Unidad 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales Propedéutico 2008 Dra. Ruth M. Aguilar Ponce Facultad de Ciencias Departamento de Electrónica Propedéutico 2008

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Sistema de Ecuaciones Lineales • Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x1, x2, …, xn es un conjunto de ecuaciones de la forma

a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 M am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm1 • Deseamos determinar si el conjunto de ecuaciones tiene solución • La solución al sistema de ecuaciones es encontrar un conjunto de valores x1, x2, …, xn de tales que satisfagan cada ecuación Propedéutico 2008

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Representación Matricial • El sistema de ecuaciones puede ser representado por matrices de la siguiente manera

r r Ax = b

⎛ a11 ⎜ r ⎜ a21 Ax = ⎜ M ⎜ ⎜a ⎝ m1

a12 a22 M am 2

L a1n ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ K a2 n ⎟⎜ x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟ =⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ O M M M ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ K amn ⎟⎠⎜⎝ xn ⎟⎠ ⎜⎝ bn ⎟⎠

• El sistema es consistente si tiene una solución de lo contrario se le denomina inconsistente. Propedéutico 2008

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

• Los sistemas de ecuaciones pueden presentar tres casos: – m = n, es el más común, ya que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. – m < n, el número de ecuaciones es menor que el de incógnitas y tenemos lo que se conoce como problema subdeterminado. – m > n, el número de ecuaciones es mayor que es de incógnitas y tenemos lo que se conoce como problema sobredeterminado. El sistema tiene al menos una solución. Propedéutico 2008

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Condiciones para encontrar soluciones Solución única y

Número infinito de Soluciones

Sin Solución y

y

x

x

x

• Tiene una solución única si el det(A) ≠ 0 • No tiene solución o tiene un número infinito de soluciones si el det(A) = 0 Propedéutico 2008

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Condiciones para encontrar soluciones

• Considere el sistema de ecuaciones lineales Ax = b y r = rango(A) entonces, – El sistema es inconsistente si r