Universidad De La Salle Bajío

Escuela de Ingenierías

Opción de titulación Tesis

“Evaluación óptica de los campos dinámicos de desplazamiento del latón sometido a tensión continua”

Presenta Juan Carlos Madrid Garay

Ingeniería Mecánica Eléctrica

No. De acuerdo de validez oficial 2002194

Agosto 2009 León, Gto. México

RESUMEN Se presenta resultados de un ensayo de tracción de un espécimen (probeta metálica) que es sometido a una fuerza de tracción uni-axial la cual se incrementa continuamente, mientras se realiza observación simultánea de la elongación de la probeta. La evaluación de los campos de desplazamiento se realiza mediante una técnica óptica conocida como interferometría de moteado (en inglés Electronic Speckle Pattern Interferometry de donde se obtiene su acrónimo ESPI) en combinación con la técnica de desplazamiento de fase (Phase Stepping). Los resultados obtenidos corresponderán a un seguimiento en el tiempo dado que la fuerza será aplicada de manera continua en la muestra. El arreglo óptico utilizado corresponde a un sistema de iluminación dual con sensibilidad en la dirección “y”. Se toma mediante una cámara CCD, una serie de imágenes sucesivas durante la deformación

y

posteriormente

se

correlaciona

por

pares

de

imágenes

consecutivas mediante una diferencia de intensidades, para la obtención de los campos de desplazamiento. También se presenta resultados para los campos de deformación, esfuerzo y módulo de Young. El material bajo estudio corresponde al latón.

I

DEDICATORIA Esta tesis se la dedico principalmente a Dios, ya que sin él nada podemos hacer. Dios es quien nos concede el privilegio de la vida y nos ofrece lo necesario para lograr nuestras metas. También le dedico esta tesis a mis padres, porque ellos siempre están aquí en las buenas y en las malas: me educan, me aconsejan, me imparten valores para conducirme correctamente y me ofrecen el sabio consejo en el momento oportuno. A mis hermanos por siempre darme su apoyo y su confianza en los momentos malos y buenos de mi vida.

II

AGRADECIMIENTOS Quiero expresar mi agradecimiento: A la Universidad de la Salle Bajío por darme la oportunidad de realizarme profesionalmente. A mis padres por darme la vida, una maravillosa formación, por su ternura y todo su amor, y por contagiarme de sus mayores fortalezas. Mamá, tú me pusiste como ejemplo el ser “luchona” y decidida, y el pelear contra la adversidad que es una condición dolorosa pero pasajera, me enseñaste a levantarme después de cada tropiezo y a tener siempre un colchón para los tiempos difíciles. Papá, me enseñaste a ser perseverante y paciente, a ponerme pasos fijos para alcanzar mis metas y a guiarme por la premisa de que “toda disciplina tiene su recompensa”. A mis hermanos por darme su apoyo y confianza en las buenas y en las malas, al igual el apoyo y la hermandad que siempre hemos tenido gracias a mis padres. A mi Directora de Tesis, Dra. Amalia Martínez García por su generosidad al brindarme la oportunidad de recurrir a su capacidad y experiencia científica en un marco de confianza, afecto y amistad, fundamentales para la concreción de este trabajo. Al Ing. Juan Antonio Rayas por sus valiosas sugerencias y acertados aportes durante el desarrollo de este trabajo. A mis profesores que me dieron instrumentos para lograr un mundo nuevo. Al Centro de Investigaciones en Óptica (CIO) por haberme dado la oportunidad de ocupar sus instalaciones y equipos para realizar mi tesis. A CONACYT por apoyos recibidos a través de la Convocatoria 2008 para investigadores nacionales vías el fortalecimiento de actividades de tutoría y del

III

Proyecto

48286-F Interferometría de moteado para contorneo y análisis de

deformaciones en 3D.

IV

ÍNDICE PROPUESTO Introducción general…………………………………...……………………….………...1 Justificación………………………………………………………………………………..3 Capítulo 1 Conceptos de mecánica experimental……………………...………….….6 1.1 Importancia de los métodos experimentales………………….…………………..6 1.2 Resistencia de los materiales…………………………..…………………………..6 1.3 Fundamentos de mecánica experimental…………………………………………7 1.4 Esfuerzo y deformación……………………………………………………………..8 1.5 Materiales elásticos y ley de Hooke…………………………………………...… 10 1.6 Módulo de elasticidad o módulo de Young…………………………………...….11 1.7 Tensión……………………………………………………………………………….13 1.8 Compresión………………………………….………………………………….......13 1.9 Flexión………………………………………………………………………………..13 1.10 Galgas extensiométricas……………………………………………………........15 Capítulo 2 Revisión de algunos conceptos básicos en óptica……….……….…….17 2.1 ¿Qué es la óptica? ¿Qué es la luz?…………………………..…………….…….17 2.2 Definición de una onda……………………………………………………………..19 2.3 Tipos de ondas: ondas transversales y ondas longitudinales………………….20 2.4 Movimiento ondulatorio……………………………………………………………..21 2.5 Ondas unidimensionales…………………………………………………………...22 2.6 Ondas armónicas……………………………………………………………….......27 2.7 Fase y velocidad de fase…………………………………………………………...33 2.8 Descripción de algunos tipos de onda……………...……………..……………...34 2.8.1 Ondas planas……………………………………………………………………...34 2.8.2 Ondas esféricas………………………………………………………………......39 2.9 Conceptos básicos de elementos ópticos………..………………………….......43 2.10 Fenómeno de interferencia…………………………………………………….....48 2.11 Interferómetro de Young……………………………………………………….....49

V

2.12 Doble rendija de Young.………………………………...………………………..49 2.13 Interferómetro de Michelson……………………………………………………...51 Capítulo 3 Interferometría de moteado…………...……………………………..……54 3.1 Fenómeno de moteado…………………………………………………….……….54 3.2 Interferometría electrónica de patrones de moteado (ESPI)...………...……....58 3.3 Interferómetro sensible a desplazamientos en el plano……………..………….60 3.4 Técnica de desplazamiento de fase...………………………………….…...……63 3.5 Método de phase stepping o corrimiento de fase de tres pasos……...............63 Capítulo 4 Generación de datos experimentales………………………...…………..66 4.1 Obtención de la curva carga-desplazamiento mediante el uso de la máquina universal de ensayos mecánicos……………………………….……………………...66 4.2 Obtención de los campos de desplazamiento por métodos óptico……………69 4.3 Evaluación de los campos de esfuerzos, deformaciones y módulo de Young por medios ópticos…………………………………………………………………...….77 Capítulo 5 Conclusiones………………………………………………………………..83 Apéndice A: Desenvolvimiento de fase……………………………………………….85 BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………………..89

VI

LISTA DE FIGURAS Fig. 1 Patrones de moteado a) Antes de la deformación, b) Después de la deformación y c) Patrón de franjas correspondiente a la correlación de los patrones de moteado mostrados en a) y b)…………………………………………….3 Fig. 2 Cubo de esfuerzos…………………………………………………………………9 Fig. 3 Diagrama esfuerzo deformación de material dúctil a pruebas de tensión…12 Fig. 4 Probeta sometida a tensión……………...……………………………………...13 Fig. 5 Probeta sometida a compresión………………………………………..………13 Fig. 6 Probeta sometida a flexión……………………………………………..……….15 Fig. 7 Tipos de galgas: a) Para un eje, b) Para dos ejes, c) Para tres ejes……….15 Fig. 8 a) Espectro electromagnético; b) Parte del espectro electromagnético correspondiente a la parte del visible………………………………………………….18 Fig. 9 Ondas longitudinales....................................................................................20 Fig. 10 Ondas transversales...................................................................................20 Fig. 11 Una onda en una cuerda………………………………..……………………..21 Fig. 12 Sistema de referencia móvil………………………………………………..….23 Fig.13 Variación de ψ con x y t………………………………………………………..26 Fig.14 Una onda progresiva en tres tiempos diferentes…………………………….29 Fig.15 Una onda armónica.....................................................................................31 Fig. 16 Ondas periódicas anarmónicas..................................................................32 Fig. 17 Ondas planas son aquellas que tienen frentes de onda planos y sus rayos son paralelos…………………………………………………………………………..…35 Fig. 18 a) Los vectores unitarios de la base cartesiana, b) Una onda plana r

k

moviéndose en la dirección de

……………………………………………………...37

Fig. 19 Frentes de onda para una onda plana armónica.......................................39 Fig. 20 Ondas bidimensionales..............................................................................40 Fig. 21 Ondas esféricas..........................................................................................40 Fig. 22 Geometría de coordenadas esféricas.........................................................41 Fig. 23 Exposición cuádruple de un pulso esférico………………………………....42 Fig. 24 Láser...........................................................................................................43

VII

Fig. 25 Divisor de haz…………………………………………………………………...44 Fig. 26 Tipos de lentes………………………………………………………………....45 Fig. 27 Diferentes tamaños de espejos………………..….…………………………..45 Fig. 28 Ley de Snell…….………………………......................................................46 Fig. 29 Ejemplos de filtros……………………………………………………………...47 Fig. 30 Filtro espacial…………………………………………………………………....48 Fig. 31 (a) Interferómetro de Young, que funciona por división de frente de onda……………………………………………………………………………………….50 Fig. 32 Interferómetro de Michelson, que funciona por división de amplitud..…...51 Fig. 33 Franjas obtenido de un interferómetro de Michelson…..…………………...53 Fig. 34 Patrón de moteado…………..…………………………………………………55 Fig. 35 Formación del moteado……………..…………………………………………55 Fig. 36 Formación de un patrón de moteado objetivo……………………………….56 Fig. 37 Formación de un patrón de moteado subjetivo….…..……………………..56 Fig. 38 Transición de reflexión especular a dispersión difusa. Las superficies son: (a)

lisa,

(b)

ligeramente

rugosa,

(c)

moderadamente

rugosa

y

(d)

rugosa……………………………………………………………………………...…......57 Fig. 39 Interferómetro sensible a desplazamientos en el plano…..………………..59 Fig. 40 Franjas de correlación obtenida como resultado de la sustracción de los patrones

de

speckle

correspondientes

a

dos

estados

diferentes

del

objeto…………………………………………………………………………………......62 Fig. 41 Patrón de franjas con un corrimiento de fases de tres pasos: a) 0 , b) 2π

3

y c) 4π ……….………………………………………………………………………...64 3 Fig. 42 Dimensiones de la probeta en milímetros……..……………………………..67 Fig. 43 Resultados de los ensayos a tensión para la fila y=0………………..…….68 Fig. 44 Diagrama esfuerzo - deformación para el latón considerando la fila y=0...68 Fig. 45 Sistema de interferometría de moteado de doble iluminación. Sus componentes corresponden a: 1) Láser, 2) Cámara CCD y lente zoom, 3) Divisor de haz, 4) Espejos, 5) Objetivo de microscopio, 6) Probeta latón, 7) Máquina universal, 8) Mordazas…………………………………………………………….……70

VIII

Fig. 46 a), b), c) Imágenes correspondientes a un corrimiento de fase para tres pasos, d) Fase envuelta, e) Fase desenvuelta, f) Campo de desplazamiento y , x v

(

) ……………………………………………………………………………………...71

y , x E

Campo de módulo de Young (

) , b) Campo de esfuerzos σ(

y , x

y , x

Fig. 47 a) Campo de deformación ε(

) , c)

) …………………………..…………………….79

Fig. 48 Gráfica de esfuerzo deformación……………………………...……………...82 Fig. 49 Ejemplo de una distribución de fase mostrando las discontinuidades debido al cálculo del valor principal, ésta se conoce como fase envuelta; (B) Valores de fase que tienen que ser sumados en los puntos de discontinuidad y (C) Fase desenvuelta…………………...……………………………………………………...…..86

LISTA DE TABLAS Tabla 1. Fase y rango de valores de acuerdo a los signos en el numerador ( senφ ) y denominador ( cos φ ) en la expresión para la tan φ , para el rango final de las fases es entre − π a + π ……………………………………..…………………….…..87 Tabla 2. Fase y rango de valores de acuerdo a los signos en el numerador ( senφ ) y denominador ( cos φ ) en la expresión para la tan φ , para el rango final de las fases es entre 0 0 a + 2π …………………………………………..…………….……..88

