An tioq uia

Universidad de Antioquia Facultad de Ciencias Exactas y Naturales ´ ticas Instituto de Matema ´ ticas Semilleros de Matema

Aritm´ etica

´ticas Matema Operativas Taller 1 2012 − 1

ive

Objetivo general

rsid

ad

de

La aritm´etica es una de las disciplinas m´as antiguas de las matem´aticas, es utilizada en todo el mundo en una gran varidead de tareas que van desde actividades cotidianas de conteo hasta avanzados c´ alculos num´ericos. La palabra aritm´etica proviene de los t´erminos griegos αριθµoς (arithmos) que significa n´ umero y τ εχνη (t´echne) que significa arte, habilidad. La aritm´etica o “arte de contar” estudia los n´ umeros y las operaciones que podemos realizar con estos. El hueso de Ishango (figura 1) constituye uno de los registros m´as antiguos que tenemos de actividades aritm´eticas; con una edad estimada de 20.000 a˜ nos, contiene inscrito marcas que revelan una clara concepci´on de las operaciones de suma y resta. En las culturas egipcia y babil´onica, los registros m´as antiguos de operaciones aritm´eticas elementales datan del a˜ no 2.000 a. C. El Papiro de Ahmes, por ejemplo, es un documento egipcio escrito aproximadamente en 1650 a. C. que contiene 87 problemas matem´aticos con cuestiones aritm´eticas, entre otras. El desarrollo moderno de la aritm´etica inicia en la antigua Grecia con el trabajo Figura 1 de Euclides alrededor del 300 a. C. El sistema de numeraci´ on griego, derivado del sistema egipcio, era un sistema no posicional como el romano, que hac´ıa complejo realizar las operaciones aritm´eticas elementales. El surgimiento del sistema de numeraci´ on posicional indo-ar´ abigo (el sistema en base 10 que actualmente utilizamos), permiti´ o la representaci´on de n´ umeros muy grandes y peque˜ nos y del cero, as´ı como la implementaci´on de modernos algoritmos de c´ alculo. A pesar de lo elemental que pueda parecer, el sistema de numeraci´on indo-ar´abigo, y toda la aritm´etica realizada con ´este, es la culminaci´ on de miles de a˜ nos de esfuerzo y desarrollo matem´atico. ¿Qu´e son los n´ umeros? Los n´ umeros los utilizamos para contar cosas pero no son cosas, los denotamos por medio de s´ımbolos pero no son s´ımbolos. Los n´ umeros son construcciones mentales [2] y sin importar lo abstractas que sean las ideas en que se fundamentan, la sociedad actual en que vivimos no ser´ıa posible sin n´ umeros.

Emplear con habilidad las propiedades b´ asicas del sistema de numeraci´ on decimal para enfrentar diversas situaciones problema que surgen en aritm´etica.

Objetivos espec´ıficos

Un

1. Efectuar con destreza las operaciones aritm´eticas b´ asicas. 2. Identificar algunos principios fundamentales aritm´eticos que aparecen en problemas de aplicaci´on.

Grupo de Semilleros de Matem´ aticas - Sem´ atica, Universidad de Antioquia. Esta obra es distribuida on - No comercial 2.5 Colombia. bajo una licencia Creative Commons Atribuci´

2

1.

Sistemas de numeraci´ on

An tioq uia

Grupo de Semilleros de Matem´ aticas - Sem´ atica, Universidad de Antioquia

Los sistemas de numeraci´ on nos proporcionan un conjunto de s´ımbolos y reglas para representar n´ umeros. En el sistema decimal (indo-ar´ abigo) que aprendemos en el colegio, el valor de cada d´ıgito (unidades, decenas, centenas, etc.) depende de su posici´on y se diferencia de sistemas no posicionales como el romano en el que sus s´ımbolos tienen siempre el mismo valor.

1.1.

