ENTRENAR 1. En los siguientes polinomios, indica los términos, los coeficientes y el grado total del polinomio. a) 2x2 - 3xy + xy3 - x4y - 4x5
b) 3am2 - 3y2 + 3my3 + m4
2. Dado el polinomio P(x) = 3x - 2x3 + x2. Calcula P(4) Y P(- 6).
3. Escribe los polinomios en forma reducida y ordenados en forma decreciente. Indica su grado. a) 2x2 - 3x3 - 2x2 + 6x - 1 b) -5 + 6x2 - 3x4 + x2 + 3x4 c) 4x - 7x3 + 2 4. ¿Cuáles de estos polinomios son completos? Señala los términos que faltan en los que no lo son: a) P(x) = 3x2 - 4x5 + 3x4 - x3 - 3 - x b) P(x) = 6x5 - 2x + 3x3 - 12 - 5x4 c) P(x) = 4x3 - x2 + 4x - 3x5 - 2 - 6x4 5. Dados los polinomios: A = x4 - 3x2 + 5x - 1, B = 2x2 - 6x + 3, C = 2x4 + x3 - x - 4, calcula: A - B - C, C - 2A, A · B.
6. Realiza las siguientes multiplicaciones: a)
(3x − 5x
b)
(4x
c)
(2x
d)
(x +1) − (x − 2 )(x +3 )−
e)
(3x − 2 )
f)
(x − 4 )⋅(x 3 − 4 − 2x )− (x 2 −6x +2 )⋅(x −2 )=
g)
(2x
h)
(3x − 7 )⋅(3x 2 − 2x +3 )−(3x 3 −6x 2 −3x +8 )=
i)
3 2 1 1 2 x + 2x − (x −1) + (x −2 )⋅(x +2 ) = 2 3 9
3
4
2
− 4 )( ⋅ 2x 2 − x +3 )=
− 6x + 2 )( ⋅ 2x 5 − 4x 3 −3 )= − 3x + 2x 3 )( ⋅ 5 −3x 2 − x 4 )= 2
2
2
5 x= 4
− (x 2 + 2x ) + 2x (3 − 4x 3 )= 2
− 4x + 5 )⋅(7x − 2 )− (−x 4 +3x +5x 2 −14 )=
96 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
COLEGIO VIZCAYA
7. Calcula las siguientes igualdades notables: a)
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜ 1− ⎟ ⎜ 1+ ⎟ = ⎝ x ⎠⎝ x ⎠
e)
1 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ ⎜ 3x + ⎟ ⎜ 3x − ⎟ = 2 ⎠⎝ 2⎠ ⎝
b)
(x
f)
(5x
c)
(2x + 6 )
g)
(3x − 5 )
d)
⎛ 2 4⎞ ⎜x + ⎟ = 3⎠ ⎝
h)
⎛5 ⎞ ⎜ −x ⎟ = ⎝4 ⎠
− 3x 2 + 2x −1): (x 2 −2x −1)
c)
(2x
− 2x +1): (x − 2 )
d)
(5x
d)
3x 2 − 6x + 9 =
2
− x )(x 2 + x )= 2
=
2
− 4x 3 )( ⋅ 5x 2 + 4x 3 )= 2
=
2
2
8. Realiza las siguientes operaciones: a)
(4x
b)
(5x
3
4
9. Sacar factor común: a) 3ax −bx 2 + 6x 3 =
3
4
− 7x 2 − 3x +18 )( : x 2 −5x +6 )
− 3x 2 + 6x −1): (x −1)
b)
6x 2 y − 3y 2 =
e)
6x 2 −15x 3 +12 =
c)
15a 2b −5ab 2 =
f)
3x 8 − 2x 6 + 5x 3 + x 5 =
10. Descomponer en factores utilizando las igualdades notables: a)
x 6 − 4x 4 =
e)
x 2 − 4ac 2 =
b)
x 2 + 4x + 4 =
f)
400a 2 − 25b 2 =
c)
1 2 − x + x2 = 9 3 x 2 −9 =
g)
d)
11. Descomponer en factores: a) 4x 2 −1=
h)
a2 b 2 − = 9 25 4x 2 − 9 =
g)
a 2 + 2a +1=
b)
x 2 − 4x + 4 =
h)
1− x 2 =
c)
x 4 − 5ax 2 =
i)
a 2b 2 − c 2 =
d) e)
256x 8 −1=
j) k)
2a 2 − 2b 2 =
l)
1 − a + a2 = 4
f)
ax + bx= 2
am + am =
COLEGIO VIZCAYA
x 5 −16x =
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
97
12. Simplifica: 49 (a 2b )
3
=
f)
a 2 − 25 = a 2 − 5a
b)
15a 4b 4c 2 = 18ab 2c 3
g)
a 2 − 2ab +b 2 = a2 −b2
c)
4b 2 + 2b = 4b 2 + 4b +1
h)
a 2b 2 −b 2 = a 2 − 2a +1
d)
a +b = (a + b ) 2
i)
2y 2 − 4ay = 2y 4 − 8a 2y 2
e)
a2 −b2 = (a + b ) 2
j)
3x 2 − 27 = 3x 2 + 6x + 9
a)
35a10b
13. Reduce a común denominador: a)
3x 3 − 2x 5 + 2x , , 2 x − 4 x + 2 2x + 4
b)
3 x x +1 , , x −1 x +1 x 2 −1
c)
x y z , , yx xz xy
d)
z y x , , x − y x −z y −z
e)
3x − y 2y − z 3z , , mx m2x x 2z
f)
16x y2 xy , , 12x + 3y 16x + 4y 4x 2 +xy
g)
x+y x x −y , 2 2, 2 2 x − 2xy + y x − y x +2xy +y 2 2
14. Calcula: a)
3a + 2b 3a + 2b − −a = 2 3
b)
5a − 2 2a − 3 2a +1 − + = 3 4 4
c)
a + b 3a − 5b 5a − 4b + − = 3 2 6
d)
a b ay 2 −bx 2 + − = x2 y2 x 2y 2
e)
x y 1 ay −b + − − = a 2 b 2 ab ab 2
f)
2 5 7 8a 2 − 21 + 2− 3− = 3a a 4a 12a 3
g)
5x + 2 x −1 − = 9 − 4x 2 3 + 2x
h)
2a 3a − a 2 − = 1+ a 1− a 2
i)
a a + = x + y x −y
j)
ax a − = x2 − y2 x + y
98 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
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15. Calcula: a)
8 4x − = x + 2x 2x + 4
b)
3 4 b − + = a + b a − b a 2 −b 2
c)
ax + ay x 2 − xy ⋅ = ax x 2 − y 2
d)
3a (x − y ) 5x (x + y ) ⋅ = 3a 2 (x − y ) x 2 (x 2 − y 2 )
e)
3x (x − y ) a (x − y ) = : 2x 2 + 2xy 2y
f)
2a + a 2 4x 2 − y 2 ⋅ = 2x 2 + xy 4 + 4a + a 2
g)
a2 −b2 a +b = : x2 − y2 x −y
h)
3x 2 x 2 − x = : x − y x2 −y2
2
2
(a −1)
2
i)
x 2 −12
:
2
a 2 −1
(x −1)
2
=
ax + x 2 (a + x ) = : 2b − cx 2bx −cx 2 2
j)
16. Dada la expresión algebraica a) a = 1 y b = -2
a +b , calcula su valor numérico para: a −b b) a = 1/2 y b = 3/4
17. Las fracciones siguientes son equivalentes. ¿Verdadero o falso? a)
2 + x x y + 2x , , 2 + y y x + 2y
b)
(x + y )
2
2
x + yx
,
x2 + y2 x + y , x 2 + yx x
18. Comprueba que el área de este trapecio es A = 2xy. x y 3x
19. Un grupo de amigos decide comprar bocadillos y refrescos para merendar; un bocadillo vale 3 € y un refresco 2 €. Escribe la expresión algebraica que da el coste de la compra. 20. Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 3x5 - x3 + 12 para x = 1 y x = -1.
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
99
PARA APRENDER MÁS 1. Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = - 2x2 - 3x + 6 para x = 2, x = 0 y x = -4. 2. Dado el polinomio P(x) = 3x3 + 5x2 - 2x4 - 6 - 3x: a) b) c) d) e) f)
Ordénalo en forma decreciente. Ordénalo en forma creciente. Halla el término independiente. Halla el grado del polinomio. Halla el valor numérico para x = 1 y para x = - 1. ¿Está el polinomio en forma reducida?
