Transformaciones lineales [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z.

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1

Sean V y W espacios vectoriales sobre el cuerpo ℜ de los números reales. Una transformación lineal o aplicación lineal de V en W es una función T : V W que satisface: i) T(u + v ) = T ( u ) + T ( v ); ∀ u , v ∈ V

ii )

T( α v ) = α T ( v);

∀ α ∈ ℜ; ∀ v ∈ V

Si T es una transformación lineal de V en W, entonces T( v1 + . . . . . + v n ) = T ( v1 ) + . . . . . + T ( v n ) Más aún,

T(α1v1 + . . . . . + αn vn ) = α1T(v1) + . . . . . + αnT(vn ) __________________________________________________________________ Algebra Lineal

2

Si T es una transformación lineal de V en W, entonces T(0) = 0. Esto se enuncia de manera equivalente así,

T (0 ) ≠ 0

⇒

T no es aplicación lineal

Ejemplos de aplicaciones lineales 1) Consideremos f : ℜ → ℜ la función f(x) = 3x. Entonces, f(x + a) = 3(x + a) = 3x + 3a = f(x) + f(a)

f ( α x ) = 3( α x ) = α ( 3 x ) = α f ( x ) Luego f es una aplicación lineal. Pero si definimos g(x) = x + 3, g no es aplicación lineal puesto que g ( 0 ) ≠ 0. Observe que la función g tampoco cumple las condiciones i) y ii) exigidas para ser transformación lineal. __________________________________________________________________ Algebra Lineal

3

Las siguientes funciones de ℜ en ℜ no son lineales: f(x) = x2

f(x) =

f(x) = e x

f(x) = ln x

x

f(x) = 1 x

f(x) = cos x

¿Cuáles son las funciones lineales de ℜ en ℜ ?

2) Sea T : ℜ 3 → ℜ 2 la función T(x,y,z) = (2x – y, y + 3z). Entonces T es una aplicación lineal. ¡Demuéstrelo!

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4

Ejercicio: Muestre una aplicación de ℜ 2 en ℜ3 que sea lineal y otra que no lo sea. 3) Consideremos F : M mxn (ℜ ) → M nxm (ℜ ); F(A) = A t Entonces, F ( A + B ) = ( A + B ) t = A t + B t = F ( A ) + F (B ) F(α A ) = (α A )t = α A t = α F( A )

Por lo tanto, F es una transformación lineal. 4) La función T : P3 [x] → P2 [ x]; T(p) = p' = es lineal; en efecto,

dp dx

T(p + q) = (p + q)’ = p’ + q’ = T(p) + T(q) T (a p) = (a p)’ = a p’ = a T(p) , a ∈ ℜ

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5

Destacamos los siguientes dos ejemplos

5) Si V y W son espacios vectoriales,

To : V → W; To (v) = 0 W es una aplicación lineal 6) Si V es un espacio vectorial, la función

I : V → V; I(u) = u es lineal; se llama aplicación identidad de V.

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6

El siguiente teorema nos enseña a extender a todo el espacio dominio, una aplicación lineal que se conoce sólo en una base de dicho espacio.

Teorema: Sean V un espacio vectorial real con base B = {v1, . . . . . , v n } y W un espacio vectorial real. Si w1, . . . . . , w n ∈ W entonces existe una única aplicación lineal T de V en W tal que T( v i ) = w i , ∀i = 1, . . . . , n En efecto, si v∈ V, existen únicos α1, . . . . . , α n ∈ ℜ tales que

v = α1v1 + . . . . . + α n v n

La aplicación T de V en W definida por:

T(v) = α1w1 + . . . . . + αn w n satisface lo requerido en el teorema. __________________________________________________________________ Algebra Lineal

7

Ejemplo: ¿Cuál es la aplicación lineal T de ℜ2 en ℜ2 tal que T(1, 0) = (-2, 5) y T(0, 1) = (3, -4)?