Sistema decimal

El sistema decimal es un sistema posicional en el que los n´ umeros se representan utilizando como base un conjunto de 10 s´ımbolos: S´ımbolo

0

1

2

3

4

5

Nombre

cero

uno

dos

tres

cuatro

cinco

6

7

8

9

seis

siete

ocho

nueve

En este sistema, el valor de cada s´ımbolo depende de la posici´on que ocupa, como se muestra a continuaci´on: Valor representado

tres

unidad

treinta

decena

trescientos

centena

3 000

tres mil

millar

30 000

tres mil

decena de millar

trescientos mil

centena de millar

tres millones

mill´on

3 30 300

300 000 3 000 000

El n´ umero 468, por ejemplo, representa 4 centenas, 6 decenas y 8 unidades (468 = 400 + 60 + 8) y se lee “cuatrocientos sesenta y ocho”; el n´ umero 357 009 se lee “trescientos cincuenta y siete mil nueve”; el n´ umero 7 273 569 se lee “siete millones doscientos setenta y tres mil quinientos sesenta y nueve”.

de

Nombre

ad

N´ umero

Actividad 1.1. Escribe el nombre o el n´ umero seg´ un corresponda: 5. Ocho billones1 doce millones ciento tres.

1. 235 057

6. 89 057 123 001

rsid

2. Quinientos ocho mil uno

7. 938 600 007

3. 4 000 009 4. Quinientos ocho mil uno

8. Ocho billones doce millones ciento tres

ive

Cuando el s´ımbolo del n´ umero se desplaza de derecha a izquierda, su valor se multiplica por diez por cada desplazamiento, como se muestra en la tabla anterior: 3, 30, 300, etc. Para representar n´ umeros menores que 1, utilizamos el punto decimal y el n´ umero se divide por diez, por cada desplzamamiento hacia la derecha realizado, como se muestra a continuaci´on:

N´ umero 0.7 =

7 10

7 0.07 = 100 7 0.007 = 1000 7 0.0007 = 10000 7 0.00007 = 100000

Nombre siete d´ecimas siete cent´esimas siete mil´esimas siete diezmil´esimas siete cienmil´esimas

El n´ umero 3.14, por ejemplo,

Un

3.14 = 3 + 0.1 + 0.04

representa 3 unidades, 1 d´ecima y 4 cent´esimas, o tambi´en representa 3 unidades y 14 cent´esimas (3.14 = 3 + 0.14). El n´ umero 3.14 se lee “tres unidades, catorce cent´esimas” o simplemente “tres punto catorce”. Actividad 1.2. Escribe el nombre o el n´ umero seg´ un corresponda: 1 En Colombia y dem´ as paises de lengua espa˜ nola, un bill´ on se define como un mill´ on de millones; en Estados Unidos un bill´ on se define como un millar de millones.

3

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1. Mil ocho unidades, treinta y cuatro cent´esimas.

4. Un mill´ on veinte unidades, cuartenta y dos cienmil´esimas.

2. 0.99

5. 0.08208

3. 1.4142

6. 22.4136

1.2.

Relaciones entre n´ umeros

5 50 Los decimales 10 y 100 , representan el mismo n´ umero: 0.5. Cuando dos n´ umeros a y b representen el mismo n´ umero, escribimos a = b. El s´ımbolo “=” se llama igualdad.

Proposici´ on 1.3 (Igualdad). La igualdad es una relaci´ on que satisface las siguientes propiedades: 1. Propiedad reflexiva: a=a 2. Propiedad sim´etrica: a=b

implica

3. Propiedad transitiva: y

b=c

implica

a=c

de

a=b

b=a

Cuando dos n´ umeros a y b no sean iguales escribiremos “a 6= b”. En tal caso podemos establecer una relaci´on entre estos llamada desigualdad. Observaci´ on 1. Si a 6= b, se pueden presentar las siguientes situaciones: 1. a > b si a es mayor que b.

3. a ≥ b si a es menor que b (a < b) ´o a = b. 4. a < b < c si a < b y b < c.

ad

2. a < b si a es menor que b.

Actividad 1.4. Escribe en cada c´ırculo, el s´ımbolo (=, ) que corresponda: 4 10

4 100

4. 0.5 0.50 0.5001

7.

2. 1 2 3

5. 0.666 0.6666

8. 2.7183 2.71829

6. a b

9. 7 8

3. 1 0.99999

2.

rsid

1. 2 1

Operaciones aritm´ eticas

2.1.