3. Dados: P = 3x5 - 4x4 + 3x - 2, Q = 4x3 - 7x2 + 5x - 3, R = 5x4 + 6x3 + 3x2 - 2x + 1, S = x2 - 7. Calcula: P + Q, R - P, 3P - 5R, Q · P, R : S. 4. Calcula las siguientes igualdades notables: a)
(2x
b)
(x
2
2
− 3x 5 )( ⋅ 2x 2 + 3x 5 )=
−1) = 2
c)
(3x + 2 )
d)
⎛ x ⎞⎛ x ⎞ ⎜ + y ⎟ ⎜ −y ⎟ = ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
2
=
e)
(3x
f)
⎛2 ⎞ ⎜ x −1⎟ = ⎝3 ⎠
(2x
2
− 3x ) = 3
b)
2
2
5. Calcula: a)
− 2y ) =
2
(3x + x ) = 2 3
6. Un viajero quiere dejar su equipaje en la consigna de una estación de trenes. En un letrero pone que el primer día se debe pagar 3 € y, por cada día que pase sin recogerlo, 2 € más. a) Escribe la expresión algebraica que da el precio para n días. b) Calcula el precio para n = 3, 5 y 10 días. x 7. Expresa con un monomio el área de la parte coloreada de la figura: x
8. Calcula: a) b) c) d) e) f)
(3x + 2 ) : (x +1) (x − 2x + x −3x + 2 ) : (x −2 ) (3x − 2x + x −6x + x −1) : (x −1) (3x + 5x − 6x −2 ) : (x −2 ) (x −3x + 2x − x + 4 ) : (x −2 ) (x + 2x −3x + 6x −5 ) : (x +2 ) 6
4
3
g)
2
5
4
3
2
3
h) i)
2
j)
6
4
3
k)
6
5
4
l)
(2x − x − 4x +5x −4x −6x +8 ) : (x −2 ) (−3x +11x −21x +11x +3 ) : (x −2x +4 ) (−10x + 6x −11x +14x +2 ) : (5x +2 ) (2x + 6x − 23x +2x +16x −3 ) : (x +5x −1) (2x − 3x − 2 ) : (x −1) (4x − 5x + 3x − 2x +5x −1) : (x −2x +1) 6
5
4
4
3
3
4
2
3
5
4
4
3
7
4
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
3
9. Calcula: a) b)
4x (3x 2 + 2x 3 )+ (4x 5 +3x −2x 4 )(2x 2 +2x 4 )=
(3x
5
c)
− 4x 3 + 2x − 7 )( ⋅ 6x 4 −3x 3 + 6x +7 )−(2x 5 +3x 4−4x ) =
d)
(x
3
− 5x 2 + 7 )( ⋅ x 6 −5x 4 +3x −1)=
3x (x −1) + 4x 2 (7x 2 +2x )(7x 2 −2x ) = 2
10. Sacar factor común: a)
18x 2 + 45x 8 +9x 2 =
b)
4x 5 + 6x 4 −10x 3 =
c)
2ax 2 − 4a 2x +12ax =
d)
6a 2 4ab 2a 3b + − = 25 5 15
e)
3x (x 2 −1)+ (x 2 −1) − (x 2 +1)( ⋅ x 2 −1)=
f)
4 (x − 3 )− 5 (x −3 ) + (x + 3 )⋅(x −3 )=
g)
3( x − 2) + ( x − 2) 2 − 2x ( x − 2) + ab( x −2) 3 =
2
2
11. Descomponer en factores utilizando las igualdades notables: a) b) c)
x4 − y4 = 4− x2 = 4 2 16 x − = 9 25
100 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
d) e) f)
a 6 −1= 4x 6 − y 4 =
g) h)
16y 2 − x 4 = 9x 4 − y 2 =
9 4 x −1= 25
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12. Descomponer en factores: a)
x 4 − y2 =
c)
a 2 −16ab + 64b 2 =
e)
32 − 2a 4 =
b)
x 2 + 64 −16x =
d)
18 − 2b 2 =
f)
45a 2y 4 −125x 2 =
13. Simplificar: a) b)
10ab 2x 4 = 15ab 2c x 3 y + 2x 2y + xy = x 2 y − xy − 2y
c) d)
9a 2 − 4b 2 = 9a 2 +12ab + 4b 2 9b3 − 6b 2 +b = 9b3 − 3b 2
e) f)
9a 2 + 30ab + 25b 2 = 3a + 5b x −y = y−x
14. Realiza las siguientes operaciones: a) b) c) d) e) f) g)
a + b a −b 3a − 2b b + − − = 2 4 6 3 −a b a + b a − − + = 24 48 48 4 15x 2 100x 25x 5x 2 + − + = 4 3 3 4 1 4 5b − 2 + = 3yb 6y b 9yb 2 3x 5y 3z 20ay +9z + + − = 2a 3a 2 4a 3 12a 3 y 2 + 4y y +1 5 − + = 8y 2 2y 12
x 1− x − = x + x 2 2 + 2x 2 1 3 +a i) + − = 1+ a 1− a 1−a 2 1 2x 1 + 2 − = j) x +1 x −1 x −1 a a 2b 2 − − 2 2= k) a − b a + b a −b x +1 1 x +4 − − = l) x 2 2x + 4 2x 2 + 4x 3 (x − 2y ) x2 −y2 ⋅ = m) 2 2 x − 2xy + y 12x − 24y
h)
3 1+b 2b −b 2 − + = 4b 3b 2 6b 3
n)
o) p) q) r) s) t)
2 ⎛ y ⎞ ⎛ x − xy ⎞ ⎟= ⎜ 1+ ⎟⋅⎜ 2 ⎝ x ⎠ ⎝ 2y ⎠
x 2 − y 2 3x ⋅ = x 2 + xy x − y x 3 − x 2 3x 3 −3x : = x − 5 x 2 − 25 (a + b)3 ( a + b) 2 = : a 2 − b 2 ( a − b) 2 x −1 x (x +1) = : x 2 −1 x 2 + 2x +1 ⎛ 3 3x 2 ⎞ ⎜ − ⎟⋅4xy = ⎝y 2 ⎠ 3 ⎛ xy 1 ⎞ 10z ⋅ : ⎜ 2 ⎟ 2 = ⎝ 5z x +1 ⎠ x −1
15. Expresa con un monomio el área de la parte coloreada de estas figuras:
x
x
x
x
x
x
16. Calcula las siguientes igualdades notables: a)
(6 − 2x ) =
b)
2⎞ ⎛3 ⎜ x− ⎟ = 2 3 ⎝ ⎠
2 2
(a
2
(x
⎛4 3 4⎞ ⎜ x − ⎟ = 9⎠ ⎝3
h)
⎛5 3 2⎞ ⎜ x −x ⎟ = ⎝4 ⎠
(x + 2y ) =
i)
(3x
e) f)
2
c)
g)
d)
3
− 4y ) = 2
+ 2 )(x 5 − 2 ) = 2
2
− 2x 2 )(a 2 + 2x 2 ) =
5
2 2
(2x
3
+ 3 )(2x 3 −3 ) =
17. Calcula: a) b) c) d) e) f) g) h)
(x + 5x + 2x +13x −13x +2 ) : (x +3x −2 ) (3x + x + 5x + x −5 ) : (x −3x +1) (6x + 5x − 7x +3x + 2 ) : (2x +3x −1) (x − 5x +11x −12x +6 ) : (x −x +2 ) (6x − x + 5x +3x −14 ) : (2x −3x +7 ) (x − 2x + 2x −1) : (2x −x +3 ) (4x + 5x ) {(5x + 6 )(5x −6 )}= 4x (3x + 2x ) + (5x − 2x )(5x +2x )= 5
4
4
3
3
2
4
3
4
2
2
2
3
3
3
2
3
4
2
2
2
2
2
2
2 2
2
3 2
COLEGIO VIZCAYA
2
4
2
4
i) j) k) l) m) n) o) p)
(3x + 5x − x −8 ) : (x +2 ) (5x − 3x + 8x − 6 ) : (x −3 ) (8x −3x + x + 20 +12x ) : (x +3 ) (x − 3x + 3 − x ) : (x −3 ) (x − 3x + 2x +5 ) : (x −3 ) (x − 2x + 3x −7 ) : (x +1) (5x − 2x + 3 )(4x −2 +7x )− ⎡⎣(3x −2 )⋅(4x +1)−5x ⎤⎦ +1 = (7x − 2x +1)−3 (x −2x −3 )−4 (5x +6 )⋅(4x −3 )= 4
3
3
3
2
4
2
2
4
2
5
4
3
2
2
6
2
4
2
EXPRESIONES ALGEBRAICAS 101
18. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) junto a Arquímedes y Newton, es sin duda uno de los tres grandes genios que ha ocupado el podium de las matemáticas a lo largo de la historia. Las aportaciones de Gauss se produjeron en todos los campos de las matemáticas (teoría de números, análisis, geometría…) y en la física (óptica, magnetismo…). Cualquier gran descubrimiento que se produjo en matemáticas durante el siglo XIX se encuentra tras la sombra de la figura de Gauss. Aunque muchos de sus descubrimientos no vieron la luz hasta después de su muerte. Se cuenta que cuando Gauss tan sólo tenía 10 años se encontraba en la escuela en un aula junto con otros cien alumnos. Aunque la disciplina en aquella época era muy férrea, un día el profesor les pilló a todos tirándose papeles y tizas en clase. El profesor muy enfadado, ordenó a todos los alumnos, como castigo, que sumaran todos los números del 1 al 100. Nada más terminar de proponer el problema, Gauss fue a la mesa del profesor y le dio la respuesta correcta. ¿Serias capaz de realizar esta suma en tan poco tiempo? Encuentra una expresión para la suma de los n primeros números naturales. 19. Escribe el área y el perímetro de estas figuras: x 5
2
x+1
x-2
x+3
x x
x-1
x-2
7
3
x-5
x+2
x+5
x+1
20. Realiza las siguientes operaciones: x 2 − 2ax + a 2 = mx −ma a 2 + 2ab +b 2 b) = a2 −b2 x 3 − 2x 2 = c) x 4 − 4x 3 + 4x 2 14a 2 − 7ax d) = 10ay −5xy a + b a −b 3a − 2b b + − − = e) 2 4 6 3 3x 5y x y f) + − + = 4 6 2 3 a + b b 2 − 2b 2a −4 g) − − + = 2ab 4b 2 8a 2a − 4 a + x x 2 − 2x h) − − = 8a 2ax 4x 2 3 − x 2x x −1 i) + − = x x −1 3x 2a 2a −1 1 j) + − = 1− 2a 2a 2a − 4a 2 3a 2b a 2 −3 ab k) − − = a −b a +b a2 −b2 x x 2y 2 l) − − 2 2= x − y x + y x −y 5x 1 12 + y 3y m) + − + = 4 4y 4y 2 y 3
a)
102 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
n) o) p) q)
3a 2 x = 6a 2 − 9a 3x 15mn2 −12m 2n = 21 m 2n 2 2b 2a +1 2a 2 + 2b 2 − − 2 2 = a −b a +b a −b x2 − y2 x +y ⋅ = x − y x 2 + 2xy + y 2
(x −1) (x +1)y 2 2
r)
y
3
⋅
x −1
=
s)
b + ax c − x 2y 2 ⋅ = c − xy b 2 − a 2x 2
t)
xy a 2y 2 x 2 − y 2 ⋅ ⋅ = a (x + y ) x axy 2
u) v) w) x) y)
2
x −1 x 2 −1 = : x +1 x a 2 − 2ab + b 2 a −b = : x2 −y2 x −y 1+ a a 2 −b 2 = : b ab −b 2 x2 − 4 :( 2 + x ) = 2 x − 2x +1 x − y 3 + x y −5 x −2 + − + = 21 49 42 14
z) a’) b’) c’) d’) e’) f’) g’) h’) i’) j’) k’) l’)
a a −1 a −b b + − + = 2b 3b 6b 4 a a 2 −1 a 2 +b b 2 − + − = 3b b 2 ab a 2 1 1− a 2 a+ − = 1+ a 1−a 1 x +1 1+ 2 − 2 = x x +x x2 + y2 y −x x +y + − = x 2 − y 2 x + y x −y a + b a −b 4ab − − = a − b a + b a 2 −b 2 1+ x 1− x x 2 + + +1= 1− x 1+ x 1−x 2 x + 5 3 − x 3x − − = 2x − 4 x 2 − 4 x + 2 4−x 3 x −5 − − = 2 5 − 3x 25 −9x 5 +3x x −y 3x 2 − y 2 = − 2 x + y x + 2xy + y 2 2x 3x +1 1− x + − = x −1 x −1 x 2 −1 3 1 x +10 + − 2 = 2x − 4 x − 2 2x −8 3a 3a + 2b 4b + + 2 = 2 3ab − 2b 12ab 9a −6ab
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El estudio de las ecuaciones a lo largo de la historia es una parte de las matemáticas que ha interesado y han estudiado casi todos los matemáticos desde la antiguedad. La cultura babilónica, que tuvo su explendor entre los años 2000 y 1000 a.C., nos ha dejado unas tablillas de arcilla sobre las que escribían y por las cuales sabemos que su numeración era posicional y sexagesimal, y que además resolvían problemas que requerían la utilización de ecuaciones de primer y segundo grado, entre otras.