IX

INTRODUCCIÓN GENERAL Los métodos experimentales tienen un papel importante en la ciencia, ingeniería y pruebas de biomecánica ya que éstos pueden ser usados para validar o corregir los modelos analíticos, empíricos y numéricos. En los diversos campos de la ingeniería es necesario realizar mediciones de parámetros que conduzcan al conocimiento de las características del desempeño de los objetos. Por ejemplo, en ocasiones es necesario cuantificar dimensiones, fuerzas, presiones, etc. que permitan conocer si la estructura o elementos de un puente, de un vehículo o de un equipo, pueden resistir bajo condiciones específicas de trabajo. Sin embargo, no siempre es posible medir directamente la variable física de interés, por lo que es necesario recurrir a mediciones indirectas que permitan inferir sobre la magnitud de la variable requerida. Para ello, se recurre a los principios físicos y al comportamiento de los materiales de acuerdo a sus propiedades, ya sean mecánicas, eléctricas, térmicas, químicas u ópticas. Entre las diferentes técnicas experimentales utilizadas para la medición de esfuerzos y deformaciones, podemos mencionar algunas técnicas ópticas como son la fotoelasticidad1, shearografía2, interferometría holográfica3, interferometría de moteado4-10, etc. Por parte de la mecánica experimental podemos mencionar la extensometría eléctrica11. Las técnicas mencionadas forman parte del grupo de pruebas no destructivas, es decir, de aquéllas que no requieren que el elemento sujeto a prueba deba ser afectado estructuralmente. En esta tesis se aplicará la técnica conocida como interferometría de moteado para obtener los campos de desplazamiento en una probeta la cual es sujeta a una carga mecánica. El objeto bajo estudio corresponde a una probeta de latón de forma rectangular cuyas dimensiones son: 30 mm por 210 mm y un espesor

1

de 3 mm. Ésta fue colocada en la máquina universal a prueba de tensión. La carga mecánica fue aplicada de manera continua y controlada desde una PC. El registro de los datos de salida del ensayo, tanto de las cargas aplicadas como de las deformaciones obtenidas, se fue almacenando en una base de datos para posteriormente obtener las gráficas tanto de desplazamiento, esfuerzodeformación y el módulo de Young. También

describiremos

brevemente

la

técnica

correspondiente

a

extensiometría eléctrica. La extensometría eléctrica es utilizada para determinar la deformación que experimenta un elemento, mecánico o estructural, cuando es sometido a una carga. A partir de la deformación, se puede estimar el estado de esfuerzos e, indirectamente, la magnitud de la carga que actúa en el punto de medición si se conocen las características geométricas. Las ventajas que ofrecen las técnicas ópticas incluyen alta sensibilidad y mediciones de campo completo, además de ser una técnica donde no hay contacto con la superficie de prueba.

2

JUSTIFICACIÓN Las razones del estudio del latón son las siguientes: Es un material fácilmente moldeable con una temperatura de fusión inferior comparada con otros materiales como el hierro, aceros, bronce y el cobre puro. Tiene una facilidad para ser fundido y colado con moldes de arena, metálicos o coquillas, por gravedad o con máquinas inyectores a presión. También se puede obtener piezas de geometrías complejas generalmente en bisutería. Excelente comportamiento y plasticidad en la estampación. En caliente admite bien la deformación en frío, cuando la aleación es rica en cobre (60%) tiene buena maleabilidad y ductilidad. Buen conductor de la electricidad, buenas propiedades de soldadura. Tiene una excelente maquinabilidad, es un material fácilmente reciclable y cuyos residuos se pueden seleccionar con facilidad y volver a fundir cuantas veces sea necesario es decir que es un material 100% reciclable, no se altera con las temperaturas comprendidas entre 100 0c y 200 0c ni se degrada con la luz, tiene buena resistencia al desgaste. El latón es muy utilizado, es resistente y se puede utilizar en muchas partes tanto en el área automotriz, cerrajerías entre otros. Una técnica útil en la caracterización de las propiedades mecánicas de los materiales es la técnica de interferometría de moteado. En ésta, al correlacionar dos imágenes de moteado (antes y después de la deformación que sufre el objeto bajo prueba) aparece un patrón de franjas correspondientes a la deformación (Fig.1).

a)

b)

c)

Fig. 1 Patrones de moteado a) Antes de la deformación, b) Después de la deformación y c) Patrón de franjas correspondiente a la correlación de los patrones de moteado mostrados en a) y b).

3

El desarrollo de la interferometría de moteado es útil en el análisis de vibración para usos industriales y medición de los campos de deformación4-10 lo cual conlleva a análisis de esfuerzos. Los elementos mecánicos sometidos a tensión sufren deformaciones no lineales, estas deformaciones pueden causar concentraciones de esfuerzo que localmente pueden sobrepasar los límites admisibles

y

provocar

micro-fracturas.

Los

métodos

interferométricos

proporcionan una herramienta de gran sensibilidad y precisión mediante la interferencia constructiva y destructiva de las ondas tanto para la obtención de los campos de deformación4-10 como para la obtención de la topografía de objetos12. En esta tesis de licenciatura presenta un estudio del comportamiento mecánico del latón. La investigación servirá para apoyar parcialmente al desarrollo del proyecto de CONACYT: Interferometría de moteado para contorneo y análisis de deformaciones 3D, con vigencia febrero de 2007 a febrero de 2010, CONACYT, Ref: 48286-F.

4

OBJETIVO GENERAL:

•

Obtener mediante una técnica óptica los campos de desplazamiento de un material metálico el cual es sujeto a una carga mecánica que varía con el tiempo. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

•

Revisión de conceptos básicos de mecánica experimental.

•

Revisión de algunos conceptos básicos en óptica.

•

Revisión de los interferómetros de Young y Michelson.

•

Obtención de los campos de desplazamiento mediante interferometría de moteado y la técnica de desplazamiento de fase de tres pasos.

•

Obtención de la curva de esfuerzo-deformación mediante la máquina de esfuerzos.

5

CAPÍTULO 1 CONCEPTOS DE MECÁNICA EXPERIMENTAL 1.1 IMPORTANCIA DE LOS MÉTODOS EXPERIMENTALES Los materiales se seleccionan para diversas aplicaciones y componentes adecuando las propiedades del material a las condiciones funcionales requeridas por la componente. El primer paso en el proceso de selección requiere que se analice la aplicación para determinar las características más importantes que debe poseer el material. ¿Debe ser el material resistente, rígido o dúctil? ¿Estará sometido a la aplicación de una gran fuerza, o a una fuerza súbita intensa, a un gran esfuerzo, a elevada temperatura o a condiciones de abrasión? Una vez determinadas las propiedades requeridas se selecciona el material apropiado usando datos que se encuentran en los manuales. Sin embargo, se debe saber cómo se obtienen las propiedades listadas en los manuales, saber qué significan y darse cuenta que resultan de pruebas ideales que pueden no aplicarse a casos reales de la ingeniería. En este capítulo se definirán algunos conceptos básicos de la mecánica experimental útiles para la obtención de los campos de esfuerzos mecánicos. 1.2 RESISTENCIA DE LOS MATERIALES Resistencia de materiales es una ciencia sobre los métodos de ingeniería de cálculo a la resistencia, la rigidez y la estabilidad de los elementos de máquinas y construcciones13. La resistencia es la capacidad de una estructura, de sus partes y elementos de contrarrestar una carga determinada sin descomponerse. La propiedad del elemento de la construcción de oponerse a las deformaciones se denomina rígidez.

6

El problema de resistencia de los materiales está relacionado con el estudio de la estabilidad de las formas de equilibrio de los cuerpos reales (deformables). Se entiende por estabilidad, la capacidad de un elemento de oponerse a grandes perturbaciones del equilibrio inalterado, como resultado de acciones de perturbación pequeñas. Una acción de perturbación puede ser considerada, como resultado, una variación pequeña de la carga exterior. El equilibrio de un elemento es estable, si a una variación pequeña de la carga corresponde una variación pequeña de las deformaciones. El equilibrio es inestable, si un crecimiento limitado de la carga va acompañado de un crecimiento ilimitado de las deformaciones. 1.3 FUNDAMENTOS DE MECÁNICA EXPERIMENTAL Las cargas que actúan sobre las estructuras y sus elementos están constituidas por fuerzas y pares (momentos). Estas cargas pueden ser concentradas o distribuidas. Las fuerzas concentradas se miden en kilogramos o toneladas o en newtons según el sistema internacional. Las cargas distribuidas pueden ser de superficie (presión del viento o del agua sobre una pared) o de volumen

(peso propio de un cuerpo). Las cargas

distribuidas se miden en unidades de fuerza referidas a la unidad de longitud, de área o de volumen. Tanto las cargas concentradas como en las distribuidas pueden ser estáticas o dinámicas. Las cargas cuyas magnitudes o puntos de aplicación varían muy lentamente, de tal manera que se pueda prescindir de las aceleraciones que surgen, se llaman cargas estáticas. Cuando actúan cargas de este tipo, las vibraciones de las estructuras y sus elementos son insignificantes. Las cargas que varían con el tiempo a una velocidad considerable se llaman cargas dinámicas.

7

1.4 ESFUERZO Y DEFORMACIONES El esfuerzo es una consecuencia de las fuerzas internas que se producen en un cuerpo por la aplicación de cargas exteriores. El esfuerzo σ debido a la fuerza resultante P que actúa sobre una sección de área A es definida como14-18.

PA

(1)

σ=

Donde σ es el esfuerzo unitario dado en N/m², P es la carga aplicada cuyas unidades corresponden a Newton N y A es el área sobre la cual actúa la carga dada en m². La intensidad de las fuerzas internas usualmente varía de punto a punto sobre la sección y para definir el esfuerzo sobre un punto consideramos cualquier área

P

A

δ , siendo δ

la fuerza transmitida a través de ella.

La Ec. 1 nos da el esfuerzo normal en un elemento bajo carga axial. Se considerará un cubo con aristas infinitesimales de valor: dx, dy y dz. Este cubo tiene seis caras y en cada una de ellas se considerará que actúan tres esfuerzos internos: uno normal y dos de corte. La notación utilizada es: σx para el esfuerzo normal aplicado en la cara normal al eje x, de igual forma se define σy, σz. Para los esfuerzos cortantes, la notación es τab que denota el esfuerzo de corte que actúa en la cara normal al eje “a” y que apunta en la dirección del eje “b” de esta forma se define τxy, τxz, τyx, τyz, τzx, τzy. Consideremos entonces, un elemento cúbico muy pequeño de un objeto con lados paralelos al sistema coordenado cartesiano, Fig. 2.

8

Fig. 2 Cubo de esfuerzos.

Componentes normales del esfuerzo I.

Tienen un sufijo único y actúan en la dirección normal de la superficie.

II.

Son positivos cuando actúan en tensión y negativos a compresión.

Esfuerzo cortantes I.

Tienen dos sufijos, el primero muestra la dirección de la normal a la

superficie sobre la cual está actuando. El segundo muestra la dirección de la componente del esfuerzo. II.

Son tomados como positivos de acuerdo a los ejes.

El cambio de longitud que sufre un objeto bajo esfuerzo, se conoce como deformación. La deformación unitaria se define como el cambio en la longitud por unidad de longitud:

L dd

ε=

δ

(2)

9

d

Donde ε es la deformación unitaria (m/m),

δ es la deformación total (m) y dL es

la longitud original (m). Si se cumplen las siguientes condiciones:

•

El elemento sometido a tensión debe tener una sección transversal recta

constante; •

El material debe de ser homogéneo; y

•

La fuerza o carga debe ser axial, es decir, producir un esfuerzo uniforme.

De esta manera la deformación unitaria se puede expresar como

δ

(3)

L

ε=

1.5 MATERIALES ELÁSTICOS Y LEY DE HOOKE Un material es elástico cuando recupera sus dimensiones originales al eliminarle una carga. Una forma particular de elasticidad que se aplica a muchos materiales de ingeniería, al menos en parte de su rango, produce deformaciones. En vista de que las cargas son proporcionales a los esfuerzos que producen y las deformaciones son proporcionales a la deformación unitaria, esto implica que, mientras los materiales sean elásticos, el esfuerzo será proporcional a la deformación unitaria. Si el material es elástico, la deformación producida por cualquier carga se eliminara por completo cuando ésta cese; así pues, no existe deformación permanente.

10

1.6 MÓDULO DE ELASTICIDAD O MÓDULO DE YOUNG Dentro de los límites elásticos de los materiales, es decir, dentro de los límites que se aplica la ley de Hooke, se ha demostrado que el esfuerzo se relaciona con la deformación a través de una constante. Esta constante se representa mediante la letra E y se llama módulo de elasticidad o módulo de Young, y está definida por la siguiente ecuación15:

E

=

σ ε

(4)

Donde σ representa el esfuerzo y ε la deformación unitaria. Normalmente el valor real de módulo de Young para cualquier material se determina al realizar una prueba estándar de tensión en una muestra del material. En la primera parte de esta prueba se observa la ley de Hooke (Fig. 3), ya que el material se comporta elásticamente y el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria obteniendo la gráfica de línea recta, se llega a alcanzar un punto A en el que la naturaleza lineal de la gráfica se pierde. Ese punto se le conoce como límite de proporcionalidad. Durante un corto intervalo después de este punto el material aún se comporta elásticamente ya que las deformaciones se recuperan completamente cuando se suprime la carga, pero no se cumple la ley de Hooke. El punto límite B para esta condición se denomina límite elástico. Para la mayoría de los objetos prácticos, pueden suponerse que los puntos A y B coinciden.

