An tioq uia

Universidad de Antioquia Facultad de Ciencias Exactas y Naturales ´ ticas Instituto de Matema ´ ticas Grupo de Semilleros de Matema ´ (Sematica)

Polinomios

´ticas Matema Operativas Taller 8 2012 − 1

ive

Objetivo general

rsid

ad

de

Los polinomios forman una clase muy importante de funciones en matem´aticas que est´ an definidos en t´erminos de sumas, restas y multiplicaciones de monomios. Los polinomios aparecen en diversas ´areas de la matem´atica y las ciencias naturales, usualmente en problemas de aplicaci´ on que invocuran ecuaciones polin´omicas, y es por esto que es de gran importancia contar con m´etodos para calcular y estimar (aproximar) sus ra´ıces. Encontrar las ra´ıces de una ecuaci´ on polin´omica es uno de los problemas m´as antiguos en matem´aticas. Sin embargo, los conceptos formales y la notaci´ on que actualmente utilizamos para resolver este tipo de problemas, s´olo fueron desarrollados a partir del siglo XV d. C. Antes de esto, las ecuaciones eran escritas en palabras y no con los s´ımbolos actuales. Figura 1: F. Vi`ete El matem´atico franc´es Francois Vi`ete (Fontenay-le-Comte, 1540 - Par´ıs, 1603) es considerado uno de los precursores del ´algebra moderna. En su obra principal Isagoge Artem Analycitem (“Introducci´on al arte anal´ıtico”), se presenta por primera vez una concepci´on consistente y sistem´ atica de la noci´ on moderna de ecuaci´ on algebraica. Vi`ete introduce el uso de s´ımbolos para representar los t´erminos que constituyen una ecuaci´ on: vocales para las inc´ ognitas y consonantes para los valores conocidos (coeficientes). Este enfoque, adem´as de proporcionar m´etodos para resolver ecuaciones lineales y cuadr´aticas, permiti´ o establecer la relaci´on que existe entre las formas de las soluciones de una ecuaci´ on y sus coeficientes. El trabajo de Vi`ete al final del siglo XVI marca el inicio de lo que actualmente conocemos como ´algebra. Durante este per´ıodo se desarrollaron m´etodos para la b´ usqueda sistem´ atica de soluciones de ecuaciones de grado superior (y t´ecnicas para aproximar dichas soluciones) que finalmente conducir´ıan al surgimiento del concepto de polinomio. Este per´ıodo fue testigo de la adopci´on de muchas de las ideas del ´ algebra en otras disciplinas matem´aticas como la geometr´ıa, el an´alisis y la l´ogica, y finaliz´ o con el surgimiento de nuevos objetos matem´aticos que finalmente reemplazar´ıan a los polinomios como tema principal de estudio del ´algebra.

Utilizar las propiedades de las funciones polinomiales para resolver problemas algebraicos.

Objetivos espec´ıficos 1. Identificar polinomios

Un

2. Dividir polinomios

3. Estudiar los posibles factores que puede tener un polinomio

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1.

Funciones polinomiales

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Definici´ on 1.1. Se dice que f es una funci´ on polinomial de grado n, con coeficientes reales, si f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 n = 0, 1, 2, . . . y a0 , a1 , . . . , an n´ umeros reales reales.

Ejemplo 1.1. . 1. f (x) = c es un polinomio de grado 0 (si c 6= 0).

con an 6= 0,

2. f (x) = ax + b es un polinomio de grado 1 (si a 6= 0).

3. f (x) = ax2 + bx + c es polinomio de grado 2 (si a 6= 0)..

1.1.

Casos especiales

de

El “comportamiento” de la gr´ afica de una funci´ on polinomial depender´a del grado de la funci´ on. Por ejemplo, para f (x) = axn tendremos las siguiente s dependiendo que el grado n sea par o impar. on impar y la gr´afica de f es sim´etrica Si n es un entero positivo impar (figura (2)), f es una funci´ con respecto al origen. Notemos que conforme n aumenta, la gr´afica “crece” con m´as “rapidez” para x > 1. Si n es un entero positivo par (figura (3)), f es una funci´ on par y la gr´afica de f es sim´etrica con respecto al eje y. Observemos que a medida que el exponente aumenta, la gr´afica se “aplana” alrededor del origen.

rsid

1

y

ad

y

f2 1

f3

f5

f4

f7

1

ive

-1

x

-1

1.2.

Un

Figura 2: f3 (x) = x3 , f5 (x) = x5 , f7 (x) = x7

f6 -1

1

x

-1

Figura 3: f2 (x) = x2 , f4 (x) = x4 , f6 (x) = x6

Teorema del valor intermedio para funciones polinomiales

Como la idea en esta secci´ on, es tratar de caracterizar las funciones polinomiales, el siguiente resultado nos dice otra propiedad importante de las mismas.

