Apuntes de electricidad y magnetismo
Unidad. 8: Magnetismo 166
UNIDAD 8 CAMPO MAGNETICO Y FUERZA MAGNETICA 8.1 INTRODUCCION. Los primeros fenómenos magnéticos observados fueron, sin duda los relacionados con los llamados imanes naturales, que son trozos de un mineral de hierro encontrado junto a la antigua ciudad de Magnesia llamado magnetita (Fe3O4), o piedra imán. Los antiguos griegos se dieron cuenta de que estos imanes atraían pequeños trozos de hierro. En 1269 Petrus Peregrinus de Maricourt, le escribió una carta a un amigo, dándole una clara descripción de la brújula magnética, la cual se había desarrollado durante los siglos XI y XII probablemente en la China. De Maricourt observó que las piedras imán de formas esféricas tenían dos puntos especiales llamados “polos” los que localizo depositando limaduras de hierro sobre ellos. Las líneas dibujadas a lo largo de la limadura se interceptaban en dos puntos a los que denomino polo norte y polo sur. También encontró que polos iguales se repelen entre si y polos diferentes se atraen. Estas ideas fueron incorporadas en el trabajo de el inglés William Gilbert (1544-1603) a quien se conoce como padre del magnetismo, publicó en el año 1600 De Magnete en la cual muestra los resultados de sus propias observaciones, describiendo el comportamiento de una aguja magnética cerca de otro imán y estableciendo con claridad la diferencias y semejanzas entre las fuerzas eléctricas y magnéticas. Fue el primero en darse cuenta que la tierra se comporta como un imán, explicando así porque la brújula señala al norte. Durante muchos años el estudio de los fenómenos magnéticos se centró en los imanes permanentes. Hacia principios del siglo XIX, se había acumulado una gran cantidad de información experimental acerca de la naturaleza de la electricidad y el magnetismo. Los descubrimientos e ideas de Gilbert, Franklin, Coulomb, Volta y muchos otros eran bien conocidos. Las similitudes entre atracción eléctrica y magnética, la observación repetida del comportamiento de las brújulas de los barcos que al ser golpeadas por un rayo, algunas veces su aguja cambiaba su polaridad y de otros experimentos como los de Franklin de magnetización de agujas pasando entre ellas una descarga eléctrica, todos ellos apuntaban a una posible conexión entre el comportamiento eléctrico y el magnético. Pero hasta principios de 1819 magnetismo y electricidad se consideraban como dos fenómenos independientes. En ese año, el físico Danés Hans Christian Oesterd (1777-1851) observó que un imán se desvía al encontrarse en la proximidad de un hilo conductor que transporta una corriente. Poco después, el físico Francés André Ampère (1775-1836) formuló leyes cuantitativas para calcular la fuerza magnética entre conductores por los que circulan corrientes eléctricas. También sugirió que lazos de corriente eléctrica de tamaño molecular son responsables de todos los fenómenos magnéticos. En la década de 1820, conexiones adicionales entre la electricidad y el magnetismo fueron demostradas por el físico Inglés Michael Faraday (1791-1867) y el físico Norteamericano Joseph Henry (1797-1878). Los dos independientemente mostraron que una corriente eléctrica puede producirse en un circuito ya sea moviendo un imán cerca del circuito o
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cambiando la corriente en otro circuito cercano. Estas observaciones demostraron que un campo magnético produce un campo eléctrico.
8.2 EL CAMPO MAGNETICO. K
En los capítulos 3, 4 y 5 se ha usado el concepto de campo eléctrico E . Este campo eléctrico donde existe, produce sobre una partícula cargada q K K una fuerza F = qE . Los fenómenos magnéticos pueden estudiarse de forma
K
similar a los eléctricos, definiendo un campo magnético B .
K
Al campo B , se le puede definir su magnitud, o intensidad, y su dirección K como se le definió al campo eléctrico E , en términos de líneas de campo. K La dirección del campo magnético B en cualquier posición está en la dirección tangente hacia la cual apunta el polo norte de la aguja de una brújula en una línea que pasa por esa posición, y el número de líneas que cruzan cualquier área en particular en ángulo recto da una medida de la K magnitud de B . Es decir, B es grande cuando las líneas están muy próximas entre si, y pequeño si las líneas están muy separadas entre si. Sin embargo, existe una diferencia importante y es que la fuerza eléctrica K siempre es paralela a las líneas de E , en cambio, como se verá en la próxima sección, la fuerza magnética sobre una partícula cargada en K movimiento es siempre perpendicular a las líneas de B . La figura 8.1 muestra varias líneas de fuerza trazadas alrededor de un imán permanente con la ayuda de una brújula. Otra diferencia, es que las líneas K de campo eléctrico E siempre comienzan y terminan en cargas o K distribuciones de cargas, mientras que las líneas de B siempre forman anillos cerrados.
