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UNIDAD DIDÁCTICA 10: Derivadas ÍNDICE DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS

1 Visualización del concepto de derivada de una función en un punto 2 Concepto de derivada de una función en un punto y de función derivada 3 Calculo de derivadas 4 Tabla de derivadas inmediatas 5 Operaciones con derivadas 6 Regla de la cadena 7 Ejercicios

INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO

El concepto de derivada de una función en un punto, es un concepto similar al concepto de límite de una función en un punto El concepto de derivada está ligado a la imagen de recta tangente, o límite de rectas secantes. Por ello nos centraremos en presentar el concepto, con su imagen visual, y posteriormente calcular derivadas de funciones. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Concepto de derivada de una función en un punto Concepto visual (o intuitivo) de derivada de una función en un punto Cálculo de derivadas inmediatas Cálculo de derivada del producto y del cociente Regla de la cadena

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DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS

1. Visualización del concepto de derivada de una función en un punto Podemos indicar que la derivada no es otra cosa que "la pendiente de la recta tangente que corta a una función en un punto determinado". Idea: El concepto de pendiente de una recta.

La idea de pendiente entre los puntos x0 , y0  y x1 , y1  sería

y y1  y0  , es decir, x x1  x0

ver el incremento de la y dividido por el incremento de la x. Nota: Es habitual encontrar señales en la carretera de pendiente pronunciada

donde nos indican el tanto por ciento de pendiente con el que nos enfrentamos. Una pendiente de un 12% seria que subimos 12 metros cuando recorremos 100.

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2. Concepto de derivada de función en un punto y de función derivada Veremos gráficamente en esta sección qué es la derivada de una función f  x  en un punto x1 . Tomemos dos puntos cualesquiera de una función; ambos poseen coordenadas, que en este caso llamaremos ( x1 , f ( x1 )) y x2 , f ( x2 ) 

Podemos calcular la pendiente entre los puntos ( x1 , f ( x1 )) y x2 , f ( x2 ) 

Tendríamos que la pendiente seria

y f ( x1  x)  f ( x1 )  x x1  x0

A medida que x2 va tomando valores cada vez más cercanos a x1 lo mismo ocurre con f ( x2 ) , que se va acercando a f ( x1 ) .

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El proceso acerca a la recta, que pasa por ambos puntos, a la posición de la recta tangente (corta en un solo punto).

El proceso de llegar a la recta tangente a través de ir acercando las rectas secantes, es un proceso de cálculo de un límite de pendientes:

lim

x 0

f ( x0  x)  f ( x0 ) y  lim (definición de derivada en un punto)  x  0 x x

Definición: Derivada de una función en un punto

Diremos que una función f (x) f ( x0  x)  f ( x0 ) y lim  lim x 0 x x 0 x

es derivable en el punto

x0

si existe

Definición: Función derivada de f

Se llama función derivada de f(x) (o simplemente derivada de f) a una función f'(x), que asocia a cada x la derivada de f en ese punto, f'(x), es decir la pendiente de la curva y=f(x) en ese punto. A la derivada de f(x) la llamaremos f'(x), o bien Df(x). 3. Cálculo de las funciones derivadas 

La derivada de una función constante es cero. f ( x)  2 f ' ( x)  0



La derivada de una función lineal (o recta) es una constante. Claramente la recta secante de una recta es ella misma, por mucho que nos acerquemos al punto siempre tenemos la misma pendiente, que coincidirá con la pendiente de la recta Ejemplos f ( x)  x  2  1x  2 .................... f ' ( x)  1 f ( x)  3 x  2 ............................... f ' ( x)  3

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

La derivada de una función potencial es una función potencial de grado inferior. En general: f ( x)  x n f ( x)  nx n 1



Ejemplos: f ( x)  x 2 ..................................... f ( x)  3x 2 ................................... 1 f ( x)   x 1 ............................. x f ( x)  4 x 3  2 x 2  x ................... f ( x)  2 x 3  x  7 .....................

f ' ( x)  2 x f ' ( x)  6 x f '( x)   1 x 11  1x 2 

1 x2

f ' ( x)  12 x 2  4 x  1 f ' ( x)  6 x 2  1

4. Tabla de derivadas inmediatas

f ( x)  K .............. f ' ( x)  0 1 f ( x)  n  x n .... f ' ( x)   nx  n 1 x

f ( x)  x n ............. f ( x)  nx n 1

1 x f ( x)  sen( x) ....... f ' ( x)  cos( x) f ( x)  cos( x) ...... f ' ( x)   sen( x) 1 f ( x)  tg ( x) ......... f ' ( x)  1  tg 2 ( x)  cos 2 ( x) 5. Operaciones con derivadas f ( x)  e ............. f ' ( x)  e x

f ( x)  ln x ........... f ' ( x) 

x



Derivada de una constante por una función g ( x)  Kf ( x) g ' ( x)  Kf ' ( x) Ejemplo: g ( x)  77 sen( x)  g ( x)  77 cos( x) .