11

Después del límite elástico se presenta la deformación plástica y las deformaciones ya no se recuperan totalmente. De este modo, habrá ciertas deformaciones permanentes cuando se suprima la carga. Después del punto C, denominado límite superior de fluencia y D, denominado límite inferior de fluencia se presentan incrementos relativamente rápidos en la deformación sin los incrementos elevados correspondientes de la carga o del esfuerzo. De este modo, la gráfica resulta mucho más extendida y abarca una porción mucho mayor del eje de deformación que el de rango elástico del material. La capacidad de un material para permitir estas deformaciones plásticas constituye una medida de lo que se le llama ductilidad del material. Entre los puntos D y E el material está en un estado elástico plástico donde partes de su sección permanecen elásticas, por último en el punto E ocurrirá la fractura.

Fig. 3 Diagrama esfuerzo deformación de material dúctil a pruebas de tensión.

12

1.7 TENSIÓN La tensión es una magnitud vectorial, por lo tanto queda definida mediante tres parámetros: intensidad, dirección y sentido (Fig. 4). Por otro lado, la dimensión que tiene es la de una fuerza por unidad de área. El vector tensión total puede descomponerse según dos direcciones, una normal al plano de la sección y otra contenida en el mismo, obteniéndose así dos componentes de tensión denominadas tensión normal (σ) y tensión tangencial (τ).

Carga

Carga

Fig. 4 Probeta sometida a tensión.

1.8 COMPRESIÓN Fuerzas aplicadas en direcciones encontradas, fuerza que tiende a prensar, esto tiene a causar una reducción de volumen, Fig.5.

Carga

Carga

Fig. 5 Probeta sometida a compresión.

1.9 FLEXIÓN Consiste en la desviación del eje de una barra recta o en el cambio de la curvatura de una barra curva. El desplazamiento de algún punto del eje de la barra que sucede durante la flexión se expresa por un vector, cuyo origen coincide con la posición inicial del punto, y el final, con la posición del mismo punto en la barra deformada Fig. 6.

13

En ingeniería estructural el fenómeno aparece principalmente en pilares y columnas, y se traduce en la aparición de una flexión adicional en el pilar cuando se halla sometido a la acción de esfuerzos axiales de cierta importancia. La aparición de flexión de pandeo limita severamente la resistencia en compresión de un pilar o cualquier tipo de pieza esbelta. Eventualmente, a partir de cierto valor de la carga axial de compresión, denominada carga crítica de pandeo, puede producirse una situación de inestabilidad elástica y entonces fácilmente la deformación aumentará produciendo tensiones adicionales que superarán la tensión de rotura, provocando la ruina del elemento estructural. Además del pandeo flexional ordinario existe el pandeo torsional o inestabilidad elástica provocada por un momento torsor excesivo. Existen diferentes maneras o modos de fallo por pandeo. Para un elemento estructural frecuentemente hay que verificar varios de ellos y garantizar que las cargas están lejos de las cargas críticas asociadas a cada modo o manera de pandear. Los modos típicos son15: •

Pandeo flexional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión

se flecta lateralmente sin giro ni cambios en su sección transversal. •

Pandeo torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión

gira alrededor de su centro de corte. •

Pandeo flexo-torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en

compresión se flecta y gira simultáneamente sin cambios en su sección transversal. •

Pandeo lateral-torsional. Modo de pandeo de un elemento a flexión que

involucra deflexión normal al plano de flexión y, de manera simultánea, giro alrededor del centro de corte.

14

Carga

Fig. 6 Probeta sometida a flexión.

1.10 GALGAS EXTENSIOMÉTRICAS Uno de los problemas encontrados en la medición de deformaciones mecánicas es determinar las distancia en dos puntos separados una corta distancia l0. Uno de los métodos más aceptados para la medición de deformaciones, es usando las galgas extensiométricas11. Las galgas extensiométricas son resistencias eléctricas hechas a base de películas conductoras pegadas al material por analizar con un adhesivo especial, las resistencias eléctricas cambian, dando información local efectiva del área donde se pego la galga y no la superficie total del objeto. Fig. 7 mostramos algunas representaciones de las galgas extensiométricas y otras que se encuentran en el mercado.

a)

b)

Fig. 7 Tipos de galgas: a) Para un eje, b) Para dos ejes, c) Para tres ejes.

15

c)

Una selección adecuada para un uso específico confía principalmente en el parámetro de longitud, resistencia y configuración. Las longitudes de galgas estándar en hojas de metal son (20 mm) por (102 mm), y resistencias de 120 a 350 ohm

son comercialmente disponibles; sin embargo, para el uso de un

transductor, es posible encontrar algunas resistencias de (500, 1000 y 3000 Ω ) según el tamaño deseado. Para poder observar ambos campos de tensión se utiliza la roseta, esta permite conocer la magnitud principal de tensión. Áun cuando el empleo de este método haya sido un instrumento importante en pruebas de deformaciones mecánicas, es importante también considerar algunas de las principales limitaciones. La limitación para medidas de deformación exactas es significativa para tomar en la cuenta los aspectos siguientes:

•

Es importante tener cuidado al preparar la superficie donde la galga será

montada. •

Para la complejidad de la estructura no es una tarea trivial la posición de

las galgas. •

Esta técnica no es apropiada en el caso de estructuras de ligero peso.

•

La operación ideal de esta técnica es bajo ambientes controlados.

Existen otros métodos para poder obtener el esfuerzo de los materiales como son: Fotoelasticidad1, Shearografía2, Interferometría holográfica3, Interferometría electrónica de moteado4 (ESPI), etc.

16

CAPÍTULO 2 REVISIÓN DE ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS EN ÓPTICA 2.1 ¿QUÉ ES LA ÓPTICA? ¿QUÉ ES LA LUZ? Empecemos por definir la óptica. La óptica es la rama de la física que estudia el comportamiento de la luz, sus características y sus manifestaciones. Abarca el estudio de la reflexión, la refracción, la interferencia, la difracción y la formación de imágenes y la interacción de la luz con la materia19. La óptica estudia y manipula un tipo de energía llamada radiación electromagnética. Los científicos e ingenieros ópticos trabajan en la parte del espectro que va de los rays-x al infrarrojo lejano (radiación 1 nm = 10-9 m a 1 mm = 10-3 m]. ¿Qué es la luz? Sabemos que durante el día la fuente primaria de luz es el sol. Otras fuentes comunes son las flamas, luz de bulbos, etc. La luz se origina del movimiento acelerado de los electrones. Es un fenómeno electromagnético y solamente una parte pequeña de un rango amplio de ondas electromagnéticas llamado espectro electromagnético, Fig.8. La luz, que llega a nuestros ojos y nos permite ver, es un pequeño conjunto de radiaciones electromagnéticas de longitudes de onda comprendidas entre los 380 nm y los 770 nm.

17

a)

b)

Fig. 8 a) Espectro electromagnético; b) Parte del espectro electromagnético correspondiente a la parte del visible.

18

2.2 DEFINICIÓN DE UNA ONDA Para definir una onda, podemos recurrir a ejemplos cotidianos. Una onda es la forma que adquiere una cuerda al sacudir su extremo, el sonido producido en la laringe de los hombres y de los animales que permite la comunicación entre los individuos de la misma especie, las ondas producidas cuando se lanza una piedra a un estanque, la forma de propagarse la corriente eléctrica, las ondas electromagnéticas

producidas

por

emisoras

de

radio,

televisión,

una

perturbación que se propaga desde el punto en que se produjo hacia el medio que rodea ese punto, etc. Para producir una onda necesitamos energía, lo que se propaga es únicamente energía y cantidad de movimiento. Denominamos onda o movimiento ondulatorio al fenómeno de transmisión de una perturbación de un punto a otro del espacio sin que exista un transporte de materia entre ambos puntos. Gran parte de las ondas se describen mediante ecuaciones armónicas (funciones seno o coseno) y las magnitudes de amplitud, frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación. El movimiento de cualquier objeto material en un medio (aire, agua, etc.) puede ser considerado como una fuente de ondas. Al moverse perturba el medio que lo rodea y esta perturbación, al propagarse, puede originar un pulso o un tren de ondas. Un impulso único, una vibración única en el extremo de una cuerda, al propagarse por ella origina un tipo de onda llamada pulso. Las partículas oscilan una sola vez al paso del pulso, transmiten la energía y se quedan como estaban inicialmente. El pulso sólo está un tiempo en cada lugar del espacio. El sonido de un disparo es un pulso de onda sonora. Si las vibraciones que aplicamos al extremo de la cuerda se suceden de forma continua se forma un tren de ondas que se desplazará a lo largo de la cuerda.

19

2.3

TIPOS

DE

ONDAS:

ONDAS

TRANSVERSALES

Y

ONDAS

LONGITUDINALES En función del tipo de soporte que requieren para su propagación las ondas se clasifican en mecánicas y electromagnéticas. Las mecánicas requieren un medio elástico para propagarse y las electromagnéticas no, se pueden propagar en el vacío. Si las clasificamos en función de como vibran respecto a la dirección de propagación tenemos las ondas longitudinales19 (Fig. 9) y las transversales19. (Fig.10).

Fig. 9 Ondas longitudinales.

Fig. 10 Ondas transversales.

Si las partículas del medio en el que se propaga la perturbación vibran perpendicularmente a la dirección de propagación las ondas se llaman transversales. Si vibran en la misma dirección se llaman longitudinales. Las ondas transversales tienen crestas y valles y las longitudinales tienen compresiones y dilataciones. En los dos tipos de ondas una partícula siempre se separa armónicamente de la posición de equilibrio. Las ondas longitudinales (como las del sonido) se propagan en medios con resistencia a la compresión (gases, líquidos y sólidos) y las transversales necesitan medios con resistencia a la flexión, como la superficie de un líquido, y

20

en general medios rígidos. Los gases y los líquidos no transmiten las ondas transversales. 2.4 MOVIMIENTO ONDULATORIO Hay muchos procesos físicos, aparentemente no relacionados entre sí, que se pueden describir en función de las matemáticas del movimiento ondulatorio. Al respecto hay similitudes fundamentales entre un pulso que viaja a lo largo de una cuerda tensa Fig. 11, una pequeña onda de superficie en una taza de té y la luz que nos llega del algún punto remoto del universo. Se desarrollará algunas de las técnicas matemáticas necesarias para tratar problemas ondulatorios en general. Comenzaremos con algunas ideas muy simples concernientes a la propagación de perturbaciones y de ellas llegaremos a la ecuación diferencial de onda en una dimensión. A lo largo de todo el estudio de la óptica se utilizan ondas planas, esféricas y cilíndricas. De acuerdo con ello, desarrollaremos sus representaciones matemáticas, demostrando que son soluciones de la ecuación diferencial de onda.

ν

Fig. 11 Una onda en una cuerda.

21

2.5 ONDAS UNIDIMENSIONALES Las ondas electromagnéticas que se propagan en el vacío, es decir que no requieren medio que se perturbe para propagarse, lo hacen a velocidad muy alta de 300,000 Km / seg. Lo cual es la velocidad de la luz que se le denomina c. Imaginemos una perturbación ψ que viaja en la dirección positiva de x con una velocidad constante v. Como la perturbación está en movimiento, debe ser una función tanto de la posición como del tiempo y se puede escribir entonces como

ψ = f ( x, t )

(5)

La forma de la perturbación en cualquier instante, por ejemplo t = 0 , se puede encontrar manteniendo el tiempo constante en ese valor. En este caso

ψ ( x, t ) t =0 = f ( x,0) = f ( x)

(6)

Representa la forma o perfil de la onda en ese momento. El proceso es análogo a tomar una “fotografía” del pulso que va viajando. Por el momento nos limitaremos a una onda que no cambia su forma mientras avanza a través del espacio19. La Fig. 12 es una “exposición doble” de tal perturbación tomada al comienzo y al final del intervalo de tiempo t. El pulso se ha movido a lo largo del eje x una distancia vt , pero en todos los otros aspectos permanece inalterado. Ahora introducimos un sistema coordenado S ′ que viaja con el pulso a la velocidad v . En este sistema, ψ ya no es una función del tiempo y puesto que

22

nos movemos junto con S ′ vemos un perfil constante estacionario con la misma forma funcional de la ec. 6. Aquí, el eje coordenado es x′ en lugar de x , de tal forma que (7)

ψ = f ( x ′) ψ S′

S

x′

x x1′

vt x1 Fig. 12 Sistema de referencia móvil.