Suma

ive

Las operaciones b´ asicas de la aritm´etica son la suma, la resta, la multiplicaci´ on y la divisi´ on. Otras operaciones aritm´eticas son la potenciaci´on, radicaci´on y los logar´ıtmos. Todas estas operaciones gozan de ciertas propiedades y deben ser ejecutadas respetando un orden (de operaciones).

Un

La suma o adici´ on es la operaci´ on aritm´etica que representa el acto de combinar o juntar dos colecciones de objetos en una colecci´ on mayor. La suma la denotamos con el s´ımbolo “+”. Al juntar por ejemplo 2 manzanas con 3 manzanas obtenemos 5 manzanas (figura 2) y esto lo denotamos por 2 + 3 = 5. De manera similar 3 + 2 = 5, Figura 2 1 + 4 = 5, etc. ) 6 Si a y b son n´ umeros, el n´ umero c = a + b es la suma de a y b. sumandos + 3 A los n´ umeros a y b se le denominan sumandos. Por ejemplo: 9

suma

4

Actividad 2.1. Realizar las siguientes sumas: 1472 539 + 16

13 + 46

32.7 + 9.8

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0.21 +628.0

0.99 +0.99

La suma es una operaci´ on con las siguientes propiedades.

Ley 2.2 (Uniforme). La suma de dos n´ umeros siempre tiene el mismo valor.

Ejemplo 2.1 (unicidad de la suma). Si sumamos miembro a miembro dos igualdades, el resultado obtenido es otra igualdad:

1 = 1 + 2 = 2

a = a′ + b = b′

y

a + b = a′ + b ′

3 = 3

Ejemplo 2.2. Para sumar m´as de tres sumandos, 3 + 6 + 2 + 5 = 3 + 6 + 2 + 5 = 9 + 7 = 16 y | {z } | {z } 9

7

de

Ley 2.3 (Asociativa). Para sumar tres sumandos, sustituimos dos sumandos cualesquiera por su suma, y sumamos los dos sumandos resultantes. NO importa los sumandos que elijamos, el resultado es siempre el mismo: (a + b) + c = a + (b + c).

3 + 6 + 2 + 5 = 3 + 6 + 2 +5 = 3 + 8 +5 = 11 + 5 = 16 | {z } | {z } 8

11

ad

Ley 2.4 (Conmutativa). El orden de los sumandos no altera la suma: a + b = b + a.

rsid

Ejemplo 2.3. 1 + 2 + 3 = 2 + 1 + 3 = 2 + 3 + 1 = 3 + 2 + 1 = 3 + 1 + 2 = 6. Ley 2.5 (Monoton´ıa para la suma). Al sumar miembro a miembro una igualdad y una desigualdad, obtenemos una desigualdad del mismo sentido; si sumamos dos desigualdades del mismo sentido, obtenemos otra desigualdad del mismo sentido. Actividad 2.6. Realiza las operaciones indicadas:

2.2.

Resta

ive

3 = 3 + 5 > 2

4 = 4 a < b + c = d

s 1 a+b + 5

= < < <

3 2 c d

+

0.33 < 0.333 1 = 1

Un

La resta o sustracci´ on es la operaci´ on inversa de la suma y la denotamos con el s´ımbolo “−”. Esta operaci´ on representa el acto de sustraer de una colecci´ on de objetos, un n´ umero dado de objetos. Al sustrear (restar) por ejemplo 2 manzanas de una colecci´ on de 5 manzanas, obtenemos 3 manzanas (figura 3) y esto lo denotamos por 5 − 2 = 3. Figura 3 Si a y b son n´ umeros, el n´ umero c = a − b es la resta de a y b. Al n´ umero a se le denomina el minuendo y a b se le denomina sustraendo. Observemos que la resta c = a − b es un n´ umero que al sum´arselo al sustraendo b nos da el minuendo a.

5

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8 ← minuendo

Por ejemplo al restar 5 de 8 obtenemos 3 (la resta) y

− 5 ← sustraendo

resta + sustraendo = 3 + 5 = 8 = minuendo.