Papiro de Rhind.
Así mismo, también se conservan papiros de la cultura egipcia, como el papiro de Rhind (5’48 m x 0’33 m) o el papiro de Moscú, entre los que se encuentran 110 problemas relacionados con la vida cotidiana que requieren de la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.
Pero sin duda Diofanto de Alejandría (Siglo III d.C.) es considerado como uno de los más importantes algebristas griegos, además del padre del álgebra. Su obra más importante que conocemos es un tratado llamado Arithmetica, que constaba de 13 libros de los cuales sólo conocemos los seis primeros. En él se plantean una colección de problemas sobre aplicaciones del álgebra. Poco se conoce de su vida, salvo la edad a la que falleció, gracias al epitafio redactado en forma de problema que se encuentra en su tumba: “¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! La duración de su vida, cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba. A partir de ahí, la séptima parte de existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito. Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra, habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir. Por su parte Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo. Dime, caminante, cuántos años vivió Diofanto hasta que le llegó la muerte.”
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ECUACIONES
103
PARA EMPEZAR 1.
Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2 (x − 3 )− 3 (x − 4 ) =1
b)
2.
x −1 x − 2 x − 3 − − =0 2 3 4
c)
3x − (2x − 5 )= 12
d)
3x + 3 3x − 2 1 x + 3 − = + 4 3 6 12
Dadas las ecuaciones siguientes, comprobar que: a) 3x = 12 tiene solución x = 4. b) 2x2 = 8 tiene dos soluciones: x = 2 y x = - 2. c) 2x - x = 12 + x no tiene solución.
3.
Resuelve los siguientes sistemas por el método que se indica: a)
x + y = 10 ⎫ ⎬ x−y=2 ⎭
b)
3x − y = 2 ⎫ ⎬ 2x + 3y = 16 ⎭
104 ECUACIONES
Gráficamente
Igualación
c)
2x − 3y = 3 ⎫ ⎬ x − 2y = 1 ⎭
Sustitución
d)
3x + 4y = 4 ⎫ ⎬ − x + 2y = 2 ⎭
Reducción
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4.
Encuentra un número cuyo doble disminuido en su mitad sea igual al mismo número aumentado en una unidad.
5.
Encuentra tres números cuya suma sea 472, sabiendo que el mayor vale los 3/2 del menor y que el valor del mediano es solamente 8 unidades inferior al del mayor.
6.
El perro de Aitor tiene 12 años menos que él. Dentro de 4 años, Aitor tendrá el triple de la edad de su perro. ¿Cuál es la edad de Aitor y la de su perro?
7.
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado: x2 - 2x - 3 = 0.
PARA RECORDAR 1. ECUACIÓN. Queremos resolver el siguiente problema: "Calcula tres números sabiendo que el primero es 20 unidades menor que el segundo, el tercero es igual a la suma de los dos primeros y entre los tres suman 120." A simple vista, resolver este problema podría resultar muy complicado, sin embargo has aprendido a utilizar una herramienta que te puede facilitar su resolución. Esta herramienta es el álgebra. Lo primero que tienes que hacer es traducir al lenguaje algebraico el problema. Para ello al dato que desconocemos le llamaremos incógnita y lo vamos a representar con la letra x. El segundo número
x
Traduce ahora tu el resto del problema: El primer número es 20 unidades menor que el segundo El tercer número es igual a la suma de los primeros Entre los tres suman 120 Como ves si el enunciado del problema lo expresamos en lenguaje algebraico, se reduce a la expresión anterior que ahora es muy fácil de resolver dejando los términos que tienen x a la izquierda de la igualdad y los términos que no tienen x a la derecha. Resuelve la ecuación, da la solución del problema y después compruébala.
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ECUACIONES
105
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Resolver una ecuación es encontrar el valor, o valores, que deben tener las incógnitas para que la igualdad sea cierta. El valor numérico de la incógnita se llama solución. Las ecuaciones que tienen solución se llaman compatibles. En caso contrario, incompatibles. Comprobar una ecuación consiste en sustituir las letras por los valores obtenidos y ver si la igualdad resultante es cierta. Este paso conviene hacerlo siempre para ver si la solución es correcta.
2. GRADO DE UNA ECUACIÓN. Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el grado de la ecuación: 3x + 5 = 2x - 7? b) ¿Y de la ecuación x2 - 2x + 1 = 0? c) ¿Cuántas soluciones tienen cada una de las dos ecuaciones anteriores? d) ¿Cuántas soluciones tendrá una ecuación de tercer grado? e) ¿Y una de cuarto grado? f) ¿Cuál es el grado de la ecuación (x + 3)·(x - 2) = 0?
Grado de una ecuación: es el máximo exponente con el que figura la incógnita después de haber realizado las operaciones indicadas.
PARA PRACTICAR 8.
Traduce al lenguaje algebraico: a) b) c) d) e) f) g)
9.
La tercera parte de un número. La octava parte de un número. La vigésima parte de un número. Las dos terceras partes de un número. Las tres quintas partes de un número. Las cinco octavas partes de un número. Las cuatro quintas partes de un número.
h) i) j) k) l) m) n)
La mitad de un número. El doble de un número. El triple de un número. El quíntuplo de un número. El cuádruplo de un número. Siete veces un número. Dos veces un número.
Completa la frases siguientes con un número: a) b) c) d) e) f) g) h)
12 excede a 10 en ........... unidades. 15 disminuido en ............ unidades da 8. Si se añaden ................. unidades a 16 se obtiene 20. .................... excede a 30 en 6 unidades. Si le resto 8 unidades a .................. obtengo 10. 12 disminuido en 3 unidades, excede a 4 en ............... ................... disminuido en 8 unidades da 3. Si a 15 le resto .................... unidades resulta 8 aumentado en 3 unidades.
106 ECUACIONES
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10.
Expresa los siguientes enunciados con una ecuación de segundo grado: a) b) c) d)
11.
El producto de un número natural por otro consecutivo es 416. El área de un rectángulo cuya base tiene 3 cm más que la altura es 108 m2. La edad de Aitor por la edad que tendrá dentro de 9 años es 360. El cuadrado de la diferencia entre un número y 7 es 121.
Indica el grado de las siguientes ecuaciones. ¿Es el valor 5 solución de alguna de ellas? a) b) c) d)
7x + 1 = 34 x2 + 7 = 4x + 12 x4 - 400 = 325 x2 + 6x + 5 = 0
e) f) g) h)
x3 + x2 + x + 1 = 156 (x + 7)2 = 144 10x + 25 = x3 3(x2 + 1) = 78
PARA RECORDAR 3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO: Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita debemos seguir siempre unos pasos para evitar equivocarnos. Recordemos con un ejemplo cuáles son esos pasos: Ejemplos: Resuelve la ecuación:
3x-1 2 (x+3 ) 4x+2 = -5 20 5 15
1º Quitar los denominadores: (m.c.m.=60 )
3⋅(3x −1)−12 ⋅2 (x +3 ) 4⋅(4x + 2 )− 60 ⋅5 = 60 60
→
3 ⋅( 3x − 1 ) − 24 (x + 3
)
= 4 ⋅(4x + 2 )−300
9x −3 − 24x − 72 =16x +8 −300
2º Eliminar los paréntesis: 3º Dejar los términos en x en un miembro:
9x − 24x −16x = 8 −300 +3 +72 −31 x = −217
4º Simplificar cada miembro:
x=
5º Despejar la x:
−217 =7 −31
La solución es x = 7. 6º Comprobar:
3x −1 2 (x + 3 ) 4x + 2 − = −5 20 5 15 x =7→
3⋅7 −1 2 (7 + 3 ) 4 ⋅7 + 2 − = −5 20 5 15 20 20 30 − = −5 20 5 15 1 − 4 = 2 −5 − 3 = −3
PARA PRACTICAR 12.
Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3 (3x +1)− (x −1)= 6 (x +10 )
c) x (x − 9 )− 4 = (x − 7 )(x + 7 )
b) 4 (x −1)− 7 (x − 6 )= 5 (x + 6 )
d) 8 (3x − 2 )− 4 (4x −3 ) = 6 (4 −x )
COLEGIO VIZCAYA
e) 3x − (x + 2 )+ 7 = 2 (x + 4 )− 3x − (2 − 5x )
ECUACIONES
107
13.
14.
Resuelve las siguientes ecuaciones: a)
x + 7 7 − x x −7 − = +7 2 6 12
c)
5 + x 5 − x 1+ x − = −1 4 5 4
b)
x −1 x + 2 3x −1 − = −x 4 3 6
d)
x x −2 14 − x 5x − =5+ − 4 5 2 12
e)
6x −1 5x − 6 2x +1 − = 5 7 3
Observa el ejemplo y resuelve las demás ecuaciones de forma análoga: a)
x + 42 4x + 72 = 2 3 3 (x + 42 ) = 2 (4x + 72 )
c)
x +3 = x +5 3
d)
x −1=
4x − 12 −4
e)
x −5 =
f)
x − 7 x −1 + = x −5 4 3
3x + 126 = 8x +144 3x − 8x = 144 −126 −5x = 18 x=−
b) 1 −
18 5
x +1 x + 4 x +3 = − 5 5 2
108 ECUACIONES
x − 2 x −3 − 2 3
COLEGIO VIZCAYA
PARA RECORDAR 4. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Toda ecuación de segundo grado con una incógnita se puede expresar de la forma: ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0 . Toda ecuación de segundo grado tiene dos soluciones que pueden ser iguales o distintas y se obtienen aplicando la siguiente fórmula: x=
Demostración:
−b ± b2 − 4ac 2a
Tomamos la ecuación →
a x 2 + bx + c = 0
Pasamos c al segundo miembro →
ax 2 + bx = − c
Para que aparezca un cuadrado perfecto: - Multiplicamos por 4a →
4a 2 x 2 + 4abx = −4ac
- Sumamos b2 →
4a 2 x 2 + 4abx +b 2 = − 4ac +b 2
Escribimos la igualdad notable →
(2ax
Tomamos la raíz cuadrada →
2ax +b = ± b 2 −4ac
Pasamos b al segundo miembro →
2ax = −b ± b 2 − 4a c
Finalmente despejamos la x →
x=
+ b ) = b 2 − 4ac 2
⎛ ⎜ 9 = ±3 porque ⎜ ⎝
⎞ ⎟ 2 − 3 =9 ( ) ⎟⎠
32 =9
−b ± b 2 − 4ac 2a
Las dos soluciones se obtienen al coger el signo + y - en la expresión anterior.
Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. a)
2x 2 - 5x + 2 = 0
x=
(a = 2, b = −5, c = 2 )
−b ± b 2 − 4ac 5 ± 25 − 4 ⋅ 2 ⋅2 5 ± 25 −16 5 ± 9 5 ±3 = = = = = 2a 2⋅2 4 4 4
1 Las dos soluciones son: x = 2 y x = . 2
x =
x (x - 1) = 12
x=
→
1 →2 2
2
1 2 5 2 10 8 ⎛ 1⎞ ⋅ ⎜ ⎟ −5 ⋅ +2 = − +2 = − + =0 2 2 4 2 4 4 4 ⎝ ⎠
x 2 − x =12
→
x 2 −x −12 =0
a ( = 1, b = −1, c = −12 )
−b ± b 2 − 4ac 1 ± 1 − 4 ⋅1⋅ (−12 ) 1 ± 1 + 48 1 ± 49 1 ±7 = = = = = 2a 2 ⋅1 2 2 2
Las dos soluciones son: x = 4 y x = - 3. Comprobación :
1+ 7 8 = =4 2 2 1 − 7 −6 = = −3 2 2
x = 4 → 4 2 − 4 − 12 = 16 − 4 −12 = 0 x = −3 → (−3
COLEGIO VIZCAYA
5−3 2 1 = = 4 4 2
x = 2 → 2 ⋅ 2 2 − 5 ⋅2 + 2 = 8 −10 + 2 = 0
Comprobación :
b)
5+3 8 = =2 4 4
) − (−3 ) − 12 2
= 9 + 3 − 12 = 0 ECUACIONES
109
PARA PRACTICAR 15.
Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x2 - 5x + 4 = 0
b) x2 - 9x + 14 = 0
c) - x2 + 9x - 18 = 0
d) 4x2 - 32x = 0
e) 2x2 - 5x + 2 = 0
f) - x2 + 7x + 18 = 0
g) 4x2 - 16 = 0
h) x2 - 10x + 21 = 0
i) 12x2 - x - 1 = 0
16.
En la ecuación x2 + bx + 15 = 0, una solución es 5. ¿Cuánto vale b? ¿Cuál es la otra solución?
17.
¿Cuáles de las siguientes ecuaciones de segundo grado tienen como soluciones x = 1 y x = 3? a) (x - 1)(x + 3) = 0
c) (x + 1)(x - 3) = 0
e) x2 - x = 0
b) (x + 1)(x + 3) = 0
d) x2 - 3x = 0
f)
110 ECUACIONES
x2 - 4x + 3 = 0
COLEGIO VIZCAYA
PARA APRENDER 5. RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN INCOMPLETA DE SEGUNDO GRADO. Recuerda que una ecuación de segundo grado se puede expresar de la forma ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0. En muchas ocasiones nos vamos a encontrar ecuaciones incompletas en las que no hay b o c: 2x2 - 4 = 0 3x2 - 6x = 0 - 5x2 = 0
b=0 c=0 b=c=0
(a = 2, b = 0, c = - 4) (a = 3, b = - 6, c = 0) (a = - 5, b = 0, c = 0)
Las ecuaciones incompletas, como cualquier ecuación de segundo grado, se pueden resolver aplicando la fórmula, pero también es posible resolverlas directamente de una forma más sencilla. Veamos algunos ejemplos: Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones: a)
2x 2 - 32 = 0 (b = 0) Despejamos la x 2:
2x
2
= 32 32 = 16 2
x2 = Tomamos la raíz cuadrada:
x = ± 16 = ± 4
Las soluciones son x = 4 y x = - 4. x = 4 → 2 ⋅4 2 −32 =32 −32 =0
Comprobación :
x = −4 → 2 ⋅(− 4
b)
-3x 2 = 0
2
− 32 = 32 − 32 = 0
(b = 0, c = 0) 0 = 0 −3
Despejamos la x 2:
x 2=
Tomamos la raíz cuadrada:
x =± 0 = ±0
Las soluciones son x = 0 Comprobación :
c)
)
(se dice que la solución es doble)
x = 0 → −3 ⋅0 =0
4x 2 - 8x = 0 (c = 0) x ⋅ (4x −8 ) = 0
Sacamos factor común x:
Igualamos a 0 cada uno de los dos factor es (si el producto de dos factores es 0 es porque o bien el 1º es 0, o bien po rque el 2º es 0) :
Las soluciones son x = 0 y x = 2 Comprobación :
x =0 8 4x − 8 = 0 → 4x = 8 → x = = 2 4
x =0 → 4 ⋅ 0 2 − 8 ⋅ 0 = 0 − 0 = 0 x = 2 → 4 ⋅ 2 2 − 8 ⋅ 2 = 16 − 16 = 0
PARA PRACTICAR 18.
Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x2 - x = 0
d) 2x2 = 0
g) 4x2 - 9 = 0
b) x2 + 2x = 0
e) 3x2 - 12 = 0
h) 8x2 + 16 x = 0
c) 3x2 - 4 = 28 + x2
f)
i)
COLEGIO VIZCAYA
(x - 5) (x + 1) + 5 = 0
(3x + 2) (3x - 2) = 77 ECUACIONES
111
PARA RECORDAR 6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES. Muchos de los problemas que nos podemos encontrar pueden tener una fácil resolución si los traducimos al lenguaje algebraico y planteamos una ecuación que nos relacione los datos conocidos con los que queremos averiguar. Sin embargo conviene seguir una serie de pasos de forma ordenada si queremos tener éxito.
Pasos que hay que dar a la hora de resolver un problema: 1. 2. 3. 4. 5.
Determinar la incógnita e identificar los datos conocidos. Expresar mediante una ecuación todos los datos. Resolver la ecuación. Dar la solución a la pregunta o preguntas del problema. Comprobar el resultado obtenido.
A continuación te proponemos una serie de problemas a resolver. Sigue los 5 pasos anteriores de forma organizada y recuerda que en muchas ocasiones un dibujo o un diagrama del enunciado ayuda a resolver el problema. Para que te resulte más sencillo en algunos de los problemas te damos alguna indicación. Problema 1: La mitad de mi paga, más la tercera parte, más la quinta parte menos 1 € es igual a mi paga. ¿Cuánto me dan de paga?
Problema 2: Jon tiene 7 años más que su hermana y dentro de 6 años tendrá el doble de la edad de ésta. ¿Cuántos años tiene cada uno? Edad actual
Edad dentro de 6 años.
Jon Hermana
112 ECUACIONES
COLEGIO VIZCAYA
Problema 3: La base de un rectángulo es 10 cm más larga que la altura. Su área mide 600 cm2. Calcula las dimensiones del rectángulo.
Problema 4: Se mezclan 30 Kg de café de 6 €/Kg con cierta cantidad de café superior de 8 €/Kg, resultando una mezcla de 7'25 €/Kg. ¿Qué cantidad de café superior se ha utilizado? 1er café 30
Café superior
Mezcla
x
30 + x
Precio
6
8
7’25
Coste
30·6 = 180
8x
7’25·(30 + x)
Cantidad
Problema 5: Dos personas A y B que distan entre sí 45 km, empiezan a caminar por la misma carretera una al encuentro de la otra. La primera (A) con velocidad de 5 km/h y la segunda (B) con velocidad de 4 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo y dónde se encontrarán? 5 km/h
A
4 km/h
C (punto de encuentro)
B
Llamamos x al número de horas que tardarán en encontrarse. Distancia total recorrida = Distancia AC + Distancia BC 45 = VA · t + VB · t 45 = 5 · x + 4 · x
COLEGIO VIZCAYA
Recuerda: espacio = velocidad · tiempo
ECUACIONES
113
Problema 6: Dos ciclistas, A y B, se dirigen al mismo punto y salen también del mismo punto. La velocidad de A es de 30 km/h, y la de B, 37’5 km/h. El ciclista B sale dos horas y media más tarde que A y lo alcanza en el momento de llegar ambos al punto de la cita. ¿Cuánto tiempo ha empleado B y qué distancia ha recorrido? 37’5 km/h
B
30 km/h
Momento en el que sale B
A
C
Llamamos x al número de horas empleado por B. Entonces, x + 2’5 es el tiempo empleado por A. Camino recorrido por A = Camino recorrido por B VA · tA = VB · tB 30 · (x + 2’5) = 37’5 · x
PARA PRACTICAR 19.
A las 9 de la mañana sale un coche de un punto A con una velocidad de 80 km/h. Dos horas más tarde sale un coche en el mismo sentido con una velocidad de 120 km/h. ¿A qué distancia del punto A le alcanzará?
20.
Busca un número tal que sumando sus tres cuartas partes más su quinta parte y quitándole la mitad se convierte en 36.
21.
Un padre tiene 39 años y su hijo 15. ¿Cuántos años hace que la edad del padre era el triple que la edad del hijo?
114 ECUACIONES
COLEGIO VIZCAYA
22.
Se desea mezclar vino de 5'5 €/litro con otro de 4 €/litro de modo que la mezcla resulte a 4'5 €/litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 300 litros de la mezcla?
23.
Un padre deja su herencia a los hijos: a uno la mitad, a otro la tercera parte, a otro la doceava parte, y 6 millones para saldar deudas. ¿Cuántos millones dejó?
24.
La edad de un padre es cuádruple de la edad de su hijo. Halla ambas edades sabiendo que dentro de 4 años la edad del padre será triple de la edad del hijo.
25.
Las medidas de los lados y la diagonal de un rectángulo son tres números consecutivos. Halla los valores de esos elementos.
26.
Halla un número sabiendo que si a su consecutivo lo dividimos por 4 nos resulta el primero disminuido en 17 unidades.
27.
De un punto salen dos personas, una en dirección norte y la otra en dirección oeste. La primera marcha a 6 km/h, y la segunda, a 8 km/h. ¿Qué tiempo tardarán en estar una de la otra a 5 km de distancia?
28.
Si al cuadrado de un número le quitas su doble, obtienes su quíntuplo. ¿Cuál es ese número?
COLEGIO VIZCAYA
ECUACIONES 115
PARA RECORDAR 7. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES. Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Toda ecuación de 1er grado con dos incógnitas se puede escribir de la forma: ax + by = c, donde a, b y c son números reales y x e y las incógnitas. A esta ecuación se le llama ecuación lineal. Cuando tenemos dos ecuaciones de 1er grado con dos incógnitas (o dos ecuaciones lineales), decimos que tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: ax + by = c ⎫
⎬
a'x + b'y = c' ⎭
x e y son las incógnitas. Los números a, b, a', b' son los coeficientes de las incógnitas. Los números c y c' son los términos independientes. Resolver un sistema de dos ecuaciones de 1er grado con dos incógnitas es encontrar el valor de las incógnitas x e y que cumplan a la vez ambas ecuaciones. Si las dos ecuaciones representan a dos rectas, esos valores corresponden con su punto de corte. Si un sistema tiene solución, se dice que es compatible. En caso contrario, incompatible.
