Física 2º Bach. Física moderna DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA

20/05/09

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Problemas

[2 PUNTOS /UNO]

1. Al iluminar una célula fotoeléctrica con radiación electromagnética de longitud de onda 185 nm se necesita un potencial de 4,73 V para anular la corriente producida. Si se usa radiación de 256 nm el potencial es de 2,92 V. a) Determina la constante de Planck. Pt Au Ag Na Rb Cs b) ¿Qué metal está en el cátodo? Longitudes de onda umbral (nm) 190 260 270 550 570 660 DATOS: c = 2,997925×108 m/s qe = 1,602189×10-19 C Solución 2. En la explosión de una bomba atómica se produce estroncio-90, que es un peligroso contaminante radiactivo, cuyo periodo de semidesintegración es de 29,1 años. a) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la contaminación que produce descienda hasta la milésima parte de su actividad original? b) El estroncio, por su química similar a la del calcio, se deposita en los huesos. ¿Qué masa de estroncio90 debe haber en un hueso para que su actividad sea de 6,1×1010 Bq? DATOS: 1 u = 1,66054×10-27 kg Solución 3. a) Determinar la energía de enlace (en MeV) por nucleón del helio-4. b) Si toda la energía de enlace se transforma en energía cinética del helio-4, ¿cuál sería la longitud de onda asociada a esta partícula según la ecuación de de Broglie? DATOS 1 u = 1,660571×10-27 kg h = 6,626176×10-34 J·s MASAS (u) helio-4 4,00260326 protón 1,00782522 neutrón 1,00866522 electrón 0,00054858 Solución

Cuestiones

[1 PUNTO /UNO]

1. Una nave espacial se mueve a una velocidad 0,8 c. En cada uno de sus extremos existe un detector que levanta una bandera cuando una señal luminosa llega a él. Desde el centro exacto se emiten dos señales luminosas hacia los extremos de la nave, justo cuando pasa por delante de una estación espacial en reposo. Desde la estación espacial se observa que el banderín de la parte anterior de la nave se levanta A) Antes que el de la posterior. B) Después que el de la posterior. C) Simultáneamente. Solución 2. ¿En qué se distinguen los leptones de los hadrones? Pon dos ejemplos de cada. Solución 3. Explica el principio de indeterminación de Heisenberg para un electrón encerrado en una «caja» de 1,00×10-12 m. DATOS: me = 9,1×10-31 kg Solución 4. Los astronautas de una nave interestelar que se desplazan a una velocidad de 0,8c llevan, según los relojes de la nave, 30 días de viaje. ¿Cuánto tiempo han estado viajando según el centro de control de Tierra? A) 18 días B) 30 días c) 50 días. Solución

Soluciones Problemas 1. Al iluminar una célula fotoeléctrica con radiación electromagnética de longitud de onda 185 nm se necesita un potencial de 4,73 V para anular la corriente producida. Si se usa radiación de 256 nm el potencial es de 2,92 V. a) Determina la constante de Planck. Pt Au Ag Na Rb Cs b) ¿Qué metal está en el cátodo? Longitudes de onda umbral (nm) 190 260 270 550 570 660 DATOS: c = 2,997925×108 m/s qe = 1,602189×10-19 C Examen Prob.1 Prob.2 Prob.3 Cues.1 Cues.2 Cues.3 Cues.4 Solución: La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico es: EFOTÓN = WEXTRACCIÓN + EC ELECTRÓN. La energía de un fotón de frecuencia f viene dada por la ecuación de Planck EFOTON = h · f en la que h es la constante de Planck. La frecuencia f de una onda está relacionada con su longitud de onda λ por: f = c /λ en la que c es la velocidad de propagación de la onda, en este caso, de la luz. Usando el potencial de frenado como medida de la energía cinética de los electrones: EC ELECTRON = eV donde e es la carga del electrón y V el potencial de frenado, la ecuación de Einstein puede escribirse como: hc / λ = W0 + eV Construimos un sistema con la ecuación de Einstein: 2,997925×108 ·h =W 0 4,73 ·1,602189×10−19 −9 185×10 2,997925×108 h =W 0 2,92·1,602189×10−19 256×10−9