La perturbación se ve igual para cualquier valor de t en S ′ como lo era en S para t = 0 cuando S y S ′ tenían un origen común. De la Fig. 12: x′ = x − vt

(8)

De tal forma que ψ se puede escribir en términos de las variables asociadas con el sistema S:

ψ = f ( x, t ) = f ( x − vt )

(9)

Esto representa la forma más general de la función de onda unidimensional. De un modo específico, solamente tenemos que escoger la Ec (6) y entonces

23

sustituir ( x − vt ) por x en f (x) . La expresión resultante describe una onda móvil que tiene el perfil deseado. Si verificamos la forma de la Ec. 9 examinando ψ después de un aumento ∆t de tiempo y un aumento correspondiente en x de v ∆t encontramos.

f [( x + v ∆t ) − v(t + ∆t )] = f ( x − vt )

(10)

y el perfil está inalterado. Similarmente, si la onda estuviera viajando en la dirección negativa de x, es decir, hacia la izquierda, la Ec. 9, quedaría

ψ = f ( x + vt ) , con v 〉 0 .

(11)

Por consiguiente, podemos concluir que, independientemente de la forma de la perturbación, las variables x y t deben aparecer en la función como una unidad; es decir, como una variable simple de la forma ( x m vt ) . La Ec. 9, se expresa a menudo equivalentemente como una función de (t − x v) ya que  x − vt   x f ( x − vt ) = F  −  = Ft −  v    v

(12)

De la información deducida hasta aquí se puede desarrollar la forma general de la ecuación diferencial de una onda unidimensional. Tomemos la derivada parcial de ψ ( x, t ) con respecto a x manteniendo t constante. Usando x′ = x m vt tenemos.

∂ψ ∂f ∂x ′ ∂f = = ∂x ∂x ′ ∂x ∂x ′

24

ya que

∂x ′ =1 ∂x

(13)

Si mantenemos x constante, la derivada parcial con respecto al tiempo es

∂ψ ∂f ∂x ′ ∂f = = mv ∂t ∂x ′ ∂t ∂x ′

(14)

Combinando las ecs. (13) y (14) obtenemos:

∂ψ ∂ψ = mv ∂t ∂x

(15)

Esto dice que la rapidez de cambio de ψ con respecto a t y a x es igual, excepto por una constante multiplicativa como se muestra en la Fig. 13. Conociendo de antemano que necesitaremos dos constantes para especificar una onda podemos anticipar una ecuación de segundo orden. Tomando las segundas derivadas parciales de la ecs. (13) y (14):

∂ 2ψ ∂ 2 f = ∂x 2 ∂x′ 2

(16)

∂ 2ψ ∂  ∂f  ∂  ∂f  = m v  = mv   2 ∂t  ∂x ′  ∂x ′  ∂t  ∂t

(17)

y

Ya que

∂ψ ∂f = ∂t ∂t

Se obtiene usando la ec. (14) que

25

(18)

2 ∂ 2ψ 2 ∂ f = v ∂t 2 ∂x ′ 2

(19)

ψ ( x, t 0 )

t = t 0 tiempo mantenido constante

ψ ( x0 , v t 0 )

x

ψ (x0 , t )

x0 x = x0 posición mantenida constante

ψ ( x0 , v t 0 ) vt vt 0

Fig.13 Variación de ψ con x y t.

Combinando estas ecuaciones se obtiene

∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ = ∂x 2 v 2 ∂t 2

26

(20)

Que es la ecuación diferencial de onda en una dimensión. Es claro de la forma de la Ec. 20 que si dos funciones de ondas diferentes ψ 1 y

ψ 2 son cada una soluciones diferentes entonces (ψ 1 + ψ 2 ) es también una solución. De acuerdo con esto, la ecuación de onda se satisface de manera más general por una función de onda que tiene la forma

ψ = C1 f ( x − vt ) + C 2 g ( x + vt )

(21)

Donde C1 y C 2 son constantes y las funciones son diferenciables dos veces. Esto es claramente la suma de dos ondas que viajan en direcciones opuestas a lo largo del eje x con la misma velocidad pero no necesariamente el mismo perfil. 2.6 ONDAS ARMÓNICAS No se ha dado una dependencia funcional explícita a la función de onda ψ ( x, t ) , es decir, no hemos especificado su forma. Examinemos la forma de onda más simple donde el perfil es una curva seno o coseno, éstas se conocen como ondas senoidales, ondas armónicas simples u ondas armónicas.

Escojamos para el perfil la función simple:

ψ ( x, t )

t =0

= ψ ( x ) = A sen kx = f ( x)

27

(22)

Donde k es una constante positiva conocida como el número de propagación y kx está en radianes. El seno varía de +1 a -1 de manera que el máximo valor de ψ ( x ) es A. Este máximo de la perturbación se conoce como la amplitud de la onda Fig. 14. A fin de transformar la Ec. 22 en una onda progresiva que viaja con velocidad v en la dirección positiva de x, necesitamos simplemente reemplazar x por ( x − vt ) , en cuyo caso:

ψ ( x, t ) = A sen k ( x − vt ) = f ( x − vt )

(23)

Esta es una solución de la ecuación diferencial de onda (20). Manteniendo fijas, bien sea x o t, resulta una perturbación senoidal de tal forma que la onda es periódica tanto en el espacio como en el tiempo. El periodo espacial se conoce como longitud de onda y se denota por λ . Un aumento o disminución en x en la cantidad λ debe dejar ψ inalterada, es decir:

ψ ( x, t ) = ψ ( x ± λ , t )

(24)

En el caso de una onda armónica, esto es equivalente a alterar el argumento de la función seno en ± 2π . Por consiguiente

sen k (x − vt ) = sen k [( x ± λ ) − vt ] = sen [k (x − vt ) ± kλ ]

Y así kλ = 2π

28

2

t v x k n e s 

=

( − ) ± π 

(25)

0 ,

x

ψ(

)

+A

t=0

x

-A

λ 2 ,

x

ψ( τ

)

t=

τ

t=

τ

2

+A

x

-A

,

x

ψ( τ ) +A

Fig.14 Una onda progresiva en tres tiempos diferentes.

29

λ

λ

7 4

2

-A

λ

3 2

4

λ

5 4

λ

3 4

λ

λ

x

o, ya que k y λ son números positivos

k = 2π λ

De manera análoga, se puede examinar el periodo temporal

(26)

τ.

Ésta es la

cantidad de tiempo que le toma a una onda completa pasar un observador estacionario. En este caso, es el comportamiento repetitivo de la onda en el tiempo el que es de interés, de manera que

ψ ( x, t ) = ψ ( x , t ± τ )

(27)

Y

sen k ( x − vt ) = sen k [x − v(t ± τ )]

(28)

= sen [k ( x − vt ) ± 2π ] Por consiguiente

kvτ = 2π

(29)

Pero todas éstas son cantidades positivas y así kvτ = 2π

(30)

2π

(31)

O

λ

vτ = 2π

30

De lo cual se sigue que

τ=

λ

(32)

v

El periodo es el número de unidades de tiempo por onda Fig. 15, el inverso del cual es la frecuencia ν o el número de ondas por unidad de tiempo. Entonces

ν≡

1

τ

(ciclos/s o Herts)

(33)

y la Ec. 32 queda (34)

v = ν λ (m/s)

t ,0 x

ψ(

) x = x0

+A

t

-A

τ Fig.15 Una onda armónica.

Hay otras dos cantidades que se usan a menudo con respecto al movimiento ondulatorio que son la frecuencia angular

ω=

31

2π

τ

(radianes/s)

(35)

Y el número de onda

χ≡

1

(36)

λ

La longitud de onda, período, frecuencia, frecuencia angular, número de onda y número de propagación describen aspectos de la naturaleza repetitiva de una onda en el espacio y en el tiempo. Estos conceptos se aplican igualmente a ondas que no son armónicas siempre que cada perfil de onda esté formado por un patrón regularmente repetitivo. Algunos ejemplos de funciones no armónicas se muestran en la Fig. 16.

ψ

x

0

Período espacial

ψ

x

0

Período espacial

ψ x

0

Período espacial

Fig. 16 Ondas periódicas anarmónicas.

32

Formulaciones de una onda armónica progresiva19 (37)

ψ = A sen k ( x m vt ) x t m  λ τ 

ψ = A sen 2π 

(38)

ψ = A sen 2π (χx m ν t )

(39)

ψ = A sen (kx m ωt )

(40)

x v

 

ψ = A sen 2πν  m t 

(41)

Debe notarse que todas estas ondas son de extensión infinita, es decir para cualquier valor fijo de t, x varía de − ∞ a + ∞ . Cada onda tiene sólo una frecuencia constante y por consiguiente se dice que es monocromática. 2.7 FASE Y VELOCIDAD DE FASE Examinemos cualquiera de las funciones de onda armónica, tales como

ψ ( x, t ) = A sen (kx − ωt )

(42)

El argumento completo de la función seno se conoce como la fase ϕ de la onda, de manera que

ϕ = (kx − ωt ) Para t = x = 0

33

(43)

ψ ( x, t )

x =0 t =0

= ψ (0,0) = 0

(44)

El cual es ciertamente un caso especial. Más generalmente, podemos escribir

ψ ( x, t ) = A sen (kx − ωt + ε )

(45)

Donde ε es la fase inicial o edad del ángulo. El ángulo de fase ϕ, si bien es más complicado decir que es, es sencillo entender su significado. Cada punto de una onda posee una fase definida que indica cuanto ha progresado o avanzado dicho punto a través del ciclo básico de la onda. Escuchamos la idea de fases de la luna, que indica justamente donde está la luna respecto a su ciclo el cual se repite siempre (por eso es ciclo). Las fases de las ondas son las que gobiernan lo que ocurre cuando dos o más ondas se encuentran. Si dos ondas en el agua se cruzan, puede ocurrir que cuando una esté en la cresta máxima, el otro esté en la mínima, y como consecuencia de esto se aplaca el movimiento en el lugar de cruce de ambas, es decir el máximo cancela al mínimo. Esta superposición de ondas se da así porque ambas ondas que se encontraron estaban fuera de fase, es decir tenían diferentes ángulos de fase, estaban desfasadas. Es la diferencia de fase entre ondas que se superponen lo que produce el fenómeno de interferencia. 2.8 DESCRIPCIÓN DE ALGUNOS TIPOS DE ONDA 2.8.1 ONDAS PLANAS En la física de propagación de ondas (especialmente ondas electromagnéticas), una onda plana o también llamada onda unidimensional, es una onda de

34

frecuencia constante cuyos frentes de onda (superficies con fase constante) son planos paralelos de amplitud constante normales al vector velocidad de fase Fig. 17. Es decir, son aquellas ondas que se propagan en una sola dirección a lo largo del espacio, como por ejemplo las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus frentes de ondas son planos y paralelos. Por extensión, el término es también utilizado para describir ondas que son aproximadamente planas en una región localizada del espacio. Por ejemplo, una fuente de ondas electromagnéticas como una antena produce un campo que es aproximadamente plano en una región de campo lejano. Es decir que, a una distancia muy alejada de la fuente, las ondas emitidas son aproximadamente planas y pueden considerarse como tal. Frentes de onda

Rayos

Fig. 17 Ondas planas son aquellas que tienen frentes de onda planos y sus rayos son paralelos.

Hay razones prácticas para estudiar este tipo de perturbación, una de las cuales es que usando sistemas ópticos podemos producir fácilmente luz semejante a ondas planas.

35

r La expresión matemática para un plano perpendicular a un vector dado k y que

pasa a través de un algún punto (x0, y0, z0) es bastante fácil de deducir (Fig. 18). Primero escribimos el vector de posición en coordenadas cartesianas, en términos de los vectores unitarios de la base (Fig. 18 a).

+

ˆ k z

=

ˆ

j y ˆ i x

r

r

(46)

+

Comienza en algún origen arbitrario O y termina en el punto (x, y, z) que, por el momento, puede ser cualquier lugar en el espacio. De un modo parecido,

)+( −

z

y

)+( −

ˆ k0 z

ˆ j 0 y

ˆ i0 x

x

0

r r

(r − r ) =( −

)

(47)

Estableciendo

0

k

0

r r

r (r − r ) ⋅ =

(48) r

k

0

r r

r r Obligamos al vector ( − ) a barrer un plano perpendicular a

, al ir

adquiriendo su punto extremo (x, y, z) todos los valores permitidos. Con

=

ˆ kz k ˆ jy k

k

ˆ ix

k

r

+

(49)

+

La Ec. 48 puede expresarse de la siguiente forma ) =

0

0

z

) + ( −

z z k

0

y

) + ( −

y y k

0

x

x x k

( −

(50)

O como

+

a

36

zz k

yy k

xx k

+

=

(51)

z

kˆ

iˆ

ˆj

O

y

x a)

z

r k ( x, y , z )

r r r − r0

( x0 , y 0 , z 0 ) O y

x b)

r

k

Fig. 18 a) Los vectores unitarios de la base cartesiana. b) Una onda plana moviéndose en la dirección de

37

Donde

zz k

yy k

xx k

a

=

+

= constante

+

(52) r

k

La forma más concisa de la ecuación de un plano perpendicular a

es entonces

r k

r r ⋅ = constante = a

(53)

El plano es el lugar de todos los puntos cuyos vectores de posición cada uno la r

k

misma proyección en la dirección de

.

r

r Ahora podemos construir un conjunto de planos sobre los cuales ψ( )varía de manera sinusoidal en el espacio, es decir r ( ⋅ r)

(54)

A

r ( ⋅ r)

(55)

r ψ( ) =

r r ⋅

r k n e s A

r

r ψ( ) =

r k

s o c

r

r ψ( ) =

r k i

e A

r

(56)

r

r

Para todas estas expresiones ψ( )se mantiene constante sobre cada plano r r definido por k ⋅ r = constante19. Como estamos analizando las funciones armónicas, deberían repetirse en el espacio después de un desplazamiento de r λ en la dirección de k . En la Fig. 19 se representa de manera muy sencilla esta clase de expresión. Del número infinito de planos, se han dibujado unos pocos, r cada uno con una ψ (r ) diferente. La perturbación ocuparía todo el espacio.