Sea (a, b) ∈ ℜ2 , entonces (a, b) = a (1, 0) + b (0, 1). La aplicación T : ℜ2

ℜ2 ; T(a, b) = a(-2, 5) +b(3, -4), o más precisamente, T(a, b) = (-2a + 3b, 5a - 4b), es lineal y satisface lo requerido.

Ejercicio:

a) ¿Cuál es la aplicación lineal T de ℜ3 en ℜ2 tal que T(1, 0, 0) = (2, -3), T(0, 1, 0) = (1, 1) y T(0, 0, 1) = (6, 5)

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Ejercicio: Determine la aplicación lineal T de ℜ3 en P2[x] tal que T(1, 1, 1) = 2 + x,

T(1, 1, 0) = x - x2 , T(1, 0, 0) = 1 + 3x + 2x2

Ejercicio:

Determine cuál (es) de las siguientes aplicaciones son lineales.

1) T : ℜ → ℜ3 ; T(x) = (x, 0, 3x) 2) T : ℜ2 → ℜ3 ; T(a, b) = (5a − b, a + 2b, 1) 3) T : ℜ2 → P2[x ]; T(a, b) = a + 3ax + (a − 4b) x 2 4) T : P1[ x] → ℜ3 ; T(a + bx) = (a, 2b, 3a + b)  b + c 2a   5) T : ℜ3 → M 2 (ℜ); T(a, b, c) =  a −c 3  __________________________________________________________________ Algebra Lineal

9

Núcleo e imagen Sean V y W espacios vectoriales reales y T: V W una transformación lineal. El núcleo o kernel de T es el conjunto, Ker T = { v ∈ V / T(v) = 0 } La imagen de T es el conjunto, Im T = { w ∈ W / ∃ v ∈ V talque T(v) = w }

Ejemplo:

Determinemos el núcleo y la imagen de la aplicación lineal T : ℜ3 → ℜ2 ; T(x, y, z) = (x - 2y, 3y + z) Ker T = {(x, y, z) / T(x, y, z) = (0, 0)} = {(x, y, z) / x – 2y = 0 3y + z = 0 } __________________________________________________________________ Algebra Lineal

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Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales obtenemos Ker T = {(x, y, z) / x = 2y ∧ z = -3y } = {(2y, y, -3y) / y ∈ ℜ } = < { (2, 1, -3) } > Es decir, el núcleo de T resultó ser un subespacio de dimensión uno del espacio ℜ3 . 3 Im T = { T(x, y, z) / (x, y, z) ∈ ℜ } = { (x – 2y, 3y + z) / x, y, z ∈ ℜ } = < { (1, 0), (-2, 3), (0, 1) } > = < { (1, 0), (0, 1) } > 2 = ℜ

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¿Cuál es el kernel y la imagen de las aplicaciones

To : V → W; To (v) = 0 W

I : V → V; I(u) = u El núcleo y la imagen de una transformación lineal no son simples conjuntos; es fácil demostrar el siguiente teorema.

Teorema: Si T de V en W es una aplicación lineal, entonces el núcleo de T es un subespacio de V y la imagen de T es un subespacio de W. La dimensión del núcleo de T se llama nulidad de T y la dimensión de la imagen de T es el rango de T

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La nulidad de T y el rango de T serán denotados así,

η( T ) = dim (Ker T)

ρ(T) = dim (Im T)

Y estos números se relacionan mediante la igualdad,

η(T) + ρ(T) = dim V Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal T : P2 [ x] → ℜ2; T(a + bx + cx2 ) = (a − b, 2a + c) Entonces, Ker T = {a + bx + cx 2 ∈ P2 [ x] / (a − b, 2a + c) = (0, 0) } = {a + bx + cx 2 ∈ P2 [ x] / a = b ∧ c = -2a } = { a + ax - 2a x 2 / a ∈ ℜ } = {a(1 + x - 2x 2 ) / a ∈ ℜ } = < {1 + x - 2x 2 } > __________________________________________________________________ Algebra Lineal

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Como B = {1 + x − 2 x 2 } genera a Ker T y es linealmente independiente, B es una base de Ker T; luego η( T ) = 1 y

ρ(T) = dim V - η(T) = 3 - 1 = 2 2 Si la dimensión de la imagen de T es 2, Im (T) = ℜ

El siguiente teorema caracteriza a las aplicaciones lineales inyectivas, epiyectivas y por tanto biyectivas.

