An tioq uia

Funciones exponenciales

Instituto de Matem´aticas* Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Unviersidad de Anquioquia Medell´ın, 25 de julio de 2011

1.

Introducci´ on

2.

rsid

ad

de

El n´ umero e es un n´ umero real trascendente, es decir que no es ra´ız de ning´ un polinomio con coeficientes racionales. Fue propuesto por el matem´atico suizo Leonhard Euler en el a˜ no 1720. Existen varias formas de definir este n´ umero: como el l´ımite de una sucesi´on, como una serie y tambi´en existe una definici´on geom´etrica . Por tratarse de un n´ umero irracional, tiene representaci´on decimal no-peri´odica infinita. Hasta el a˜ no 2009 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo hab´ıan encontrado 200 mil millones de cifras decimales del n´ umero e. La funci´ on exponencial (natural) es una funci´ on que tiene como base al n´ umero e como m´as adelante veremos, y es una de las funciones m´as importantes en matem´aticas, ya que presenta propiedades muy interesantes que resultan de gran utilidad en diferentes disciplinas de estudio como la f´ısica, la qu´ımica y la econom´ıa, entre otras. Una de las Figura 1: Leonhard Euler propiedades matem´aticas de la funci´ on exponencial es que es la u ´ nica funci´ on que coincide con su derivada (concepto que puedes estudiar en el Semillero de Introducci´ on al C´ alculo). Esta funci´ on es un caso particular de una familia de funciones de la forma ax , a > 0, a 6= 1, tambi´en denominadas funciones exponenciales y que definiremos en este taller. A partir de estas funciones, definiremos en el pr´oximo taller las funciones logar´ıtmicas como las inversas de las funciones exponenciales.

Funci´ on exponencial

ive

En el primer m´odulo vimos que. . .

Para todo a ∈ R y todo entero positivo n, 1. an = |a · a{z· · · a}. n veces

2. a0 = 1, si a 6= 0.

3. a−n =

1 an .

Un

Para exponentes racionales vimos que. . .

Para todo a ∈ R y todo par de enteros positivos m y n, con n ≥ 2 para el cual 1. a1/n = * Esta

√ n a.

2. am/n =

√ √ m n am = ( n a) .

√ n a existe,

3. a−m/n =

1 . am/n

obra es distribuida bajo una licencia Creative Commons Atribuci´ on - No comercial 2.5 Colombia.

1

2

An tioq uia

Instituto de Matem´ aticas, Universidad de Antioquia

Por lo anterior, sabemos lo que significa la expresi´on ax cuando el exponente es un n´ umero racional x = m/n, ¿pero qu´e significa la expresi´on ax cuando x no es racional? Por ejemplo, sabemos que no √ √ 2 ? Una manera de responder a esta existen enteros m, n tales que 2 = m . ¿Qu´ e significa entonces 2 n √ pregunta es aproximando 2 = 1.414213562373 . . . por medio de n´ umeros racionales: 21.4 , 21.41 , 21.414 , 21.4142 , 21.41421 , 21.414213 , . . .

(1)

√ √ A medida que el exponente racional x se aproxima a 2, la expresi´on 2x se aproxima a 2 2 (ver ejercicio (??)): √ √ 2x → 2 2 cuando x → 2. (2)

Realizaremos una tabla de valores para graficar y = 2x con algunos cuantos valores racionales y utilizaremos la idea de aproximaci´on expuesta en (2) para bosquejar la gr´afica de f (x) = 2x con x ∈ R (no s´olo racional). A esta funci´ on se le llama funci´ on exponencial de base 2. y x f (x) = 2x -10

2−10

1 1024

=

2−3

=

1 8

= 0.125

-2

2−2

=

1 4

= 0.25

-1

2

−1

=

1 2

= 0.5

2

0

=

1

2

1

=

2

2

2

=

4

3

2

3

10

210

1

6 5

b

4

(2,4)

3 b

2

(-1,1/2)

b

1

(1,2)

(0,1)

b

(-3,1/8) (-2,1/4) b b

=

8

=

1024

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

ad

2

(3,8)

7

de

-3

0

b

8

≈ 0.0009

-3 -2 -1 0 1 2 3 10

2


1 −3

2


1 −2

2


1 −1 2


1 0 2
1 1 2


1 x 2

= =

1024

=

8

= = = =

8

(-3,8)

7 6 5

4

(-2,4)

b

4

2

3

1

(-1,2)

b

1 2


1 2 2

=

1 4

=

1 8


1 10 2

=

1 1024


1 3 2

y b

ive

-10

g(x)
1 −10

Un

x

rsid

Observaci´ on 1. Notemos que a medida que x crece (x → ∞), los valores de la funci´ on y = 2x se incrementan arbitrariamente (y → ∞). Por otra parte, a medida que x decrece (x → −∞), los valores de la funci´ on decrecen hasta volverse casi cero (y → 0). En este caso se dice que el eje x, es decir la recta y = 0, es una as´ıntota horizontal.
x Consideremos ahora la funci´ on exponencial g(x) = 21 de base 21 . Realizaremos el mismo procedimiento empleado para la funci´ on exponencial de base 2.