Ejemplo: x + y = 7 y 3x - y = 9 son dos ecuaciones lineales x+y =7 ⎫ ⎬ es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 3x - y = 9 ⎭ Incógnitas : x, y Coeficientes : 1, 1, 3, -1 Términos independientes : 7, 9 Solución : x = 4, y = 3 →
x + y = 7 ⎫ 4 + 3 = 7 ⎫7 = 7 ⎫ ⎬ ⎬ ⎬ 3x - y = 9 ⎭ 3 ⋅ 4 - 3 = 9 ⎭12 - 3 = 9 ⎭
PARA PRACTICAR 29.
Averigua qué sistemas tienen como solución el par x = - 1, y = 4. a)
30.
b)
2x − y = 6 ⎫ ⎬ 3x + y = 1 ⎭
c)
−4x − y = 0 ⎫ ⎬ 2x + y = 2 ⎭
d)
3x − 2y = −11⎫ ⎬ 2x + 3y = 10 ⎭
Completa los siguientes sistemas para que la solución de ellos sea x = 2, y = - 1. a)
31.
x + y = 3⎫ ⎬ x − y =5⎭
x + 2y = ...⎫ ⎬ x − y = ... ⎭
b)
2x − y = ...⎫ ⎬ 3x − y = ... ⎭
Escribe un sistema de ecuaciones con dos incógnitas cuya única solución sea x = 1, y = 1.
116 ECUACIONES
COLEGIO VIZCAYA
PARA RECORDAR Métodos para resolver sistemas de ecuaciones: Hay 4 métodos para resolver sistemas de ecuaciones. A continuación te ponemos un ejemplo de cada uno: Método gráfico: Vamos a resolver el sistema:
x+y=5 ⎫
⎬
2x - y = 7 ⎭
Representamos gráficamente las dos ecuaciones del sistema sobre un mismo eje de coordenadas. Así obtenemos dos rectas. El punto de corte de las dos rectas es la solución del sistema, porque es el único punto que cumple las dos ecuaciones:
x
+
y
=
5
(x, y) = (4, 1) x=4 y=1
(4,1)
Si no hay punto de corte, el sistema es incompatible.
⎬
⎬
=7
Comprobémos la solución: x + y = 5 ⎫ 4 + 1= 5 ⎫ 5 = 5 ⎫
⎬
2x
-y
2x - y = 7 ⎭ 2 ⋅ 4 - 1= 7 ⎭ 7 = 7 ⎭ ↑
x=4 y=1
PARA PRACTICAR 32.
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones gráficamente: a)
x + 2y = 12 ⎫ ⎬ 2x + y = 9 ⎭
COLEGIO VIZCAYA
b)
x+y=3 ⎫ ⎬ x + 5y = 10 ⎭
c)
x + 2y = 5 ⎫ ⎬ x+y=4 ⎭
ECUACIONES
117
Método de sustitución: 2x - y = 8 ⎫
Vamos a resolver el sistema:
⎬
4x + 5y = 2 ⎭
1er PASO: Despejamos una incógnita (elegiremos la más fácil para despejar) en una de las ecuaciones: 2x - y = 8 ⎫ ⎬ → y = 2x - 8 4x + 5y = 2 ⎭ 2º PASO: Sustituimos el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación: ⎫ ⎫ y = 2x - 8
⎬
⎬
4x + 5y = 2 ⎭ → 4x + 5 (2x - 8 ) = 2 ⎭
3er PASO: Resolvemos la ecuación obtenida: 4x + 10x - 40 = 2 4x + 10x = 2 + 40 14x = 42 x=
42 14
=3
4º PASO: Sustituimos el valor de la incógnita obtenida en la ecuación que hemos despejado en el 1er paso: y = 2x - 8 = 2 ⋅ 3 - 8 = 6 - 8 = -2 ↑
x=3
La solución del sistema es: x = 3, y = - 2. 5º PASO: Comprobar el resultado: 2x - y = 8 ⎫ 2 ⋅ 3 - (-2 ) = 8 ⎫⎪ 6 + 2 = 8 ⎫ 8 = 8 ⎫ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ 4x + 5y = 2 ⎭ 4 ⋅ 3 + 5 (-2 ) = 2 ⎪⎭ 12 -10 = 2 ⎭ 2 = 2 ⎭ ↑
x=3 y=-2
PARA PRACTICAR 33.
Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución: a)
6x + 5y = 23 ⎫ ⎬ −4x + y = −11⎭
118 ECUACIONES
b)
⎫ ⎬ 3x + 2y =12 ⎭ 2x + y = 7
c)
3x + 2y = 56 ⎫ ⎬ 2x + y = 34 ⎭
COLEGIO VIZCAYA
Método de igualación:
⎫ ⎬ 2x + 3y = 7 ⎭ x-y=6
Vamos a resolver el sistema:
1er PASO: Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones: x-y=6
⎫ → x = y+6 ⎫ ⎪ ⎪ 7 - 3y ⎬ ⎬ 2x + 3y = 7 ⎪⎭ → x = 2 ⎭⎪
2º PASO: Igualamos las dos expresiones: y+6=
7 - 3y 2
3er PASO: Resolvemos la ecuación obtenida: 2y + 12
7 - 3y = 2 2 2y + 3y = 7 - 12 5y = -5 y=
-5 5
= -1
4º PASO: Sustituimos el valor de la incógnita obtenida en cualquiera de las expresiones obtenidas en el 1er paso: x = y + 6 = -1+ 6 = 5 ↑
y=-1
La solución del sistema es: x = 5, y = - 1. 5º PASO: Comprobar el resultado: ⎫⎪ 5 +1= 6 ⎫ 6 = 6 ⎫ ⎫ 5 - (-1) = 6 ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ 2x + 3y = 7 ⎭ 2 ⋅ 5 + 3 (-1) = 7 ⎪⎭ 10 - 3 = 7 ⎭ 7 = 7 ⎭ x-y=6
↑
x=5 y=-1
PARA PRACTICAR 34.
Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación: a)
2x + y = 7 ⎫ ⎬ 5x + 2y = 12 ⎭
COLEGIO VIZCAYA
b)
x − y = −7 ⎫ ⎬ 10x − 2y = −38 ⎭
c)
x+y=4 ⎫ ⎬ 3x + y = 8 ⎭
ECUACIONES
119
Método de reducción: 3x - 2y = 10 ⎫
Vamos a resolver el sistema:
⎬
x + 3y = 7 ⎭
1er PASO: Multiplicamos los dos miembros de cada ecuación por números adecuados para que los coeficientes de una de las incógnitas sean números opuestos: En nuestro caso basta con multiplicar por - 3 la segunda ecuación. 3x - 2y = 10 ⎫ 3x - 2y = 10 ⎫ ⎬ ⎬ x + 3y = 7 ⎭ → - 3x - 9y = -21 ⎭ ⋅(-3)
2º PASO: Se resuelve la ecuación que se obtiene al sumar las dos ecuaciones anteriores: 3x - 2y = 10 - 3x - 9y = -21 / -11y = -11 y =1
3er PASO: Sustituimos el valor de la incógnita obtenida en cualquiera de las ecuaciones del sistema: x + 3y = 7 → x = 7 - 3y = 7 - 3 ⋅1= 4 ↑
y=1
La solución del sistema es: x = 4, y = 1. 4º PASO: Comprobar el resultado: 3x - 2y = 10 ⎫ 3 ⋅ 4 - 2 ⋅1= 10 ⎫12 - 2 = 10 ⎫10 = 10 ⎫ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ x + 3y = 7 ⎭ 4 + 3 ⋅1= 7 ⎭ 4 + 3 = 7 ⎭ 7 = 7 ⎭ ↑
x=4 y=1
PARA PRACTICAR 35.
Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción: a)
3x − 2y = 6 ⎫ ⎬ 9x + 4y = 108 ⎭
120 ECUACIONES
b)
5x + 3y = 27 ⎫ ⎬ −3x + 8y = 7 ⎭
c)
2x − 3y = −1⎫ ⎬ 3x + 9y = 12 ⎭
COLEGIO VIZCAYA
36.
Expresa en forma de ecuaciones con dos incógnitas los siguientes resultados: a) La base de un triángulo es la mitad de su altura. b) En una biblioteca han entrado unas personas, han salido otras y quedan 12 dentro. c) En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 10 cabezas y 34 patas. d) De los 29 alumnos de una clase de 3º de ESO, un grupo ha elegido como idioma optativo Francés y el otro Alemán.
37.
Resuelve en tu cuaderno los siguientes sistemas gráficamente: a)
38.
⎧x + y = 4 ⎨ ⎩x − y = 2
b)
⎧x + y = 4 ⎨ ⎩x − y = 0
c)
⎧2x − y = 0 ⎨ ⎩ x + 3y = 21
d)
⎧x + y = 1 ⎨ ⎩2x + 2y = 2
Resuelve en tu cuaderno los siguientes sistemas por el método que se indica:
(Sustitución)
a)
x+y=3 ⎫ ⎬ 2x − y = 1⎭
d)
x − 3y = 2 ⎫ ⎬ 3x − 10y = 5 ⎭
g)
4x − y = 8 ⎫ ⎬ 2x + 5y = 4 ⎭
j)
3x − 2y = 1 ⎫ ⎬ 2x + 3y = −8 ⎭
(Igualación)
b)
2x + y = 0 ⎫ ⎬ 3x + 2y = −1⎭
e)
−2x − 5y = 7 ⎫ ⎬ −2x + y = 1 ⎭
h)
5x = 2y ⎫ ⎬ x = 4y − 9 ⎭
k)
y − 6x = 0 ⎫ ⎬ 7x = 2y − 5 ⎭
(Reducción)
c)
3x − 2y = 4 ⎫ ⎬ 2x + 3y = −6 ⎭
f)
45x −11y = 93 ⎫ ⎬ 7x + 6y = 114 ⎭
i)
3x − 5y = 9 ⎫ ⎬ 6x − 2y = −6 ⎭
l)
⎫ ⎬ 2x + 5y = −35 ⎭ x − 3y = 21
39.
Halla dos números cuya suma sea 18 y su diferencia 8.
40.
Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7'8 €. Cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan 13'2 €. ¿A cómo está el kilo de peras y de manzanas?