Teorema: Sea T : V

W aplicación lineal.

(1) T inyectiva ⇔ Ker T = {0} ⇔ η( T ) = 0 (2) T epiyectiva ⇔ Im T = W ⇔ ρ( T ) = dim W

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Isomorfismos Recordemos que una función f posee función inversa f −1 si y sólo si f es biyectiva. La función f −1 resulta ser biyectiva también y tal que (f −1 o f )(x) = x

y

(f o f -1)(x) = x

Una aplicación lineal y biyectiva se llama isomorfismo. Ejemplo: La aplicación lineal T : ℜ3 → ℜ3 definida por T(x, y, z) = (x – y, 2y + z, x + y + z) no es un isomorfismo puesto que Ker T = < {(1, 1, -2)}> y, en consecuencia, no es inyectiva. __________________________________________________________________ Algebra Lineal

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Ejercicio: Muestre que la siguiente aplicación de ℜ3 3 en ℜ es un isomorfismo, T(x, y, z) = (x - y, 2y + z, x + 2y + z)

Si T es una aplicación de V en W, observe que,

⇔ T invertible −1 • T isomorfismo ⇔ T isomorfismo • T isomorfismo

Y si dimV = dimW, entonces T biyectiva ⇔ T inyectiva

⇔

T epiyectiva

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Ejercicio: ¿Cuál (es) de las siguientes funciones T son invertibles?

1) T : ℜ3 → ℜ3; T(x, y, z) = (x, 2x - y, x + 4y - z) 2) T : ℜ3 → P2[x]; T(a, b, c) = (a − c) + (2a + b + c)x + (3a + b + c)x2  a b 4  = (a + d, 2c, a + c, c - d) 3) T : M2 (ℜ) → ℜ ; T  c d

Si T: V W es un isomorfismo, entonces se dice que los espacios V y W son isomorfos, en cuyo caso se anota V≅ W .

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Ejemplo: Los espacios ℜ3 y P2[x] son isomorfos; el isomorfismo “natural” entre ellos es

T(a, b, c) = a + bx + cx2 a b El isomorfismo T  = (a, b, c, d) establece que los c d espacios M2 (ℜ) y ℜ4 son isomorfos.

Teorema: Todo espacio vectorial real de dimensión finita n es n isomorfo a ℜ .

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Aplicaciones lineales y matrices Sea

A ∈ Mmxn(ℜ) y consideremos la aplicación,

TA : ℜn → ℜm definida por TA (X) = A X Para X, Y ∈ ℜn y α ∈ ℜ se tiene que,

i) TA (X + Y) = A (X + Y) = A X + A Y = TA (X) + TA (Y) ii) TA (α X) = A (α X) = α (A X) = α TA (X) Es decir, TA es una transformación lineal, que se llama aplicación lineal asociada a la matriz A.

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 1 − 3   Ejemplo: Sea A =  − 4 0  2 1 

y determinemos la aplicación lineal asociada a A.

TA : ℜ2 → ℜ3 ; TA (x, y) = ??  1 − 3  x − 3y    x    − 4 0    =  − 4x   2   y   2x + y  1    

TA : ℜ2 → ℜ3 ; TA (x, y) = (x - 3y, - 4x, 2x + y)

Ejercicio: Encuentre la aplicación lineal asociada a las matrices

2 A =  0

−1 1  7 5

 0 0 0  0 =   0 0 0

e I3

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Denotemos por,

L(ℜn , ℜm) = { T : ℜn → ℜm / T lineal} ¿Por qué?

L(ℜn , ℜm) es un espacio vectorial real: el espacio de las aplicaciones lineales de ℜn en ℜm .

