TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

1. VECTORES Y MATRICES

1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.1. Concepto de Traza. 1.3.2. Propiedades de la traza. 1.3.3. Determinante de una matriz. 1.3.4. Cálculo de determinantes de orden 2 y orden 3. 1.3.5. Menor complementario y adjunto de un elemento. 1.3.6. Desarrollo de un determinante por los adjuntos de una fila o de una columna. 1.3.7. Propiedades de los determinantes 1.3.8. Cálculo general de determinantes

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.1. CONCEPTO DE TRAZA DEFINICIÓN DE TRAZA  a11 a12   a21 a22 A   a31 a32 Sea una matriz cuadrada de orden n     a  m1 am 2

a13 a23 a33  am 3

 a1n    a2 n   a3n       amn 

Se define la traza de la matriz A y se denota por Tr(A) como la suma de los elementos de la diagonal principal:

EJEMPLO Calcula la traza de las siguientes matrices: 0  2  3   A 1 2 9 9 7 2  

3 1  1 3 9  1 1 0     a 2 B   1 2 7  C   3 2 8 D   2 3  9 8 3  0 7 3  c 7     

2 5  3 7 6 b  2 1

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.2. PROPIEDADES DE LA TRAZA Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, se verifican las siguientes propiedades: 1)

EJEMPLO:

2)

EJEMPLO

3)

EJEMPLO

4)

EJEMPLO

5) En general

EJEMPLO

6) En general si la matriz A tiene inversa entonces

EJEMPLO

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.2. PROPIEDADES DE LA TRAZA: EJERCICIOS. 1) Dadas las matrices

y comprobar que

Ejercicios: Libro “Problemas y cuestiones de álgebra lineal” P. Ortega Pág. 166,167 Ejercicios 1,2,4

2) Demostrar que se verifica 3) Si A es una matriz antisimétrica ¿Cuánto vale su traza? 4) Demostrar que si A es una matriz simétrica entonces 5) Dadas dos matrices cuadradas de orden n A y B, tales que demostrar que

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.3. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DEFINICIÓN FORMAL: Dada una matriz cuadrada A de orden n, se define el determinante de A y se denota por |A| o det(A) como la suma de los n! productos con signo formados por n-factores obtenidos de multiplicar n elementos de la matriz de forma que cada producto contenga un solo elemento de cada fila y columna de A. De forma analítica:

Donde : -

es una de las n! permutaciones del conjunto {1,2,…,n} es el NÚMERO DE TRASPOSICIONES o cambios requeridos para reordenar la permutación

en el orden de {1,2,…,n}

OBSERVACIÓN - Según esta definición la matriz NULA de orden n, tiene siempre determinante 0

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.4. DETERMINANTE DE MATRICES DE ORDEN 2  a11 a12    , se define el determinante de la matriz A y se denota por det(A) o |A| al A  Sea a a  21 22  a11 a12 det( A )   a11  a22  a12  a21 . siguiente valor numérico: a21 a22

El primer producto, que contiene el elemento a11 , es a11  a22 :

El segundo producto, con el elemento a12 , es a12  a21 : EJEMPLOS: 1) Calcula los siguientes determinantes: 5 2 2 1 1 0 3 4 a) b) c) d) 3 2 1 5 3 0 1 7 2) Calcula el valor de x para que se verifiquen la siguientes igualdades: 5 8 6 2 x 3 3 x a) c)  19 b)  22  9 d) 8 x 7 x 7 9 x x 2x

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.4. DETERMINANTE DE MATRICES DE ORDEN 3 Sea

 a11  A   a21 a  31

a12 a22 a32

a13   a23  a33 

una matriz cuadrada de orden 3, se define el

determinante de la matriz A , y se denota por det(A) | A | , al resultado de la suma de los siguientes 9 productos: a11 a12 a13 det(A) | A | a21 a22 a23  a11  a22  a33  a12  a23  a31  a13  a21  a32 

a31

a32 a33  a11  a23  a32  a12  a21  a33  a13  a22  a31. . El resultado del determinante es un número real. REGLA DE SARRUS:

Productos con signo positivo

Productos con signo negativo

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.4. DETERMINANTE DE MATRICES DE ORDEN 3 REGLA DE SARRUS Productos con signo positivo

Productos con signo negativo

EJEMPLOS: 1) Calcula el determinante de las siguientes matrices:  3 2 6  3 2 3     a) A    1 4 6  b) B    1 4 3   1 2 6  1 2 3     2) Calcula el valor de a para que se verifiquen las siguientes igualdades: x 1 3 x 3 4 a) 2 1 x  7 3 0 2

b) 2 1 2 2

x  6x  8 0

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.4. DETERMINANTE DE MATRICES DE ORDEN 2 Y 3: EJERCICIOS

1) Calcula los siguientes determinantes: 3 3 1 2 0 1 4 7 0 0 a) b) c) d) e) 2 4 2 6 1 3 8 4 2 3 2) Determina el valor que debe tener la incógnita x para que se verifiquen las siguientes ecuaciones: 3 x 1 x 3 0  12  2  21 a) b) 4 x 8 x x 7 EJERCICIOS: Libro “Problemas y cuestiones de álgebra lineal” Pedro Ortega Páginas 168-170 Ejercicios 5,6,7

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.5. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO Sea A una matriz cuadrada de orden n. Definimos el menor complementario del elemento aij de la matriz A , al determinante de la matriz de orden n-1 que se obtiene al suprimir la fija i-ésima y la columna j-ésima de la matriz A. Al menor complementario del elemento aij de la matriz A se le denota como

M ij .

