Transformaciones lineales Definición Ejemplos Propiedades

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transformaciones lineales Dados V y W e.v. sobre K,

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transformaciones lineales Dados V y W e.v. sobre K, llamamos transformación lineal

c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

transformaciones lineales Dados V y W e.v. sobre K, llamamos transformación lineal a cualquier función T :V→W que verifique

c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

transformaciones lineales Dados V y W e.v. sobre K, llamamos transformación lineal a cualquier función T :V→W que verifique I T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) para todo v1 , v2 ∈ V

c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

transformaciones lineales Dados V y W e.v. sobre K, llamamos transformación lineal a cualquier función T :V→W que verifique I T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) para todo v1 , v2 ∈ V I T (λv) = λT (v) para todo v ∈ V y λ ∈ K

c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

Ejemplo 1 - producto por una matriz Sea V = Kn

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

Ejemplo 1 - producto por una matriz Sea V = Kn y W = Km .

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

Ejemplo 1 - producto por una matriz Sea V = Kn y W = Km . Entonces A ∈ Mm×n (K) determina

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

Ejemplo 1 - producto por una matriz Sea V = Kn y W = Km . Entonces A ∈ Mm×n (K) determina A : Kn → Km

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

Ejemplo 1 - producto por una matriz Sea V = Kn y W = Km . Entonces A ∈ Mm×n (K) determina A : Kn → Km I A.(X + Y ) = A.X + A.Y

X, Y ∈ Kn

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

Ejemplo 1 - producto por una matriz Sea V = Kn y W = Km . Entonces A ∈ Mm×n (K) determina A : Kn → Km I A.(X + Y ) = A.X + A.Y I A.(λX) = λA.X

X, Y ∈ Kn

X ∈ Kn y λ ∈ K

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

Ejemplo 1 - producto por una matriz Sea V = Kn y W = Km . Entonces A ∈ Mm×n (K) determina A : Kn → Km I A.(X + Y ) = A.X + A.Y I A.(λX) = λA.X

X, Y ∈ Kn

X ∈ Kn y λ ∈ K

⇒ A es una transformación lineal

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

Ejemplo 2 - coordenadas Dado V e.v. sobre K de dimensión n,

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

Ejemplo 2 - coordenadas Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada B = {v1 , . . . , vn } base de V

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

Ejemplo 2 - coordenadas Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada B = {v1 , . . . , vn } base de V para cada v ∈ V teníamos

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

Ejemplo 2 - coordenadas Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada B = {v1 , . . . , vn } base de V para cada v ∈ V teníamos coordB (v) = (λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

Ejemplo 2 - coordenadas Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada B = {v1 , . . . , vn } base de V para cada v ∈ V teníamos coordB (v) = (λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn si v = λ1 v1 + · · · + λn vn

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

Ejemplo 2 - coordenadas Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada B = {v1 , . . . , vn } base de V para cada v ∈ V teníamos coordB (v) = (λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn si v = λ1 v1 + · · · + λn vn la transformación coordB : V → Kn es lineal

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

Ejemplo 2 - coordenadas Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada B = {v1 , . . . , vn } base de V para cada v ∈ V teníamos coordB (v) = (λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn si v = λ1 v1 + · · · + λn vn la transformación coordB : V → Kn es lineal

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

Ejemplo 3 - derivada Sean V = C 1 (R) y W = C 0 (R),

c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/1

Ejemplo 3 - derivada Sean V = C 1 (R) y W = C 0 (R), la transformación d : C 1 (R) → C 0 (R) f 7→ df verifica

c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/1

Ejemplo 3 - derivada Sean V = C 1 (R) y W = C 0 (R), la transformación d : C 1 (R) → C 0 (R) f 7→ df verifica I d(f + g)(x) = df (x) + dg(x)

c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/1

Ejemplo 3 - derivada Sean V = C 1 (R) y W = C 0 (R), la transformación d : C 1 (R) → C 0 (R) f 7→ df verifica I d(f + g)(x) = df (x) + dg(x) I d(λf )(x) = λdf (x)

c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/1

Ejemplo 3 - derivada Sean V = C 1 (R) y W = C 0 (R), la transformación d : C 1 (R) → C 0 (R) f 7→ df verifica I d(f + g)(x) = df (x) + dg(x) I d(λf )(x) = λdf (x) ⇒ es lineal

c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/1

Ejemplo 4 - integral definida Sean V = C 0 (R) y W = C 1 (R),

c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/1

Ejemplo 4 - integral definida Sean V = C 0 (R) y W = C 1 (R), dado a ∈ R, la transformación R. 0 1 : C (R) → C (R) a Rx f 7→ a f (t)dt verifica

c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/1

Ejemplo 4 - integral definida Sean V = C 0 (R) y W = C 1 (R), dado a ∈ R, la transformación R. 0 1 : C (R) → C (R) a Rx f 7→ a f (t)dt verifica Rx Rx Rx I a (f + g)(t)dt = a f (t)dt + a g(t)dt