Figura 8.1
8.3 LA FUERZA MAGNETICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO. En esta sección, el objetivo es el de establecer un conjunto procedimientos para determinar si hay un campo magnético presente una cierta región del espacio. Si colocamos una partícula cargada K reposo en una región en donde hay solamente un campo magnético B , se observa ninguna fuerza especial ejercida sobre la partícula. Pero si
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de en en no se
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envían diferentes partículas cargadas con diferentes velocidades y diferentes direcciones a un punto del espacio donde existe un campo K magnético B , se encuentra que existe una relación entre la fuerza, la carga eléctrica y la velocidad. La magnitud y dirección de la fuerza magnética depende de la velocidad de la partícula y de la magnitud y dirección del campo magnético. Si la partícula se mueve paralela o antiparalelamente al campo magnético la fuerza ejercida sobre esta es cero y es máxima si la partícula entra perpendicular a él. En general, si el vector velocidad forma un ángulo θ con el campo magnético, la componente perpendicular de la velocidad vsenθ es la responsable de la fuerza magnética. Por lo tanto en magnitud la fuerza magnética se puede escribir como
F = qvBsen θ
8.1
Figura 8.2 Otro hecho experimental es que la dirección de la fuerza magnética es perpendicular al plano determinado por la velocidad de la carga y la dirección del campo magnético, como se muestra en la figura 8.2 a). El K sentido de B se obtiene mediante la regla de la mano derecha como se muestra en la misma figura. La fuerza magnética sobre una carga positiva está en la dirección opuesta a la dirección de la fuerza sobre una carga negativa que se mueve en la misma dirección (figura 8.2 b)). Para indicar K la dirección de B en este capitulo y en los siguientes, se emplea la K siguiente convención. Si B está dirigida hacia fuera de la página, se utiliza una serie de puntos, los cuales representan las puntas de flechas como en K la figura 8.2 b). Si B está hacia adentro de la página, se usa una serie de cruces, las cuales representan las colas de las flechas. Con estas observaciones y la ecuación 8.1 se escribe la fuerza magnética como el producto vectorial
K K K F = qv × B
8.2
K
La unidad de B en el SI es el tesla (abreviada T) en honor al físico Servio Nikola Tesla (1856-1943). Se obtiene de la ecuación 8.1 como
1T =
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1N = 1NA −1 m −1 . 1C. m s
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Otra unidad de campo magnético usada a menudo es el gauss (G); el factor de conversión entre ambas es 1G=10-4 T. El tesla es un unidad de campo magnético generalmente demasiado grande; por ejemplo el campo magnético cerca de la superficie de la tierra, aunque varia de unos lugares a otros, es del orden de 3x10-5 T, o 0.3G, mientras que los mayores campos en los laboratorios son de 25T cerca de un imán superconductor. Además, como la fuerza ejercida por un campo magnético sobre una partícula cargada en movimiento es siempre perpendicular a su velocidad, el trabajo realizado por esta fuerza es siempre cero. Es decir
K K K K K K W = ∫ q (v × B) ⋅ ds = ∫ q (v × B).v dt K K K = ∫ q (v × v ) ⋅ Bdt = 0 A partir de esta propiedad y del teorema trabajo energía, se concluye que la energía cinética de una partícula en un campo magnético estático no cambia. Entonces, un campo magnético estático cambia la dirección de la velocidad de la partícula. Ejemplo 1. En un experimento se usa una partícula de 6.0 µ C de carga con el fin de medir un campo magnético. La partícula viaja a 1500 ms-1. Cuando se mueve sobre el eje x no se observa ninguna fuerza. La máxima fuerza es de 7.3x10-3 N que se observa cuando la partícula se mueve a lo K largo de eje y y apunta en la dirección de z positivo. Determine B . Para su solución se puede razonar de la siguiente manera: como la partícula no experimenta ninguna fuerza cuando se mueve por el eje x, el campo magnético debe tener la dirección x, positiva o negativa. Usando un sistema de coordenadas como el que aparece en la figura de la derecha y la regla de la mano derecha K se observa que, B debe tener una dirección a lo largo de las x negativa.
uˆ y × ( −uˆ x ) = uˆ z
K
De la ecuación 8.1 para θ = π 2 y despejando B se tiene en magnitud que
B=
Fmax 7.3 x10 −3 N = = 0.81T qv (6 x10 −6 C )(1500ms −1 ) K B = −(0.81T )uˆ x
Se trata de un campo magnético intenso, como el que se produce cerca de un electroimán.
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Un protón de masa 1.67 × 10 −27 kg y una carga eléctrica de
Ejemplo 2.
1.60 × 10 −19 C es proyectado dentro de un campo magnético B = 18.5 × 10 −3 T con una velocidad de 1.55x105 ms-1 en una dirección en ángulo recto con el campo. Calcule la fuerza magnética sobre el protón y compárela con su peso. Después de sustituir los valores numéricos, se encuentra que la fuerza magnética es
F = (1.60 × 10 −19 C )(1.55 × 10 5 ms −1 )(18.5 × 10 −3 T ) =4.59 × 10 −16 N La fuerza gravitacional en el protón es
F = mg = (1.67 × 10 −27 kg )(9.8ms −2 ms −2 ) = 1.64 × 10 −26 N La fuerza gravitacional es mínima en comparación con la fuerza magnética.
K
−1 Ejemplo 3. Un protón se mueve con una velocidad v = (2uˆ x − 4uˆ y + uˆ z )ms
K
en una región en la que el campo magnético es B = (uˆ x + 2uˆ y − 3uˆ z )T . ¿Cuál es la magnitud de la fuerza magnética que esta carga experimenta?
