Vectores Ejercicio nº 1.→

→

→

→

→

→

→

a) Si u y v son los siguientes vectores, dibuja 2 u − v , − u + v y − u +

1→ v. 2

→ →  1  b) Las coordenadas de dos vectores son a (2, − 3 ) y b  − , 2 . Obtén las coordenadas de:  2  → → → → → → 1 1  − 3 a + 2 b; − a + b;  a− b  2 3 

Ejercicio nº 2.→

→

→

a) Dibuja los vectores u − v , − u +

→ → → → 1→ v y 2 u + 3 v , siendo u y v los que muestra la figura: 2

→ 2 →   b) Dados los vectores a  , − 1 y b (3, − 2 ), obtén las coordenadas de: 3  → → → → → 1→ − 3 a + 2 b; 2 a − b; a − b 3

1

Ejercicio nº 3.→

→

→

→

a) Si u y v son los vectores que muestra la figura, dibuja − u + 2 v ,

2→ → 1→ → u+ v y − u− v: 3 3

→ → 2  b) Si las coordenadas de a y b son  , − 3  y (− 1, 3 ), obtén las coordenadas de los vectores: 5  → → → 1→ 1→ → 5 a + b; − a + 2 b; a− b 5 2

Ejercicio nº 4.→

→

a) Los vectores u y v son los que muestra la figura. A partir de ellos, dibuja → → → → → 2→ − u− v , − 2u+ v y u+ v : 3

→ → 1  b) Si las coordenadas de los vectores a y b son (− 2, 1) y  1, − , obtén las 4  coordenadas de: → → → → 1→ → − 3 a + 4 b; − a + b; a+ 2 b 2

2

Ejercicio nº 5.a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores: →

→

− u + 2v ;

→

u+

1→ v; 2

→

→

u − 2v

→ −3 →   b) Dados los vectores a  , 2  y b (2, − 2 ), obtén las coordenadas de:  4  → → → → → → 1 a − b; − 2 a + b; − 4 a + b 2

Ejercicio nº 6.→

→

→

→

→

a) Escribe los vectores x , y , z como combinación lineal de u y v :

→ → → 1  b) Escribe el vector a (0, 17 ) com combinación lineal de b  , 3  y c (− 1, 2 ). 5 

Ejercicio nº 7.→

→

→

→

→

a) Expresa los vectores a , b y c como combinación lineal de los vectores u y v :

→ → → 1   b) Expresa el vector x (5, − 2 ) como combinación lineal de y (1, − 2 ) y z  , 2 . 2 

3

Ejercicio nº 8.→

→

→

→

→

a) Escribe los vectores a , b y c como combinación lineal de x e y :

→

b) Halla las coordenadas del vector w (1, 0 ) con respecto a la base formada por → →  1  u  − , 1 y v (− 3, 2 )  2  Ejercicio nº 9.-

 a) Halla las coordenadas del vector u ( − 2, − 3 ) con respecto a la base formada por los vectores

 1  v  2, −  y w ( 1, − 1 ) 3 

     b) Expresa los vectores x , y , z como combinación lineal de los vectores a y b :

Ejercicio nº 10.-

   1  a) Expresa el vector x ( 4, 1) como combinación lineal de los vectores y ( 2, − 3 ) y z  , 1 . 2 

4

Ejercicio nº 11.→ →  Dados x (5, − 4 ), y (3, 2 ) y z (1, k ) : →

→

a) Halla el valor de k para que x y z formen un ángulo 90  . →

b) Halla un vector unitario con la misma dirección y el mismo sentido que x .

Ejercicio nº 12.→

→

Si a (1, − 3 ) y b (m , 2 ) : →

→

a) Halla el valor de m para que a y b sean perpendiculares. →

→

→

b) Calcula el ángulo formado por a y c siendo c (4, 2 ).

Ejercicio nº 13.→

→

→

Dados los vectores u (− 1, 4 ), v (3, m ) y w (2, − 3 ): →

→

a) Calcula m para que u y v sean perpendiculares. →

→

b) Halla el ángulo que forman u y w .