}{

1,62×1015 h=W 0 7,58×10−19 1,17×1015 h=W 0 4,68×10−19

que da h = 6,45×10-34 J·s W0 = 2,88×10-19 J De la ecuación de Einstein: EFOTÓN = WEXTRACCIÓN + EC ELECTRÓN el trabajo de extracción corresponde a la energía mínima necesaria para arrancar un electrón. W0 = WEXTRACCIÓN = EFOTÓN MÍNIMA = h · f0 = h · c / λ0 Por lo que la longitud de onda umbral valdrá: λ0 = h · c / W0 = (6,45×10-34 [J·s] · 2,997925×108 [m/s]) / 2,88×10-19 [J] = 6,72×10-7 m = 672 nm que es bastante aproximada a la del cesio.

2. En la explosión de una bomba atómica se produce estroncio-90, que es un peligroso contaminante radiactivo, cuyo periodo de semidesintegración es de 29,1 años. a) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la contaminación que produce descienda hasta la milésima parte de su actividad original? b) El estroncio, por su química similar a la del calcio, se deposita en los huesos. ¿Qué masa de estroncio-90 debe haber en un hueso para que su actividad sea de 6,1×1010 Bq? DATOS: 1 u = 1,66054×10-27 kg Examen Prob.1 Prob.2 Prob.3 Cues.1 Cues.2 Cues.3 Cues.4 Rta.: a) t = 290 años b) m = 12,1 mg Solución: a) La ley de desintegración radiactivo se resume en la ecuación: N = N0 e -λ t que permite calcular el número N de núclidos radiactivos que quedan al cabo de un tiempo t, a partir de una cantidad inicial N0, en la que λ es la constante de desintegración radiactiva. Se calcula la constante de desintegración radiactiva λ a partir del período T de semidesintegración, que es el tiempo que tarda en reducirse a la mitad la cantidad de sustancia radiactiva. N0 / 2 = N0 e -λ T Eliminando N0 y extrayendo logaritmos neperianos: ln (1/2) = – λ T =

ln 2 ln 2 0,693 = = =7,55×10−10 s−1 T 29,1años 9,18×108 s

Como la actividad radiactiva A A=

−dN = N dt

es proporcional a la cantidad de núcleos, también sigue la ley de desintegración. A = A0 e -λ t que, en forma logarítmica queda ln (A / A0) = – λ t Sustituyendo: ln (1 / 1 000) = – 7,55×10-10 t t = 9,15×109 s = 290 años Análisis: La reducción a la milésima parte de la actividad original corresponde a ≈ 10 períodos (210 = 1 024), que serían ≈ 10 · 29 = 290 años. b)

A=λ ·N N=

6,1×1010 Bq =8,08×1019 núcleos 7,55×10−10 s−1

Sabiendo que la masa atómica aproximada del estroncio-90 es 90 u: m=8,08×1019 núcleos ·

90 u 1,66054× 10−27 kg · =1,21×10−5 kg=12,1 mg 1 núcleo 1u

3. a) Determinar la energía de enlace (en MeV) por nucleón del helio-4. b) Si toda la energía de enlace se transforma en energía cinética del helio-4, ¿cuál sería la longitud de onda asociada a esta partícula según la ecuación de de Broglie? DATOS 1 u = 1,660571×10-27 kg h = 6,626176×10-34 J·s MASAS (u) helio-4 4,00260326 protón 1,00782522 neutrón 1,00866522 electrón 0,00054858 Examen Prob.1 Prob.2 Prob.3 Cues.1 Cues.2 Cues.3 Cues.4 Rta.: a) (Eb /A)H = -7,07 MeV/nucleón b) λ = 2,70×10-15 m Solución: a) La masa de un núcleo es menor que la masa de sus nucleones. La diferencia o defecto de masa es: ∆m = mnúcleo – (Z mp + (A – Z) mn ) La energía equivalente, calculada por la expresión de Einstein, E = ∆m c2 es la energía de enlace o de ligadura del núcleo. Para el helio-4, 42 He , el defecto de masa es: ∆mHe = 4,00260326 – (2 · 1,00782522 + 2 · 1,00866522) = -0,03037762 u Si calculamos la energía por la ecuación de Einstein: E = - 0,03037762 u · 1,66054×10-27 kg / u · (2,997925×108 m/s)2 = -4,53×10-12 J = -28,3 MeV (Eb /A)H = - 28,3 / 4 = -7,07 MeV/nucleón b) La energía cinética del núcleo de helio es: Ec = ½ m v2 Despejando la velocidad v=