3 ← resta

Actividad 2.7. Realizar las siguientes restas: 841 − 237

57 − 14

48.3 − 6.7

496.21 −213.03

La resta es una operaci´ on con las siguientes propiedades.

Ley 2.8 (Uniforme para la resta). La resta de dos n´ umeros siempre tiene el mismo valor.

Ejemplo 2.4 (unicidad de la resta). Si restamos miembro a miembro dos igualdades, el resultado obtenido es otra igualdad:

y

a = a′ − b = b′

a − b = a′ − b ′

1 = 1

de

Ley 2.9 (Monoton´ıa para la resta). .

6 = 6 − 5 = 5

1. Al restar miembro a miembro de una desigualdad, una igualdad, obtenemos una desigualdad del mismo sentido:

ad

2. Al restar miembro a miembro de una igualdad, una desigualdad, obtenemos una desigualdad de sentido contrario: 3. Al restar miembro a miembro de una desigualdad, otra desigualdad de sentido contrario, obtenemos una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad inicial:

a < b − c = d

3 = 3 − 5 > 2

2.3.

rsid

Actividad 2.10. Realiza las operaciones indicadas:

Multiplicaci´ on

a+b < c − 5 < d

0.33 < 0.333 − 1 = 1

Un

ive

La multiplicaci´ on o producto es la operaci´ on aritm´etica por medio de la cual un n´ umero se suma consigo mismo un determinado n´ umero de veces. Por ejemplo, la multiplicaci´on de 2 y 3 da como resultado 6 porque 2 + 2 + 2 = 6. La multiplicaci´on se denota con el s´ımbolo “×”. Si a y b son n´ umeros, el n´ umero c = a × b se denomina producto de a y b. A los n´ umeros a y b se le denominan factores. El n´ umero a × b se lee “a por b” o “a veces b”. Por ejemplo: ) 4 factores × 2 (1) 8

producto

y por consiguiente 4 y 2 son factores de 8. La multiplicaci´on se puede denotar tambi´en por medio de un punto medio “·”, un asterisco “∗”, dejando un espacio entre un n´ umero y una letra, dejando un espacio entre dos letras o por medio de par´entesis: 3 · 7,

4 ∗ 6,

2 a,

a b,

...

6 Observaci´ on 2 (sobre el producto). .

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1. Al multiplicar un n´ umero por 1 (resp. por 0), el producto es igual al n´ umero (resp. a 0): 34 × 1 = 34,

256 × 1 = 257,

7 × 0 = 0,

39 × 0 = 0,

etc.

2. El producto de un n´ umero por s´ı mismo repetidas veces lo denotamos por: 32 = 3 × 3 = 9,

105 = 100 000,

2 ∧ 3 = 2 × 2 × 2 = 8,

etc.

3. Al multiplicar un factor por 10 (100, 1000, etc.), el producto obtenido es el factor a˜ nadi´endole uno (dos, tres, etc.) ceros: 6 × 10 = 60,

39 × 100 = 3 900,

540 × 1000 = 540 000,

etc.

Si el factor es un decimal, el punto decimal se corre a la derecha tantos lugares como ceros: 0.5 × 10 = 5,

0.3287 × 100 = 32.87,

9.3 × 1000 = 9 300,

etc.

621 ×4 2484

y

de

4. Cuando los u ´ltimos d´ıgitos de uno de los factores son ceros, multiplicamos s´olo el n´ umero sin los ceros y a˜ nadimos los ceros al final. Para mutliplicar 621 × 40 000 , por ejemplo:

621 × 40 000 = 24 840 000

Actividad 2.11. Realizar las siguientes multiplicaciones:

14 .84 × 5 .3

24 .571 × 3 .64

ad

362 × 749

184 × 26

La multiplicaci´ on es una operaci´ on con las siguientes propiedades.

rsid

Ley 2.12 (Uniforme). La multiplicaci´ on de dos n´ umeros siempre tiene el mismo valor.