2 1

b

(0,1) (1,1/2) b

(2,1/4) (3,1/8) b b

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

3

An tioq uia

Instituto de Matem´ aticas, Universidad de Antioquia

Observaci´ on 2. Notemos que a medida que x aumenta (x → ∞), los valores de la funci´ on y = 2x decrecen on
xhasta volverse casi cero (y → 0). A medida que x decrece (x → −∞), los valores de la funci´ y = 12 aumentan arbitrariamente (y → ∞). En este caso el eje x, la recta y = 0, es una as´ıntota horizontal. Definici´ on 2.1 (Funci´ on exponencial de base a). La funci´ on f : R → R+ dada por f (x) = ax con 0 < a < 1 ´o a > 1 se denomina funci´ on exponencial de base a. Observaci´ on 3. .

1. En la definici´on de funci´ on exponencial, requerimos que la base a sea un n´ umero positivo para evitar que surgan ra´ıces de n´ umeros enteros negativos, por ejemplo (−1)1/2 . 2. Excluimos que la base sea a = 1 pues en ese caso f (x) = 1x = 1 no tiene inversa por no ser inyectiva y necesitamos que la funci´ on exponencial sea biyectiva, pu´es su inversa nos va a permitir definir funciones logar´ıtmicas m´as adelante. 3. El rango de la funci´ on exponencial es R+ por lo cual f (x) = ax > 0 para todo x ∈ R. Es decir, la funci´ on exponencial nunca se anula o toma valores negativos. 4. Si a > 1, la gr´ afica de f (x) = ax “crece” a medida que x aumenta. Se dice que la funci´ on crece exponencialmente.

de

5. Si 0 < a < 1, la gr´ afica de f (x) = ax “decrece” a medida que x aumenta. Se dice que la funci´ on decae exponencialmente. 6. El eje x es una as´ıntota horizontal de la funci´ on exponencial: la gr´afica se acerca al eje x a medida queda x crece (para 0 < a < 1) o a medida que x decrece (para a > 1) pero nunca cruza el eje x. 7. La funci´ on exponencial es biun´ıvoca, en particualar:

ad

ax 1 = ax 2

=⇒

x1 = x2 .

8. Las propiedades estudiadas para exponentes racionales son tambi´en v´alidas para exponentes reales: para todo par x1 , x2 ∈ R, y

rsid

ax1 · ax2 = ax1 +x2

ax 1 = ax1 −x2 . ax 2

Ejercicio 2.1. Resuelve la ecuaci´ on 54x = 56x−2 .

Soluci´ on. Por la inyectividad de la funci´ on exponencial f (x) = 5x tenemos que 54x = 56x−2

=⇒

4x = 6x − 2

=⇒

x = 1.

ive

Ejercicio 2.2. Resuelve la ecuaci´ on 25x = 42x+1 .

Un

Soluci´ on. En este caso, las expresiones que forman la ecuaci´ on no tienen la misma base y por tanto no podemos aplicar la inyectividad inicialmente. 25x = 42x+1
2x+1 25x = 22 25x = 24x+2

5x = 4x + 2 x = 2.

Ejercicio 2.3 (Crecimiento poblacional). En un cultivo de bacterias se observa que el n´ umero de bacter´ıas se duplica cada d´ıa. Si inicialmente hab´ıan 1000 bacterias, ¿al octavo d´ıa cu´antas bacterias habr´ an?

4

An tioq uia

Instituto de Matem´ aticas, Universidad de Antioquia

Soluci´ on. La poblaci´on de bacterias del problema crece exponencialmente como veremos a continuaci´on. Supongamos que t es el tiempo en d´ıas y f (t) el n´ umero de bacterias observadas en el d´ıa t. Entonces f (t)

f (0) = 1000

(inicio)

f (1) = 1000 · 2

(d´ıa 1)

7 6 5

f (2) = (1000 · 2) · 2 = 1000 · 2

2

(d´ıa 2)


f (3) = 1000 · 22 · 2 = 1000 · 23

4 3

(d´ıa 3)

2

.. .

.. .

f (t) = 1000 · 2t

1

1

(d´ıa t)

Al octavo d´ıa el n´ umero de bacterias es

2

t

3

f (8) = 1000 · 28 = 256000.

de

Observaci´ on 4. En general, si inicialmente hab´ıan A bacterias, el n´ umero de bacterias en el d´ıa t est´ a dado por f (t) = A · 2t Este modelo no es muy realista, pues por limitaciones de espacio y alimentos, una poblaci´on de bacterias no crece de manera exponencial siempre, sin embargo es un primer ejemplo que nos puede ayudar a plantear modelos m´as realistas.

ad

A diferencia del ejemplo anterior, existen otros fen´omenos observados en la naturaleza donde las cantidades estudiadas decrecen exponencialmente con el tiempo.