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Teorema 1.1 (Teorema del valor intermedio). Si f es una funci´ on polinomial y f (a) 6= f (b) para a < b, entonces f toma todo valor entre f (a) y f (b) en el intervalo [a, b]. Es decir, si k es cualquier n´ umero entre f (a) y f (b), por lo menos hay un n´ umero c entre a y b tal que f (c) = k, Gr´aficamente tenemos lo siguiente: y f (b)

y=k

k f (a)

c

x

b

de

a

Una consequencia del Teorema del valor intermedio es que si f (a) y f (b) tienen signos contrarios (uno positivo y otro negativo), al menos hay un n´ umero c entre a y b tal que f (c) = 0, es decir, f tiene un cero (o ra´ız) en c.

y = f (x)

a b

c

x

b

b

a

ive

(a, f (a))

b

rsid

(b, f (b))

ad

y1

y

(a, f (a)) y1 = f (x1 )

c

b

x1

b

(b, f (b))

Ejemplo 1.2. La funci´ on f (x) = −x4 + 3x3 − 2x+ 1 tiene un cero entre 2 y 3. Note que al sustituir x por 2 y 3, obtenemos que f (2) = 5 y f (3) = −5.

Un

Ejercicio 1.1. Considera la funci´ on polinomial f (x) = x3 − x2 − 12x y encuentra los valores de x para los cuales f (x) > 0 y f (x) < 0. Adem´as trazar la gr´afica de f . Soluci´ on. Nota que podemos factorizar a f (x) como f (x) = x3 − x2 − 12x = x(x2 − x − 12) = x(x + 3)(x − 4).

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A partir de esta ecuaci´ on vemos que los ceros, es decir los x tales que f (x) = 0, son los puntos −3, 0 y 4, as´ı que estos puntos nos dicen que podemos dividir el eje x en los intervalos (−∞, −3), (−3, 0), (0, 4) y (4, ∞) y de la misma manera que en desigualdades podemos resumir la situaci´on con la siguiente tabla: XXX intervalo XXX (−∞, −3) (−3, 0) (0, 4) (4, ∞) XX f (x) XX x − − + + (x + 3) − + + + (x − 4) − − − + Signo f (x) − + − +

Concluimos que f (x) > 0 en (−3, 0) y (4, ∞) y f (x) < 0 en (−∞, −3) y (0, 4), lo cual representamos gr´aficamente como

y = x3 − x2 − 12x

0

4

x

2.

rsid

ad

−3

de

y

Propiedades de la divisi´ on

Sean f (x) y g(x) polinomios en x. Decimos que g(x) es un factor de f (x), si f (x) es divisible por g(x). Ejemplo 2.1. .

1. x4 − 81 es divisible entre x2 + 9, entre x2 − 9, entre x + 3 y entre x − 3. (Producto notable)

ive

2. x6 + 27 es divisible entre x2 + 3 y entre x4 − 3x2 + 9. (Producto notable) 3. 7x2 + 3x − 10 es divisible entre x2 − x + 10. (Divisi´ on sint´etica)

Un

Teorema 2.1 (Algoritmo de la divisi´ on para polinomios). Si f (x) y p(x) son polinomios y si p(x) 6= 0, entonces existen polinomios u ´nicos q(x) y r(x) tales que f (x) = p(x)q(x) + r(x)

donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es menor que el grado de p(x). El polinomio q(x) se conoce como el cociente y el polinomio r(x) se conoce como el residuo en la divisi´ on de f (x) entre p(x).

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A trav´es del siguiente ejemplo, recordemos el procedimiento de la divisi´ on de polinomios. Ejercicio 2.1. Divide 3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 entre x2 + 1. Soluci´ on. . 3x4 −3x4 0

+2x3 2x3 −2x3 0

−x2 −3x2 −4x2 −4x2 4x2 0

−x

−6

−x −2x −3x

−6

−3x

Por tanto, tenemos que

−6 4 −2

x2 + 1 3x2 + 2x − 4

3x4 + 2x3 − x2 − x − 6 = (3x2 + 2x − 4)(x2 + 1) − 3x − 2. Un caso especial del algoritmo de la divisi´ on es el siguiente teorema:

de

Teorema 2.2 (Teorema del residuo). Si un polinomio f (x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f (c).

Ejercicio 2.2. Sin efectuar la divisi´ on, calcula el residuo que se obtiene al dividir el polinomio f (x) = x4 + 5x3 + 5x2 − 4x − 7 entre x + 3.

ad

Soluci´ on. . Seg´ un el teorema, el residuo que se obtiene al dividir el polinomio dado f (x) entre x + 3 es f (−3) = (−3)4 + 5(−3)3 + 5(−3)2 − 4(−3) − 7 = 81 − 135 + 45 + 12 − 7 = −4. Puedes comprobar el resultado efectuando la divisi´ on (ejercicio). A partir del teorema del residuo, obtenemos el siguiente resultado:

rsid

Teorema 2.3 (Teorema del factor). Un polinomio f (x) tiene un factor x−c si y s´ olo si f (c) = 0.

