TEMA 1

DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

1

LA RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD 1. Calcula mentalmente y contesta. a) ¿Es 18 múltiplo de 5? ¿Y de 6?

b) ¿Es 50 múltiplo de 10? ¿Y de 9?

c) ¿Es 6 divisor de 20? ¿Y de 300?

d) ¿Es 10 divisor de 75? ¿Y de 750?

2. Calcula con lápiz y papel y responde. a) ¿Es 17 divisor de 153? ¿Y de 204? b) ¿Es 780 múltiplo de 65? ¿Y de 80? 3. Escribe los cinco primeros múltiplos de 12 y los cinco primeros múltiplos de 13. 4. Encuentra todos los múltiplos de 15 comprendidos entre 420 y 480. 5. Calcula el primer múltiplo de 13 mayor que 1 000. 6. Calcula todos los divisores de cada uno de los siguientes números 12

16

30

71

130

150

203

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 7. Tenemos los siguientes números: 3456

67895

76540

4563

a) Fijate en la última cifra de cada número y señala cuáles son divisibles por 5. b) ¿Cuál es el resto de dividir entre 5 cada uno de los números? 8.

a) Escribe tres números mayores que 1000 que sean divisibles por 2 y no por 5. b) Escribe tres números que sean divisibles por 5 y no por 3.

9. Escribe tres números mayores que 5000 y menores que 6000 que al dividirlos entre 5 den de resto 3. 10. Completa (puede haber varias soluciones): Número Divisible por 2 Divisible por 5 Divisible por 10 23456

Sí

No

No

345 685 53 46

Sí Sí

No

TEMA 1

DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

2

11. Escribe las cifras que faltan de modo que: a) 3456? sea divisible por 4. b) 56745?? sea divisible por 25. c) 1111425?? sea divisible por 4 y por 25. 12.

Tenemos los siguientes números: 3458

8975

3891

9873

a) Suma las cifras de cada número y señala cuáles son divisibles entre 3 y cuáles entre 9. b) ¿Cuáles son los restos de dividir cada número por 3 y por 9? 13.

Tenemos los siguientes números: 5674 8952 5877 90834

1354

a) Cuáles son divisibles por 3 y por 9. b) ¿Cuál es el resto de dividir cada número entre 3 y entre 9? 14.

Completa buscando la menor solución:

Número Resto de dividir entre 3 Resto de dividir entre 9 Divisible por 3456

0

0

3y9

32132 7655_

2

4598_

0

15. a) ¿Cuál es el menor número que hay que sumar a 15 347 para que sea un múltiplo de 3? b) ¿Y para que sea un múltiplo de 9? 16. Escribe los números que faltan de modo que los números 432?8, ?3247 y 897?3: a) Sean divisibles por 9. b) Sean divisibles por 3 y no por 9. c) Den de resto 4 al dividirlos entre 9. 17.

Escribe el mayor número de cuatro cifras que sea divisible por 9 y por 2.

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DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

3

NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS. DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS 18. Descompón en factores los siguientes números: 93

95

153

168

325

533

663

19. Descompón los siguientes números en el máximo número de factores que sea posible: 32

72

81

84

132

200

221

20. Descompón en factores, de todas las formas que sea posible, el número 100. 21. Separa, entre los siguientes números, los primos de los compuestos: 29

39

57

83

91

101

111

113

243

341

22. Descompón mentalmente en el máximo número de factores: a) 12

b) 16

c) 18

d) 20

e) 24

f) 30

g) 32

h) 36

i) 40

j) 50

k) 75

l) 100

m) 270

n) 360

n) 630

o) 750

p) 1000

q) 1100

23. Descompón en factores los números siguientes: a) 84

b) 130

c) 160

d) 280

e) 230

f) 400

g) 560

h) 594

i) 720

j) 975

k) 2340

l) 5230

24. Calcula los números que tienen las siguientes descomposiciones factoriales: a) 22 • 3 • 7

b) 23 • 53

c) 32 • 52 • 7

d) 22 • 7 • 13

25. Descompón en factores primos. a) 48

b) 54

c) 90

d) 105

e) 120

g) 180

h) 200

i) 378

j) 1 144

k) 1 872

f) 135

MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE NÚMEROS DESCOMPUESTOS EN FACTORES PRIMOS 26. Escribe factorizados, sin hacer ninguna operación, tres múltiplos de 12 = 2 2 • 3. 27. Escribe factorizado un número que sea a la vez múltiplo de a = 2 • 3 • 3 y de b = 2 • 3 • 5.