Queremos establecer que el espacio L(ℜn , ℜm ) es isomorfo a Mmxn(ℜ) . Para ello debemos mostrar una función entre estos espacios que sea un isomorfismo. Consideremos,

F : Mmxn(ℜ) → L(ℜm , ℜn ) definida por F(A) = TA __________________________________________________________________ Algebra Lineal

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9 F es una función bien definida y además es lineal, puesto que

TA + B = TA + TB

y

TαA = αTA , α ∈ ℜ

Ejercicio: Demuestre estas igualdades. 9 F es inyectiva pues Ker F = { A / TA = To } = { 0 mn } 9 F

es epiyectiva ya que para cada transformación lineal T de ℜn en ℜm , existe una matriz A ∈ Mmxn(ℜ) tal que F(A) =

TA = T . Esta matriz A es única, se

llama matriz asociada a la transformación lineal T, se denota [T] y se determina así:

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Sean {e1, ..... , en} y {e1, ..... , em} las bases canónicas de ℜn y ℜm respectivamente. Entonces,

T (e1 ) =

a11e1 + a 21e 2 + . . . . . + a m1e m

T (e 2 ) = ......

a12 e1 + a 22 e 2 + . . . . . + a m2 e m ......

T (e n ) = a1n e1 + a 2 n e 2 + . . . . . + a mn e m y la matriz,

 a 11   a 12 [T ] =  ....  a  1n

a 21 a 22 .... a 2n

a m1   . . . . a m2  .... ....   . . . . a mn 

....

t

es tal que F([T]) = T

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Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal, T : ℜ 2 → ℜ 3 ; T ( x , y ) = (3x + y, x - y, 7x − 2 y) y determinemos la matriz asociada a T. Procedemos a evaluar T en los vectores de la base canónica de ℜ2 y luego, escribir estas imágenes como combinación lineal de los vectores de la base canónica de ℜ3 .

T (1, 0 ) = ( 3, 1, 7) = 3(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 7(0, 0, 1) T ( 0 , 1) = (1, - 1, - 2) = 1(1, 0, 0) − 1(0, 1, 0) - 2(0, 0, 1) Entonces la matriz asociada a T es: 3 [ T ] =  1

1 −1

3 t  7  =  1 − 2 7 

1  − 1 − 2 

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Ejercicio: Encuentre la matriz asociada a las aplicaciones lineales,

T : ℜ 3 → ℜ 2 ; T ( x , y, z ) = (x + 6 y - z, 4x - 5y + 2z) T : ℜ 3 → ℜ 3 ; T ( x , y, z ) = (y - 2z, 3x + z, 9x − 2 y + z) Como consecuencia del isomorfismo que se ha establecido tenemos que: [T + S] = [T] + [S] [a T] = a [T] , a número real Además, invertible,

[T o S] = [T] [S] -1 -1

y si T es

[T ] = [T]

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25

Matriz de cambio de base n

m

Sea T : ℜ → ℜ una aplicación lineal. Repetiremos el procedimiento realizado para obtener la matriz asociada a T pero considerando las bases B ={ v1, ..... , vn} y E ={ w1, ..... , wm} de ℜn y ℜm respectivamente. Evaluamos T en los vectores de la base B y luego, expresamos estas imágenes como combinación lineal de los vectores de la base E.

T ( v1 ) =

a11w1 + a 21w 2 + . . . . . + a m1w m

T(v 2 ) = ......

a12 w1 + a 22 w 2 + . . . . . + a m2 w m ......

T ( v n ) = a1n w1 + a 2 n w 2 + . . . . . + a mn w m __________________________________________________________________ Algebra Lineal

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 a 11  a La matriz,  12 ....  a  1n

Luego,

a 21 a 22 .... a 2n

.... .... .... ....

a m1 a m2 .... a mn

 a 11  E  a 21 [T ] B =  ....  a  m1

a 12

....

a 22 ....

.... ....

a m2

....