38

ψ (r ) +A

λ

-A Desplazamiento en la dirección de

r k

Fig. 19 Frentes de onda para una onda plana armónica.

2.8.2 ONDAS ESFERICAS Arrojemos una piedra a un depósito de agua. Las ondas superficiales que proceden del punto de impacto, se esparcen hacia afuera en ondas circulares bidimensionales Fig. 20. Extendiendo esta imagen a tres dimensiones, imagínese una pequeña esfera que late, rodeada de un fluido. La contracción y expansión de la fuente generan variaciones de presión que se propagan hacia afuera como ondas esféricas Fig. 21.

39

Fig. 20 Ondas bidimensionales.

Fig. 21 Ondas esféricas.

40

Considérese ahora una fuente puntual ideal de la luz. La radiación que procede de ella fluyen radialmente hacia afuera, uniformemente en todas las direcciones. Se dice que la fuente es isótropa y los frentes de onda resultantes son de nuevo esferas concéntricas con diámetro creciente cuando se expanden en el espacio que los rodea. La simetría obvia de los frentes de onda sugiere que podría ser más conveniente describirlos matemáticamente en términos de coordenadas esféricas polares19 (Fig.22). z

r cos θ

P(r ,θ , φ ) r

θ r senθ cos φ

r senθ senφ

φ

r senθ y

x

Fig. 22 Geometría de coordenadas esféricas.

La ecuación de onda esférica armónica está dada por:

41

t

( ±υ )

r k



  

s o c

Ar

t , r

 ψ( ) =

(57)

Donde la constante A se denomina intensidad de la fuente. Para cualquier valor fijo del tiempo, esto representa una agrupación de esferas concéntricas que llenan todo el espacio. Cada frente de onda, o superficie de fase constante, está dado por

r k

= constante

(58)

Obsérvese que la amplitud de cualquier onda esférica es una función de r, donde el término r −1 sirve como factor de atenuación. Contrariamente a la onda plana, una onda esférica disminuye en amplitud, cambiando por lo tanto un perfil, al expandirse y alejarse del origen. La Fig. 23. ilustra este hecho gráficamente, mostrando una “exposición múltiple” de un pulso esférico en cuatro tiempos diferentes.

t , r

ψ( )

V

t1

ψ

4

t

3

t

2

t

1

0

Fig. 23 “Exposición cuádruple” de un pulso esférico.

42

2.9 CONCEPTOS BÁSICOS DE ELEMENTOS ÓPTICOS El láser Las siglas en inglés de la palabra LÁSER significa Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, Amplificación de Luz por Emisión Estimulada de Radiación19. El láser es un rayo de luz proveniente de un "cañón" que lo genera a partir de un proceso opto-físico. Ese rayo se diferencia de la luz común por poseer una altísima densidad de potencia que le provee un brillo muy superior al de cualquier artefacto lumínico convencional. Tiene además una apertura de haz muy pequeña que hace que se lo pueda utilizar como un "pincel" a la distancia. Fig. 24.

Fig. 24 Láser.

Divisor de haz Un divisor de haz es un elemento óptico que funciona como un semi-espejo tal que divide un haz de luz en dos haces independientes, Fig. 25 (parte de la luz pasa y otra parte es reflejada). En los proyectores estereoscópicos, un prisma de 90 º divide el haz en dos que son a su vez desviados hacia la pantalla, en la que aparecen el registro, por otros dos prismas.

43

Un accesorio óptico de disposición similar permite registrar con una cámara normal imágenes estereoscópicas. Se usan divisores de haz en cine y TV y en holografía, para dividir el rayo láser.

Semi-espejo

láser

Fig. 25 Divisor de haz.

Lentes Las lentes son dispositivos ópticos que tiene la función de hacer converger o diverger los rayos de luz que lo atraviesan Fig. 26. En el primer caso se dice que la lente es positiva; en el segundo, negativa. La lente positiva es una lente de aumento empleada en las gafas para miopes. En los telescopios astronómicos llamados refractores el objetivo está formado por una lente (o un sistema de lentes) de tipo positivo, ya que forma una imagen de los objetos invertida y más pequeña. Es función entonces del ocular ampliarla. Las características fundamentales de una lente son la distancia focal, es decir, la que va del centro óptico de la lente al punto en el que se forma la imagen de un objeto situado en el infinito, y el diámetro o apertura de la lente. Cuanto mayor es la distancia focal, mayores son las dimensiones del objeto que se forma en el

44

plano focal. La apertura, en cambio, no influye en la dimensiones del objeto, aunque sí sobre la cantidad de luz que recoge la lente.

convergente

divergente

Fig. 26 Tipos de lentes.

Espejos Un espejo es una superficie pulida en la que al incidir la luz, se refleja siguiendo las leyes de la reflexión19 Fig. 27. La reflexión es el cambio de dirección o en el sentido de propagación de una onda.

Fig. 27 Diferentes tamaños de espejos.

45

Leyes de la reflexión especular Cuando la superficie reflectante es muy lisa ocurre una reflexión de luz llamada especular. Para este caso las leyes de la reflexión son las siguientes: 1.

El rayo que incide, el rayo reflejado y la normal con relación a la

superficie de reflexión en el punto de incidencia, deben estar en el mismo plano (mismo medio). 2.

El ángulo formado entre el rayo que incide y la normal es igual al ángulo

que existe entre el rayo reflejado y la misma normal. Ley de Snell La ley de Snell es una fórmula simple utilizada para calcular el ángulo de refracción de la luz al atravesar la superficie de separación entre dos medios de índice de refracción distinto, la ley de Snell fue formulada para explicar los fenómenos de refracción de la luz se puede aplicar a todo tipo de ondas atravesando una superficie de separación entre dos medios en los que la velocidad de propagación la onda varíe. Una parte de la luz incidente se refleja en la frontera y la otra parte se transmite al otro medio, Fig. 28. La ley de Snell queda expresada mediante la ecuación19: (59)

θ

2

n e s 2 n

1

n e1 s n

θ =

ángulos del rayo incidente y del rayo transmitido, respectivamente.

46

2

1

donde n1 y n2 son los índices de refracción de los medios, θ y θ

son los

Fig. 28 Ley de Snell.

Filtrado Espacial El filtrado espacial es la operación que se aplica a una imagen para resaltar o atenuar detalles espaciales con el fin de mejorar la interpretación visual o facilitar un procesamiento posterior, y constituye una de las técnicas comprendidas dentro del realce de imágenes. Fig. 29.

a)

b)

c)

Fig. 29 Ejemplos de filtros: a) Pasa bajas, b) Pasa altas y c) Pasa banda.

47

Ejemplos comunes incluyen aplicar filtros para mejorar los detalles de bordes en imágenes, o para reducir o eliminar patrones de ruido. El filtrado espacial es una operación "local" en procesamiento de imagen, en el sentido de que modifica el valor de cada píxel de acuerdo con los valores de los píxeles que lo rodean; se trata de transformar los niveles de gris originales de tal forma que se parezcan o diferencien más de los correspondientes a los píxeles cercanos. Mediante un filtro espacial (Fig. 30) el cual está compuesto de un objetivo para abrir un haz y de un orificio (cuyo diámetro es del orden de micras) se puede obtener un haz limpio dado que se ha filtrado la luz espuria.

Fig. 30 Filtro espacial.

Frecuencia Espacial La frecuencia espacial define la magnitud de cambios en el nivel de gris por unidad de distancia en una determinada zona de la imagen. Las áreas de la imagen con pequeños cambios o con transiciones graduales en los valores de los datos se denominan áreas de bajas frecuencias. Las áreas de grandes cambios o rápidas transiciones se conocen como áreas de altas frecuencias. 2.10 FENÓMENO DE INTERFERENCIA La interferometría se basa en el fenómeno de la interferencia, que podemos producir cuando dos ondas luminosas de exactamente la misma frecuencia se

48

superponen sobre una pantalla. Además de tener la misma frecuencia, estas ondas deben ser sincrónicas, es decir que sus diferencias de fase, y por lo tanto las distancias entre las crestas de ambas ondas, deben permanecer constantes con el tiempo. Esto es prácticamente posible sólo si la luz de ambas ondas que interfieren proviene de la misma fuente luminosa. Pero si es solamente una fuente luminosa la que produce la luz, los dos haces luminosos que se interfieren deben generarse de alguna manera del mismo haz. Existen dos procedimientos para lograr esto: denominamos al primero división de amplitud y al segundo división de frente de onda. Usando estos dos métodos básicos se han diseñado una gran cantidad de interferómetros, con los que se pueden efectuar medidas sumamente precisas. 2.11 INTERFERÓMETRO DE YOUNG Los dos haces luminosos que interfieren se pueden obtener a partir de un frente de onda, con cualquier de los dos procedimientos siguientes: Dividiendo lateralmente el frente de onda en dos, sin cambiar su irradiancia. Separando el frente de onda en dos y dividiendo su irradiancia en dos, pero preservando su extensión lateral. La división de frente de onda se puede lograr por medio de difracción, reflexión o refracción. En cualquier caso, la luz que ilumine el interferómetro debe ser espacialmente coherente. La irradiancia es la magnitud utilizada para describir la potencia incidente por unidad de superficie de todo tipo de radiación electromagnética. En unidades del sistema internacional se mide en W/m² (Watts / metro cuadrado).

49

2.12 DOBLE RENDIJA DE YOUNG La división del frente de onda de que se ha hablado se puede efectuar de manera muy simple mediante una doble rendija, como se muestra en la Fig.31. Al llegar el frente de onda a las rendijas, esta se expande en forma angular en cada uno de los agujeros debido a un fenómeno llamado difracción. Consideremos una onda plana monocromática hipotética que ilumina una rendija larga y estrecha. De esa rendija primaria, la luz se difractará con todos los ángulos hacia delante y emergerá una onda cilíndrica. Supongamos que esta onda, a su vez, indica en dos rendijas S1 y S2 muy juntas, estrechas y paralelas tal y como se muestra en Fig. 31. cuando existe simetría, los segmentos de frente de onda primario que llegan a las dos rendijas estarán exactamente en fase y las rendijas constituirán dos fuentes secundarias coherentes. Es de suponer que donde quiera que las dos ondas procedentes de S1 y S2 se superpongan, se producirá interferencia (siempre que la diferencia de camino óptico sea menor que la longitud de coherencia). Interferencia destructiva Pantalla con doble rendija

Frente de onda

Patrón de interferencia sobre la pantalla

Onda de luz

a) Fuente de luz

Interferencia destructiva Interfererencia constructiva

Interfererencia constructiva

Fig.31 (a) Interferómetro de Young, que funciona por división de frente de onda.

50

Curva de la distribución de intensidad

2.13 INTERFERÓMETRO DE MICHELSON El interferómetro de Michelson, inventado por Albert Abraham Michelson es un interferómetro que permite medir distancias con una precisión muy alta. Su funcionamiento se basa en la división de un haz coherente de luz en dos haces para que recorran caminos diferentes y luego converjan nuevamente en un punto. De esta forma se obtiene lo que se denomina un patrón de interferencia que permitirá medir pequeñas variaciones en cada uno de los caminos seguidos por los haces. En un principio, la luz es dividida por una superficie semiespejada (o divisor de haz) en dos haces. El primero es reflejado y se proyecta hasta el espejo (arriba), del cual vuelve, atraviesa la superficie semiespejada y llega al detector. El segundo rayo atraviesa el divisor de haz, se refleja en el espejo (derecha) luego es reflejado en el semiespejo hacia abajo y llega al detector Fig. 32. Espejo Espejo

Divisor de haz haz Divisor

Pantalla Pantalla

Fig. 32 Interferómetro de Michelson, que funciona por división de amplitud.