 

−12 2 Ec 2 ·4,53×10 J = =3,69×107 m/s −27 m 4,00260326·1,660571×10 kg

La longitud de onda λ de de Broglie asociada a una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v es: h h 6,626176×10−34 J·s = = = =2,70×10−15 m p m v 4,00260326 ·1,660571×10− 27 kg·3,69×107 m/s

Cuestiones 1. Una nave espacial se mueve a una velocidad 0,8 c. En cada uno de sus extremos existe un detector que levanta una bandera cuando una señal luminosa llega a él. Desde el centro exacto se emiten dos señales luminosas hacia los extremos de la nave, justo cuando pasa por delante de una estación espacial en reposo. Desde la estación espacial se observa que el banderín de la parte anterior de la nave se levanta A) Antes que el de la posterior. B) Después que el de la posterior. C) Simultáneamente. Examen Prob.1 Prob.2 Prob.3 Cues.1 Cues.2 Cues.3 Cues.4 Solución: La velocidad de la luz es la misma medida desde cualquier sistema de referencia inercial que se mueva con respecto a otro. Aunque para un observador ligado a la nave espacial las dos señales luminosas llegan a los extremos simultáneamente, para un observador ligado a la estación espacial “en reposo”, la luz viaja con la misma velocidad en ambos sentidos, y alcanza antes la parte posterior de la nave que se desplaza hacia la fuente de luz que la parte anterior de la nave que se desplaza alejándose de la fuente.

2. ¿En qué se distinguen los leptones de los hadrones? Pon dos ejemplos de cada. Examen Probl.1 Probl.2 Cuest.1 Cuest.2 Cuest.3

Cuest.4

Solución: Los hadrones son sensibles a la interacción nuclear fuerte y están compuestos por partículas elementales llamadas quarks. Los leptones son las otras partículas elementales del Modelo Estándar y no sienten la interacción nuclear fuerte. Son leptones el electrón y el neutrino electrónico. También lo son el muón y su neutrino muónico y el tauón y el neutrino tauónico. Y sus respectivas antipartículas. Son hadrones el protón y el neutrón. El protón está formado por dos quarks up y uno down, mientras que el neutrón está formado por un quarks up y dos down.

3. Explica el principio de indeterminación de Heisenberg para un electrón encerrado en una «caja» de 1,00×10-12 m. DATOS: me = 9,1×10-31 kg Examen Prob.1 Prob.2 Prob.3 Cues.1 Cues.2 Cues.3 Cues.4 Solución: El principio de indeterminación de Heisenberg dice que es imposible determinar simultáneamente la posición y el momento lineal de una partícula. El error en la determinación de la posición de la partícula multiplicada por el error en la determinación de su momento lineal es al menos igual a la constante de Planck dividida entre 2 π.

∆x · ∆px = ∆x · m ∆vx ≈ h / 2 π Si se encierra un electrón en una «caja» de 1,00×10-12 m, la indeterminación en su posición será ese valor. El electrón se moverá con una velocidad que se puede calcular de la expresión del principio. ∆vx ≈ h / (2 π · m · ∆x) = 1,16×108 m/s casi la mitad de la velocidad de la luz.

4. Los astronautas de una nave interestelar que se desplazan a una velocidad de 0,8c llevan, según los relojes de la nave, 30 días de viaje. ¿Cuánto tiempo han estado viajando según el centro de control de Tierra? A) 18 días B) 30 días c) 50 días. Examen Prob.1 Prob.2 Prob.3 Cues.1 Cues.2 Cues.3 Cues.4 Solución: c Uno da las consecuencias de la invariancia de la velocidad de la luz respecto a sistemas de referencia que se mueven con movimiento rectilíneo uniforme es la dilatación relativa del tiempo para un observador que se encuentra en movimiento uniforme relativo respecto al sistema. El tiempo medido por un observador externo es superior al tiempo propio, en un factor γ =

1



1−

v2 c2

que es el factor de Lorentz. t ext = t propio =

t propio



2

1−

v c2

=

30días



1−

0,8 c c2

2

=

30 días 30 días = =50días  1−0,8 2 0,6