2 = 2 × 3 = 3

a = a′ × b = b′

y

a × b = a′ × b ′

6 = 6

ive

Ejemplo 2.5 (unicidad de la multiplicaci´on). Si multiplicamos miembro a miembro dos igualdades, el resultado obtenido es otra igualdad:

Ley 2.13 (Asociativa). Para mutliplicar tres factores, sustituimos dos factores cualesquiera por su producto, y multiplicamos los dos factores resultantes. NO importa los factores que elijamos, el resultado es siempre el mismo.

Un

Ejemplo 2.6. Para multiplicar m´as de tres factores, × 5} = 6 × 20 = 120 y 3 × 2 × 4 × 5 = |3 {z × 2} × |4 {z 6

20

3 × 2 × 4 × 5 = 3 × |2 {z × 4} ×5 = |3 {z × 8} ×5 = 120 8

24

Para indicar los factores que vamos a multiplicar, se acostumbra a utilizar par´entesis. La ley asociativa afirma entonces (a × b) × c = a × (b × c).

7

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Ley 2.14 (Conmutativa). El orden de los factores no altera el producto: a × b = b × a.

Ejemplo 2.7. 2 × 3 × 4 = 3 × 2 × 4 = 3 × 4 × 2 = 4 × 3 × 2 = 4 × 2 × 3 = 24.

Ley 2.15 (Monoton´ıa para la multiplicaci´on). Al multiplicar miembro a miembro una igualdad y una desigualdad, obtenemos una desigualdad del mismo sentido; si multiplicamos dos desigualdades del mismo sentido, obtenemos otra desigualdad del mismo sentido2

Ley 2.16 (Distributiva). Esta ley es muy importante, nos permite relacionar las operaciones suma, resta y producto: (a + b) c = a c + b c y (a − b) c = a c − b c

Actividad 2.17. Realiza las operaciones indicadas:

= < < <

1 2 w 3

de

6 = 6 m < n × p = q

4 = 4 × 5 > 2

2.4.

t s u+v × 2

Divisi´ on

3.1416 > 3.14159 × 2 = 2

rsid

ad

La divisi´ on es la operaci´ on inversa a la multiplicaci´on: si conocemos el producto y uno de los factores, la divisi´ on nos permite hallar el factor restante. Esta operaci´ on representa el acto de dividir una colecci´ on finita de objetos en grupos de igual tama˜ no. Por ejemplo, al dividir una colecci´ on de 20 manzanas en 4 grupos de igual tama˜ no, obtenemos como resultado 5 manzanas por grupo (figura 4). Observemos que 5 es el factor que hace que 5 × 4 = 20 y por eso 20 dividido entre 4 es igual a 5. Al producto conocido se le denomina dividendo y al factor conocido divisor, el resultado de la operaci´ on (el factor desconocido) se denomina cociente. La divisi´ on se denota con el s´ımbolo “÷”. Por ejemplo, 12 ÷ 4 = 3 porque 3 × 4 = 12. Otros s´ımbolos Figura 4 para denotar el cociente de a y b son: a/b ,

ive

a , b

a : b,

a

b

En los ejemplos anteriores las divisiones son exactas. En algunos casos las divisiones no son exactas (quedan “sobrando manzanas”) y el residuo de la divisi´ on no es cero, por ejemplo: dividendo → 21 7 ← divisor residuo → 0 3 ← cociente

y

dividendo → 14 3 ← divisor residuo → 2 4 ← cociente

Un

La primera divisi´ on es exacta: 7 veces 3 es exactamente 21. La segunda divisi´ on no es exacta: 3 veces 4 no es 14, quedan faltando 2 para completar 14: 3 × 4 + 2 = 14. En general, divisor × cociente + residuo = dividendo

Observaci´ on 3 (sobre la divisi´ on). .

1. El divisor no puede ser cero (no est´ a permitido dividir por cero).

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2. Cuando el dividendo es igual al divisor, el cociente es 1: 4 ÷ 4 = 1,

68/68 = 1,

237 : 237 = 1,

a = 1, a

etc.

3. Cuando el divisor es 1, el cociente es igual al dividendo (dividir por 1 deja igual las cosas): 3 ÷ 1 = 3,

17/1 = 17,

23 : 1 = 23,

0 = 0, 1

etc.