COLEGIO VIZCAYA
ECUACIONES
121
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS DISPUTAS MATEMÁTICAS En el siglo XVI, en la Italia renacentista, tres notable matemáticos conocidos como Del Ferro, Tartaglia y Cardano, trabajaron arduamente en busca de encontrar un método práctico para resolver ecuaciones de tercer grado. Aunque desde la época de los babilonios ya se conocía la solución de las ecuaciones de segundo grado, hasta esta fecha no hubo avances significativos con respecto a este tema. Unos cuántos años antes los famosos matemáticos medievales Fibonacci y Luca Pacioli, habían tratado someramente estos problemas, pero sólo resolviendo algunos casos particulares, e inclusive sin llegar a una demostración racional de tales soluciones. Sería Scipione del Ferro, hijo de un imprentero de Bolonia, el primero en estudiar con un método ortodoxo, la obtención de las raíces (soluciones) de estas funciones matemáticas.
Del Ferro, Scipione (1465 - 1526): Aunque no es un matemático muy conocido, su rol en la historia de las Matemáticas tiene que ver con la resolución de la ecuación de tercer grado. Fue el primero en descubrir cómo resolver una ecuación reducida de tercer grado del tipo x3+px=q. Se educó en la Universidad de Bolonia que fue fundada en el siglo XI. Fue profesor de Aritmética y Geometría en dicha universidad desde 1496 hasta el final de su vida. No han sobrevivido escritos de Del Ferro, ello se debe a la resistencia que tenía a divulgar sus trabajos, prefería comunicarlos a un reducido grupo de alumnos y amigos. Sólo confió el secreto a su discípulo Antonio de Fiore. Niccolo Fontana (Tartaglia) (1499 - 1557): Niccolo Fontana, matemático italiano. Recibió el sobrenombre de Tartaglia (tartamudo) por un defecto en el habla a consecuencia de una herida durante el saqueo de su ciudad natal (Brescia) por las tropas de Gastón de Foix, en 1512. Fue autodidacta en las disciplinas de matemáticas y científico naturales. Gracias al empeño y tenacidad en los estudios pronto llegó lejos y muy joven se abrió camino en Brescia y Verona como profesor de matemáticas y calculista público. En calidad de esto último efectuaba cálculos para arquitectos, ingenieros, artilleros, comerciantes, astrólogos, etc. Estudió las ecuaciones de tercer grado y problemas de máximos y mínimos. Fue el primero en resolver la ecuación de tercer grado e ideó el triángulo que permite obtener los coeficientes del desarrollo binomial, llamado Triángulo de Tartaglia (ver unidad 8).
Tartaglia.
Fiore vs Tartaglia: En aquella época era normal que los matemáticos, si querían subsistir o adquirir cierto prestigio, se retaran a competiciones públicas. Así las cosas, al morir Del Ferro, su discípulo Fiore, retó públicamente al matemático Tartaglia a resolver en un tiempo determinado 30 problemas. Cada participante tenía que depositar una cierta suma de dinero y proponer varios problemas para que los resolviera su oponente. El que en el plazo de 30 días hubiera resuelto más problemas se llevaría todo el dinero. Tartaglia, suponiendo que Fiore le plantearía ecuaciones de la forma x3+px=q, desarrolló rápidamente un método general para resolver dichas ecuaciones. 3
2
q ⎛p ⎞ ⎛ q⎞ x = 3 ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ + 2 ⎝3⎠ ⎝2⎠
3
3
2
⎛p ⎞ ⎛ q⎞ q ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠ 2
(Ejemplo: La solución de la ecuación x3 + 6x - 2 = 0 es: x = 3 4 - 3 2 ) Sin embargo los problemas que propuso Tartaglia a Fiore eran ecuaciones de la forma x3 + ax2 = c, los cuales ya los sabía resolver y resultaban demasiado difíciles para Fiore. El resultado del reto fue 30-0. Tartaglia resolvió los 30 problemas en dos horas mientras que Fiore no fue capaz de resolver ninguno de los problemas propuestos por Tartaglia. Enterado de ello Cardano (1400-1500), se puso en contacto con Tartaglia y le pidió que le diera la fórmula; además de jurar no divulgarla, a cambio él le presentaría a un personaje que patrocinaría sus proyectos. Aunque con alguna resistencia Tartaglia accedió. Poco después, Ferrari descubrió un método para resolver la ecuación de 4º grado, y Cardano dio con la fórmula para resolver la ecuación general de 3er grado, aunque el proceso que utilizaba se basaba en la fórmula de Tartaglia. Sin embargo, por entonces, ambos tuvieron acceso a los archivos de la Universidad de Bolonia en los que figuraban los trabajos de Del Ferro. La fórmula de éste resultaba ser la misma que la de Tartaglia, pero ellos consideraron que era anterior y, por tanto, dedujeron que ello liberaba a Cardano de la obligación de cumplir su juramento y optaron por incluirla en su libro Ars Magna. La solución que Cardano dio a la ecuación de tercer grado x3 + ax2 + bx + c = 0 es: q q2 p 3 3 q q 2 p 3 x=3- + + + - + 2 4 27 2 4 27 122 ECUACIONES
Cardano.
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PARA ENTRENAR 1. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados: a) b) c) d) e) f) g) h) i)
El cuadrado de un número es igual a 225. El cubo de un número es igual a 27. La mitad de un número más la quinta parte de un número. El cuadrado de un número más el cubo del mismo número. El triple de x más el cuadrado de y más 5. La mitad de la edad de Luis. La mitad de la edad de Luis es 8 años. El cuadrado de x es menor que 26. La suma del cuadrado de un número y 30 es 46.
2. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)
4x − 2 (x + 8 )= 2x + 3 (4 − x )
g)
5 (x − 2 )− 2 (x − 5 )= 2x − (12 +3x )
b)
2 ⎡⎣ x − 3 (x −1)⎤⎦ + 3 = x − 3 (x +1)
h)
(x +1)(x −1)− 3 (x + 2 )= x (x + 2 )+ 4
c)
x − 2 (x −1)+ 3 (4 − 2x )= 3x + 2 (x − 5 )
i)
(2x + 3 ) − (2x − 3 )
d)
1 x − 2 3 − 2x 1 − = − +x 3 10 15 6
j)
3x − 5 7x + 9 8x +19 69 − + + =0 4 16 8 8
e)
x −3 x −1 x − 5 −6− = −8 4 5 3
k)
7x + 8 9x −12 3x +1 29 −8x − = − 8 16 10 20
f)
x 5 6x − 2 x + 8 − = − 6 3 5 5
l)
3x −11 5x −1 x − 7 5x − 6 − = − 20 14 10 21
2
2
(
)
= x (x + 3 )− x 2 +1
3. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 5x2 - x = 0 b) -x2 - 7x = 0 c) 3x2 - 1 = 0
d) 3x2 - 27x = 0 e) x2 - 10x + 16 = 0 f) 6x2 - x - 1 = 0
g) 16 - x2 = 0 h) 2x2 - 5x + 2 = 0 i) x2 - 9x + 18 = 0
j) x2 - 9x + 45 = 0 k) 4x2 - 17 x + 4 = 0 l) x2 - 2x - 24 = 0
4. En la ecuación x2 - 5x + c = 0, una solución es 3. ¿Cuánto vale c? ¿Cuál es la otra solución?
5. ¿Verdadero o falso? Si es cierto demuéstralo y si es falso pon un ejemplo en el que no se cumpla (contraejemplo): a) La ecuación x2 + 9 = 0 no tiene solución. b) La ecuación x2 - 25 = 0 tiene una solución que es x = 5. c) El número 0 no es solución de ninguna ecuación. d) La ecuación (x - 2)(x + 4) = 0 es una ecuación de segundo grado completa. e) La ecuación (x - 2)(x + 4) = 0 tiene por soluciones x = 2 y x = - 4. f)
Hay un tipo de ecuaciones de segundo grado en el que x = 0 es siempre una solución.
g) La ecuación ax2 + bx + c = 0 es una ecuación de primer grado si a = 0. h) Si un sistema no tiene solución se dice que es compatible.
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ECUACIONES
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6. Comprueba si x = -2, y = 1/2 es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: a)
7x + 4y = −12 ⎫ ⎬ 3x − 2y = −7 ⎭
b)
x + 2y = −3 ⎫ ⎬ 2x + 6y = 1 ⎭
7. Completa los siguientes sistemas para que la solución de todos ellos sea x = 2, y = - 1. a)
− x − y = ...⎫ ⎬ 2x + y = ... ⎭
b)
3x + y = ... ⎫ ⎬ −2x − 3y = ... ⎭
c)
2x + 3y = ... ⎫ ⎬ 3x − 4y = ...⎭
d)
3 ⎫ x + 7y = ... ⎪ ⎪ 2 ⎬ 5 −2x − y = ... ⎪ ⎪⎭ 2
8. Resuelve los siguientes sistemas por el método que se indica: a)
x − 2y = 5 ⎫ ⎬ 3x − 2y = 19 ⎭
(Sustitución)
f)
x + 2y = 5 ⎫ ⎬ x−y=2 ⎭
(Igualación)
b)
5x − 4y = 17 ⎫ ⎬ 6x − 1y = 9 ⎭
(Igualación)
g)
5 + 3y = 2x ⎫ ⎬ x + 2y = 9 ⎭
(Sustitución)
c)
2x + 16 = 2y ⎫ ⎬ 2y − 3x = 16 ⎭
(Igualación)
h)
7x − 2y = 8 ⎫ ⎬ 5x − 3y = 1 ⎭
(Reducción)
d)
3x − y = 2 ⎫ ⎬ 2x + 3y = 16 ⎭
(Reducción)
i)
3x − 4y = −6 ⎫ ⎬ 2x + 4y = 16 ⎭
(Igualación)
(Sustitución)
j)
3x + 4y = 4 ⎫ ⎬ − x + 2y = 2 ⎭
(Reducción)
x 2 + y = 24 ⎫ ⎬ y = 2x + 16 ⎭
g)
x+y=5 ⎫ ⎬ x2 − y2 = 5⎭
g)
x + y = 4⎫ ⎬ x − y = 2⎭
e)
y =5
⎫ ⎪ ⎬ 4x 2y + = 6⎪ ⎭ 3 5
9. Resuelve los siguientes sistemas por sustitución: a) b)
x − y =1
⎫ ⎬ x + y = 25 ⎭ 2
2
x+y=5
⎫ ⎬ x + y = 25 ⎭ 2
2
c) d)
2x + y = 4 ⎫ ⎬ x2 + y = 7 ⎭ x −7=0
⎫ ⎬ x − y = 40 ⎭ 2
2
e)
x−y=0
f)
⎫ ⎬ 2x − y = 9 ⎭
e)
x + 2y = 11⎫ ⎬ 2x − y = 2 ⎭
2
2
10. Resuelve los siguientes sistemas gráficamente: a)
2x + y = 1 ⎫ ⎬ 3x + y = 3 ⎭
c)
5x + 2y =10 ⎫ ⎬ 3x − 2y = 6 ⎭
11. Calcula un número cuya mitad es 20 unidades menor que su triple.
12. Responde razonadamente a las siguientes cuestiones: a) Si al resolver una ecuación, se llega a x = 0, ¿esto significa que no tiene solución? b) ¿Cómo son los coeficientes de una ecuación de segundo grado si una de sus soluciones es 0? c) Si cuando resuelves una ecuación obtienes 0x = 3, ¿a qué conclusión llegarías? ¿Y si fuese 0x = 0? ¿Y si fuese 3x = 0? d) ¿Qué puedes decir de una ecuación de primer grado de la que conoces dos soluciones distintas?