Ejercicio nº 14.→

→

→

→

Considera los vectores x (a, 3 ) e y (− 1, b ). Halla los valores de a y b para que x e y  sean perpendiculares y que x = 5.

Ejercicio nº 15.a) Halla el ángulo que forman los vectores → 3 −4 →   a ,  y b (1, 1) 5 5  → → 3 −4   b) ¿Cuál sería el valor de x para que el vector u (1, x ) fuera perpendicular a a  , ? 5 5 

5

Soluciones ejercicios de Vectores Ejercicio nº 1.→

→

→

→

→

→

→

a) Si u y v son los siguientes vectores, dibuja 2 u − v , − u + v y − u +

1→ v. 2

→ →  1  b) Las coordenadas de dos vectores son a (2, − 3 ) y b  − , 2 . Obtén las coordenadas de:  2  → → → → → → 1 1  − 3 a + 2 b; − a + b;  a− b  2 3 

Solución: a)

→ →  1  b) − 3 a + 2 b = −3(2, − 3 ) + 2 − , 2  = (− 6, 9 ) + ( − 1, 4 ) = (− 7, 13 )  2  →

− a+

1→ 1 1   1  −9  , 4 b = −(2, − 3 ) +  − , 2  = (− 2, 3 ) +  − , 1 =  2 2 2    4   4

1 → → 1   5 −5  1  1  5   a − b  =  (2, − 3 ) −  − , 2  =  , − 5  =  , 3  3  6 3   2  3  2 Ejercicio nº 2.→

→

→

a) Dibuja los vectores u − v , − u +

→ → → → 1→ v y 2 u + 3 v , siendo u y v los que muestra la figura: 2

6

→ 2 →   b) Dados los vectores a  , − 1 y b (3, − 2 ), obtén las coordenadas de: 3  → → → → → 1→ − 3 a + 2 b; 2 a − b; a − b 3

Solución: a)

→ → 2  b) − 3 a + 2 b = −3 , − 1 + 2(3, − 2) = (− 2, 3 ) + (6, − 4 ) = (4, − 1) 3  

→ →  2  4  −5 2 a − b = 2 , − 1 − (3, − 2) =  , − 2  − (3, − 2) =  , 0 3  3    3 →

a−

1→ 2  1 2   − 2   − 1 − 1 b =  , − 1 − (3, − 2) =  , − 1 − 1, = ,  3 3   3 3  3  3 3  

Ejercicio nº 3.→

→

→

→

a) Si u y v son los vectores que muestra la figura, dibuja − u + 2 v ,

2→ → 1→ → u+ v y − u− v: 3 3

7

→ → 2  b) Si las coordenadas de a y b son  , − 3  y (− 1, 3 ), obtén las coordenadas de los vectores: 5  → → → 1→ 1→ → 5 a + b; − a + 2 b; a− b 5 2

Solución: a)

→

b) 5 a +

1→  1 2  − 1 3   9 − 72  b = 5 , − 3  + (− 1, 3 ) = (2, − 15 ) +  ,  =  ,  5 5 5 5     5 5 5

→ → 2   2   − 12  − a + 2 b = − , − 3  + 2(− 1, 3 ) =  − , 3  + (− 2, 6 ) =  , 9 5   5   5 

1→ → 1 2  1 −3 6 −9 a − b =  , − 3  − (− 1, 3 ) =  ,  − (− 1, 3 ) =  ,  2 25  5 2  5 2  Ejercicio nº 4.→

→

a) Los vectores u y v son los que muestra la figura. A partir de ellos, dibuja → → → → → 2→ − u− v , − 2u+ v y u+ v : 3

→ → 1  b) Si las coordenadas de los vectores a y b son (− 2, 1) y  1, − , obtén las 4  coordenadas de: → → → → 1→ → − 3 a + 4 b; − a + b; a+ 2 b 2

8

Solución: a)

→ →  − 1 b) − 3 a + 4 b = −3( − 2, 1) + 41,  = (6, − 3 ) + (4, − 1) = (10, − 4 )  4  → →  − 1  − 1  − 5  − a + b = −(− 2, 1) + 1,  = (2, − 1) + 1,  =  3,  4 4     4  