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DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

28. Escribe tres múltiplos comunes a los números m = 22 • 3 y n = 22 • 5. 29. Escribe factorizados, sin hacer operaciones, todos los divisores de 75 = 3 • 5 • 5. 30. Escribe un número que sea divisor de a = 2 • 3 • 5 y de b = 2 • 5 • 5 a la vez. 31. Escribe tres divisores comunes a los números m = 23 • 32 y n = 22 • 3 • 5. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS O MÁS NÚMEROS 32. Calcula mentalmente, a) mín.c.m. (3, 5)

b) mín.c.m. (6, 8)

c) mín.c.m. (10, 15)

d) mín.c.m. (20, 30)

33. Calcula. a) mín.c.m. (12, 18)

b) mín.c.m. (21, 35)

c) mín.c.m. (24, 36)

d) mín.c.m. (36, 40)

e) mín.c.m. (72, 90)

f) mín.c.m. (90, 120)

a) mín.c.m. (4, 6, 9)

b) mín.c.m. (6, 8, 9)

c) mín.c.m. (12, 18, 30)

d) mín.c.m. (24, 28,42)

e) mín.c.m. (60, 72, 90)

f) mín.c.m. (50, 75, 100)

a) mín.c.m. (12, 15)

b) mín.c.m. (24, 60)

c) mín.c.m. (48, 54)

d) mín.c.m. (90, 150)

e) mín.c.m. (6, 10, 15)

f) mín.c.m. (8, 12, 18)

34. Calcula.

35. Calcula.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DOS O MÁS NÚMEROS 36. Calcula mentalmente. a) máx.c.d. (4, 6)

b) máx.c.d. (6, 8)

c) máx.c.d. (5, 10)

d) máx.c.d. (15,20)

e) máx.c.d. (18,27)

f) máx.c.d. (50, 75)

a) máx.c.d. (24, 36)

b) máx.cd. (28,42)

c) máx.c.d. (63, 99)

d) máx.c.d. (90, 126)

e) máx.c.d. (165, 275)

f) máx.c.d. (360, 450)

37. Calcula.

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DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

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38. Calcula. a) máx.c.d. (6,9, 12)

b) máx.c.d. (12, 18,24)

c) máx.c.d. (32, 40, 48)

d) máx.c.d. (36,60,72)

e) máx.c.d. (50, 60, 90)

f) máx.c.d. (75, 90, 105)

a) máx.c.d. (36, 45)

b) máx.c.d. (48,72)

c) máx.c.d. (105, 120)

d) máx.c.d. (135, 180)

e) máx.c.d. (8, 12, 16)

f) máx.c.d. (45, 60, 105)

39. Calcula.

40. ¿De cuántas formas distintas se pueden envasar 80 botes de mermelada en cajas iguales? Indica, en cada caso, el número de cajas necesarias y el número de botes por caja. 41. En mi colegio hay dos clases de 2° ESO: 2° A, con 24 estudiantes, y 2° B, con 30. Tenemos que hacer equipos con el mismo número de miembros, pero sin mezclar de las dos clases. Describe todas las formas posibles de hacer los equipos. 42. Celia tiene 48 monedas y quiere colocarlas en montones, de modo que: • En cada montón haya el mismo número de monedas; • En cada montón haya más de tres monedas. ¿De cuántas formas puede hacerlo? 43 Aurora quiere colocar 96 sellos en un álbum, de manera que: • en cada página haya el mismo número de sellos; • en cada página haya más de cinco sellos. ¿De cuántos modos puede hacerlo? 44. Eduardo tiene 200 euros y María 250 euros. Quieren tener su dinero en billetes de igual valor. a) ¿De cuántas formas pueden hacerlo? b) ¿De qué forma tendrán el menor número de billetes? 41. En la clase de Luis hay menos de 30 alumnos. Si se forman en filas de cuatro, quedan completas todas las filas y no queda ningún alumno sin colocar. Lo mismo ocurre si se forman en filas de siete. ¿Cuántos alumnos hay? 42. En un acuartelamiento hay 3007 soldados. ¿Se pueden colocar en formación, con un número exacto de filas y columnas? Justifica la respuesta. 43. Un almacenista tiene que colocar 2 480 botes en filas, columnas y capas, formando un bloque lo más compacto posible. ¿Cómo lo harías tú?