51

E s p e j o

Espejo

Láser Laser

El espacio entre el semiespejo y cada uno de los espejos se denomina brazo del interferómetro. Usualmente uno de estos brazos permanecerá inalterado durante un experimento, mientras que en el otro se colocarán las muestras a estudiar. Hasta el observador llegan dos haces, que poseen una diferencia de fase dependiendo fundamentalmente de la diferencia de camino óptico entre ambos rayos. Esta diferencia de camino óptico puede depender de la posición de los espejos o de la colocación de diferentes materiales en cada uno de los brazos del interferómetro. Esta diferencia de camino hará que ambas ondas puedan sumarse constructivamente o destructivamente, dependiendo de si la diferencia es un número entero de longitudes de onda (0, 1, 2,...) o un número entero más un medio (0,5; 1,5; 2,5; etc.) respectivamente. En general se emplean lentes para ensanchar el haz y que sea fácilmente detectable por un fotodiodo o proyectando la imagen en una pantalla. De esta forma el observador ve una serie de anillos, y al desplazar uno de los espejos notará que estos anillos comienzan a moverse Fig. 33. En esta forma se puede explicar la conservación de la energía, ya que la intensidad se distribuirá en regiones oscuras y regiones luminosas, sin alterar la cantidad total de energía. Generalmente cuando se monta un Michelson Fig. 32, de la que no se puede determinar cuál es la diferencia de camino, porque si se observa una suma constructiva sólo se puede inferir que la diferencia es múltiplo de la longitud de onda. Por esto el interferómetro se usa para medir pequeños desplazamientos; una vez que se tiene una figura de interferencia inicial, al cambiar la posición de uno de los espejos se verá que las franjas de interferencia se mueven. Si tomamos un punto de referencia, por cada franja que lo atraviese habremos movido el espejo una distancia d equivalente a una longitud de onda (menor al micrómetro19):

λ     2

N

d

=

52

(60)

Donde N es el número de franjas que pasan por el punto de referencia y λ es la longitud de onda de iluminación.

Fig. 33 Patrón de franjas obtenido de un interferómetro de Michelson.

53

CAPÍTULO 3 INTERFEROMETRÍA DE MOTEADO 3.1 FENÓMENO DE MOTEADO El fenómeno de moteado aunque fue descubierto por Newton en el año de 1730, no fue hasta la aparición del láser cuando comenzó su gran auge en el ámbito científico. La operación del primer láser de He-Ne en 1960 revela un fenómeno no esperado: los objetos vistos con luz altamente coherente adquieren una apariencia granular. Goodman presenta un estudio estadístico del moteado y sus propiedades principales20. Las superficies de la mayoría de los materiales son extremadamente rugosos con respecto a la escala de la longitud de onda ( λ ≅ 5 × 10 −7 meters). El estudio está basado en las propiedades estadísticas de primero y segundo orden para la irradiancia y la fase de los patrones de moteado. Algunas hipótesis presentadas son las siguientes: 1) El objeto es rugoso. Esto significa, que la raíz cuadrada del valor cuadrático medio de la altura de la rugosidad, es mucho mayor que la longitud de onda de la fuente de irradiancia utilizada. 2) Cada elemento de resolución en el plano objeto contiene muchos dispersores. Por ello, la pupila de salida del sistema óptico se llena completa y uniformemente con la luz dispersada por el objeto. 3) La luz está linealmente polarizada y al incidir sobre el objeto no cambia su estado de polarización. Como consecuencia de estas hipótesis, se formula una estadística de primer orden para la amplitud y la fase de los campos de moteado, que plantea: Tanto la amplitud A(x,y) como la fase ϕ ( x, y ) del frente de onda resultante son estadísticamente independientes. La fase se encuentra uniformemente distribuida en el intervalo (-π, π).

54

Cuando utilizamos un haz de luz coherente para iluminar un objeto rugoso, es posible apreciar en su superficie un patrón aleatorio de manchas Fig. 34.

Fig. 34 Patrón de moteado.

La aparición de este fenómeno se debe a la coherencia de la fuente de iluminación ya que la variación de rugosidad de la superficie es mayor que la longitud de onda (λ) de la luz láser con que es iluminada. Esta iluminación es reflejada desde la superficie rugosa hacia todas las direcciones haciendo interferencia aleatoria y formando el patrón de moteado Fig. 35. Fuente coherente

Motita brillante (en fase)

Motita obscura (fuera de fase) Superficie Plano de la película o detector Fig. 35 Formación de moteado.

55

Existen dos maneras para poder obtener patrones de moteado; en el moteado objetivo existe una propagación libre de las ondas reflejadas desde la muestra rugosa hasta el plano de registro del patrón de moteado. El moteado subjetivo usa un sistema óptico para hacer el registro del patrón. La Fig. 36 muestra la formación de un patrón de moteado objetivo y la Fig. 37 muestra un moteado subjetivo. Illumination beam iluminación

Observation plane

Illuminated region

P L

Z Fig. 36 Formación de un patrón de moteado objetivo.

Observation plane

Illumination beam

Illuminated region

M

d0

d P

P0

Z0 Fig. 37 Formación de un patrón de moteado subjetivo.

56

Z

Cada mota presenta un perfil casi gaussiano en el plano imagen y tiene una diámetro que esta dado por. 1

λ ( + ) M# F

2 2 . 1

s

=

(61)

Donde F# es la apertura numérica del sistema óptico y M es la amplificación del sistema óptico. A su vez, la apertura numérica de la lente de video está dada por

δ

(62)

D

#

F

=

Donde δ es la distancia focal del lente y D el diámetro de su pupila de entrada. La Fig. 38 presenta la forma de la reflexión de la luz para superficies cuya rugosidad está cambiando de manera gradual.

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 38 Transición de reflexión especular a dispersión difusa. Las superficies son: (a) lisa, (b) ligeramente rugosa, (c) moderadamente rugosa y (d) rugosa.

57

En muchos casos el moteado se considera como ruido que afecta la calidad de una imagen. Razón por la cual, los primeros estudios acerca del moteado se dirigieron a la búsqueda de medios para combatir su presencia. Posteriormente se demostró que el moteado podía ser empleado en la ciencia de las mediciones, surgiendo de este modo la rama de la interferometría de moteado. 3.2 INTERFEROMETRÍA ELECTRÓNICA DE PATRONES DE MOTEADO (ESPI) Los métodos de interferometría de moteado se basan en la adición de un segundo frente de onda (de referencia), que puede ser especular o moteado, al patrón de moteado del objeto. Como la finalidad es hacerlos interferir, el haz objeto y el de referencia deben proceder de la misma fuente láser. Como resultado, el patrón de moteado estará formando por la interferencia de dos haces coherentes entre sí. Cuando el objeto sufre deformaciones, la adición de un haz de referencia tiene como consecuencia un cambio en el comportamiento del patrón de moteado. La intensidad en el patrón resultante depende de la distribución relativa de la fase de la adición de los haces. Si el objeto es deformado, la fase relativa de los dos campos cambia, causando una variación de intensidad del patrón resultante. Considerando el interferómetro mostrado en la Fig. 39, la intensidad de algún punto P (x, y) del objeto en el plano imagen (superficie del detector) esta dada por. ⋅

s o c

)+

B

(

)+

I A I

)=

Y , X B I

(

y , x A I

y , x i I

(

(ψ )

(63)

Después de un cambio en la fase entre los dos frentes de ondas, esta distribución estará dada por

58

)+

⋅

B

(

s o c

)+

I A I

)=

Y , X B I

(

y , x A I

y , x f I

(

(ψ + ∆φ )

(64)

Donde IA e IB son las intensidades de los haces y ψ es la diferencia de la fase aleatoria entre los haces. La diferencia de fase adicional

∆φ puede ser

introducida por deformación o desplazamiento del objeto bajo prueba. Y

X

Espejo X

Z

Fuerza aplicada S1 Objeto CCD

Divisor de haz

Laser S2 Objeto Espejo

Fig. 39. Interferómetro sensible a desplazamientos en el plano.

El patrón de moteado deformado es comparado con el patrón inicial (correlación), mediante la suma o sustracción de intensidades. La correlación de estos patrones da como resultado la aparición de un conjunto de franjas claras y obscuras que corresponden a los sitios de diferencia de la fase igual entre los frentes de onda. Esta diferencia de fase ( ∆φ ) se relaciona con la diferencia de camino óptico introducido por el movimiento de la superficie, haciendo posible su cuantificación. Una mejor visibilidad del patrón de franjas se puede observar usando la correlación por sustracción. Esta consiste en calcular el valor absoluto de la

59

sustracción entre el patrón inicial y el patrón deformado. Esto da como resultado la siguiente relación:

 ∆φ      2

 ψ + ∆φ   ⋅  

n e s

⋅

2

⋅

2

=

n e s B I A I

i

f

I

I

−

(65)

Esta ecuación tiene dos términos que son funciones moduladas entre sí: la primera, con una frecuencia espacial alta (el ruido del moteado); y la segunda, con una frecuencia espacial más baja (las franjas de correlación). Un mínimo de las franjas aparecen siempre que;

N 2

∆φ =

π

(66)

Donde N=1, 2,3…., es decir, donde quiera que la intensidad del patrón de moteado ha regresado a su valor original. Como se menciono anteriormente, esta técnica permite hacer mediciones de campo completo y en tantos puntos como lo determine el sistema de video haciendo posible la medición de los desplazamientos entre cada uno de los puntos. Pudiendo así determinar concentración de esfuerzos antes de sobrepasar el límite de elasticidad de los materiales. 3.3 INTERFERÓMETRO SENSIBLE A DESPLAZAMIENTOS EN EL PLANO Existen arreglos interferómetricos para la medición de deformaciones fuera de plano21, deformaciones en plano8 y la derivada del desplazamiento2, entre otros, cuya sensibilidad depende de las geometrías de iluminación y observación. La Fig. 39 muestra un interferómetro de iluminación dual. El haz del láser es dividido en dos haces mediante un divisor de haz. Los haces son re-dirigidos

60

mediante un par de espejos tal que los haces coincidan sobre la muestra que se va a analizar. Posteriormente los haces son abiertos mediante filtros espaciales con la finalidad de tener una mayor área iluminada. Una cámara CCD captura un patrón de speckle, consecuencia de la interferencia de los frentes de onda provenientes de ambos

haces. Se toma una imagen

de

referencia,

posteriormente se toma una serie de imágenes consecutivas. Las cuales son correspondientes a deformaciones consecutivas r

S

La dirección de sensibilidad puede ser definida por un vector

llamado vector

de sensibilidad. Si establecemos un sistema de coordenadas sobre el objeto, la sensibilidad en el plano se refiere a la capacidad del interferómetro para detectar los desplazamientos medidos en las direcciones de los ejes “x” e “y” respectivamente, la sensibilidad fuera de plano a la capacidad para detectar los desplazamientos en la dirección del eje “z”. Dado que es el interés la medición del desplazamiento de la probeta de latón, se utilizara un interferómetro sensible en el plano con sensibilidad en dirección “y” para poder realizar dichas medidas. En la Fig.39 se muestra el diagrama de un interferómetro sensible a desplazamientos en el plano. La diferencia de fase ∆φ , debida a un desplazamiento d del punto P, se determina por:

2

−

r

d

1

ˆ K

(

)⋅

(67)

2 ˆ k

1 ˆ k

son los vectores unitarios de iluminación correspondientes a las r fuentes de iluminación S1 y S2. Se define como al vector de sensibilidad del

Donde

y

π λ

ˆ K

2

∆φ =

S

arreglo, el cual queda determinado por la diferencia de los vectores unitarios de iluminación. Su dirección es paralela al plano del objeto. Según esta geometría y para iluminación colimada, el cambio de fase puede calcularse como.

61

2

π ( λ

n e s 2 v

∆φ =

θ)

(68)

Donde v es la componente del desplazamiento en la dirección “y”, θ es el ángulo de incidencia de la iluminación y λ la longitud de onda de la luz de iluminación. Despejando en la Ec. 68 el campo de desplazamiento ν se obtiene:

λ

n e s 2

2

v

 ∆ϕ   =   π 

 

(69)

θ

Que es la expresión que utilizaremos para determinar, a partir de un patrón de franjas, el desplazamiento de cada punto del objeto en el plano. Como ya ha sido mencionado, la resta de los patrones de speckle registrados antes y después de la deformación genera franjas de correlación, lo cual es ilustrado en la Fig. 40. La sustracción se realiza en una computadora y por este motivo, la técnica se conoce como interferometría electrónica de patrones speckle (Electronic Speckle Pattern Interferometry, ESPI).

Imagen de referencia

objeto deformado

imagen de franjas

Fig.40 Franjas de correlación obtenida como resultado de la sustracción de los patrones de speckle correspondientes a dos estados diferentes del objeto.