4. Cuando dividimos por 10 (100, 1000, etc.), el resultado obtenido es el dividendo desplaz´andole el punto decimal uno (dos, tres, etc.) lugares a la izquierda: 52.3 ÷ 10 = 5.23,

123 ÷ 1000 = 0.123,

6470 × 10 = 647,

etc.

Si el factor es un decimal, el punto decimal se corre a la derecha tantos lugares como ceros: 0.5 ÷ 10 = 5,

0.3287 ÷ 100 = 32.87,

Actividad 2.18. Realiza las siguientes divisiones: 32.5 0.3

32.5 0.3

9.3 ÷ 1000 = 9 300,

32.5 0.3

etc.

32.5 0.3

La divisi´ on es una operaci´ on con las siguientes propiedades.

de

Ley 2.19 (Uniforme). La divisi´ on de dos n´ umeros siempre tiene el mismo valor. Ejemplo 2.8 (unicidad de la divisi´ on). Si dividimos miembro a miembro dos igualdades, el resultado obtenido es otra igualdad:

2 = 2

2.5.

Orden de operaciones

y

a = a′ ÷ b = b′

ad

6 = 6 ÷ 3 = 3

a ÷ b = a′ ÷ b ′

Signo

Nombre par´entesis

[ ]

corchetes

{ }

llaves

ive

( )

rsid

Cuando una expresi´on matem´atica consta de muchos t´erminos, podemos utilizar signos de agrupaci´ on para especificar el orden en que debemos realizar las operaciones: 4 + (5 − 3) 2 = ? (4 + 5) − 3 · 2 = ? [(4 + 5) − 3] · 2 = ?

Cuando la expresi´on no contiene signos de agrupaci´ on, como por ejemplo 2 + 3 − 4 · 5, existe un orden (o jerarqu´ıa) de operaciones que especifica el orden en que debemos realizar las operaciones: Operador

Orden

(mayor)

∧

↓

Un

Signos de agrupaci´ on ×, ÷

↓

+, −

(menor)

4+5−3·2 = 4+5−3·2 = 4+5−6= 9−6= 3 24/3/2 = 24/3/2 = 8/2 = 4 1+4×3÷6 = 1+4 × 3÷6 = 1+12 ÷ 6 = 1 + 2 = 3 18 ÷ 32 × 6 = 18 ÷ 32 × 6 = 18 ÷ 9 × 6 = 2 × 6 = 12

Cuando las operaciones tienen la misma jerarqu´ıa, es decir, est´ an en una misma fila de la tabla como × y ÷, las operaciones se realizan de izquierda a derecha. Actividad 2.20. Realiza las operaciones indicadas:

1. 5 + 4 − 3 × 2 ÷ 3 ∧ 2

5. 3[(4 + 6) − 5] − 15

2. 72/3/2/6/1/2

6. 48 − 3{2[(1 + 2)2 − 5] − 1}

3. 2 ∧ 2 ∧ 1 + 2 2 × 2 + 23 4. 2 + 23

7. 2{(1 + 2)[(1 + 2)2 − 6 : 3] − 1} − 27

3.

9

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8. 1/10 + 1/100 + 1/1000

Divisibilidad

En algunas situaciones es posible determinar si un n´ umero divide a otro exactamente sin realizar la divisi´ on. Los siguientes criterios o reglas nos dicen c´ omo.

3.1.

Criterios de divisibilidad

Criterio 3.1 (Divisibilidad por 2). Un n´ umero es divisible por 2 si termina en cifra par o cero.

Ejemplo 3.1. N´ umeros divisibles por 2: 2, 8, 10, 46 y 62371230.

de

Criterio 3.2 (Divisibilidad por 3). Un n´ umero es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un m´ ultiplo de 3.

Ejemplo 3.2. 45138 es divisible por 3 porque 4 + 5 + 1 + 3 + 8 = 21 que es m´ ultiplo de 3.

ad

Criterio 3.3 (Divisibilidad por 4). Un n´ umero es divisible por 4 si sus dos u ´ltimas cifras con ceros o forman un m´ ultiplo de 4.

Ejemplo 3.3. 300 es divisible por 4 tambi´en 7312 porque 12 que es m´ ultiplo de 4.

rsid

Criterio 3.4 (Divisibilidad por 5). Un n´ umero es divisible por 5 si su u ´ltima cifra es cero ´ o 5.