rsid

Ejercicio 2.4 (Decaimiento radioactivo). El polonio 210 Po es un is´ otopo o sustancia radioactiva “inestable” que se va desintegrando a medida que transcurre el tiempo. La vida media del polonio es de 140 d´ıas, es decir, cada 140 d´ıas, la cantidad de polonio que hab´ıa se reduce a la mitad. Si inicialmente la cantidad de polonio es de N miligramos, ¿cu´ al es la cantidad de polonio en el tiempo t? Soluci´ on. Suponiendo que t es el tiempo en d´ıas y f (t) es la cantidad de polonio que queda en el d´ıa t. Entonces f (0) = N f (1 × 140) = N ·

1 2

ive

Un

.. . 1 2t

1.00

(d´ıa 140)

  1 1 1 f (2 × 140) = N · · =N· 2 2 2 2   1 1 1 f (3 × 140) = N · 2 · = N · 3 2 2 2

f (t × 140) = N ·

f (t)

(inicio)

0.75

(d´ıa 280) 0.50

(d´ıa 420) 0.25

.. . 1

(d´ıa t × 140)

Al transcurrir t d´ıas, la cantidad de polonio que queda es f (t) = N ·

1 = N · 2−t/140 2t/140

2

3

t × 140

5

3.

Funci´ on exponencial (natural)

An tioq uia

Instituto de Matem´ aticas, Universidad de Antioquia

La funci´ on exponencial natural es una funci´ on exponencial que tiene como base a un n´ umero que es muy utilizado en matem´aticas. Este n´ umero se denotada con la letra e, es irracional y es conocido como n´ umero de Euler (no confunidr con la constante de Euler ). Definici´ on 3.1 (N´ umero e). El n´ umero e se define como el valor al que se aproxima la expresi´on n  1 (3) 1+ n cuando n se hace arbitrariamente grande (n → ∞).

En el ejercicio (??) estudiaremos un problema de inter´es compuesto cuya soluci´on conduce a la expersi´ on (3). Por ahora consideremos la tabla dada a continuaci´on, en ´esta se muestra el valor aproximado del n´ umero e. 1 n

n

1+

1 n

n  1 1+ n

1

1

2

2

2

0.5

1.5

5

0.2

1.2

2.48832

de

2.25

10

0.1

1.1

2.59374246

100

0.01

1.01

2.704813829

0.001

1.001

2.716923932

0.0001

1.0001

2.718145927

100000

0.00001

1.00001

2.718268237

1000000

0.000001

1.000001

10−9

1 + 10−9

1000000000

ad

1000 10000

2.718280369 2.718281828

rsid

As´ı, tenemos que e = 2.718281828459 . . . Observemos que 2 < e < 3. Definici´ on 3.2 (Funci´ on exponencial natural). La funci´ on exponencial natural es la funci´ on exponencial de base e = 2.718281828459 . . . f (x) = ex (4) para todo x ∈ R.

ive

Observaci´ on 5. .

y 7

1. La funci´ on exponencial es biun´ıvoca: e

x1

=e

3. e 4.

x1

ex1 ex2

·e

=⇒

Un

2. e0 = 1.

x2

x2

=e

x1 +x2

f (x) =

6

ex

x1 = x2 .

5 4 3

.

2 1

= ex1 −x2 .

-3

-2

-1

1 -1

2

x

6

Ejercicio 3.1.

An tioq uia

Instituto de Matem´ aticas, Universidad de Antioquia

Utilice la gr´ afica de la funci´ on exponencial f (x) = ex para graficar: 2. f (x) = ex−2

1. f (x) = e−x

3. f (x) = ex − 3

Soluci´ on. . y

-4

-3

-2

y

3

3

2

2

1

1

-1 -1

1

2

3

4

x

-4

-3

-2

-1 -1

-2

-2

-3

-3

y

3 2 1

1

2

3

4

x

-4

-3

-2

-1 -1

1

2

3

4

x

-2 -3

Figura 3: f (x) = ex−2

Figura 2: f (x) = e−x

4. f (x) = 5 − ex

Figura 4: f (x) = ex − 3

de

La gr´afica de la figura 2 se obtuvo de reflejar la gr´afica de y = ex respecto al eje y. La gr´afica de la figura 3 se obtuvo al desplazar horizontalmente 2 unidades hacia la derecha la gr´afica de y = ex . Finalmente, la gr´ afica de la figura 4 se obtuvo al desplazar verticalmente 3 unidades hacia abajo la gr´afica de y = ex .

Referencias

ad

´ [1] M. Sullivan, Algebra y Trigonometr´ıa, s´eptima edici´ on, editorial Pearson, 2006. [2] E. W. Swokowski, Calculus with analytic geometry, PWS Publishers, 1983.

Un

ive

rsid

[3] F.D. Demana, B.K. Waits, G.D. Foley, D. Kennedy, Prec´ alculo, s´eptima edici´ on, editorial Pearson, 2006.