K
K
Usando las propiedades del producto vectorial para v × B de la ecuación 8.2 se tiene
⎡uˆ x K K ⎢ v×B = ⎢2 ⎢⎣ 1
uˆ y uˆ z ⎤ − 4 1 ⎥⎥ = (12 − 2)uˆ x + (1 + 6)uˆ y + (4 + 4)uˆ z = 10uˆ x + 7uˆ y + 8uˆ z 2 − 3⎥⎦
La magnitud de este vector es
K K v × B = 10 2 + 7 2 + 8 2 T .ms −1 = 14.6T .ms −1 Por lo tanto la magnitud de la fuerza magnética sobre el protón es
K K K F = q v × B = (1.602 × 10 −19 C )(14.6T .ms −1 ) = 2.34 × 10 −18 N ¿Qué ángulo forma el vector fuerza con los ejes x, y, y z positivos? 8.4 MOVIMIENNTO DE UNA PARTICULA CARGADA EN UN CAMPO MAGNETICO HOMOGENEO. Una partícula cargada positiva entra perpendicularmente a una región donde existe un campo magnético homogéneo como se muestra en la figura 8.3. Como la fuerza es perpendicular a la velocidad, su efecto consiste en cambiar la dirección de la velocidad si modificar la magnitud; resultando un
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movimiento circular uniforme. Entonces, la aceleración de la partícula es centrípeta. De acuerdo con la segunda ley de Newton, se tiene
F = mac = qvB = m
v2 r
de la cual se obtiene
r=
mv . qB
8.3
Que da el radio del círculo descrito por la partícula llamado radio de Larmor, el cual es proporcional al momentum lineal mv de la partícula e inversamente proporcional a la magnitud del campo magnético.
Figura 8.3 Reemplazando v = ω r en la ecuación 8.3, donde ω es la velocidad angular de la partícula, se tiene
ω=
q B m
8.4
Donde, la velocidad angular ω es independiente de la velocidad lineal v y sólo depende del cociente q/m y del campo B, y se conoce como la frecuencia de ciclotrón debido a que circulan partículas cargadas a esta frecuencia en un tipo de acelerador llamado ciclotrón. La ecuación 8.4 da el valor de ω pero no su dirección. Si se toma la segunda ley de Newton para este movimiento circular uniforme en su forma vectorial se tiene
K K K K m(ω × v ) = q(v × B) . Invirtiendo el producto vectorial del lado derecho y dividiendo por m a ambos lados de esta última ecuación, se tiene que
K K
K K
ω × v = −(q m)( B × v ) , lo que indica que
K
⎛ q⎞K ⎟B ⎝m⎠
ω = −⎜
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8.5
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K
Esta última ecuación da la dirección y magnitud de ω . El signo negativo K K indica que ω es antiparalelo a B para una carga positiva y paralelo para una carga negativa. Entonces, la curvatura de la trayectoria de un ion en un campo magnético proporciona un medio para determinar el signo de la carga, si se conoce la dirección de su movimiento. En la figura 8.4 se muestran las trayectorias de varias partículas cargadas vistas con un dispositivo conocido como cámara de niebla, colocada en un campo magnético intenso. Se observa que las trayectorias se curvan hacia uno de los dos sentidos opuestos, indicando que algunas partículas son positivas y otras negativas.
SERWAY-BEICHNER quinta edición Física para científicos e ingenieros (Patrice, CERN/SPL/Photo Researches.inc) Figura 8.4 Si la partícula cargada entra inicialmente formando un ángulo θ cualquiera con un campo magnético uniforme, el vector velocidad se puede separar en dos componentes una paralela y otra perpendicular al campo. La componente perpendicular hace que la partícula se mueva con movimiento circular uniforme alrededor del campo y la componente paralela que ella avance en la dirección del campo, dando como resultado una trayectoria helicoidal, como se muestra en la figura 8.5.
Figura 8.5 Ejemplo 4. Un deuterón de masa 3.34X10-27kg y carga 1.60x10-19C es enviada dentro de un campo magnético de 5.50x10-2T con una velocidad de 1.84x105 ms-1 a un ángulo de 65o de la dirección del campo. a) ¿Cuál es el radio de la trayectoria? b) ¿Cuál es el paso p de la trayectoria? La componente de la velocidad paralela al campo a lo largo del eje x de acuerdo a la figura 8.5 es
vll = v cos θ = v cos 65 o .
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La componente de la velocidad perpendicular al campo es
v ⊥ = vsenθ = vsen65 o . Esta proyección en el plano yz del movimiento del deuterón perpendicular al campo, es un círculo de radio de Larmor
r=
mv ⊥ (3.34 x10 −27 kg )(1.84 x10 5 ms −1 )( sen65 o ) = qB (1.6 x10 −19 C )(5.50 x10 − 2 T )
r = 6.33 x10 − 2 m
K
La partícula se mueve a lo largo de x en la dirección del campo B con una rapidez constante vll. La distancia recorrida a lo largo del campo durante el tiempo de una rotación completa perpendicular al campo es el paso p como muestra en la figura 8.5. El tiempo para una rotación completa es el periodo T dado por
T=
2π r 2π m = v⊥ qB
así, el paso p se convierte en
⎛ 2π m ⎞ ⎟⎟ p = vll T = (v cos 65 o )⎜⎜ qB ⎠ ⎝ = (1.84 × 10 5 ms −1 )(cos 65 o )
(2π )(3.34 × 10 − 27 kg ) (1.60 x10 −19 C )(5.50 × 10 −2 T )
= 0.185m El deuterón se mueve en el campo magnético a lo largo de una trayectoria helicoidal. El radio de la hélice es de 6.33cm, y su paso es de 18.5cm. El movimiento helicoidal de este tipo se observa rutinariamente para partículas subatómicas que se mueven en el campo de grandes imanes en detectores de partículas que se usan en la investigación de la física de partículas. Más allá del laboratorio, se encuentran partículas cargadas moviéndose en trayectorias helicoidales alrededor de la tierra, donde forman los cinturones de radiación de Van Allen. Cerca de los polos, estas partículas entran en colisiones con las moléculas de aire de la atmósfera superior para causar las auroras boreales en el hemisferio norte y las auroras australes en el hemisferio sur. 8.4 ALGUNAS APLICACIONES DE PARTICULAS CARGADAS EN UN CAMPO MAGNETICO HOMOGENEO. A) Espectrómetro de masas. Un espectrómetro de masas es un dispositivo que separa iones de acuerdo a su relación carga masa. El dispositivo de la figura 8.6 debido a Dempster permite medir las masas de los iones que se producen en reposo en una
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fuente S y que son acelerados mediante una diferencia de potencial ∆V entre dos ranuras S1 y S2 por las que pasan los iones. El ion acelerado entra por la ranura S2 a una región donde existe un campo magnético K uniforme B . Dentro del campo el ion se mueve en un semicírculo de radio r, hasta chocar con una placa fotográfica a una distancia x de la rendija de entrada que el espectroscopista puede medir.