124 ECUACIONES
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13. A las 7 de la mañana, Borja sale de Zamora a Sevilla en coche con una velocidad de 75 km/h. A la misma hora, Laura sale de Sevilla a Zamora por la misma carretera en una furgoneta con una velocidad de 60 km/h. Si de Zamora a Sevilla hay 540 km, ¿a qué hora se cruzan Borja y Laura? ¿A qué distancia de Zamora?
14. ¿Qué edad tiene ahora Nerea si su edad dentro de 12 años será el triple de la edad que tenía hace 6 años?
15. ¿Cuántos litros de leche de 0'45 € el litro hay que mezclar con leche de 0'6 € el litro para conseguir 420 litros de una mezcla a 0'52 € el litro?
16. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al cuádruple del menor. ¿De qué números se trata?
17. Ibone tiene 5 años más que su hermano Jorge, y su padre tiene 41 años. Dentro de 6 años, entre los dos hermanos igualarán la edad del padre. ¿Qué edad tiene cada uno?
18. En una fábrica de ladrillos se mezcla arcilla de 21 € la tonelada con arcilla de 45 € la tonelada. ¿Cuántas toneladas de cada clase hay que emplear para conseguir 500 toneladas de arcilla a 39 € la tonelada?
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ECUACIONES
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19. Dos ciclistas salen en sentido contrario a las 10 de la mañana de dos pueblos A y B situados a 130 km de distancia. El ciclista que sale de A pedalea a una velocidad constante de 30 km/h, y el ciclista que sale de B, a 20 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán y a qué hora?
20. Joseba tiene 15 años, su hermano 13, y su madre 43. ¿Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad de la madre?
21. Se mezcla aceite de 4 € el litro con otro de 5 € el litro. ¿Cuántos litros hay que tomar de cada clase para obtener 100 litros de aceite de 4'3 € el litro?
22. La suma de un número par, el que le sigue y el anterior es 282. Halla esos números.
23. La edad actual de mi hermano es igual al doble de la que tiene si se le resta el cuádruplo de la que tenía hace tres años. ¿Qué edad tiene mi hermano?
24. ¿Cuál es el lado de un cuadrado tal que 6 veces su área es igual al área de un rectángulo de 24 cm de largo por 9 cm de ancho?
126 ECUACIONES
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PARA APRENDER MÁS 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b) c)
x −1 x − 5 x −5 − = 4 36 9 3x −17 1− 4x 1− x 9 + x − = − 8 13 4 6 2 2 3 x −11 2 x − 60 − = 36 5 7
(
) (
)
d) e) f)
3x −1 x − 4 x + 4 + = 15 5 3 5x + 7 3x + 9 2x + 4 − = +5 2 4 3 x − 2 x +1 x −1 5 − − =− 6 3 2 2
x + 1 x −1 x + 3 − − = −2 8 6 5 2x − 3 x −1 12x + 4 x+ + = 9 3 9 3 (x + 2 ) 5 (4x +1) 25 3x + 5 − = − 4 6 12 2
g)
2+
h) i)
2. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x2 + 2x - 24 = 0 b) 3x2 - 10 x + 3 = 0
c) 4x2 - 17 x + 4 = 0 d) 7x2 - 21x = 0
e) 2x2 - 7x = 0 f) x = 4x2
g) 3x2 - 2 (x + 5) = (x + 3) 2 - 19 h) 3 (x2 + 5) = x2 + 40
3. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)
1− x (x − 3 )= 4x −1
d)
b)
(x +1)
e)
2
− 3x = 3 2
c)
3⎛x ⎞ x + 1 1 x −1 −2⎟ − = − ⎜ 2⎝2 ⎠ 8 8 4
f)
(2x − 3 )(2x + 3 )− x (x −1) = 5 2 (2x +1) = 1+ (x +1)(x −1) 2 2 (x + 2 ) − x 2 − 9 = (x + 3 ) + 1 5
4
2
5
g) h) i)
(5x − 4 )(2x + 3 )= 5 2 2 (x + 4 ) − (2x −1) = 8x 2 x (x − 3 ) x (x − 2 ) (3x − 2 ) + = −1 2
4
8
4. Señala si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles: a)
x + y = 3⎫ ⎬ x + y =1 ⎭
b)
x − y = 2⎫ ⎬ x + y = 0⎭
c)
x + 3y = 15 ⎫ ⎬ 2x + 6y = 15 ⎭
d)
x + y = 7⎫ ⎬ x − y = 7⎭
5. Completa los siguientes sistemas para que el primero tenga la solución x = 5, y = 3 y el segundo sea incompatible. a)
x − 4y = ...⎫ ⎬ 2x... = 13 ⎭
b)
2x − y = 4 ⎫ ⎬ 4x − 2y = ...⎭
6. Resuelve los siguientes sistemas por el método que prefieras: a)
2x + 3y = 19 ⎫ ⎬ 5x − 2y = 0 ⎭
c)
3x − 2y = 4 ⎫ ⎬ 2x + 3y = 33 ⎭
e)
6x − 3y = 5 ⎫ ⎬ 3x + 6y = 5 ⎭
g)
d)
1' 2x + 0'7y = 7 ⎫ ⎬ x − 0'5y = 1'5 ⎭
f)
2y x 1 ⎫ − = ⎪ 5 3 15 ⎬ 15x −15y = 2 ⎪⎭
h)
3x = 6
b)
⎫ ⎪ ⎬ 4y = 14 ⎪ 5x + ⎭ 3
5x + y = 6
⎫ ⎬ 3x − 2y = 14 ⎭ 5x = 2y − 2 ⎫ ⎬ 4x = 20 − 2y ⎭
7. Un ciclista que va a 18 km/h tarda 45 minutos en alcanzar a otro, que lleva una ventaja de 6 km. ¿Qué velocidad lleva el que iba delante? 8. Se ha vertido un bidón de aceite de orujo, de 1'6 €/litro, en una tinaja que contenía 400 litros de aceite de oliva de 3'2 €/litro. Sabiendo que el litro de la mezcla cuesta 2'6 €/litro, ¿cuántos litros había en el bidón? 9. Jon tiene tres hijas. La pequeña tiene la mitad de años que la mediana y seis años menos que la mayor. Calcula las edades de las tres sabiendo que la suma de las edades actuales de todas ellas es igual a la edad de su prima Ana que es 12 años mayor que la hermana pequeña. 10. Félix tiene 9 años más que su hermana y hace tres años sólo tenía el doble. ¿Cuántos años tienen actualmente? 11. En un triángulo rectángulo, el lado mayor es 3 cm más largo que el mediano, y éste, 3 cm más largo que el pequeño. ¿Cuánto miden los lados? 12. Un repostero ha mezclado 12 kg de azúcar, de 1'1 €/kg, con una cierta cantidad de miel, de 4'2 €/kg. La mezcla sale a 2'34 €/kg. ¿Cuánta miel mezcló?
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13. Un ciclista sale a la carretera a una velocidad de 15 km/h. ¿Qué velocidad deberá llevar otro cilista que sale media hora después si pretende alcanzar al primero en hora y media? 14. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)
x −1 x + 7 4x + 7 + 3x − = +11 4 6 9
f)
21− x 2x − 7 5x −5 + =8− 5 15 10
b)
2 1 3 (x + 3 )− (x +1)= 1− (x + 3 ) 3 2 4
g)
25 2x − 7 5 45 = (x − 6 )+ (x −1)+ 3 4 2 4
c)
(2x − 2 )(2x + 2 )=
7x + 2 2 + (2x ) 3
h)
(x +1) − (x + 2 )(x −3 )+
d)
1 ⎛ 3⎞ 1 − 2 ⎜ x − ⎟ + 4x = 2x − (4x −3 ) 2 ⎝ 4⎠ 3
i)
1 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 ⎛ ⎜ x − 3 ⎟ ⎜ x + 3 ⎟ − x ⎜ x + 6 ⎟ = 3 (x − 2 ) ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
j)
(x +1)(x −1) = 2 (x 2 +1)− x
(2x − 4 )
2
e)
8
=
x (x +1) 2
+5
2
3
5 9 25 x− x= 4 2 4
6
15. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) e) f)
x2 - 6x + 5 = 0 x2 - 5 x + 6 = 0 6x2 - 5x + 1 = 0 x2 + 4x + 3 = 0 4x2 - 4x + 1 = 0 x2 - x + 1 = 0
g) h) i) j) k) l)
5x2 + 7x = 0 4x2 - 9 = 0 5x2 - 5 = 0 5x2 + 5 = 0 7x2 + 5 = 18 2x2 - 6x = 0
m) n) o) p) q) r)
5x2 + 7x = 0 4x2 - 1 = 0 100x2 - 16 = 0 x + 2x2 = 0 2x2 + 4x = 0 8x2 - 18 = 0
s) t) u) v) w)
3x2 - 6 = 0 2x2 + 50 = 0 x2 - 9x + 14 = 0 x2 - 6x + 10 = 0 4x2 - 4x + 1 = 0
16. Resuelve los siguientes sistemas por reducción: x y ⎫ + =7 ⎪ ⎪ 3 5 a) ⎬ x y − = −1⎪ ⎪⎭ 3 4
b)
x +3 =5 y
⎫ ⎪ ⎬ 2 (x + 3y )+ x = 9 ⎪⎭
2x 3y ⎫ + = 5⎪ ⎪ 3 4 c) ⎬ 5x y − =3 ⎪ ⎪⎭ 3 2
d)
x y 4⎫ + = 3 2 3 ⎪⎪ e) ⎬ x 1 − =0 ⎪ ⎪⎭ y 2
x y ⎫ + =3 ⎪ g) 2 4 ⎬ x + 2y = 12 ⎪⎭
3 (x + 2 )− 5 (y +1)= 9 ⎫ 3 (x −1)+ 3 (y + 4 )= 2 (3x + y )−9 ⎫ ⎪ f) ⎪ ⎬ 5 + 3y ⎬ x y =5 4x + − =3 ⎪ ⎪ ⎭ 2 ⎭ 2 3
17. Resuelve los siguientes sistemas: ⎧x y ⎪ − =2 a) ⎨ 4 2 ⎪⎩ x − y = 6
⎧x = y − 4 ⎪ d) ⎨ 7y + 3 ⎪⎩ x = 2
⎧ 5x y ⎪ + =8 g) ⎪⎨ 3 2 ⎪ −3x − 3y = −6 ⎪⎩ 2 4
⎧x ⎪⎪ 4 − y = −2 ⎨ ⎪ 2x + 2y = 4 ⎪⎩ 3 5
j)
⎧2x − y = 5 b) ⎨ ⎩ x − 2y = −2
⎧3x + y = 4 e) ⎨ ⎩x + y = 0
2x − 3y = 4 h) ⎧⎨ ⎩x + y = 7
−3x + y = 0 k) ⎧⎨ ⎩ 4x − 2y = −10
⎧ y = 8 − 4x c) ⎨ ⎩ y = 2 + 2x
⎧−2 (x + 1) − 5y = 3 f) ⎪⎨ ⎪⎩2x + y = 1 − x
i)
⎧⎪ x − 3 (x + 2 ) = 4 ⎨ ⎪⎩5 (x − 1) + 2y = −6
18. Mezclando 15 kg de arroz de 1 €/kg con 25 kg de arroz de otra clase, se obtiene una mezcla que sale a 1'3 €/kg. ¿Cuál será el precio de la segunda clase de arroz? 19. Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado. 20. Un padre tiene 46 años y su hijo 12 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será triple que la del hijo? 21. Un coche sale de una ciudad A, hacia otra B distante 315 km, a una velocidad de 105 km/h. Simultáneamente sale de B hacia A un camión que tarda en cruzarse con el coche una hora y cuarenta y cinco minutos. ¿Cuál era la velocidad del camión?