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DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

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44. Se apilan, en una torre, cubos de 30 cm de arista y, al lado, en otra torre, cubos de 36 cm de arista. ¿A qué altura coinciden las cimas de ambas torres? 45. Se desea dividir un terreno rectangular, de 100 m de ancho por 120 m de largo, en parcelas cuadradas lo más grandes que sea posible. ¿Cuánto debe medir el lado de cada parcela? 46. Se quiere embaldosar una habitación de 21 m de largo y 18 m de ancho con baldosas cuadradas. a) ¿Cuántos metros podrá medir el lado de cada baldosa si se quiere hacer el trabajo empleando un número exacto de baldosas? b) ¿Cuál es la longitud del lado de la mayor baldosa que se puede emplear? ¿Cuántas baldosas se necesitarán? 47. Un grupo de amigos van de merienda. Llevan dos barras de pan: una de 24 cm. de longitud y otra de 54 cm. Quieren cortarlas de modo que los trozos tengan la misma longitud. a) ¿Cuál es la mayor longitud que puede tener cada trozo? b) ¿Cuántos trozos se obtienen con las dos barras? 48. Un barril se puede llenar con un número exacto de garrafas de 5 l de capacidad. También puede llenarse con garrafas de 3 I y de 2 I. a) ¿Cuál es la menor capacidad que puede tener el barril? b) Si en el barril caben más de 60 I y menos de 100 I, ¿cuál es su capacidad? 49. Tres barcos coinciden en Barcelona el 1 de enero de 2002. El primero sale cada 15 días, el segundo cada 10 días y el tercero cada 12 días. a) ¿Cuándo volverán a coincidir en Barcelona los tres barcos la próxima vez? b) ¿Y el primero y el tercero? 50. Los hijos de la familia Garrido son viajantes de comercio. El mayor vuelve a casa cada 15 días, el mediano cada 10 días y el menor cada 5. El día de Navidad lo pasan los tres con sus padres. a) ¿Cuándo volverá a reunirse toda la familia la próxima vez? b) ¿Y el hijo mayor y el mediano?

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DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

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51. Enrique colecciona postales. Tiene 80 postales españolas y 44 extranjeras. Quiere colocarlas en álbumes de modo que: • en un álbum estén las españolas y en otro las extranjeras; • las paginas de los dos álbumes tengan el mismo número de postales; • no quede ninguna postal sin colocar. ¿Cuál es el mayor número de postales que puede colocar en cada página? 52. Julián quiere colocar sus libros en estantes, de modo que en cada estante haya el mismo número de libros. • Solamente puede hacerlo de tres maneras. • Tiene más de 40 y menos de 100 libros. ¿Cuántos libros tiene? 53. Un rollo de cable mide más de 150 m y menos de 200 m. ¿Cuál es su longitud exacta, sabiendo que se puede dividir en trozos de 15 m y también en trozos de 18 m? 54. De cierta parada de autobús parten dos líneas, A y B, que inician su actividad a las 7 h de la mañana. La línea A presta un servicio cada 24 minutos, y la línea B, cada 36 minutos. ¿A qué hora vuelven a coincidir en la parada los autobuses de ambas líneas? 55. Se desea dividir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales, lo más grandes que sea posible, y sin desperdiciar nada. ¿Cuánto medirá cada trozo? 56. Una liebre corre dando saltos de 2,5 metros, perseguida por un galgo que da saltos de 3 metros. ¿Cada cuántos metros caen las huellas del galgo sobre las de la liebre? 57. Para pavimentar el suelo de una nave de 12,3 m de largo por 9 m de ancho, se han empleado baldosas cuadradas, que han venido justas, sin necesidad de cortar ninguna. ¿Qué medida tendrá el lado de cada baldosa, sabiendo que se han empleado las mayores que era posible? 58. Si apilo cajas con un grosor de 0,18 m, y al lado apilo otras cajas con un grosor de 0,2 m, ¿a qué altura coinciden ambas torres? 59. Julia ha formado el cuadrado más pequeño posible uniendo piezas rectangulares de cartulina, de 12 cm por 18 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado? ¿Cuántas piezas ha empleado? 60. En un horno de bollería se han fabricado 2400 magdalenas y 2640 mantecados, que se desean comercializar en bolsas con el mismo número de unidades y sin mezclar ambos productos. ¿Cuántas magdalenas o cuántos mantecados se pueden poner en cada bolsa, teniendo en cuenta que el número debe ser superior a 15 e inferior a 30? 61. Se desea envasar 125 botes de conserva de tomate y 175 botes de conserva de pimiento en cajas del mismo número de botes, y sin mezclar ambos productos en la misma caja. ¿Cuál es el mínimo número de cajas necesarias? ¿Cuántos botes irán en cada caja?