Figura 8.6 Para hallar la relación q/m se parte del hecho que el ion de masa m y carga K q entra a la región donde existe un campo magnético B con una energía cinética adquirida cuando el ion pasa a través de una diferencia de potencial ∆V .
1 2 mv = q∆V 2 así que la velocidad del ion es:
v=
2q∆V m
reemplazándola en la ecuación 8.3 se obtiene
x mv (2m∆V q ) r= = = B 2 qB
1
2
entonces
q 8∆V = m B2x2 B) El ciclotrón. Como la trayectoria de una partícula cargada en un campo magnético homogéneo es circular ha permitido el diseño de aparatos que operan de manera cíclica llamados aceleradores.
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Un dispositivo que funciona con este principio es el ciclotrón, inventado por Ernest O. Lawrence (1901-1958) y M.S. Livingston (1905-1986). Un ciclotrón como el de la figura 8.7 consiste de una cavidad cilíndrica metálica dividida en dos recipientes semicirculares D1 y D2 (llamados “des”), colocados en un campo magnético uniforme paralelo a su eje. Las des están aisladas eléctricamente entre sí, y en el centro del espacio entre las des se tiene una fuente de iones P.
Figura 8.7 El sistema debe mantenerse a un alto vacío para evitar colisiones entre las partículas aceleradas y cualquier molécula de gas. Una diferencia de potencial alterno ∆V se aplica entre las des. Si los iones son positivos, se aceleran hacia la de negativa. Cuando los iones penetran en una de, no experimentan fuerza eléctrica, debido a que el campo eléctrico es cero en el interior de un conductor. Sin embargo, el campo magnético hace que el ion describa una trayectoria circular, con un radio de Larmor dado por la ecuación 8.3 r = mv qB , y con velocidad angular dada por la ecuación 8.4,
ω = qB m . La diferencia de potencial entre las des está en resonancia con el movimiento circular de los iones la cual oscila a una frecuencia ω 2π . Cada que los iones describen media revolución, la polaridad de las des se invierten haciendo que los iones cada vez que crucen la separación entre ellas, reciban una pequeña aceleración. Por lo tanto cada medio ciclo el radio aumenta para la misma velocidad angular. Este proceso se repite varias veces, hasta que el radio es aproximadamente el de las des. En este radio máximo R el campo disminuye drásticamente y así los iones adquieren un movimiento tangencial, lo que les permite salir del sistema a través de la rejilla de salida con una velocidad máxima dada por
⎛q⎞ v max = ⎜ ⎟ BR ⎝m⎠ Por lo tanto, los iones salen con una energía cinética máxima
Ek =
1 2 q2B2R2 mv max = 2 2m
8.6
Obsérvese que, la energía cinética es independiente de la diferencia de potencial entre las des.
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Ejemplo 5. En el ciclotrón que construyo Lawrence en 1939, las des tenían 60.0 pulgadas de diámetro. Se usaba una diferencia de potencial de 0.10 MV entre ellas, para producir un haz de núcleos de deuterio individualmente ionizados de 14.5MeV. ¿Qué campo magnético requería el ciclotrón? ¿Cuánto tiempo demoraba esa partícula en la maquina? El campo magnético controla el tamaño de la trayectoria circular de la partícula. Cuando su velocidad y energía son máximas, la trayectoria de la partícula es máxima y apenas cabe en las des. Esta restricción es la que determina cual es el campo necesario. La partícula completa una revolución por cada periodo del ciclotrón, cruza dos veces el espacio entre des y gana 2e∆V = 200KeV de energía al pasar de una de a otra. Al comparar este valor con la ganancia total de energía se puede calcular la cantidad de revoluciones, y con ella el tiempo. Entonces, cuando La energía Emáx es la dada por la ecuación 8.6. Emáx=14.5MeV, el campo requerido es:
B=
2mE máx qR
Un núcleo de deuterio contiene un neutrón y un protón, por lo que su masa es aproximadamente 2 veces la masa del protón con una carga +e. Entonces:
[2(2)(1.66 × 10 B=
− 27
kg )(1.45 × 10 7 eV )(1.6 × 10 −19 J (eV ) −1 (1.6 × 10 −19 C )(30.0 pu lg)(2.54 × 10 − 2 m. pu lg −1 )
]
1
2
≈ 1.0T Cada vez que una partícula pasa de una a otra de gana ∆E = 200KeV . Para ganar Emáx=14.5MeV de energía cinética en escalones de 200KeV, debe pasar entre las des N =
E máx
∆E
7 = (1.45 × 10 eV )
(2.0 × 10 5 eV )
= 73 veces .