Ejercicio 2.3. Por medio del teorema del factor, demuestra que x − 5 es un factor de f (x) = x3 − 8x2 + 19x − 20.

ive

Soluci´ on. Recordemos que x − 5 es factor de f (x) si f (5) = 0. Verifiquemos entonces esta u ´ ltima condici´on: f (5) = 53 − 8(5)2 + 19(5) − 20 = 125 − 200 + 95 − 20 = 0.

Un

Al dividir un polinomio f (x) entre x − c, las operaciones resultantes pueden ser bastante largas si se utiliza la divisi´ on ordinaria. Existe un m´etodo para efectuar r´apidamente esta divisi´ on denominado divisi´ on sint´etica. El profesor te ilustrar´ a en el tablero el procedimiento de divisi´ on sint´etica por medio del siguiente ejemplo. Ejercicio 2.4. Dividir el polinomio 3x3 − 4x2 − 2x − 7 entre x − 2 Soluci´ on. .

3 3

−4 +6 +2

−2 −7 | 2 +4 +4 + 2 |−3

6

El cociente est´ a dado por 3x2 + 2x + 2 y el residuo es −3.

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Observaci´ on 1. No olvides que este m´etodo se aplica s´olo cuando el divisor es de la forma x − c

En t´erminos de notaci´ on de esta secci´ on podemos concluir que las siguientes expresiones son equivalentes: 1. f (a) = b (el valor de f en x = a es igual a b). 2. El n´ umero a es soluci´on de la ecuaci´ on f (x) = b. 3. El punto (a, b) est´ a en la gr´ afica de f . 4. Si f (x) se divide entre x − a, el residuo es b.

3.

Ejercicios

3. h(w) = 9w4 − 3w2 + 2w − 1; h(1/10).

h(1/3),

4. f (x) = x5 − 2x4 − 3x2 − 2x − 8; f (−1).

f (3),

5. f (x) = 4x4 − 3x2 + 3x + 7;

7. g(z) = 2z 5 − 14z 3 + 8z 2 + 7; 8. f (x) = x3 + 4x2 + 7x − 2;

x + 1/2 w−1

z+3

ive

9. y − c es divisible exactamente entre y + c si n es par n

10. y n + cn es divisible exactamente entre y + c si n es impar

12. w + 3; 13. z − 1;

Un

Usando el teorema del factor y la divisi´ on sint´etica, comprobar si el binomio dado es un factor del polinomio dado 11. x − 2;

z=2

18. h(x) = 3x5 − x4 + 2x3 − 4x2 + 3x − 10; x=1

19. Use divisi´ on sint´etica para hallar el cociente y el residuo de h(x) = 2x4 − 5x3 + 3x2 − x + 3 dividido entre 2x + 1. (Sugerencia: efect´ ue la divisi´ on entre x + 1/2 y luego divida el cociente entre 2).

x+2

Demostrar el enunciado dado por medio del teorema de residuo sabiendo que n es un n´ umero entero positivo. n

17. f (z) = z 3 − 9z 2 + 26z − 24;

rsid

6. h(w) = w6 − w4 + w2 − 2;

16. g(w) = 5w6 + 3w5 − 2w3 − 7w2 + 1; w = 1

ad

Obtener el cociente y el residuo usando la divisi´ on sint´etica.

de

Hallar los valores que se piden del polinomio da14. x + 2; g(x) = x4 − 3x3 − 2x2 + 5x − 9 do usando la divisi´ on sint´etica y el teorema del residuo Use el teorema del factor y la divisi´ on sint´etica para determinar si el polinomio tiene el cero que 1. f (x) = x3 − 2x2 + 3x− 2; f (0.2), f (−0.1). se indica 2. g(z) = 3z 4 − 5z 3 + 2z 2 − 7z + 8; g(1), g(−2). 15. f (x) = x4 + 5x3 + 4x2 − 7x − 3; x = −3

f (x) = x6 − 5x5 + 3x3 − x2 + 7

g(w) = w5 + 4w4 − 7w2 + 5w − 3

h(z) = z 3 + 2z 2 − 4z + 1

Construir la gr´afica del polinomio dado y hallar los ceros reales del mismo. 20. f (x) = x4 − 5x2 + 4

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21. h(z) = z 3 − 2z 2 − 8z

tos indicados

23. f (x) = (x − 1)2 (x + 2)3

22. g(w) = w4 − 2w3 − 12w2 + 2w + 11

de

24. h(z) = z(z + 3)3 (z − 4)2

ad

Trazar la gr´ afica de f (x) sin efectuar los produc-

Referencias

rsid

[1] I. Stewart, Historia de las matem´ aticas. Cr´ıtica, 2008.

Un

ive

´ [2] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Algebra y Trigonometr´ıa con Geometr´ıa Anal´ıtica, und´ecima edici´ on, editorial Thomson, 2006.