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DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

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OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS 62. Calcula mentalmente. a) 5 - 7

b) 2 - 9

c) 3 - 4

g) – 12 + 17 h) – 22 + 10 i) - 21 + 15

d) 6 - 10

e) 5 - 12

f) 9 - 15

j) - 3 – 6

k) - 1 - 9

l) – 12 - 13

63. Resuelve. a) 10 - 3 + 5

b) 5 - 8 + 6

c) 2 - 9 + 1

d) 7 - 15 + 2

e) 16 – 4 - 6

f) 22 - 7 – 8

g) 9 – 8 - 7

h) 15 – 12 + 6

a) -3 + 10 - 1

b) - 8 + 2 - 3

c) - 5 + 6 + 4

d) - 12 + 2 + 6

e) -18 + 3 + 6

f) – 20 + 12 + 5

g) – 7 – 3 – 4

64. Calcula.

h) – 2 – 13 - 5

65. Copia y completa como en el ejemplo. 7 – 4 – 6 – 2 + 5 + 3 – 4 = 15 - 16 = - 1 a) 3 - 9 + 4 – 8 - 2+ 13 =

b) – 15 – 4 + 12 – 3 – 11 – 2 =

66. Calcula. a) 3 - 7 + 2 – 5

b) 2 - 6 + 9 - 3 + 4

c) 7- 10 - 5 + 4 + 6 – 1

d) - 6 + 4 – 3 – 2 - 8 + 5

e) 12 + 5 – 17 - 11 + 20 - 13

f) 16 - 22 + 24 - 31 + 12 - 15 67. Quita paréntesis y calcula. a) (- 3) - (+ 4) - (- 8)

b) - ( - 5) + (- 6) - (- 3)

c) (+8) - (+6) + (-7) - (-4)

d) -(- 3) - (+ 2) + (- 9) + (+ 7)

68. Resuelve de dos formas, como en el ejemplo. a) 10 - (13 - 7) = 10 - (+6) = 10 - 6 = 4 b) 10 - (13 - 7) = 10 - 13 + 7 = 17 - 13 = 4 a) 15 – (12 – 8)

b) 9 – (20 – 6)

c) 8 – (15 – 12)

d) 6 – (13 – 2)

e) 15 – (6 – 9 + 5)

f) 21 – (3 – 10 + 11 + 6)

TEMA 1

DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

69. Resuelve de una de las formas que ofrece el ejemplo: a) (8 – 13) – (5 – 4 - 7) = (8 – 13) – (5 - 11) = (- 5) - (- 6) = - 5 + 6 = 1 b) (8 - 13) - (5 - 4 - 7) = 8 - 13 - 5 + 4 + 7 = 19 - 18 = 1 a) (4 – 9) – (5 – 8)

b) – (1 - 6) + (4 – 7)

d) 12 + (8 – 15) – (5 + 8)

c) 4 – (8 + 2) – (3 -13)

e) (8 – 6) – (3 – 7 – 2) + (1 – 8 + 2)

f) (5 – 16) – (7 – 3 – 6) – (9 – 13 - 5) 70. Calcula. a) 7 - [1 + (9 – 13)]

b) – 9 + [8 – (13 – 4)

c) 12 – [6 – (15 - 8)]

d) -17 + [9 - (3 – 10)]

e) 2 + [6 - (4 - 2 + 9)]

f) 15 - [9 - (5 - 11 + 7)]

g) 6 - [5 + (8 - 2)] 71. Resuelve. a) (2 – 9) – [5 + (8 – 12) – 7]

b) 13 – [15 – (6 – 8) + (5 – 9)]

c) 8 – [(6 – 11) + (2 – 5) – (7 – 10)]

d) (13 – 21) – [12 + (6 – 9 + 2) - 15]

e) [4 + (6 – 9 – 13)] – [5 – (8 + 2 – 18)] f) [10 – (21 – 14)] – [5 + (17 – 11 + 6)] 72. Calcula mentalmente. a) 5 – 9

c) 13 - 9

e) 21 – 33

g) – 8 – 11

i) – 33 – 22 k) - 22 + 9

b) 5 – 11

d) 22 – 30

f) 46 – 52

h) – 21 – 15 j) – 13 + 18 l) - 37 + 21

73. Calcula. a) 5 – 8 - 4 + 3 - 6 + 9

b) 10 - 11 + 7 – 13 + 15 - 6

c) 9 – 2 – 7 - 11 + 3 + 18 - 10

d) – 7 - 15 + 8 + 10 – 9 – 6 + 11

74. Quita paréntesis y calcula. a) (+5) - (-3) - (+8) + (-4)

b) - (- 7) - (+ 5) + (- 6) + (+ 4)

c) + (- 9) - (+ 13) - (- 11) + (+ 5)

d) - (+ 8) + (- 3) - (- 15) - (+ 6) - (+ 2)