La
partícula pasa la mitad de su periodo ciclotrónico en cada D, de modo que el tiempo total de aceleración es:
T ⎛ 1 2π ⎞ = 73⎜ ⎟ 2 ⎝2 ω ⎠ m (2)(1.66 × 10 − 27 kg ) = 73π = 73π qB (1.6 × 10 −19 C )(1.02T ) = 4.7 µs.
t total = N
Como E máx ∝ (BR ) 2 , para obtener más energía por partícula se necesita un aparato mayor o un campo magnético mayor.
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8.5 MOVIMIENTO DE PARTICULAS CARGADAS EN UN CAMPO ELECTROMAGNETICO. Cuando una partícula cargada se mueve en una región en donde existen simultáneamente campos eléctrico y magnético, los dos campos actúan sobre ella independientemente. La fuerza total por lo tanto es la suma de la fuerza eléctrica y magnética por separado, dada por
K K K K F = q( E + v × B)
8.7
Conocida como la fuerza de Lorentz, en honor a H. A. Lorentz (18531928), quien realizó numerosas contribuciones al conocimiento de los fenómenos electromagnéticos. Ejemplo 6. Una partícula de masa m y carga q se mueve en un campo K K electromagnético dado por B = Buˆ z y E = E y uˆ y + E z uˆ z . Encuentre las ecuaciones de movimiento. La posición de la partícula en x, y y z para K K K K cualquier tiempo si v (t = 0) = v0 = 0 y r (t = 0) = r0 = 0. De acuerdo con la fuerza de Lorentz se tiene que
K G F = ma = q E y uˆ y + E z uˆ z + (v x uˆ x + v y uˆ y + v z uˆ z ) × Buˆ z
[
]
Donde las ecuaciones de movimiento para cada una de las componentes son:
mx = qBy (a) my = − qBx + qE y (b) mz = qE z
(c)
La ecuación (c), que corresponde a la componente z del movimiento es uniformemente acelerada, y con las condiciones iniciales dadas es:
z (t ) =
1 qE z 2 t 2 m
Las ecuaciones para x e y están acopladas, para hallar x e y estas se desacoplan. Para ello se deriva respecto al tiempo la ecuación (a) que corresponde a la componente x y se sustituye en la ecuación (b) para eliminar y , dando: 2
2
⎛ qB ⎞ ⎛q⎞ x = −⎜ ⎟ x + ⎜ ⎟ BE y (d ) ⎝ m⎠ ⎝m⎠ Haciendo
ω=
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qE y qB y a= m m
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Se puede escribir (d) así:
d 2 x + ω 2 x = aω 2 dt
(e)
Esta ecuación tiene la misma forma que la de un oscilador armónico de frecuencia angular ω , dada por
d2X + ω 2 X = 0, 2 dt
con X = x −
a
ω
Por lo tanto la solución en este caso es:
x =
a
ω
+ Ax cos(ω t + ϕ x )
(f)
Donde Ax y ϕ x son constantes arbitrarias que han de determinarse. Eliminando x entre (a) y (b), se obtiene de modo análogo una solución para y dada por
y = Ay cos(ω t + ϕ y )
(g)
Integrando las ecuaciones (f) y (g) en el tiempo se obtiene:
x = Cx +
at
y = Cy +
Ay
ω ω
+
Ax
ω
sen(ω t + ϕ x ) (h)
sen(ω t + ϕ y )
(i )
Para resolver completamente este problema se deben determinar seis constantes Ax , Ay , C x , C y , ϕ x y ϕ y , y solo se dispone para ello de cuatro valores iniciales, x0, y0, v0x y v0y. Por lo tanto se deben dar otras dos condiciones para resolver completamente el problema en forma particular. Si los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre si y la partícula cargada entra a esta región con una velocidad perpendicular al plano formado por ellos, se presenta un caso particular cuando esta K velocidad v es constante, pues allí la fuerza neta de Lorentz sobre la partícula es cero:
K K K K 0 = F = q( E + v × B) K K K ⇒ (v × B ) = − E
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K
Para determinar la velocidad v , se le aplica la propiedad vectorial K K K K K K K K K a × (b × c ) = (a ⋅ c )b − (a ⋅ b )c a la ecuación
K K K K B × (v × B ) = − B × E K K K K K K K K ( B ⋅ B )v − ( B ⋅ v ) B = E × B K K K B 2v = E × B Así:
K K K E×B v= B2
8.8
Cuya magnitud es
v=
K K E×B B
2
=
E B
8.9
Un dispositivo, que aplica este efecto y que se describe con la ecuación 8.9 se llama selector de velocidades. Como aplicaciones se tienen el espectrómetro de brinbridge y el experimento de J.J Thompson para medir la razón e/m. A) Espectrómetro de masas En un espectrómetro de masas de brinbridge, un haz de iones pasa a través K K de un selector de velocidades en donde coexisten los campos E y B perpendiculares entre si y que hacen que se cumpla la ecuación 8.9 como se muestra en la figura 8.8. K Con la velocidad v que el ion sale del selector de velocidades entra por una K rendija A a una región donde existe un campo magnético homogéneo B0 como en la figura. Dentro del campo el ion se mueve en un semicírculo de radio r, hasta chocar con una placa fotográfica a una distancia x de la rendija de entrada.