Derivada de la suma de funciones



Ejemplo: f ( x)  sen( x)  x 



f ' ( x)  g ' ( x)

f ' ( x)  cos( x)  3x 2 .

Derivada del producto de funciones  f ( x ) g ( x ) '  f ' ( x) g ( x )  f ( x ) g ' ( x ) En palabras, derivada del primero por el segundo sin derivar, más el primero sin derivar por la derivada del segundo. Ejemplo: f ( x)  sen( x) x 3  f ' ( x)  cos( x) x 3  sen( x)3 x 2 .





 f ( x)  g ( x) '  3



Derivada del cociente de funciones

 f ( x)  f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)  '  g 2 ( x)  g ( x) 

En palabras, derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo dividido por el denominador al cuadrado.

x3 3 x 2 sen( x)  x 3 cos( x)  f ' ( x)  . Ejemplo: f ( x)  sen( x) sen 2 ( x)

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6 Regla de la cadena

 f ( g ( x) ' 

f ' ( g ( x)) g ' ( x)

[Derivada de composición de funciones]

Ejemplo: f ( x)  sen( x 3 )  f ' ( x)  cos( x 3 )3 x 2 .

7. Ejercicios.

Derivar las siguientes funciones.

sen( x) 4x3 1 5) f ( x)  x

1) f ( x)  4 x 3

3) f ( x)  e x cos( x)

2) f ( x) 

4) f ( x)  3

1 x2 ex 9) f ( x)  x 6) f ( x) 

7) f ( x)  e 4 x

8) f ( x)  e 4 x sen( x)

10) f ( x)  e sen ( x )

11) f ( x) 

sen( x) x2 sen( x) 16) f ( x)  x

14) f ( x)  3  sen( x)

15) f ( x) 

17) f ( x) 

18) f ( x)   cos( x)

13) f ( x) 

sen( x) cos( x)

12) f ( x)  tg ( x)

x3

x

Soluciones de los ejercicios

cos( x)4 x 3  sen( x)12 x 2

1) f ' ( x)  12 x 2

2) f ' ( x) 

3) f ' ( x)  e x cos( x)  e x  sen( x) 

4) f ' ( x)  0

1 x2 7) f ' ( x)  e 4 x 4

2 x3 8) f ' ( x)  e 4 x 4 sen( x)  e 4 x cos( x)

4 x 

3 2

6) f '( x)  2 x 3 

5) f ' ( x) 

ex x  ex 10) f ' ( x)  e sen ( x ) cos( x) 2 x cos( x) cos( x)  sen( x)( sen( x)) cos 2 ( x)  sen 2 ( x) 1   11) f ' ( x)  2 2 cos ( x) cos ( x) cos 2 ( x) 9) f ' ( x) 

cos( x) x 2  sen( x)2 x x4 1 15) f ' ( x)  14) f ' ( x)  cos( x) 2 x cos( x)( x)  sen( x)(1)  x cos( x)  sen( x)  16) f ' ( x)  ( x) 2 x2 12) f ' ( x) 

1 cos 2 ( x)

3

13) f ' ( x) 

1

3 1 3 3 17) f ' ( x)  x 2  x 2  x 2 2 2

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18) f ' ( x)  sen( x)

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BIBLIOGRAFÍA  Gonzalez, Carlos y otros. Matemáticas II. Editorial Editex (1997)  http://descartes.cnice.mecd.es  www.uoc.edu

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN

Calcula la derivada de las siguientes funciones. 1) f ( x)  7 4) f ( x) 

7x sen( x)

7) f ( x)  sen( x cos( x)) 10) f ( x) 

2) f ( x)  7  x

3) f ( x)  7 x

5) f ( x)  sen(7 x 2 )

6) f ( x)  e sen ( x )

8) f ( x) 

1 x

9) f ( x)  sen(1 / x)

sen( x 2 )

SOLUCIONES EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1) f ' ( x)  0

2) f ' ( x)  1

3) f ' ( x)  7

4) f ' ( x) 

5) f ' ( x)  cos(7 x 2 )14 x

6) f ' ( x)  e sen ( x ) cos( x)

7) f ' ( x)  cos x cos( x) 1cos( x)  x( sen( x) 

8) f '( x)  x 2 

1 x2

10) f ' ( x) 

1

 1  2  x 

9) f '( x)  cos(1/ x)  

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7 sen( x)  7 x cos( x) sen 2 ( x)

2

cos( x 2 )2 x

2 sen( x )

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TABLA DE DERIVADAS

FUNCIÓN

DERIVADA

yk

y'  0

yx

y'  1

y  xn

y '  nx n 1

y x

y' 

yn x

y' 

Constante

Identidad

Potenciales

1 2 x 1 n

n x

Exponenciales

y  ex

y'  e x

y  ax

y '  a x ln a

Logarítmicas

y' 

y  ln x

y' 

y  log a x

1 x

1 x ln a

Trigonométricas

y  senx

y '  cos x

y  cos x

y '   senx

y  tgx

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y' 

1  1  tg 2 x 2 cos x

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Cuestiones:

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SOLUCIONES A LAS CUESTIONES ANTERIORES:

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