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TEMA 1

DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

10

75. Calcula. a) 3 – (5 + 7 – 10 – 9)

b) 4 + (8 – 6 – 10) – (6 - 10 + 4)

c) (7 – 11 – 4) – (9 – 6 – 13)

d) – (6 – 3 – 5) - (- 4 – 7 + 15)

76. Opera. a) 16 + [3 – 9 – (11 – 4)]

b) 8 – [(6 – 9) – (7 - 13)]

c) (6 – 15) – [1 – (1 – 5 – 4)]

d) (2 – 12 + 7) – [(4 – 10) – (5 - 15)]

e) [9 – (5 – 17)] – [11 – (6 - 13)] 77. Quita paréntesis y calcula. a) 6 – (5 – [4 – (3 – 2)])

b) 6 – (7 – [8 – (9 – 10)])

c) 10 + (11 – [12 + (13 – 14)])

d) 10 – (9 + [8 – (7 + 6)])

e) [(3 – 8) – 5] + (- 11 + [7 – (3 - 4)]) 78. Multiplica. a) (+ 10) • ( - 2)

b) (- 4) • (- 9)

c) (- 7) • (+ 5)

d) (+ 11) • ( + 7)

79. Opera aplicando la regla de los signos. a) (-5) • (-6)

c) (-4) • (+7)

e) (-6) - (-8)

f) (+30) : (+5)

i) (-9) • (-5)

j) (+112): (-14)

80. Calcula. a) (- 2) • (- 3) • (+ 4)

b) (- 1) • (+ 2) • (- 5)

c) (+ 4) - (- 3) • (+ 2)

d) (- 6) • (- 2) • (- 5)

81. Divide. a) (- 18) : (+ 3)

b) (- 15) : (- 5)

c) (+ 36) : (- 9)

d) (- 30) : (- 10)

e) (- 52) : (+ 13)

f) (+ 22) : (+ 11)

82. Calcula. a) (- 28) : [(+ 12) : (- 3)]

b) [(- 45) : (+ 3)] : (+ 5)

c) (- 100) : [(- 36) : (- 9)]

d) [(- 72) : (+ 9)] : (- 8)

TEMA 1

DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

83. Calcula. a) [(+ 5) • (- 8)] : [(- 2) • (- 5)]

b) [(+ 28): (- 7)] • [(+ 20): (- 4)]

c) [(- 10) : (+ 5)] : [(- 28) : (+ 4)] 84. Calcula a) 15 – 8 • 3

b) 18 – 5 • 3

c) 6 – 4 • 2

85. Calcula. a) 18 – 15 : 3

b) 3 – 30 : 6

c) 20 : 2 – 11

86. Calcula como en el ejemplo. 21 - 4 • 6 + 12 : 3 = 21 - 24 + 4 = 25 - 24 = 1 a) 20 – 4 • 7+ 11

b) 12 - 6 • 5 + 4 • 2

c) 15 – 20 : 5 – 3

d) 6 – 10 : 2 – 14 : 7

e) 5 • 3 - 4 • 4 + 2 • 6

f) 7 • 3 - 5 • 4 + 18 : 6

87. Obtén el valor de x en cada caso: a) x • (- 9) = + 9

b) (-5) : x = -1

c) (-5) • x = -45

d) x : (- 4) = + 3

e) x • (+6) = -42

f) (+28) : x = -7

a) (- 2) • [(+ 3) • (- 2)]

b) [(+ 5) • (- 3)] • (+ 2)

c) (+ 6) : [(- 30) : (- 15)]

d) [(+ 40) : (- 4)] : (- 5)

e) (- 5) • [(- 18) : (- 6)]

f) [(- 8) • (+ 3)] : (- 4)

g) [(- 21) : 7] • [8 : (- 4)]

h) [6 • (- 10)] : [(- 5) • 6]

88. Calcula.

89. Calcula. a) 5 – 4 • 3

b) 2 • 9 – 7

c) 4 • 5 – 6 • 3

d) 2 • 8 – 4 • 5

e) 16 – 4 • 7 + 2 • 5 – 19

f) 5 • 6 – 21 – 3 • 7 + 12

90. Opera dentro del paréntesis y, después, multiplica. a) 3 • (9 – 11)

b) – 5 • (4 – 9)

c) 5 • (9 – 4) – 12

d) 1 + 4 • (6 – 10)

e) 6 • (8 -12) – 3 • (5 – 11)

f) 4 • (13 – 8) + 3 • (9 - 15)