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Figura 8.8 Para expresar la razón m/q se utiliza la ecuación 8.3, por lo tanto
m rB0 xBo = = q v 2v Donde v esta dada por la ecuación 8.9, por consiguiente
m xB0 B = q 2E
8.10
Entonces, m/q se puede determinar midiendo la distancia x y conociendo los campos E, B y B0. En la práctica, suelen medirse las masas de varios isótopos de un ion determinado para la misma carga q. B) Experimento de Thomson. En 1897, J. J. Thomson (1856-1940), trabajando en el laboratorio Cavendish en Cambridge, midió la relación de la carga e a su masa m observando su desviación en un sistema combinado de campos eléctrico y magnético. En la figura 8.9, se tiene una versión moderna del aparato usado por Thomson, de un filamento caliente se emiten electrones, los cuales son acelerados por una diferencia de potencial V. Los electrones entran a una K K región en la cual se mueven perpendicularmente a los campos E y B ; los cuales son perpendiculares entre sí. El haz se hace visible en una pantalla fosforescente. El tubo en el cual los electrones se mueven está al vacío para que no haya choques con las moléculas de aire. El procedimiento seguido por Thomson fue: a) Observar la posición de la K K mancha por el haz no desviado, cuando tanto E como B eran iguales a K cero. b) Aplicar un campo eléctrico fijo E midiendo sobre la pantalla K fosforescente la desviación así producida. c) Aplicar un campo magnético B y ajustar su valor hasta restaurar la desviación del haz a cero.
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Figura 8.9 En el capitulo 3 se había visto que la desviación y de un electrón en un campo puramente eléctrico, medido en el borde extremo de las placas desviadoras, está dado por
y=
1 2 eE 2 t at = 2 2mv
como los electrones entran a la región de las placas deflectoras de longitud L con velocidad v, permanecen allí un tiempo t = L/v, entonces la desviación y es
y=
eEL2 2mv 2
y no se puede medir directamente, pero puede calcularse midiendo el movimiento que sufre la mancha sobre la pantalla si se conoce la geometría del aparato. Para calcular la relación e/m es necesario conocer v, que corresponde al paso c) que está dado por la ecuación 8.9. Poniendo esta ecuación en la de y y despejando la relación e/m se llega a
2 yE e = m ( BL) 2
8.11
En la cual las cantidades que aparecen a la derecha de la ecuación 8.11 se pueden medir. Thomson midió v = 1.5x107m s-1 en su tubo, y su valor de e/m queda dentro de un margen del 4% respecto al valor moderno de 1.76 × 1011 C kg −1 . 8.6 LA FUERZA MAGNETICA SOBRE UN ALAMBRE DE CORRIENTE. Una corriente eléctrica es un conjunto de cargas en movimiento. Debido a que un campo magnético ejerce una fuerza lateral sobre una carga en movimiento, es de esperarse que ejerza una fuerza lateral sobre un alambre que lleva corriente. Esto es, se ejerce una fuerza lateral sobre los electrones de conducción en el conductor pero puesto que los electrones no pueden escapar lateralmente, la fuerza debe trasmitirse al conductor mismo. Esto puede mostrarse poniendo un alambre de corriente flexible entre los polos de un imán, como en la figura 8.10. En esta figura se muestra uno de los polos a donde el campo magnético está entrando. Cuando la corriente en el alambre es cero, el alambre permanece vertical. Electricidad y Magnetismo
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Apuntes de electricidad y magnetismo
Sin embargo, cuando en el alambre del centro la corriente fluye hacia arriba, el alambre se desvía hacia la izquierda; caso contrario le ocurre al alambre de la derecha.
Figura 8.10
K
La desviación también se invierte cuando el campo B se invierte. Para entender esto se toma un pedazo de alambre recto de longitud L y sección transversal A, que conduce una corriente i en presencia de un K campo magnético B uniforme como en la figura 8.11.
Figura 8.11 La corriente i en un metal es transportada por los electrones libres, siendo η el número de estos electrones por unidad de volumen del alambre. La fuerza media que obra sobre uno de estos electrones que se mueve con una K velocidad de arrastre v d , está dada por
K K K FB′ = −ev d × B Sobre cada electrón en el segmento de alambre actúa la misma fuerza, y K por lo tanto la fuerza total F sobre el segmento es igual al número N de electrones que multiplica a la fuerza sobre cada electrón:
K K K G F = NFB′ = − Nev d × B
8.12
El número de electrones en el segmento de alambre es N = η AL . sustituir en la ecuación 8.12, se obtiene
K K K F = −η ALv d × B
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Al
8.13
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Apuntes de electricidad y magnetismo
Para mantener la relación vectorial de la ecuación 8.13, se toma como K vector a L (igual en magnitud a la longitud del segmento) en la dirección de la corriente i. La dirección real del movimiento de los electrones, es opuesta a Kla dirección que se considera para la corriente. Por lo tanto los K Usando la definición de vectores L y v d son vectores antiparalelos.
i = η Aev d del capitulo 7, se escribe la siguiente relación vectorial como K K i L = −η ALev d
8.14
Si se sustituye la ecuación 8.14 en 8.13, se obtiene la expresión para la fuerza sobre el segmento recto como:
K K K F = iL × B
8.15
Si el segmento es perpendicular a la dirección del campo, la magnitud de la fuerza es
F = iLB
8.16
Ejemplo 7. Un conductor suspendido por dos alambres flexibles, como se muestra en la figura 8.12 a) tiene una masa por unidad de longitud de 0.040kg.m-1 y el campo magnético es de 3.6T. ¿Qué corriente debe pasar por el conductor para que la tensión en los alambres que lo soportan sea cero? ¿Cuál es la dirección de la corriente en el alambre?