c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/1

Ejemplo 4 - integral definida Sean V = C 0 (R) y W = C 1 (R), dado a ∈ R, la transformación R. 0 1 : C (R) → C (R) a Rx f 7→ a f (t)dt verifica Rx Rx Rx I a (f + g)(t)dt = a f (t)dt + a g(t)dt Rx Rx I a λf (t)dt = λ a f (t)dt

c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/1

Ejemplo 4 - integral definida Sean V = C 0 (R) y W = C 1 (R), dado a ∈ R, la transformación R. 0 1 : C (R) → C (R) a Rx f 7→ a f (t)dt verifica Rx Rx Rx I a (f + g)(t)dt = a f (t)dt + a g(t)dt Rx Rx I a λf (t)dt = λ a f (t)dt ⇒ es lineal

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Otros ejemplos I producto escalar (con un vector fijo)

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Otros ejemplos I producto escalar (con un vector fijo) I producto vectorial (con un vector fijo)

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Otros ejemplos I producto escalar (con un vector fijo) I producto vectorial (con un vector fijo) I determinante (respecto de una columna)

c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/1

Otros ejemplos I producto escalar (con un vector fijo) I producto vectorial (con un vector fijo) I determinante (respecto de una columna) I vector proyección sobre un versor

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Proposición Dados V y W e.v. sobre K, la función T :V→W es lineal m

c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/1

Proposición Dados V y W e.v. sobre K, la función T :V→W es lineal m T (αv1 + βv2 ) = αT (v1 ) + βT (v2 )

c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/1

Proposición T :V→W transformación lineal

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Proposición T :V→W transformación lineal ⇓ T (OV ) = OW

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Demostración

T (OV )

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Demostración

T (OV ) = T (0.OV )

c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/1

Demostración

T (OV ) = T (0.OV ) = 0.T (OV )

c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/1

Demostración

T (OV ) = T (0.OV ) = 0.T (OV ) = OW

c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/1

Teorema Una transformación lineal queda completamente determinada por los valores que toma en una base.

c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/1

Teorema Una transformación lineal queda completamente determinada por los valores que toma en una base. Es decir, si conocemos T (B) para alguna base B

de V

c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/1

Teorema Una transformación lineal queda completamente determinada por los valores que toma en una base. Es decir, si conocemos T (B) para alguna base B

de V

entonces hay una única t.l. T : V → W que en B vale T (B)

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demostración - hay una Si B = {v1 , . . . , vn }

c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/1

demostración - hay una Si B = {v1 , . . . , vn } defino T (v) =

c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/1

demostración - hay una Si B = {v1 , . . . , vn } defino T (v) = T (λ1 v1 +· · ·+λn vn )

c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/1

demostración - hay una Si B = {v1 , . . . , vn } defino def

T (v) = T (λ1 v1 +· · ·+λn vn ) = λ1 T (v1 )+· · ·+λn T (vn )

c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/1

demostración - hay una Si B = {v1 , . . . , vn } defino def

T (v) = T (λ1 v1 +· · ·+λn vn ) = λ1 T (v1 )+· · ·+λn T (vn ) T es lineal (Verificar)

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demostración - es única Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces

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demostración - es única Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces T (v)

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demostración - es única Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces T (v) = T (λ1 v1 + · · · + λn vn )

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demostración - es única Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces T (v) = T (λ1 v1 + · · · + λn vn ) = λ1 T (v1 ) + · · · + λn T (vn )

c Jana Rodriguez Hertz – p. 13/1

demostración - es única Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces T (v) = T (λ1 v1 + · · · + λn vn ) = λ1 T (v1 ) + · · · + λn T (vn ) = λ1 S(v1 ) + · · · + λn S(vn )

c Jana Rodriguez Hertz – p. 13/1

demostración - es única Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces T (v) = T (λ1 v1 + · · · + λn vn ) = λ1 T (v1 ) + · · · + λn T (vn ) = λ1 S(v1 ) + · · · + λn S(vn ) = S(λ1 v1 + · · · + λn vn )

c Jana Rodriguez Hertz – p. 13/1

demostración - es única Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces T (v) = T (λ1 v1 + · · · + λn vn ) = λ1 T (v1 ) + · · · + λn T (vn ) = λ1 S(v1 ) + · · · + λn S(vn ) = S(λ1 v1 + · · · + λn vn ) = S(v)

c Jana Rodriguez Hertz – p. 13/1

demostración - es única Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces T (v) = T (λ1 v1 + · · · + λn vn ) = λ1 T (v1 ) + · · · + λn T (vn ) = λ1 S(v1 ) + · · · + λn S(vn ) = S(λ1 v1 + · · · + λn vn ) = S(v) 

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Proposición T :V→W transformación lineal biyectiva ⇓

c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/1

Proposición T :V→W transformación lineal biyectiva ⇓ T lleva bases de V en bases de W

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Proposición T :V→W transformación lineal biyectiva ⇓ T lleva bases de V en bases de W

c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/1