62

3.4 TÉCNICA DE DESPLAZAMIENTO DE FASE Fase es una medida de la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque la fase es una diferencia verdadera de tiempo, siempre se mide en términos de ángulo, en grados o radianes. Eso es una normalización del tiempo que requiere un ciclo de la onda sin considerar su verdadero periodo de tiempo. La diferencia en fase entre dos formas de onda se llama a veces el desplazamiento de fase. Un desplazamiento de fase de 360 grados es un retrazo de un ciclo o de un periodo de la onda, lo que realmente no es ningún desplazamiento. Un desplazamiento de 90 grados es un desplazamiento de 1/4 del periodo de la onda etc. El desplazamiento de fase puede ser considerado positivo o negativo; eso quiere decir que una forma de onda puede ser retrazada relativa a otra o una forma de onda puede ser avanzada relativa a otra. Esos fenómenos se llaman atraso de fase y avance de fase respectivamente. 3.5 MÉTODO DE PHASE STEPPING O CORRIMIENTO DE FASE DE TRES PASOS El método requiere que tres interferogramas sean grabados y digitalizados. Un cambio de fase óptico de 1200 es introducido de manera secuencial en uno de los haces del sistema de iluminación dual utilizado. La función ∆φ toma tres valores discretos: 0 , 2π , 4π Fig. 41. 3 3 Sustituyendo cada uno de estos tres valores en la ecuación 64, se obtiene:

63

B

⋅

s o c

+

I A I

+

B

I

A

1

I

I

=

⋅

(φ )

(70)

s o c

(φ + π )

2 3

(71)

s o c

(φ + π )

4 3

(72)

⋅

⋅

B

B

⋅

I A I

I

+

I A I

B

+

B

I

+

A

A

=

3

I

+

I

2

I

I

=

⋅

La Fig. 41 muestra los patrones de franjas obtenidos mediante las ecuaciones 70-72.

( a)

(b)

( c)

Fig.41 Patrón de franjas con un corrimiento de fases de tres pasos: a)

0 , b) 2π

3

y c)

4π

3

.

Para poder despejar y encontrar la fase se utilizaron las siguientes identidades trigonometricas.

cos(α ± β ) = cos α cos β m sen α sen β

(73)

sen (α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β

(74)

Las cuales son aplicadas al término cos de las Ecs. 70-72:



φ − 

  

n e s

64

 π     = −     

3 2

(φ ) ⋅

s o c 1 2

 π  −  

2 3 n i s

(φ ) ⋅

n i s

s o c

2 3 s o c

2 3

s o c

π  φ + =  

φ (75)



φ + 

  

n e s

 π     = −     

(φ ) ⋅

3 2

s o c 1 2

 π  −  

4 3 n i s

(φ ) ⋅

n i s

s o c

4 3 s o c

4 3

s o c

π  φ + =  

φ (76)

Re- escribiendo las ecuaciones 70-72 se obtiene:

I 1 = I A + I B + 2 I A I B cos φ

(77)

2π  1 3  I 2 = I A + I B + 2 I A I B cos  φ + sen φ  = − cos φ − 3  2 2 

(78)

4π  1 3  I 3 = I A + I B + 2 I A I B cos  φ + senφ  = − cos φ + 3  2 2 

(79)

I 3 I

(80)

Haciendo:

n e s 3

−

2

3

(

)=

φ

2 I 1 − I 2 − I 3 = 3 cos φ

(81)

Dividiendo las Ecs. 80-81 se obtiene:

tan φ =

3 (I 3 − I 2 ) 2I1 − I 2 − I 3

(82)

De donde es posible la obtención de la tan para el algoritmo de tres pasos:

(

− − −

2

)

3

 ⋅  

I I 2 3 I I

−

3 I1 2

1

n a t

φ=

 

(83)

La ecuación 83 da como resultado lo que se conoce como fase envuelta. Para la obtención de la fase desenvuelta se hace uso de algunos algoritmos presentados por Malacara y colaboradores22, (ver apéndice A).

65

CAPÍTULO 4 GENERACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES 4.1 OBTENCIÓN DE LA CURVA CARGA-DESPLAZAMIENTO Y ESFUERZODEFORMACIÓN MEDIANTE EL USO DE LA MÁQUINA UNIVERSAL DE ENSAYOS MECÁNICOS La máquina universal de ensayos mecánicos tiene como función comprobar la resistencia de diversos tipos de materiales. Para esto posee un sistema que aplica cargas controladas sobre una probeta (modelo de dimensiones preestablecidas) y mide en forma de gráfica el desplazamiento y la carga al momento de la ruptura. La palabra ensayo significa que son pruebas, en el ámbito de laboratorio, para llegar a unas conclusiones. Se usan probetas a escala, que conservan las propiedades completas del material que deseamos probar. La connotación de universales significa que se puede probar casi cualquier tipo de material, y además, en diversos tipos de ensayo, como tensión, compresión, flexión, etc. La máquina posee un sistema hidráulico, para empujar el cilindro que aplica la carga sobre probetas. Posee una bomba cuya misión es darle presión al aceite, para que pueda aplicar carga. Como no en todo momento se está aplicando la carga, la posición normal, es de recirculación del aceite. Únicamente cuando se abre la válvula de carga o descarga, dicho aceite circula hacia o desde el cilindro que transmite la fuerza. Se maquino una probeta de latón, Fig. 42 (forma rectangular 30 mm por 210 mm y un espesor de 3 mm), la cual fue colocada en la máquina universal de ensayos mecánicos a prueba de tensión y sometida a una carga continua controlada desde una PC. Antes de iniciar el ensayo se aplico una pequeña precarga a la probeta para estabilizar el inicio del ensayo (5N).

66

Fig. 42 Dimensiones de la probeta en milímetros.

Los datos de salida de la máquina de ensayo, tanto de las cargas aplicadas como de desplazamientos obtenidos, fue almacenando en una base de datos para posteriormente obtener la gráfica carga-desplazamiento Fig.43. Teniendo las cargas aplicadas y el área transversal de la probeta en la fila y=0, calculada de los datos originales de la probeta antes de ser deformada, pudimos obtener el esfuerzo unitario en esas filas pero con todas las cargas aplicadas durante el ensayo al utilizar la Ec. (1).

67

CARGA DESPLAZAMIENTO 25

CARGA (KN)

20 15 10 5 0 0

1

2

3

4

-5 DESPLAZAMIENTO (mm)

Fig.43 Resultados de los ensayos a tensión para la fila y=0.

La deformación unitaria de la probeta de latón fue calculada tomando en cuenta que la longitud original de la probeta es de 210 mm, pero debido a la sujeción de las mordazas y la precarga, la longitud que tomamos en cuenta es de 139.7 mm, que es la distancia entre las mordazas y con los desplazamientos obtenidos en la gráfica carga-desplazamiento se pudo obtener la deformación del latón en una sección transversal y=0 Fig. 44.

ESFUERZO DEFORMACIÓN 3.5E+07

Parte plástica

ESFUERZO (N/m²)

3.0E+07

Punto de ruptura

2.5E+07 2.0E+07 1.5E+07

Parte elástica

1.0E+07 5.0E+06 0.0E+00 -5.0E+06 0

0.000005

0.00001

0.000015

0.00002

DEFORMACIÓN UNITARIA (m/m)

Fig. 44 Diagrama esfuerzo - deformación para el latón considerando la fila y=0.

68

0.000025

0.00003

Representando el esfuerzo en función de la deformación unitaria para un metal obtenemos una curva característica semejante a la que se muestra en la Fig. 44. Durante la primera parte de la curva, el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria, estamos en la región elástica. Cuando se disminuye el esfuerzo, el material vuelve a su longitud inicial. La línea recta termina en un punto denominado límite elástico. Si se sigue aumentando el esfuerzo la deformación unitaria aumenta rápidamente, pero al reducir el esfuerzo, el material no recobra su longitud inicial. La longitud que corresponde a un esfuerzo nulo es ahora mayor que la inicial, y se dice que el material ha adquirido una deformación permanente. El material se deforma hasta un máximo, denominado punto de ruptura. Entre el límite de la deformación elástica y el punto de ruptura tiene lugar la deformación plástica. Si entre el límite de la región elástica y el punto de ruptura tiene lugar una gran deformación plástica el material se denomina dúctil. Sin embargo, si la ruptura ocurre poco después del límite elástico el material se denomina frágil. 4.2 OBTENCIÓN DE LOS CAMPOS DE DESPLAZAMIENTO POR MÉTODOS ÓPTICOS Para obtener la deformación de la probeta de latón se utilizo un interferómetro sensible a desplazamientos en plano. La Fig.45 muestra el arreglo óptico implementado con sensibilidad en la dirección “y” El ángulo de incidencia de los haces de iluminación divergente es de θ = 28.740. La fuente de iluminación corresponde a un láser cuya longitud de onda es de 532 nm y de una potencia de 2 Watts. El sistema de video para la captura de los patrones de moteado esta constituido por una cámara CCD con 640 x 480

69

píxeles y un software que permite guardar los datos en forma de arreglo de bits (8 bits por elemento) en 256 niveles de gris. El objeto bajo prueba fue sometido a una fuerza de 5N con la finalidad de tensarla. En esta posición se coloco en cero y se grabo el patrón de moteado correspondiente al que se identifica como patrón de referencia. La máquina universal a tensión fue programada para obtener 1683 datos de fuerza

(N)

consecutivas

aplicadas,

mientras

que

mediante

el arreglo

interferómetrico se tomaron 168 imágenes. Para cada uno de ellas se aplico un desplazamiento de fase de tres pasos, Fig. 40 a), b), c) (fase 0, fase π

3

, fase

3 2

π ). 8) 7)

6) 5) 8)

2)

4)

5) 3) 4)

4)

1)

Fig. 45 Sistema de interferometría de moteado de doble iluminación. Sus componentes corresponden a: 1) Láser, 2) Cámara CCD y lente zoom, 3) Divisor de haz, 4) Espejos, 5) Objetivo de microscopio, 6) Probeta latón, 7) Máquina universal, 8) Mordazas.

70

Para la evaluación de los campos de desplazamientos se realizaron los siguientes pasos: 1. Se toma una imagen de referencia y correlaciona por medio de una sustracción con la siguiente imagen obtenida después de aplicar la carga mecánica, obteniéndose un patrón de franjas. 2. Se aplica un corrimiento de fase a la imagen de referencia, obteniendose tres patrones de franjas correspondientes al corrimiento de tres pasos Fig. 46 a), b) y c). 3. Se obtiene mediante la Ec. 83 la fase conocida como fase envuelta Fig. 46 d). 4. La fase envuelta pasa a ser una fase desenvuelta al aplicar el algoritmo basado en el método de regularización22 Fig. 46 e). 5. Utilizando los datos de la fase desenvuelta y del vector de sensibilidad se obtiene el campo de desplazamiento a través de la Ec. 69 Fig. 46 f). Carga aplicada: 1 KN m

v

(µ

-10.5

)

.297

7 3.5

.1485

0 .099

-3.5

0

-7 -10.5 a)

b)

c)

d)

-1.25 0

e)

1.25

f)

X (cm)

y , x v

Fig. 46 a), b), c) Imágenes correspondiente a un corrimiento de fase para tres pasos, d) Fase envuelta, e) ) Fase desenvuelta, f) Campo de desplazamiento ( .

71

Carga aplicada: 2 KN.

m

v

(µ

10.5

)

.546

7 3.5

.273

0 .182

-3.5

0

-7 -10.5 a)

b)

c)

d)

-1.25

e)

0

1.25

f)

X (cm)

Carga aplicada: 4 KN.

m

v

(µ

10.5

)

.819

7 3.5

.4095

0 .273

-3.5

0

-7 -10.5 a)

b)

c)

d)

-1.25

e)

0 X (cm)

Continuación de Fig. 46.

72

1.25

f)

Carga aplicada: 6 KN.

7

)

m

v

(µ

10.5

1.81

3.5

.905

0 .604

-3.5

0

-7 -10.5 a)

b)

c)

d)

-1.25

e)

0

f)

1.25

X (cm)

Carga aplicada: 8 KN.

m

v

(µ

10.5

)

1.907

7 3.5

.9535

0 .6357

-3.5

0

-7 -10.5 a)

b)

c)

d)

-1.25

e)

0

X (cm)

Continuación de Fig. 46.

73

1.25

f)

Carga aplicada: 10 KN.

7

)

m

v

(µ

10.5

2.476

3.5

1.238

0 MMMM -3.5

.8254 0

-7 -10.5

a)

b)

c)

d)

-1.25 0 1.25 X (cm)

e)

f)

Carga aplicada: 12 KN.

7

m

v

(µ

10.5

)

2.982

3.5

1.491

0 MMM -3.5

.994 0

-7 -10.5

a)

b)

c)

d)

-1.25

e)

0

X (cm) Continuación de Fig. 46.

74

1.25

f)

Carga aplicada: 14 KN.

7

m

v

(µ

10.5

)

1.682

3.5

.841

0 cmMM -3.5

.5607 0

-7 -10.5

a)

b)

c)

d)

-1.25

e)

0

1.25

f)

X (cm)

Carga aplicada: 16 KN.

7

m

v

(µ

10.5

)

1.403

3.5 .7015 0 MMMM -3.5

.4677

-7

0

-10.5

a)

b)

c)

d)

e)

-1.25

0 X (cm)

Continuación de Fig. 46.

75

1.25

f)

Carga aplicada: 18 KN.