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TEMA 1

DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

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91. Calcula y observa que el resultado varía según la posición de los paréntesis. a) 17 – 6 • 2

b) (17 – 6) • 2

c) (-10) – 2 • (- 3)

d) [(-10) – 2] • (- 3)

e) (- 3) • (+ 5) + (- 2)

f) (- 3) • [(+ 5) + (- 2)]

92. Calcula paso a paso. a) 5 • (- 4) – 2 • (- 6) + 13

b) – 6 • (+ 4) + (- 3) • 7 + 38

c) (- 2) • (+8) - (- 5) • (- 6) + (-9) • (+4)

d) - (- 9) • (+ 5) • (- 8) • (+ 7) - (+4) • (-6)

93. Opera. a) 5 • [11 – 4 • (11 – 7)]

b) (-4) • [12 + 3 • (5 - 8)]

c) 6 • [18 + (- 4) • (9 - 4)] -13

d) 4 - (- 2) • •[- 8 – 3 • (5 – 7)]

e) 24 - (- 3) • [13 – 4 – (10 - 5)]

f) 6 • (7 - 11) + (- 5) • [5 • (8 - 2) - 4 • (9 - 4)]

94. Calcula paso a paso. a) 10 : [8 – 12 : (11 -9 )]

b) 6 : (13 – 15) – [(8 – 4) : (- 2) – 6 : (- 3)]

95. Calcula. a) 5 • (- 8) - (+ 9) • 4

b) 32 : (- 8) - (- 20) : 5

d) (+ 25) : (- 5) + (- 16) : (+ 4)

c) (- 2) • (- 9) + (- 5) • (+4)

e) (+ 6) - (- 7) + (- 50) : (- 2)

f) (+ 56) : (- 8) - (-12) - (+ 3) 96. Calcula. a) 18 - 5 – (3 – 8)

b) 11 – 40 : (- 8)

c) 4 • (8 - 11) - 6 • (7 – 9)

d) (4 -5) -(-3) -(8 -2): (-3)

97. Calcula. a) 15 + 2 • [8 - 3 • 5] b) (- 3) • (+ 5) - 3 • [11 + 3 • (5 - 11)] c) 28 : (- 7) - (- 6) • [23 - 5 • (9 -4)] d) (- 2) • (7 - 11) - [12 – (6 – 8)] : (- 7) e) [18 + 5 • (6 – 9)] – [3 – 16 : (5 + 3)]

TEMA 1

DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

13

POTENCIAS Y RAÍCES 98. Escribe en forma de potencia. a) (- 2) • (- 2)

b) (+ 5) • (+ 5) • (+ 5)

c) (- 4) • (- 4) • (- 4) • (- 4)

d) (- 2) • (- 2) • (- 2) • (- 2) • (- 2) • (- 2)

99. Copia y completa en tu cuaderno. POTENCIA (- 1)7 (-2)4 (+3)3 (-4)2

BASE

EXPONENTE VALOR

100. Escribe en forma de producto y calcula: a) (- 2)6

b) (- 3)1

c) (+ 3)4

d) (- 5)2

e) (-10)5

f) (-8)3

101. Calcula. a) (- 2)6 + (- 2)5

b) 104+ (- 10)3 - 102 + (- 10)

d) (+ 4)3 : (- 2)4 + (+ 9)2 : (- 3)3

c) (- 5)2 - (- 2)4 + (- 1)6

e) (+ 4)2 • [(- 2)3 + (- 3)2] : (- 2)2

102. Calcula. a) (- 2)1

b) (- 2)2

c) (- 2)3

d) (- 2)4

e) (- 2)5

f) (- 2)6

g) (- 2)7

h) (- 2)8

i) (- 2)9

j) (- 2)10

b) (+ 4)5

c) (- 6)3

d) (+ 7)3

e) (- 8)2

b) (+ 3)4

c) - 34

d) + 34

103. Calcula. a) (- 5)4 104. Calcula. a) (- 3)4

105. Expresa como potencia de un único número. a) 104 : 54

b) 127 : (- 4)7

c) (- 9)6 : 36

d) 26 – 26

e) (- 4)3 • (- 2)5

f) 24 - (- 5)4

f) (- 10)7

TEMA 1

DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

14

106. Reduce a una sola potencia como en el ejemplo. 25 • (- 3)5 = [2 • (- 3)]5 = (- 6)5 a) 32 • 42

b) (- 2)3 • 43

c) (- 5)2 • (+ 3)2

d) 36 • (- 2)6

107. Expresa con una sola potencia igual que en el ejemplo. (- 15)4 : (+ 3)4 = [(- 15) : (+ 3)]4 = (- 5)4 = 54 a) 94 : 34