1→ → 1 1   − 1  − 1  a + 2 b = (− 2, 1) + 21,  =  − 1,  +  2,  = (1, 0 ) 2 2 4 2 2      

Ejercicio nº 5.a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores: →

→

− u + 2v ;

→

u+

1→ v; 2

→

→

u − 2v

→ −3 →   b) Dados los vectores a  , 2  y b (2, − 2 ), obtén las coordenadas de:  4  → → → → → 1→ a − b; − 2 a + b; − 4 a + b 2

9

Solución: a)

→

b) a −

1→ −3  1 −3  −7  , 2  − (2, − 2) =  , 2  − (1, − 1) =  b= , 3 2  4  2  4   4 

→ → 3  7  −3  − 2 a + b = −2 , 2  + (2, − 2) =  , − 4  + (2, − 2) =  , − 6  2  2   4 

→ → −3  − 4 a + b = −4 , 2  + (2, − 2) = (3, − 8 ) + (2, − 2) = (5, − 10 ) 4  

Ejercicio nº 6.→

→

→

→

→

a) Escribe los vectores x , y , z como combinación lineal de u y v :

→ → → 1  b) Escribe el vector a (0, 17 ) com combinación lineal de b  , 3  y c (− 1, 2 ). 5 

Solución: a)

b) Tenemos que encontrar dos números, m y n, tales que: →

→

→

a = m ⋅ b + n ⋅ c , es decir:

10

(0, 17 ) = m ⋅  1 , 3  + n ⋅ (− 1, 2) 5  m (0, 17 ) =  , 3m  + (− n, 2n ) 5  m (0, 17) =  − n, 3m + 2n  5 

m  − n  0 = m − 5n  5n = m  17 = 3m + 2n  5  17 = 15n + 2n 17 = 3m + 2n  0=

→ 17 = 17n

→

n =1

m = 5n = 5 Por tanto: →

→

→

a = 5 ⋅ b + 1 ⋅ c , es decir:

(0, 17 ) = 5  1 , 3  + (− 1, 2) 5



Ejercicio nº 7.→

→

→

→

→

a) Expresa los vectores a , b y c como combinación lineal de los vectores u y v :

→ → → 1   b) Expresa el vector x (5, − 2 ) como combinación lineal de y (1, − 2 ) y z  , 2 . 2  

Solución: a)

b) Hemos de encontrar dos números, m y n, tales que: →

→

→

x = m ⋅ y + n ⋅ z, es decir:

11

1  − 2) = m (1, − 2) + n  , 2  2  n (5, − 2) = (m, − 2m ) +  , 2n  2  n   (5, − 2) =  m + , − 2m + 2n  2  

(5,

n   10 = 2m + n  n = 10 − 2m   − 2 = −2m + 2n  − 1 = −m + n  2   − 2 = −2m + 2n 

5=m+

n = 10 − 2m  n = −1 + m 

10 − 2m = −1 + m → − 2m − m = −1 − 10 → − 3m = −11 → m =

11 ; 3

n = −1 + m = −1 +

11 8 = 3 3

Por tanto: →

11 → 8 → y + z, es decir: 3 3 11 (5, − 2) = (1, − 2) + 8  1 , 2  3 32  x=

Ejercicio nº 8.→

→

→

→

→

a) Escribe los vectores a , b y c como combinación lineal de x e y :

→

b) Halla las coordenadas del vector w (1, 0 ) con respecto a la base formada por → →  1  u  − , 1 y v (− 3, 2 )  2 

Solución: a)

b) Tenemos que hallar dos números, m y n, tales que: →

→

→

w = m ⋅ u + n ⋅ v , es decir:

12

(1, 0) = m  − 1 , 1 + n(− 3, 2)