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22. Un tren avanza a 70 km/h, lleva una ventaja de 90 km a otro tren que avanza por una vía paralela a 110 km/h. Calcula el tiempo que tarda el segundo tren en alcanzar al primero y la distancia recorrida hasta lograrlo. 23. Dos poblaciones A y B distan 25 km. Un peatón sale de A hacia B a una velocidad de 4 km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A otro peatón a 6 km/h. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse y la distancia que ha recorrido cada uno hasta ese instante. 24. Halla dos números sabiendo que su diferencia es 2 y la diferencia de sus cuadrados es 24. 25. La suma de las edades de un matrimonio es de 75 años. Averigua las edades de los dos sabiendo que la cuarta parte de la edad de la mujer, aumentada en sus cinco sextos es igual a la suma de ambos menos la edad de ella. 26. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 2 cm menos que la hipotenusa y 14 cm más que el otro cateto. Calcula la longitud de sus tres lados. 27. Se han mezclado 30 litros de aceite barato con 25 litros de aceite caro, resultando la mezcla a 3'2 € el litro. Calcula el precio del litro de cada clase, sabiendo que el de más calidad es el doble de caro que el otro. 28. Dos ciclistas avanzan por la misma carretera en el mismo sentido y les separa una distancia de 7’5 km. Si sus velocidades están en relación 3 a 4, y el segundo tarda 45 minutos en alcanzar al primero, ¿cuál era la velociad de cada uno? 29. Dos poblaciones están a 50 km. En el mismo instante salen un peatón de A hacia B a una velocidad de 5 km/h y un ciclista de B hacia A a 20 km/h. ¿Cuánto tardan en encontrarse? ¿Qué distancia recorre el peatón? 30. El producto de un número natural por el siguiente es 272. Calcula dichos números. 31. La edad actual de Maider es triple de la de Juan y hace 6 años la suma de ambas edades era igual a la edad actual de Maider. Halla las edades de ambos. 32. Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide 2 cm menos que la altura y la diagonal mide 10 cm. 33. Mi perra y su cachorro pesan entre los dos 6 kg, pero la perra pesa 4 kg más que el cachorro. Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente y resuélvelo gráficamente. 34. Dos ciudades, A y B, distan 350 km. En un determinado momento un coche inicia su viaje de A hacia B y, simultáneamente, un camión inicia el suyo de B hacia A. ¿Cuál es la velocidad de cada uno, sabiendo que tardan 1 hora y 45 minutos en cruzarse, y que la velocidad del coche supera a la del camión en 20 km/h? 35. La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 300 km/h. Un autobús sale de A hacia B a 105 km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A una moto a 120 km/h. Calcula la distancia que recorre cada uno hasta el momento del encuentro. 36. Halla dos números cuya suma es 14, y la de sus cuadrados, 100. 37. Un padre tiene 49 años y su hijo 21. ¿Cuántos años hace que la edad del padre era triple que la del hijo? 38. Al aumentar en 5 m el lado de un cuadrado, su superficie aumenta en 75 cm2. Calcula el lado del cuadrado. 39. Un tren de cercanías sale de una estación a 90 km/h. Media hora más tarde, sale otro más rápido en la misma dirección a 110 km/h. ¿Cuánto tardará en alcanzar al primero? 40. Un camión de transporte hace, una vez a la semana, la ruta entre las ciudades A y B. Si va a 80 km/h tarda, sólo en ir, 3 horas más que si va a 100 km/h. ¿Cuál es la distania entre las ciudades? 41. Aumentando un lado de una plaza cuadrada en 8 m y el lado contiguo en 12 m, se obtendría una plaza de doble área que la dada. Halla los lados de la plaza. 42. Un número está formado por dos cifras cuya suma es 9. Invirtiendo el orden de colocación de dichas cifras, resulta un número superior en 9 unidades al inicial. Calcula el número. 43. Un kilogramo de arroz costaba hace años, 15 pesetas más que un kilo de azúcar. Sabiendo que 3 kilos de arroz y 5 de azúcar costaban 365 pts, halla el precio de un kg de cada producto. 44. En una familia trabajan 3 personas. La madre gana el doble que el hijo, y el padre los 2/3 del hijo. Por siete días de trabajo han cobrado entre los tres 1848 euros. Halla el jornal de cada uno. 45. La fortuna de un padre fue repartida entre sus tres hijos, dando al primero, la cuarta parte; al segundo, las dos terceras partes, y al tercero 7500 euros. Calcula el capital del padre y lo que corresponde a cada hijo. 46. Un tren sale de una ciudad a 80 km/h. Dos horas más tarde sale otro de la misma ciudad a una velocidad de 100 km/h. ¿Vuánto tiempo tardará en alcanzarlo?
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47. Agurtzane compró 2 kilos de peras y 3 kilos de manzanas por 4 €. Después compró 4 kilos de peras y uno de manzanas por 3 €. ¿A cómo estaba el kilo de peras? ¿Y el de manzanas? 48. ¿Cuál es el número distinto de cero tal que el triple de su cuadrado coincide con un cuarto del propio número? 49. Un padre tiene 44 años y su hijo 20. ¿Cuánto tiempo ha pasado desde que la edad del padre fue el cuádruplo de la del hijo? 50. En un test de 30 preguntas se obtienen 0'75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0'25 puntos por cada error. Si mi nota ha sido 10'5, ¿cuántos aciertos y cuántos errores he tenido? 51. Halla un número de dos cifras tal que la suma de ellas es 14, y este número disminuye en 36 unidades cuando se invierte el orden de las cifras. 52. En una granja hay palomas y conejos. En total hay 97 cabezas y 302 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase? 53. Durante un programa de televisión intervienen 77 personas. Sabiendo que participan personas de nacionalidad española y extranjera y que al número de españoles le faltan 10 para ser doble que el de extranjeros, ¿cuántas personas hay de cada nacionalidad? 54. Entre Oscar y Amaia tienen 600 €, pero Oscar tiene el doble de euros que Amaia. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? 55. Juan tiene 3 años más que Luis y éste 9 más que Pepe. Calcular la edad de cada uno, sabiendo que entre los tres suman 39 años. 56. En un bar se venden bocadillos de jamón a 3'5 € y de tortilla a 2 €. En una mañana vendieron 52 bocadillos y la recaudación final fue de 149 €. ¿Cuántos bocadillos de cada clase se vendieron? 57. Halla un número de dos cifras tal que la suma de ellas es 11. Si lo invertimos, el número obtenido excede en 5 unidades al triple del número dado. 58. Se compran 22 animales entre gallinas y conejos. ¿Cuántos se han comprado de cada clase si en total se ha pagado 116 € y el precio de una gallina es 8 € y el de un conejo 3 €? 59. En un concurso radiofónico, cada pareja participante debe contestar 10 preguntas de cultura general. Por cada respuesta correcta gana 5 puntos; por cada respuesta incorrecta pierde 3 puntos. Si al terminar el concurso una pareja participante tenía 18 puntos, ¿cuántas respuestas acertó? 60. El producto de un número natural por su siguiente es 31 unidades mayor que el quíntuplo de la suma de ambos. ¿Cuál es ese número? 61. Juan dice a Luis: “Hace 7 años mi edad era 5 veces la tuya, pero ahora sólo el triple”. ¿Qué edad tiene cada uno? 62. Dos números difieren en 2 unidades y sus cuadrados difieren en 60. Calcula dichos números. 63. Un campo rectangular tiene 2800 m2 de superficie y su perímetro tiene una longitud de 220 m. Halla las dimensiones de la finca. 64. Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67. 65. Halla dos números, sabiendo que su diferencia es 22 y que el mayor es triple del menor. 66. El abuelo de Pedro reparte 200 euros a sus tres nietos; el mayor recibe 10 euros más que el menor y el mediano recibe tanto como los otros dos juntos. ¿Cuánto recibe cada uno? 67. Un palo se halla clavado bajo tierra un tercio de su longitud, sus dos quintas partes quedan dentro del agua y en el aire quedan 90 cm. Calcula la longitud del palo. 68. Si del contenido de una vasija se extraen sus 7/17, quedan 36 litros. Halla el contenido de la vasija. 69. En un examen de 20 preguntas la nota de Ander ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta 2 puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado? ¿Cuántas ha fallado? 70. Varios amigos y amigas se reparten un premio y les toca 15 € a cada uno. Si hubieran sido cuatro amigos y amigas más, hubieran tocado a 3 € menos. ¿Cuántos eran para repartir? 71. Calcula la edad de una persona, sabiendo que si al triple de su edad le quito el cuádruplo de la que tenía hace 10 años, resulta su edad actual. 72. La suma de dos números es 56 y la diferencia entre sus cuadrados es 448. Calcula estos números.
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