b) (+ 15)3 : (- 5)3

c) (- 20)2 : (- 4)2

d) (- 18)4 : (- 6)4

108. Reduce a una sola potencia como en el ejemplo. (- 4)7 • 43 = (- 4)7+3 = (- 4)10 a) 25 • 27

b) (- 2)3 • (+2)6

c) (- 12)2 • (+ 12)2

d) (+ 9)4 • (- 9)2

109. Reduce a una potencia única como en el ejemplo. 68 : 65 = 68-5 = 63 = 216. a) (- 7)8 : (- 7)5

b) 109 : (- 10)4

c) 124 : (-12)

d) (- 4)10 : (+ 4)6

110. Reduce a una sola potencia como en el ejemplo. [(- 2)2]5 = (- 2)2·5 = (- 2)10 = 1024 a) [(- 2)2]2

b) [(+ 5)3]2

c) [(+ 7)3]3

d) [(- 4)2]4

e) (32)4

f) [(-2)4]3

g) [(+5)2]2

h) [(-6)3]5

111. Calcula como en el ejemplo. [(- 4)7 • 43] : [(- 4)2]4 = (- 4)10 : (- 4)8 = (- 4)2 = 16 a) (58 • 54) : (52)5

b) [(- 2)6 • (+ 2)3] : [(+2)3]2

c) [(- 3)3]3 : [(- 3)2 • (- 3)3]

d) [(- 7)8 • 75] : (74)3

112. Calcula a) 154 : 54

b) (- 12)3 : 63

c) (- 20)5 : (- 2)5

d) 86 : (- 2)6

e) (63 - 43) : (- 8)3

f) [84 - (- 5)4] : (- 20)4

113. Opera y calcula. a) 106 : (54 • 24)

b) (- 12)7 : [(- 3)5 • 45]

c) [(- 9)5 • (- 2)5] : 184

d) [57 • (- 4)7] : 204

e) 84 : (25 • 42)

f) 253 : [(- 15)5 : 35]

TEMA 1

DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

15

114. Reduce a una sola potencia. a) (x2)5

b) (m4)3

c) [a10:a6]2

d) (a • a3)3

e) (x5 : x2) • x4

f) (x6 • x4) : x7

115. Expresa como una potencia única. a) 52 • (- 5)3

b) (- 6)8 : (- 6)5

c) [74 • (- 7)4] : (- 7)6

d) (24)3 : 29

e) [(- 3)4]3 : [(- 3)3]3

f) (52)3 : [(- 5)3]2

116. Opera y calcula. a) [29 : (23)2] • 53

b) 102 : [(52)3 : 54]

c) 63 : [(27 : 26) • 3]2

d) [(62)2 •.44] : (23)4

117. Calcula, si existen. a)

√ (+ 1)

b)

√ (−1)

c)

√ (+ 25)

d)

√ (−36)

e)

√ (+ 100)

f)

√ (−100)

g)

√ (+ 121)

h)

√ (−169)

i)

√ (+ 400)

j)

√ (−400)

k)

√ (+ 484)

l)

√ (−1000)

d)

√4 625

118. Reflexiona y calcula, si existen. a)

√3 1

b)

√3 −1

√3 64

c)

e)

√4 −625

f)

√4 10000

119. Calcula. a)

√ 49

b)

√ 72

c)

√ −49

d)

√ 152

e)

√ 225

f)

√ −225

g)

√ 2500

h)

√ 502

i)

√ −2500

√4 −16

120. Reflexiona y calcula, si existen. a)

√3 27

b)

√3 −27

c)

√4 16

d)

g)

√6 64

h)

√6 −64

i)

√7 + 1

j)

√7 −1

e)

√5 32

f)

√5 −32

k)

√8 (+ 1)

l)

√8 −1

TEMA 1

DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

16

PROBLEMAS CON NÚMEROS ENTEROS. 121. Julio y Rosa van de compras. Julio sale con un billete de 20 euros y vuelve con una moneda de 2 euros. El libro que compra Rosa cuesta 23 euros y deja a deber en la librería 4 euros. a) ¿Cuánto dinero ha gastado Julio? b) ¿Con cuánto dinero salió Rosa? 122. Alicia y Carlos hacen sus cuentas. Alicia tiene 4 euros y debe 2 euros. Carlos tenía 15 euros al empezar la semana y ha gastado 8 euros. a) ¿Cuánto dinero tiene Alicia? b) ¿Cuánto dinero le queda a Carlos? 123. Clara y Daniel están jugando a los dados. Han adoptado estas reglas: • El ganador de cada partida tiene 3 puntos positivos. • El perdedor tiene 3 puntos negativos. • Si hay empate: 0 puntos. El resultado de las diez primeras partidas es el siguiente: 1ª 2.a 3.a 4.a 5.a 6.a 7.a 8.a 9.a 10a C