      

t

se denota

[T] E B

a 1m   a 2m  ....   a mn 

Cuando n = m y B = E , esta matriz se denota

[T]B

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27

La matriz

[T]E B está caracterizada así: n Si las coordenadas de v ∈ ℜ con respecto a la base B son [v]B = X = (x1, . . . . , x n ) , E entonces [T]B ⋅ X son las coordenadas de la imagen T(v) con respecto a la base E

En este caso, el isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices establece que: E E n m [T + S] E B = [T] B+ [S] B , T, S ∈ L(ℜ , ℜ ) E n m = α α ∈ ℜ ∈ ℜ ℜ [α T] E [T] , , T L( , ) B B

C E n m m k [T o S] C = [T] ⋅ [S] , T ∈ L( ℜ , ℜ ), S ∈ L( ℜ ,ℜ ) B E B

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Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal, T : ℜ 3 → ℜ 2 ; T ( x , y, z ) = (x + 2 y - z, 3x + z) E y determinemos la matriz [T]B donde, 3 B = { v = (1, 1, 1), u = (1, 1, 0), w = (1, 0, 0)} base de ℜ y E = {(2, 3), (-3, -5)} base de ℜ2. Tenemos que, T (1, 1, 1) = ( 2 , 4) = α 1 (2, 3) + α 2 (-3, - 5) T (1, 1, 0 ) = ( 3, 3) = β1 (2, 3) + β 2 (-3, - 5)

T (1, 0, 0 ) = (1, 3) = γ1 (2, 3) + γ 2 (-3, - 5) Calculando las coordenadas obtenemos la matriz: − 2 E  [T ] B =  6 − 4 

t

− 2  − 2 3  =  −2 − 3  

6 − 4  3 − 3

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Observación: Si B es cualquier base de ℜn , entonces la matriz de la aplicación identidad es [I n ]B = [ I ]B = In . ℜ n Pero si E es otra base de ℜ , entonces [ I ] E B ≠ In . La matriz

B [ I ]E [ I ] es una matriz invertible, su inversa es B E

y ambas son llamadas matrices de cambio de base, nombre que se deriva de lo siguiente:

E E B n n [ I] B ⋅ [T] ⋅ [ I ] = [T] , T ∈ L( ℜ ,ℜ ) E E B B aquí, E y B son bases de ℜn .

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30

Valores y vectores propios En lo que sigue, T será una transformación lineal de ℜn en ℜn ; por lo tanto cualquier matriz asociada a T es una matriz cuadrada. Un escalar λ ∈ ℜ se llama valor propio de T (o valor característico) si existe v ∈ ℜn , v ≠ 0 tal que T(v) = λ v. Si λ ∈ ℜ es un valor propio de T, cualquier T(v) = λ v se llama v ∈ ℜn , v ≠ 0 tal que vector propio de T (o vector característico) asociado al valor propio λ . __________________________________________________________________ Algebra Lineal

31

Ejemplo: λ = 2 es un valor propio de la aplicación lineal T : ℜ 2 → ℜ 2 ; T ( x , y ) = (27x − 10 y, 75x - 28y) puesto que T(2, 5) = (4, 10) = 2 (2, 5). En este caso, v = (2,5) es un vector propio de T asociado al valor propio 2. Si λ es un valor propio de T y denotamos por Vλ al conjunto de todos los vectores propio de T asociados al valor propio λ , entonces es fácil mostrar que Vλ resulta ser n un subespacio de ℜ . El subespacio Vλ se llama espacio propio de T asociado a λ .

Vλ = { v ∈ ℜn / T(v) = λ v } __________________________________________________________________ Algebra Lineal

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¿Cómo determinamos los valores y vectores propios de T?