EJEMPLO 2 4 1  3 1  2 A 3 7 2  9 0 1

0 1 3 1  1 .Entonces M 12  3  2 2  6  6  0  2  27  0  25 . 2  1 0 3 3 

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se define el adjunto o cofactor del elemento aij , y lo denotamos por

Aij ,

como

Aij  (1)i  j M ij .

EJEMPLO: si consideramos la matriz A de orden 4 anterior, entonces A12  (1)1 2  M12  (1)  M12  (1)  (25)  25 y A33  (1)33  M 33  M 33  19 .

EJEMPLO: Sea la matriz:

2 1 6 3   2  2 5 7 A . Calcula: 3 1 2 7   8  2 0 2  

M13 , M 24 , M 44 , M 22 y A13 , A24 , A44 , A22

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.5. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO: EJERCICIOS.  2 1 5   1) Dada la matriz A    1 2 7  , calcula todos sus menores complementarios  3 2 1   y sus adjuntos. 2) Calcula el menor complementario de los elementos 3 0 2 4    1  2 5 3   a23 y a44 en la matriz A   .  0 2 1 3    6 1 4 0 

EJERCICIOS: Libro “Problemas y cuestiones de álgebra lineal” P. Ortega Pág. 170 ejercicio 8

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.6. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS DE UNA FILA O UNA COLUMNA

Sea A una matriz cuadrada de orden n. El determinante de A se puede obtener mediante la suma d los productos de los elementos de una fila o de una columna por sus adjuntos correspondientes. a) Desarrollo de un determinante por los adjuntos de la fila i-ésima:

| A | ai1  Ai1  ai 2  Ai 2  ai 3  Ai 3  ...  ain  Ain

b) Desarrollo de un determinante por los adjuntos de la columna j-ésima: | A | a1 j  A1 j  a2 j  A2 j  a3 j  A3 j  ...  anj  Anj . 2  3 EJEMPLO: Considera la matriz A   3  3

1  0 2  1 . Para calcular el determinante de esta matriz por los 2 1  2  4  2  5  3

0

adjuntos de la segunda fila:

| A | a21  A21  a22  A22  a23  A23  a24  A24   3  (1)21  M 21  0  (1)2 2  M 22  2  (1)23  M 23  (1)  (1)2 4  M 24  3  3  2

0 1 2 3 1 2 3 1  2  2  3 2  2  3 2

4 2 5

3 4 5

0 1 

3 4 2

 3(15  4  4  12)  2(20  18  12  6  45  16)  (8  9  18  8)   3  3  2  29  9  76 .

Calculemos ahora el determinante desarrollando por los adjuntos de la tercera columna

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.6. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS DE UNA FILA O UNA COLUMNA: EJERCICIOS

1 Calcula los siguientes determinantes desarrollando por alguna de sus filas o columnas: 2 3 0 1 1 2 5 2 0 3 4 a) 0 2 0 b) EJERCICIOS: Libro “Problemas 0 7 1 5 4 8 3 y cuestiones de álgebra lineal” 8 5 0 3 P. Ortega

Págs. 170,171 Ejercicio 9

2) Calcula el determinante de la matriz: 0 2 3 1   2  3 0 5   A 2 3 2  1   0 2 1 7 a) Desarrollando por los adjuntos de la segunda fila. b) Desarrollando por los adjuntos de la segunda columna.

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (1/4) 1. El determinante de una matriz cuadrada coincide con el determinante de su t traspuesta: A  A .  1 7 EJEMPLO: Comprobar con la matriz A     1 6 2. Si una matriz cuadrada tiene una fila o una columna de ceros, entonces su determinante es cero. 2 3 1 10 0  y 0 0 0 . EJEMPLO: 3 0 1 3 7 3. Si en una matriz cuadrada intercambiamos dos de sus filas (o dos de sus columnas), entonces el determinante de la matriz resultante cambia de signo. EJEMPLO:

2 0 1

3 2 1 2

 ; intercambiando las columnas

2 0 1

 2 7 1  y . 3 2 5 . 3 2 5 2 7 1

2 3 2 1

.