Ejemplo 3.4. N´ uimeros divisbles por 5: 15, 240, 12345, etc.

ive

Criterio 3.5 (Divisibilidad por 7). Un n´ umero es divisible por 7 cuando, al separar la u ´ltima cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un m´ ultiplo de 7. Este procedimiento se repite si es necesario hasta que se pueda determinar con facilidad si la diferencia es 0 o m´ ultiplo de 7.

Ejemplo 3.5. 154 es m´ ultiplo de 7 porque 15 − 2 × 4 = 7 es m´ ultiplo de 7.

Un

Criterio 3.6 (Divisibilidad por 9). Un n´ umero es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras es un m´ ultiplo de 9.

Ejemplo 3.6. 86274 es divisible por 9 porque 8 + 6 + 2 + 7 + 4 = 27 es m´ ultiplo de 9. Criterio 3.7 (Divisibilidad por 10). Un n´ umero es divisible por 10 cuando termina en cero.

10

3.2.

Descomposici´ on en factores primos

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Los n´ umeros primos juegan un papel muy importante en matem´aticas y resultan de gran utilidad para realizar operaciones aritm´eticas. Definici´ on 3.1 (n´ umero primo). Un n´ umero eso primo si s´olo es divisible por s´ı mismo y por la unidad. Observaci´ on 4. Los n´ umeros primos son infinitos, los primeros son 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . Por convenci´on el 1 no se considera primo. Todo n´ umero que no sea primo se denominan compuesto. Teorema 3.8. Todo n´ umero distinto de 1 se puede descomponer en producto de factores primos. Para descomponer un n´ umero en sus factores primos buscamos todos sus divisores primos. Ejemplo 3.7 (Descomposici´on en factores primos). . 10 = 2 × 5

21 = 3 × 7

18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 32

de

Observaci´ on 5. La descomposici´on en factores primos la podemos obtener dividiendo el n´ umero por el menor de sus diviores primos, el cociente obtenido se divide tambi´en por el menor de sus divisores primos y as´ı sucesivamente hasta obtener un cociente que sea un n´ umero primo divisible por s´ı mismo. Ejercicio 3.1. Halla la descomposici´on en factores primos de 36 y 60.

2 2 3 3

60 30 15 5 1

⇒ 36 = 22 × 32

y

2 2 3 5

⇒ 36 = 22 × 3 × 5

rsid

36 18 9 3 1

ad

Soluci´ on. .

Definici´ on 3.2 (m.c.d). El m´ aximo com´ un divisor o m.c.d. de varios n´ umeros es el n´ umero m´as grande que es divisor de todos ellos. Si el m.c.d es 1, se dice que los n´ umeros son primos relativos.

ive

Observaci´ on 6. El m.c.d. de dos n´ umeros puede calcularse determinando la descomposici´on en factores primos de los dos n´ umeros y multiplicando los factores comunes elevados a la menor potencia. Ejemplo 3.8. Por la observaci´ on anterior (6) y la descomposici´on en factores primos obtenida en el ejercicio (3.1), el m.c.d. de 36 y 60 es mcd(36,60) = 22 × 3 = 12.

Un

Definici´ on 3.3 (m.c.m). El m´ınimo com´ un m´ ultiplo o m.c.m de varios n´ umeros es el n´ umero m´as peque˜ no que es divisible por todos ellos. Observaci´ on 7. Para calcular el m.c.m., se descomponen los n´ umeros en sus factores primos y se toman todos los factores (comunes y no comunes) con mayor exponente. Ejemplo 3.9. Por la observaci´ on anterior (7) y la descomposici´on en factores primos obtenida en el ejercicio (3.1), el m.c.m de 36 y 60 es mcm(36,60) = 22 × 32 × 5 = 180.

11

4.