λ es un valor propio de T ⇔

∃ v ∈ ℜ n , v ≠ 0 tal que T ( v) = λ v ⇔ ∃ v ∈ ℜ n , v ≠ 0 tal que T ( v) − λ v = 0 ⇔ ∃ v ∈ ℜ n , v ≠ 0 tal que (T − λ I n )( v) = 0 ⇔ ∃ v ∈ ℜ n , v ≠ 0, v ∈ Ker (T - λ I n ) ⇔ T − λ I n no invertible ⇔ det [T − λ I n ] = 0

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Observe que p(λ ) = det [T − λ I n ] es un polinomio en λ de grado n y, los valores propios de T son las raíces reales de dicho polinomio. Por otra parte, Vλ = { v ∈ ℜ n / T(v) = λ v }

= { v ∈ ℜ n / T(v) - λ v = 0} = { v ∈ ℜ n / (T - λ I n )(v) = 0} = Ker (T - λ I n ) Es decir, los vectores propios de T asociados a λ son los vectores del kernel de la transformación lineal (o matriz) [T − λ I n ] . __________________________________________________________________ Algebra Lineal

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Ejemplo: Sea T la transformación lineal T : ℜ2 → ℜ2 ; T(x, y) = (−y, x)  0 −1  . Como la “ecuación 0 

La matriz asociada a T es A =  1 característica” de T,

λ 1 p(λ) = 0 ⇔ det[λ I - T] = 0 ⇔ = 0 ⇔ λ2 +1 = 0 −1 λ no tiene raíces reales, T no tiene valores propios.

Ejercicio: Muestre que los valores propios de la siguiente transformación lineal T son 1 y 2.

T : ℜ3 → ℜ3 ; T(x, y, z) = (3x + y - z, 2x + 2y - z, 2x + 2y) __________________________________________________________________ Algebra Lineal

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Ejemplo: Los vectores propios de la transformación lineal

T : ℜ3 → ℜ3 ; T(x, y, z) = (3x + y - z, 2x + 2y - z, 2x + 2y) se encuentran en Ker[T − I3 ] y Ker[T - 2I 3 ]

2x + y - z = Ker[ T − I 3 ] = { (x, y, z) ∈ ℜ / 2x + 2y - z = 3

0 } 0

= < { (1, 0, 2) } > x+y+z = 0 Ker[ T − 2 I 3 ] = { (x, y, z) ∈ ℜ 3 /

2x - z = 0

}

2x + 2y - 2z = 0 = < { (1, 1, 2) } >

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Diagonalización n

Se dice que una base B de ℜ diagonaliza a la transformación lineal T si la matriz [T]B asociada a T es una matriz diagonal. Cuando tal base B existe, se dice que T es diagonalizable. Una matriz A ∈ Mn (ℜ) es diagonalizable si la aplicación lineal asociada a A lo es. ¿Cuándo T es diagonalizable?

Teorema: T diagonalizable si y

n sólo si existe B base de ℜ formada por vectores propios de T.

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37

Ejemplo: La transformación lineal T : ℜ3 → ℜ3 ; T(x, y, z) = (-9x− 8y + 4z, 8x + 7y - 4z, - 8x − 8y + 3z) tiene dos valores propios: 3 y -1. Los espacios propios asociados son,

Ker[T - 3I 3 ] = < { (1, - 1, 1) } > Ker[T + I3 ] = < { (1, 0, 2), (0, 1, 2) } > Y B = {(1, -1, 1), (1, 0, 2), (0, 1, 2)} es una base de ℜ3 que diagonaliza a T; en este caso, 3  [T ]B =  0 0 

0 −1 0

0  0 − 1 

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Ejemplo: La transformación lineal T : ℜ3 → ℜ3 ;

T(x, y, z) = (3x+ y - z, 2x + 2y − z, 2x + 2y) tiene dos valores propios: 1 y 2. Sin embargo, T no es diagonalizable. Los espacios propios asociados son,

Ker[T - I3 ] = < { (1, 0, 2) } > Ker[T - 2I 3 ] = < { (1, 1, 2) } > Y es imposible encontrar una base de ℜ3 formada por vectores propios de T.

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Ejercicio: Determine si la siguiente transformación lineal T es o no es diagonalizable.

T : ℜ3 → ℜ3 ; T(x, y, z) = (3x- y + z, 7x − 5y+ z, - 6x + 6y - 2z) El hecho que T sea diagonalizable significa que la matriz [T] asociada a T, es “similar” a la matriz diagonal [T]B en el sentido siguiente: −1 Existe P matriz invertible tal que [T]B = P [T] P

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