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (2/4) 4. Si dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada son iguales entonces su determinante es nulo. 2 5 1 1 2  Ejemplo, y 3 6 6 1 2 2 5 1 5. Si multiplicamos por el mismo número real k todos los elementos de una fila o una columna de una matriz cuadrada A, entonces el determinante de la matriz B resultante verifica que det( B)  k  det( A) . 3 2 3k 2k 3 2  .  Ejemplos: 1 1 k k 1 1 6. Si dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada son proporcionales entonces su determinante es nulo. Por ejemplo,

2

6

2

4

 (aplicando las propiedades 4 y 5).

1 6

1 2 3

3

4

3  (aplicando las propiedades 4 y 5). 9

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (3/4) 7. Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces det(k  A)  k n  det( A) . Demostración: det(k  A)  k  a 1  k 2 a 1

a 2

k  a .2

 k  a n  k a 1

 k  a n  ...  k n a 1

k  a .2

 k  a .n 

 an  k n  det( A) .

a 2

8. Si a la fila (o columna) de una matriz le sumamos una combinación lineal de una o varias paralelas a ella, entonces su determinante no varia.

7

1



7

1

. 2  2  7  3  2 1 2 3 9. Si una matriz cuadrada tiene una fila (o columna) que es combinación lineal de otras, entonces el determinante de la matriz es nulo. Además si el determinante de una matriz es nulo, entonces existe al menos una fila (o columna) que es combinación lineal de las demás.

Ejemplo,

1 2 Ejemplo, 2  3 2 5

y

3  1  0 pues a1  a2  a3 7

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (4/4)

TEOREMA: Un conjunto de n-vectores de n-componentes es linealmente independiente si y sólo si el determinante de orden n de la matriz formada por sus n-vectores colocados en fila (o en columna) es no nulo. 10. Para cualquier fila (o columna de una matriz) se verifica que: a11

a12

a13

a11

a12

b13

a11

a12

a13  b13

a21

a22

a23  a21

a22

b23  a21

a22

a23  b23

a31

a32

a33

a32

b33

a32

a33  b33

Ejemplo, comprobemos que

2 3 7 8

a31



2

6

7 2



a31

2 9 7 6

;

11. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es el producto de sus determinantes: | A  B || A |  | B |.  3 4  1  1 3 4 1  1    Por ejemplo, comprobemos que  . 7 1 2 5 7 1 2 5    12. Si una matriz A de orden n tiene inversa entonces det( A1 )  1/ det( A) .

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES : EJERCICIOS 1

x

1

1) Sabiendo que 2

y

3  1, calcula sin aplicar la regla de Sarrus los

2

z

5 2 a) 2

z 5 1 3x 3 2 5 7 determinantes: y 3 b) 2 3 y 9 c) x y z 3 3x 3 2 3 z 15 1 3 5 2) Halla los siguientes determinantes aplicando las propiedades: 5 10 x  x 2y 1 a a) b) 1 a 2 c) 3 6x  y 2x 3) Demuestra, sin desarrollarlos, que los siguientes determinantes son nulos: 2 0 1 1 2 5 0 1 3 EJERCICIOS: Libro a) 3 0  7 b) 4 1 c) 2 3 1 6 “Problemas y cuestiones de 0  7  17 4 0 2 2 0 9 álgebra lineal” P. Ortega Págs. 171-173 Ejercicios 10,11,12

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.8. CÁLCULO GENERAL DE DETERMINANTES Hemos visto que el determinante se obtiene desarrollando por cualquiera de las filas o columnas de la matriz. En consecuencia, para calcular el determinante elegiremos una fila o columna que tenga el mayor número de ceros para que los cálculos se simplifiquen. Por otro lado, utilizando las propiedades de los determinantes, en concreto, haciendo uso de la propiedad 8, es posible calcular el determinante de una matriz por medio de otra que tenga una fila o columna con el mayor número de ceros. HACIENDO CEROS: EJEMPLO 2 | A |

3

0

1

3 0

2

1

3 2

5 

3

2

1

0 0

0

1

 1  2 C1 C1 3C4  3 2

3 4 2

5

C3 C3  2 C4

5 2

 12 4  12

5

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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 1.3.8. CÁLCULO GENERAL DE DETERMINANTES: EJERCICIOS

1) Calcula el determinante de la siguiente matriz haciendo ceros en la tercera fila: EJERCICIOS: Libro  3 2 1 5 “Problemas y cuestiones de    4 1 2 2 álgebra lineal” P. Ortega B Págs. 173; 177; 180 0 1 3 7   Ejercicios 13, 15, 16 2 2 3 5   1

2) Calcula el siguiente determinante:

0

1 1

1 1 1 1 2

1 0

2

3 1 0 2 3) Comprueba que se verifica la siguiente igualdad: 1 1 1

a

b

a2

b2

c  (b  a)(c  a)(c  b) . c2

CUESTIONES: Libro: “problemas y cuestiones de álgebra lineal” P. Ortega Pág. 194-196 cuestiones 1-10