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Ejercicios

[Problemas (1)-(7)] Realiza las operaciones mental o manualmente (sin calculadora):

10. La ley de la suma que afirma que “a = b y c > d implica a + c > b + d” es:

1. 3.01 + 2.11 − 3.25 + 5.83 es igual a: a) 6.7

c) 7.7

b) 7..2

d ) 7.9

c) 0.368

b) 3680

d ) 0.0368

d ) mon´ otona

a) 728

a) 30

c) 0.3

b) 3

d ) 0.03

b) 4.8

d ) 12

b) 0.9

d ) 0.999

6. 3 + 2 ∗ 2 + 6/3 ∗ 10 es igual a: c) 47

b) 32

d ) 53

a) 12

c) 128

b) 64

d ) 256

b) 2401

d ) 1331

a) 547

ive

[Problemas (8)-(10)] Selecciona la respuesta correcta. 8. En una suma, los t´erminos que se suman se denominan:

b) 479

a) 26

b) 49

c) 523

d ) 567

b) 15 y 48 c) 32 y 67 d ) 10 y 100

17. Al descomponer en factores primos el n´ umero 504 se obtiene: a) 23 × 32 × 5 b) 23 × 32 × 7 c) 22 × 33 × 5

d ) Dividendos

18. El m.c.d. de 28 y 42 es:

a) Factor

c) Dividendo

b) Divisor

d ) Cociente

d ) 137

a) 9 y 33

d ) 23 × 32 × 11

9. En una divisi´ on, el n´ umero que se divide se denomina:

c) 476

16. De las siguientes n´ umeros, los u ´ nicos que son primos relativos son:

c) Sumandos

Un

d ) 660

15. De los siguientes n´ umeros el u ´ nico que es primo es:

rsid

a) 27

c) 528

c) 344

ad

c) 0.99

d ) 520

14. De los siguientes n´ umeros es divisible por 9:

5. 0.33 + 0.33 + 0.33 es igual a: a) 0.09

b) 169

a) 169

de

c) 9

c) 582

13. De los siguientes n´ umeros es divisible por 7:

4. (1.2 + 3.6) × 2.5 es igual a: a) 3

b) 169

12. De los siguientes n´ umeros es divisible por 5:

3. 0.75 ÷ 2.5 es igual a:

b) Divisores

b) asociativa

a) 520

a) 368000

a) Factores

c) uniforme

11. De los siguientes n´ umeros es divisible por 3:

2. 368 × 0.00001 es igual a:

7. 2 ∧ 2 ∧ 3 es igual a:

a) conmutativa

a) 2

b) 14

c) 76

d ) 84

c) 78

d ) 156

19. El m.c.m. de 52 y 78 es: a) 8

b) 56

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pensiones $475 000. Determina el costo de la venta.

[Problemas (20)-(25)] Resuelve los siguientes problemas. 20. Determina el per´ımetro de la figura:

23. En un supermercado, por cada 200 pesos en compras, se realiza un descuento de 30 centavos. Si alguien realiza una compra de 32 500 pesos, ¿cu´ anto es el valor a pagar?

22. Con el fin de pagar una deuda, una persona pide prestado a un banco $10 000 000, vende su moto por $4 525 000 y retira del fondo de

Referencias [1] M. S´ anchez, Aritm´etica, editorial Playor, 1983.

25. Un jarra contiene 10 mL de limonada. La concentraci´ on de lim´on puro en la jarra es de 30 %, esto significa que por cada 100 mL de limonada, 30 mL son de lim´on puro. Determina la cantidad de lim´on puro que es necesario agregar para aumentar la concentraci´ on de lim´on puro al 50 %.

de

21. Cuatro bultos de papa, cuyos pesos en kg son 23.1, 58.3, 58.6 y 78.3, van a ser transportados de Medell´ın a Monter´ıa. Transportar cada kg tiene un costo de $54.2. Determina el costo toal del transporte.

24. Un comerciante compra 12 cerdos por 4 millones de pesos. Los alimenta por dos semanas, gastando 120 000 pesos diarios y los vende a 350 000 cada uno. Determina la ganancia obtenida.

[2] I. Stewart, Historia de las matem´ aticas. Cr´ıtica, 2008.

Un

ive

rsid

ad

´ [3] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Algebra y Trigonometr´ıa con Geometr´ıa Anal´ıtica, und´ecima edici´ on, editorial Thomson, 2006.