Figura 8.12 Para que la tensión en los alambres sea cero, la fuerza magnética sobre el alambre debe equilibrar a la fuerza gravitacional sobre este, y por lo tanto la corriente sobre el alambre debe ir hacia la derecha como se nuestra en la figura 8.12 b). Relación que se escribe vectorialmente como
K K K IL × B = mg K
K
Como L y B son perpendiculares entonces en magnitud
ILB = mg Entonces
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9.8m.s −2 ⎛m⎞ g I = ⎜⎜ ⎟⎟ = 0.04kg.m − 1 = 0.109 A 3.6T ⎝L⎠B La ecuación 8.15 es aplicable únicamente a un trozo recto de alambre recto K en un campo magnético B . En general se tiene que tratar con alambres conductores que no son rectos, y con campos magnéticos que no son uniformes. Para encontrar una expresión válida en estos casos, se aplica la ecuación 8.15 a un elemento de longitud infinitesimal dL de un conductor por el que pasa una corriente I. Es conveniente definir un elemento de K corriente infinitesimal IdL como el producto de la corriente I por el vector K desplazamiento dL cuya dirección viene dada por el sentido de la corriente en dicho elemento como en la figura 8.13.
Figura 8.13 El trozo de alambre que contiene al elemento de corriente infinitesimal K puede ser considerado recto, y también puede considerarse que B no varía apreciablemente a lo K largo de la longitud dL. Aplicando la ecuación 8.15, la fuerza magnética dF sobre el elemento de corriente es: K K K 8.17 dF = IdL × B La dirección de esta fuerza se muestra en la figura 8.13, y su modulo K K depende del ángulo que formen dL y B . La fuerza total sobre toda la longitud del alambre es
K K K F = I ∫ dL × B
8.18
Ejemplo 8. Un conductor semicircular de radio R transporta una corriente I, y está contenido en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme, como se muestra en la figura 8.14. Determinar la fuerza magnética sobre esta parte del conductor.
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Figura 8.14
K
Un segmento de alambre de longitud dL en el arco experimenta una fuerza K K K dF . Como dL y B son perpendiculares la magnitud del diferencial de fuerza es:
dF = IBdL = IB ( Rdθ ) y cuya dirección es radial hacia O que es el centro del semicírculo. Por lo tanto la fuerza en sus componentes x e y, está dada por
K dF = dFx uˆ x − dFy uˆ y = IBR(cosθ uˆ x − senθ uˆ y )dθ . Integrando sobre todo el semicírculo, que corresponde a una variación de θ de 0 a π , se obtiene
K π π F = IBR⎛⎜ ∫ cos θ dθ uˆ x − ∫ senθ dθ uˆ y ⎞⎟ 0 ⎠ ⎝ 0
[
K π π F = IBR ( senθ 0 )uˆ x + (cos θ 0 )uˆ y
[
]
= IBR ( sen π − sen 0)uˆ x + (cos π − cos 0)uˆ y
]
K F = −2 IBR uˆ y Nótese que esta fuerza es la misma que obra sobre un alambre recto de longitud 2R. En forma general para un alambre curvo que se encuentra en un campo K magnético uniforme B como el de la figura 8.15. La fuerza magnética sobre él es equivalente a la fuerza sobre un segmento recto de longitud L´ que va entre los extremos a y b. K En la ecuación 8.18 se puede sacar B de la integral, y obtenerse
K K b K F = I ⎛⎜ ∫ dL ⎞⎟ × B ⎝ a ⎠
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8.19
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Figura 8.15 El alambre curvo se reemplaza por una serie de “escalones” paralelos y perpendiculares a la línea recta que va de a a b. La integral entre a y b que representa la suma vectorial de todos los elementos de desplazamiento K K dL es igual al vector L ′ , que está dirigido de a a b. Por lo tanto, la ecuación 8.19 se reduce a
K K K F = IL ′ × B
8.20
Si el alambre forma una espira de corriente que se encuentra en un campo K magnético uniforme B como la figura 8.16. La fuerza magnética total sobre la espira es cero. En este caso, la suma vectorial de los vectores de desplazamiento debe hacerse sobre una trayectoria cerrada.
( )
K K K F = I ∫ dL × B
Figura 8.16 Entonces para la situación mostrada en la figura se tiene que
K K K K K b K a F = I ( ∫ dL ) × B = I ⎡ ∫ dL + ∫ dL ⎤ × B ⎢⎣ a ⎥⎦ b de acuerdo con 8.19 y 8.20, la anterior ecuación se reduce a
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K K K K F = I (L ′ + L ′′)× B K
K
Como L ′ = − L ′′ entonces
K K K K F = I ( L ′ − L ′) × B = 0 8.7 MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA DE CORRIENTE. La figura 8.17 muestra una espira de corriente rectangular de alambre de K longitud a y ancho b colocada en un campo magnético uniforme B , con sus lados 1 y 3 normales a la dirección del campo. La normal al plano de la K espira forma un ángulo θ con la dirección de B .