7

)

m

v

(µ

10.5

1.484

3.5

.742

0 cMMM -3.5

.4947 0

-7 -10.5

a)

b)

c)

d)

e)

f)

-1.25 0 1.25 X (cm)

Carga aplicada: 20 KN.

m

v

(µ

10.5

)

1.321

7 3.5

.6605

0 MMMM -3.5

.4404

-7 -10.5

a)

b)

c)

d)

e)

-1.25

0

X (cm)

Continuación de Fig. 46.

76

1.25

f)

Aplicando una carga de 22 KN.

7

m

v

(µ

10.5

)

1.171

3.5

.3355

0 .2237

-3.5

0

-7

a)

b)

c)

d)

-10.5

e)

f)

-1.25 0 1.25 X (cm) Continuación de Fig. 46.

4.3 EVALUACIÓN DE LOS CAMPOS DE ESFUERZO, DEFORMACIONES Y MÓDULO DE YOUNG POR MEDIOS ÓPTICOS De acuerdo a la Ec. 2, la próxima etapa de evaluación es la determinación de las

y , x

derivadas de los desplazamientos. Derivando ν(

ε

y

obtiene directamente la deformación

)en la dirección “y” se

. En la Fig. 47 a) se muestra la

distribución de la deformación. Los campos de deformación son obtenidas por diferenciación numéricas, donde y

la longitud del intervalo de la derivada ∆ es 1. Es bien conocido al hecho de que el ruido en los datos es severamente amplificado por la diferenciación. Por consiguiente se aplico un filtro para suavizar las superficies de la Fig. 46 f) antes de hacer la diferenciación numérica para obtener la deformación Fig. 47 a).

77

La aproximación directa para la diferenciación numérica es calculada por diferencias finitas:

i

)

(84)

i

y

i

y , x

Los mapas de desplazamiento ν(

+

y ,i x

1

i

+

)ν(

- -1

) ν( =

y y ,i x

y , y xd

d

ν(

)exhiben discontinuidades a lo largo de la

región central circular de la placa Fig. 46 f). Para evitar esas discontinuidades, la derivada no fue calculada en la región circular central de la placa. El esfuerzo Fig. 47 b) de la probeta se pudo calcular con la carga aplicada y el área transversal mediante la Ec. 1. Haciendo uso de una de las imágenes del ensayo, se obtuvo el área transversal de la probeta en cada fila de tal forma que esa imagen se binariso dando 1 donde había material y 0 donde no había material, una vez binarisado la imagen se calculo el numero de píxeles con valor de 1 que correspondían a cada sección transversal de la probeta (cada fila). Tomando en cuenta el ancho de la probeta medido con un vernier (25 mm) y el numero de píxeles (160) obtenidos en un programa, pudimos saber cuantos milímetros media un píxel (6.4 mm). De esta forma se pudo medir el ancho de las secciones no constantes de la probeta. El espesor de la probeta se tomo constante así obteniendo el área transversal de la probeta en cada fila. Para poder obtener el módulo de Young, Fig. 47 c), de esta probeta se utilizaron los datos obtenidos del esfuerzo y deformación tomando en cuenta parte inicial, parte elástica y parte plástica del material Ec. 4

78

Imágenes 5

=1.2 X 10

-6

σ

y

y

ε 10.5

σ y = ( K g cm 2 )

7

-6

2.561 X 10

3.5

6

10.5

ε y = ( cm cm )

7

= 2.123 X 10

3.007 X 10

3.5

0

6

0 0

-3.5 -7

-7

-10.5

-10.5

-1.25

0

2.062 X 10

-3.5

1.25

-1.25

X (cm)

a)

0

6

1.25

X (cm) b)

y

E

=2.098 X 10

10

10.5

Ey

7

2.991 X 10

3.5

10

0 2.011 X 10

-3.5

10

-7 -10.5 -1.25

0

1.25

X (cm) c)

) , b) Campo de esfuerzos σ(

y , x

(

y , x E

Young

ε(

y , x

Fig. 47 a) Campo de deformación

) .

79

) , c) Campo de módulo de

Imágenes 105

=2.152 X 10

10.5

-8

σ

y

y

ε

σ y = ( Kg cm 2 )

7

-7

2.888 X 10

1.903 X 10

3.5

3.5

0 MMMM -3.5

0 -12

1.585 X 10

-3.5 -7

-7

-10.5

-10.5

-1.25

4

10.5

ε y = ( cm cm )

7

= 1.345 X 10

-1.25

0 1.25 X (cm)

1.305 X 10

0 X (cm)

b)

a)

y

E

=1.345 X 10

11

10.5

Ey

7

8.233 X 10

3.5 0 MMMM -3.5

4.792 X 10

-7 -10.5 -1.25

15

0 1.25 X (cm)

c)

Continuación Fig. 47.

80

10

1.25

4

4

Imágenes 151

=1.684 X 10

σ

-8

y

y

ε

=734.154

10.5

10.5

ε y = ( cm cm )

7

-7

3.178 X 10

3.5

σ y = ( Kg cm 2 )

7

1.039 X 10

3.5 0

0 MMMM -3.5

-3.5

-13

1.071 X 10

712.6

-7

-7

-10.5

-10.5 -1.25

0

-1.25

1.25

X (cm) b)

a)

y

E

=7.665X 10

11

10.5 7

Ey

3.5

6.75 X 10

0 MMMM -3.5

2.378 X 10

-7 -10.5 -1.25

15

0

1.25

X (cm)

c)

Continuación Fig. 47.

81

9

0 1.25 X (cm)

3

Tomando las imágenes (1 a 151), se encuentra la parte elástica de la probeta de latón, así de esta manera se pudo obtener el módulo de Young de dicha probeta.

ESFUERZO DEFORMACIÓN 3.5E+07

151

ESFUERZO (N/m²)

3.0E+07 2.5E+07

105

2.0E+07 1.5E+07 1.0E+07 5.0E+06

5

0.0E+00 -5.0E+06 0

0.000005

0.00001

0.000015

0.00002

DEFORMACIÓN UNITARIA (m/m)

Fig. 48 Gráfica de esfuerzo deformación.

82

0.000025

0.00003

CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES Se obtuvieron resultados experimentales del comportamiento mecánico de una probeta de latón utilizando una técnica óptica correspondiente a interferometría de moteado. Los campos de desplazamiento en la probeta fueron consecuencia de una carga mecánica que le fue aplicada mediante una máquina universal para ensayos. Se obtuvo entonces los campos de desplazamiento (en la dirección “y”) y a través de ellos los campos correspondientes de deformación, esfuerzo y módulo de Young del material. Se obtuvo también una gráfica de esfuerzo-deformación del material bajo estudio a través del equipo de la máquina universal. Las ventajas del uso de técnicas ópticas es que se obtienen resultados de campo completo, en tiempo real y que son no destructivas. De los resultados se tiene que la ruptura del material ocurrió a un desplazamiento de 3.51 mm y una carga mecánica aplicada de 21.54 KN sin tomar en cuenta que el material fue estabilizado con una carga de 5 KN. Observando las gráficas del módulo de Young se puede concluir que éste es casi constante en las tomas identificadas con los números 100 -105. Dada la razón anterior, el módulo de Young asociado al latón corresponde a 1.345x1011, valor que corresponde a la región elástica. Se pueden observar las demás gráficas donde el valor se dispara pero la razón es que el material ya no está en la parte lineal del material. De esta manera se puede comparar con el módulo de Young dada en las tablas correspondiente a 9.7x1010 obteniendo una diferencia de 3.75x1010 debido al tipo de aleaciones y porcentajes de los materiales.

83

Es

importante

mencionar

que

las

propiedades

del

latón

dependen

principalmente de la proporción de zinc y cobre que presente, así como la adición de pequeñas cantidades de otros metales (plomo y estaño) esto es conveniente para darle distintos usos. También depende de algunas de sus impurezas a la hora de ser fundidos los materiales, ya que el material puede perder cualquiera de sus propiedades y así obtener diferentes resultados. Llegando a la conclusión de que el latón es un excelente material para la manufactura de muchos componentes debido a sus características únicas. Buena resistencia y el ser muy dúctil se combinan con su resistencia a la corrosión y su fácil manejo en las máquinas y herramientas. El método de interferometría de moteado es aplicable a desplazamientos muy pequeños, del orden de micras. Dado que se toma una serie de imágenes y dado que se correlacionan cada dos imágenes consecutivas es posible extender la técnica a medir desplazamientos mayores como se observa en los resultados.

84

APÉNDICE A: DESENVOLVIMIENTO DE FASE Los interferómetros ópticos pueden ser usados para medir un amplio rango de cantidades físicas. Los datos obtenidos de un interferómetro corresponden a un patrón de franjas, el cual puede ser representado como una función coseno en cuyo argumento se encuentra la fase. Ésta función está modulada por distorsiones del frente de onda las cuales van a ser medidas. El patrón de franjas o interferograma puede ser modelado como:

s ( x, y ) = a( x, y ) + b( x, y ) cos φ (x, y )

(85)

donde a( x, y ) representa la iluminación de fondo con pequeñas variaciones;

b( x, y ) es la modulación de la amplitud y φ ( x, y ) es la fase que se desea medir y que corresponde a la variable física buscada (campos de desplazamiento, índice de refracción, temperatura, etc.). El propósito del análisis de franjas con ayuda de la computadora es la detección automática de la variación de fase bidimensional, φ ( x, y ) , que ocurre en el interferograma debido al cambio espacial de la variable física correspondiente. Se forma entonces la imagen del interferograma sobre la cámara CCD. La imagen es digitalizada para su análisis en la computadora. Se utilizan algunas técnicas para medir la variación espacial de la fase, entre ellas, interferometría de desplazamiento de fase, la cual requiere al menos tres interferogramas. El desplazamiento entre los interferogramas debe ser conocido en todo el interferograma. En este método la fase detectada se conoce como envuelta, dado que la fase se envuelve en un módulo de 2π , dada la función de tangente inversa involucrada en el proceso de la estimación de la fase. La fase así obtenida es indeterminada por un factor de 2π . En la mayoría de los casos la función será dada en el valor principal de

− π a + π , (Fig. 49).

85

φd(x,y) π

(A) -π

x y

φox(x,y)

4π (B)

2π x0

xk

xm

0

x y

φc(x,y) 5π 3π (C) π

-π

x y

Fig. 49. Ejemplo de una distribución de fase mostrando las discontinuidades debido al cálculo del valor principal, ésta se conoce como fase envuelta; (B) Valores de fase que tienen que ser sumados en los puntos de discontinuidad y (C) Fase desenvuelta.

86

Idealmente, las funciones que calculan la tangente inversa deben tener como parámetros de entrada no los valores finales de la tangente sino los valores del numerador ( senφ ) y el denominador ( cos φ ) para evitar la perdida de la información útil. Este par de valores permiten el cálculo del ángulo en el círculo entero de 0 0 a 2π o de − π a + π . Después calculamos el ángulo φ en el intervalo desde − π 2 a π 2 , la corrección se muestra en las tablas 1 y 2 para obtener el ángulo en el círculo entero. Para este propósito se usan los signos de senφ y cos φ . Dependiendo del rango deseado, si es para − π a + π , se usa la

tabla 1. Si el rango es de 0 0 a + 2π , se utiliza la tabla 2.

senφ

cos φ

Fase ajustada

senφ 〉 0

cos φ 〉 0

φ

senφ 〉 0

cos φ 〈 0

φ +π

senφ 〈 0

cos φ 〈 0

φ −π

senφ 〈 0

cos φ 〉 0

φ

senφ 〉 0

cos φ = 0

π 2

senφ = 0

cos φ 〈 0

π

senφ 〈 0

cos φ = 0

3π 2

senφ = 0

cos φ 〉 0

0

Nota: El rango final de las fases es entre − π a + π Tabla 1. Fase y rango de valores de acuerdo a los signos en el numerador ( senφ ) y denominador ( cos φ ) en la expresión para la

tan φ .

87

senφ

cos φ

Fase ajustada

senφ 〉 0

cos φ 〉 0

φ

senφ 〉 0

cos φ 〈 0

φ +π

senφ 〈 0

cos φ 〈 0

φ +π

senφ 〈 0

cos φ 〉 0

φ + 2π

senφ 〉 0

cos φ = 0

π 2

senφ = 0

cos φ 〈 0

π

senφ 〈 0

cos φ = 0

3π 2

senφ = 0

cos φ 〉 0

0

Nota: El rango final de las fases es entre 0 0 a + 2π Tabla 2. Fase y rango de valores de acuerdo a los signos en el numerador ( senφ ) y denominador ( cos φ ) en la expresión para la

tan φ .

Existen diferentes tipos de algoritmos para la obtención de la fase desenvuelta. Algunos son presentados y discutidos por Malacara y et. al.22

88

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components

by

using

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speckle

pattern

interferometry”, Optics Communications, Vol. 271, No. 2, 15 March 2007, p. 445-450.

89

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Técnicas

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contorneo

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superficies

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90

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91