Traza de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas, CSI/ITESM 10 de septiembre de 2008

´Indice 7.1. Definiciones y propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. La traza de un producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.

1 3

Definiciones y propiedades b´ asicas

A pesar de su aparente sencillez, la traza de una matriz cuadrada es un elemento clave en desarrollos posteriores. Veremos su definici´ on y sus propiedades b´asicas. En la lectura posterior se entender´ a su aplicaci´on. Definici´ on Sea A una matriz m × m, la traza de A se define como la suma de los elementos de la diagonal principal: tr(A) =

m X

aii = a11 + a22 + · · · + amm

i=1

En particular: tr(In ) = n, y tr(Jn ) = n Ejemplo Determine la traza de la matriz:



 1 −1 2 A =  0 −3 −1  −2 −3 8

Soluci´ on Directamente de la definici´ on tr (A) = (1) + (−3) + (8) = 6⋄

Lema 7.1 Sean A y B matrices m × m: 1. tr (k A) = k tr (A) 2. tr (A + B) = tr (A) + tr (B) 3. tr (A′ ) = tr (A)

(1)

Demostraci´ on 1. Tomemos C = k A, as´ı cij = k aij y por tanto tr (k A) = tr (C) =

m X

cii =

i=1

m X

(k aii ) = k

m X

aii = k tr (A)

i=1

i=1

3. Si C = A′ , cij = aji y as´ı cii = aii : m m X X
aii = tr (A) ⋄ cii = tr A′ = tr (C) = i=1

i=1

Ejercicio 1 Sean A y B matrices m × m, demuestre que tr (A + B) = tr (A) + tr (B) Sugerencia Tome C = A + B, as´ı cii = aii + bii . Aplique ahora la definici´ on de la traza. Ejercicio 2 Demuestre que si A y B matrices m × n y n × m respectivamente: entonces
tr (AB) = tr B′ A′ Sugerencia Utilice la propiedad 3 del lema 5.1 y la propiedad de la transpuesta de un producto. Ejercicio 3 Verifique que las matrices siguientes cumplen la propiedad:
tr (AB) = tr B′ A′     −2 1 1 2 3 yB= 2 3  A= 3 2 1 4 1 Lema 7.2 Sea A una matriz cuadrada particionada tal que  A11 A12 · · ·  A21 A22 · · ·  A= . .. ..  .. . . Ak1 Ak2 · · ·

A1k A2k .. . Akk

    

Entonces tr (A) = tr (A11 ) + tr (A22 ) + · · · + tr (Akk ) 2

Demostraci´ on Este resultado se deduce de que la diagonal principal de la matriz A es justo la concatenaci´on de las diagonales principales de las matrices Aii .

7.2.

La traza de un producto

Teorema 7.3 Sean A y B matrices m × n y n × m respectivamente. tr (AB) = tr (BA)

Demostraci´ on Tomemos C = AB, as´ı cij =

n X

aik bkj

n X

aik bki

k=1

Para j = i la f´ ormula anterior queda: cii =

k=1

As´ı: tr (C) =

m X

cii =

n m X X

aik bki =

aik bki =

Por otro lado si D = BA, as´ı dij =

m X

bik akj

m X

bik aki

m n X X

bki aik

k=1 i=1

k=1 i=1

i=1 k=1

i=1

m n X X

k=1

Para j = i la f´ ormula anterior queda: dii =

k=1

As´ı: tr (D) =

n X

dii =

m n X X

bik aki

i=1 k=1

i=1

Comparando las f´ ormulas: tr (AB) =

m n X X

bki aik y tr (BA) =

m n X X

bik aki

i=1 k=1

k=1 i=1

Concluimos que, intercambiando los nombres de los ´ındices i y k, tr (AB) = tr (BA)⋄

Ejercicio 4

3

Encuentre dos matrices A y B, 2 × 2, tal que tr (AB) 6= tr (A) · tr (B)

Sugerencia Pi´enselo f´ acil. Tome por ejemplo A=



1 0 0 0



.

Ejercicio 5 Verifique que las matrices siguientes cumplen la propiedad: tr (AB) = tr (BA)     −2 1 1 2 3 A= yB= 2 3  3 2 1 4 1 Ejercicio 6 Demuestre que si A, B y C son matrices n × n se cumple tr (ABC) = tr (CAB) = tr (BCA)

Sugerencia Para la primera igualdad tome D = AB y E = C y aplique el teorema 5.3. Para la segunda igualdad tome D = A y E = B C y aplique el mismo teorema. Ejercicio 7 Demuestre que si A, B y C son matrices n × n se cumple

tr (ABC) = tr B′ A′ C′ = tr A′ C′ B′ Sugerencia Para la primera igualdad tome D = AB y E = C y aplique como v´ alido el ejercicio 2. Para la segunda igualdad tome D = A y E = BC. y aplique el mismo teorema 5.3. Ejercicio 8 Demuestre que si A, B y C son matrices n × n sim´ etricas se cumple tr (ABC) = tr (BAC)

Sugerencia Utilice como v´ alido el ejercicio anterior y que X′ = X para las matrices sim´etricas. 4

Ejercicio 9 Encuentre matrices cuadradas A, B y C 2 × 2 que cumplen tr (ABC) 6= tr (BAC)

Ejercicio 10 Sea A una matriz m × n, demuestre que el elemento (i, i) de A A′ es n X

a2ij

j=1

Ejercicio 11 Sea A una matriz m × n, demuestre que n m X
X a2ij tr A A′ = i=1 j=1

Sugerencia Utilice como v´ alido el resultado del ejercicio anterior. Ejercicio 12 Utilice el resultado anterior para determinar tr (A A′ ) Si   1 2 3 A= 3 2 1 Ejercicio 13 Sea A una matriz m × n. Entonces A = 0 si y s´olo si tr(A′ A) = 0. Sugerencia Utilice la propiedad 3 del lema 5.1 y asuma como v´ alido el resultado del ejercicio 11. Y recuerde que la suma de cantidades mayores o iguales a cero es cero si y s´olo si cada cantidad es cero. Ejercicio 14 Sea A una matriz m × n. Entonces A = 0 si y s´olo si A′ A = 0. Sugerencia Tome como v´ alido el resultado del ejercicio anterior.

Lema 7.4

5

Sean A, B, y C matrices, m × n, n × p, y n × p respectivamente. AB = AC si y s´olo si A′ AB = A′ AC

Demostraci´ on Claro que AB = AC implica que A′ AB = A′ AC.

Si suponemos que

A′ AB = A′ AC Entonces, desarrollando (AB − AC)′ (AB − AC) = (B − C)′ A′ (AB − AC) = (B − C)′ (A′ AB − A′ AC) = 0 Por el ejercicio anterior, AB − AC = 0⋄

Ejercicio 15 Sea A una matriz m × m que cumple A′ A = A2 . Muestre que 1. tr ((A − A′ )′ (A − A′ )) = 0. 2. A es sim´etrica. Sugerencia Para el primer inciso desarrolle el producto de matrices, utilice la hip´otesis, y tome como v´ alido el resultado del ejercicio 1. Para el segundo inciso, utilice como v´ alido el resultado del ejercicio 13. Ejercicio 16 La traza y la tecnolog´ıa Asumiendo que una matriz ya est´a almacenada en memoria. Indique c´omo determinar la traza de tal matriz en una calculadora cient´ıfica (HP o TI) en Maple en Matlab

6