Figura 8.17 La fuerza neta sobre la espira es la resultante sobre los cuatro lados de ella. K K En este caso, las fuerzas magnéticas F2 y F4 sobre los lados de longitud a se cancelan entre si, y no producen torque debido K Ka que tienen la misma línea de acción (Figura 8.17 a) ). Las fuerzas F1 y F3 tienen una magnitud común de ibB. Estas fuerzas, se anulan entre si por ser iguales y antiparalelas, pero forman un par y, en consecuencia, producen un torque en torno de cualquier punto. En la figura 8.17 b), se nota que el brazo de palanca de cualquiera de estas dos fuerzas en torno del punto O es igual a (a 2) senθ . Por lo tanto el torque neto alrededor de O tiene la magnitud
τ = F1
a a senθ + F3 sen θ 2 2
⎞ ⎞ ⎛a ⎛a = IbB⎜ senθ ⎟ + IbB⎜ senθ ⎟ ⎠ ⎠ ⎝2 ⎝2
τ = IabBsenθ = IABsenθ
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8.21
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Unidad. 8: Magnetismo 188
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Donde A =ab es el área de la espira. La K dirección de rotación de la espira tiende a llevar a nˆ en alineación con B . Esto es, en la situación que se muestra en la figura 8.17, la espira gira en el sentido de las manecillas del reloj, reduciéndose por lo tanto el ángulo θ . Si se invierte la corriente la corriente en la espira, nˆ tendrá la dirección opuesta, y la espira girará nuevamente a través del ángulo (π − θ ) necesario para lleva a nˆ al
K
alineamiento con B . La ecuación 8.21 da el torque de una sola espira en el campo. Si se tiene una bobina de N vueltas ( tal como se puede encontrar en un motor o en un galvanómetro), el torque total para una bobina será:
τ = NIABsenθ
8.22
La ecuación 8.22 se cumple, por lo general, para toda espira plana de área A, sea o no rectangular. Una expresión para el torque que está de acuerdo con la ecuación 8.22 es una expresión vectorial dada por:
K
K
K
τ = µ×B K
8.23
K
Donde µ = NIA se define como el momento dipolar magnético de la espira,
K
K
con A , un vector perpendicular al plano de la espira. El sentido de A está determinado por la regla de la mano derecha como se muestra en la figura 8.18.
Figura 8.18 Al rotar los cuatro dedos de la mano derecha en la dirección de la corriente K alrededor de la espira, el dedo pulgar apunta en la dirección de A y por K K consiguiente en la del momento dipolar magnético µ = NIA . Aunque no se ha demostrado en general, la ecuación 8.23 da la descripción más general del torque ejercido sobre cualquier espira plana de corriente K dentro de un campo magnético uniforme B ; se cumple cualquiera que sea la forma de la espira (bobina) o el ángulo entre su plano y el campo.
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Unidad. 8: Magnetismo 189
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Observen que el resultado dado por la ecuación 8.23 es análogo al torque K que actúa sobre un dipolo eléctrico en presencia de un campo eléctrico E , K K K K con τ = p × E donde p es el momento de dipolo eléctrico. Continuando con la analogía entre los campos eléctrico y magnético, se puede considerar que, el trabajo que debe realizarse para cambiar la orientación de un dipolo magnético en presencia de un campo magnético uniforme está dada por la ecuación de energía potencial:
K K U = −µ ⋅ B
8.24
La cual es similar a la expresión correspondiente par un dipolo eléctrico, K K U = −p⋅E. Ejemplo 9. El galvanómetro de bobina móvil. Las características de este galvanómetro se esquematizan en la figura 8.19.
Figura 8.19 Un imán permanente y un núcleo de hierro dulce hacen que el campo magnético tenga un valor aproximadamente constante entre los polos y el núcleo. En este espacio hay una bobina rectangular cuyos hilos metálicos son siempre perpendiculares al campo radial, de forma que el ángulo K K efectivo entre A y B es siempre π 2 . La bobina puede girar sobre un eje que pasa por su centro, y está unida a una aguja que señala sobre una escala graduada en corriente. Un resorte helicoidal ejerce sobre la bobina un torque restaurador proporcional al desplazamiento angular φ desde la posición e equilibrio correspondiente a corriente cero (donde la aguja marca el cero). El valor del torque restaurador τ r depende de la constante
Demostrar que cuando circula una de torsión κ del resorte: τ r = κφ . corriente I por la bobina del galvanómetro, ésta alcanza la posición de equilibrio rotacional para un desplazamiento angular φ que es directamente proporcional a la corriente I. Cuando pasa una corriente I por la bobina, el torque sobre la bobina en magnitud, está dado por τ = NIABsenθ . Debido a este torque la bobina gira desde su posición de equilibrio sin corriente ( φ = 0) a una nueva posición de
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Unidad. 8: Magnetismo 190
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equilibrio en la que el torque magnético se contrarreste con el torque restaurador del resorte:
NIABsenθ = κφ La normal al plano de la espira (esto es, la aguja) forma siempre un ángulo recto con el campo magnético (radial) de modo que θ = π 2 para todas las posiciones de la aguja. Entonces
NIAB = κφ Por lo tanto
I=
κ NAB
φ
Por lo que la corriente que pasa por el galvanómetro es directamente proporcional a la desviación de la aguja de medida. Ejemplo 10. Una espira rectangular consta de N vueltas enrolladas muy próximas entre sí y tiene dimensiones a y b. La espira se articula a lo largo del eje y, y su plano forma un ángulo θ con el eje x según figura 8.20. ¿Cuál es la magnitud del torque ejercido sobre la espira por un campo K magnético uniforme B dirigido a lo largo del eje x cuando la corriente es I en la dirección indicada? ¿Cuál es la rotación de la espira?
Figura 8.20 De la figura 8.20 b) vista desde la parte superior se tiene que
K K B = Buˆ x y µ = µ senθ uˆ x − µ cos θ uˆ z
con µ = NIab .
K
La dirección de µ se obtuvo utilizando la regla de la mano derecha sobre la espira.
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Unidad. 8: Magnetismo 191
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K
El torque producido por el campo B sobre la espira de acuerdo con la ecuación 8.23 es:
uˆ x K τ = µ × B = µsenθ B K
K
uˆ y 0 0
uˆ z − µ cos θ = − µB cos θ uˆ y 0
K
τ = − NIabB cosθ uˆ y Resultado que está de acuerdo con la regla de la mano derecha.
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