C

D

E

C

D

D

C = Ganador: Clara

E

E

C

D = Ganador: Daniel

E = Empate

Escribe cuántos puntos obtuvieron en cada partida y calcula la suma final de puntos para cada uno. ¿Quién ganó? 124. Nacho tenía 45 euros en una libreta de ahorros. Como regalo de su cumpleaños, su tía le ingresa 14 euros en una libreta. Nacho sacó después 16 euros para invitar a sus amigos. ¿Cuál es el saldo final de su libreta? Escríbelo con palabras y como un número entero. 125. Rosalía ha salido de compras con 70 euros. Ha gastado 33 euros en el supermercado, ha sacado 42 euros del banco y se ha comprado una blusa. Vuelve a casa con 5 euros. ¿Cuánto le costó la blusa? 126. Luisa tenía en el banco un saldo positivo de 150 euros. Ha pagado el recibo de la luz (54 euros), el recibo del teléfono (74 euros) y el de la tarjeta VISA (91 euros). ¿Cuál es su saldo después de estos gastos?

TEMA 1

DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

17

127. Se atribuye a Arquímedes la invención del tornillo. Después de 2146 años, se inventó el ordenador en 1946. ¿En qué año inventó Arquímedes el tornillo? 128. En la antigua China se inventó el papel en el año 200 a.C. Lo hacían con corteza de madera, paja y trapos. 2 066 años más tarde, ante la gran demanda de papel, se empezó a fabricarlo con pasta de madera. ¿En qué año se empezó a fabricar el papel con pasta de madera? 129. Gonzalo de Berceo fue el primer poeta en lengua castellana. Miguel de Cervantes, el autor del Quijote, es uno de los escritores más importantes del mundo. Gonzalo de Berceo nació en el año 1195. Cervantes nacía 352 años después. ¿En qué año nació Cervantes? 130. César juega a los cromos en el recreo. Últimamente está teniendo mala suerte. Cada día anota el resultado de su juego: -15 cromos, -15 cromos, -15 cromos, ... Si continuara de la misma forma: Escribe con un número entero los cromos que llevaría perdidos en 10 días de juego. 131. Entre los días 8 y 15 de enero la temperatura de Burgos tuvo la misma variación cada día. Si la variación total fue de -14°. ¿cuál fue la variación de cada día? 132. La suma de dos enteros es -1 y su producto es igual a -552. ¿Cuáles son esos números? 133. La suma de dos enteros es un entero negativo y su producto es un entero positivo. ¿Cuál es el signo de cada número? Pon un ejemplo. 134. Un comerciante gana 7 200 euros en una operación, pierde 3500 euros en otra y gana 4500 euros en una tercera. Después de estos negocios su saldo es de 1500 euros. ¿Cuál era su situación económica al empezar?

TEMA 1

DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

18

135. El brazo mecánico de un robot ha sido programado de la siguiente forma: — Encendido: inicio del programa. — Primer minuto: avanza 1 cm y retrocede 5 cm. — Segundo minuto: avanza 2 cm y retrocede 5 cm. — Tercer minuto: avanza 3 cm y retrocede 5 cm. Y así continúa, hasta que, al final de un determinado minuto, se encuentra en la posición inicial. Entonces repite el proceso. ¿Cuántas veces repite el ciclo en hora y media? Justifica la respuesta. MINUTO

1

2

3

4

5

AVANCE RETROCESO VARIACIÓN POSICIÓN

1 5 -4 -4

2 5 -3 -7

3 5 -2 ...

4 5 -1

5 5

136. Una plataforma petrolífera marina se sostiene sobre flotadores, a 55 metros sobre la superficie del agua, anclada en una zona con una profundidad de 470 m. Sobre ella, hay una grúa de 35 m de altura, de la que pende un cable y en su extremo un batiscafo auxiliar para los trabajos de mantenimiento de la plataforma. En este momento, la grúa ha largado 120 metros de cable y sigue bajando el batiscafo a razón de un tercio de metro por segundo. a) ¿Cuál o cuáles de estas expresiones representan la distancia del batiscafo al fondo en este momento? 470 + 55 + 35-1201 |470- [120- (55 + 35)]

(470+ 55)-(120-35)

b) ¿Cuánto tardará el batiscafo en llegar al fondo? c) ¿Cuánto tardará la grúa en izar el batiscafo hasta la superficie de la plataforma, si sube a la misma velocidad que baja?