 2   m (1, 0) =  − , m  + (− 3n, 2n )  2   m (1, 0) =  − − 3n, m + 2n   2 

m  − 3n   2 0 = m + 2n  m = -2n = 1 1= −

2 = − m − 6n  − 2n = m 

2 = 2n − 6n 2 = −4n

→

n=

2 1 =− −4 2

Por tanto: → →  1 → w = 1 ⋅ u +  −  ⋅ v , es decir:  2 (1, 0) =  − 1 , 1 − 1 (− 3, 2)  2  2 → → → 1  Las coordenada s de w respecto a la base formada por u y v son: 1, −  2   Ejercicio nº 9.-

 a) Halla las coordenadas del vector u ( − 2, − 3 ) con respecto a la base formada por los vectores

 1  v  2, −  y w ( 1, − 1 ) 3 

     b) Expresa los vectores x , y , z como combinación lineal de los vectores a y b :

Solución: a) Hemos de hallar dos números, m y n, tales que: →

→

→

u = m ⋅ v + n ⋅ w , es decir: 1  − 3 ) = m ⋅  2, −  + n ⋅ (1, − 1) 3  m  (− 2, − 3) =  2m, −  + (n, − n ) 3   (− 2, − 3) =  2m + n, − m − n  3  

(− 2,

− 2 = 2m + n   − 2 = 2m + n  − 2 − 2m = n  −m −3 = − n  − 9 = −m − 3n  − 9 = −m − 3(− 2 − 2m ) 3  −9 = −m + 6 + 6m → − 9 − 6 = −m + 6m → − 15 = 5m n = −2 − 2m = −2 + 6 = 4

→

m = −3

13

Por tanto: →

→

→

u = −3 v + 4 w , es decir:

(− 2,

1  − 3 ) = −3 2, −  + 4(1, − 1) 3  →

→

→

Las coordenada s de u con respecto a la base formada por v y w son (− 3, 4 ) . b)

Ejercicio nº 10.-

   1  a) Expresa el vector x ( 4, 1) como combinación lineal de los vectores y ( 2, − 3 ) y z  , 1 . 2 

Solución: a) Tenemos que hallar dos números, m y n, tales que: →

→

→

x = m ⋅ y + n ⋅ z, es decir:

1  − 3 ) + n , 1 2  (4, 1) = (2m, − 3m ) +  n , n  2  n   (4, 1) =  2m + , − 3 m + n  2  

(4, 1) = m(2,

n  8 = 4m + n  8 − 4m = n  2  1 = −3m + n  1 + 3m = n    1 = −3m + n  4 = 2m +

8 − 4m = 1 + 3m  8 − 1 = 3m + 4m 

14

7 = 7m → m = 1 n = 1 + 3m = 1 + 3 = 4 Por tanto: →

→

→

x = 1 ⋅ y + 4 ⋅ z; es decir:

(4, 1) = (2, −3) + 4 1 , 1 2



b)

Ejercicio nº 11.→ →  Dados x (5, − 4 ), y (3, 2 ) y z (1, k ) : →

→

a) Halla el valor de k para que x y z formen un ángulo 90  . →

b) Halla un vector unitario con la misma dirección y el mismo sentido que x .

Solución:

  a) Para que x y z formen un ángulo de 90  (sean perpendicu lares), su producto escalar ha de ser igual a cero: → →

x ⋅ z = (5, − 4 ) ⋅ (1, k ) = 5 − 4k = 0

→

k=

5 4

→

b) Hallamos el módulo de x →

x = 5 2 + (− 4 ) = 25 + 16 = 41 2

→

El vector unitario con la misma dirección y sentido que x será:  5 −4    ,  41 41 

Ejercicio nº 12.→

→

Si a (1, − 3 ) y b (m , 2 ) : →

→

a) Halla el valor de m para que a y b sean perpendiculares. →

→

→

b) Calcula el ángulo formado por a y c siendo c (4, 2 ).

15

Solución:

  a) Para que a y b sean perpendicu lares, su producto escalar debe ser cero : →

→

a ⋅ b = (1, − 3 ) ⋅ (m, 2) = m − 6 = 0

→

m=6

→ →  →∧→  (1, 3) ⋅ (4, 2) a⋅c 4−6 −2 b) cos  a, c  = → = = = = → 2 2 2 2   10 20 200 ⋅ ( ) 1 3 4 2 + − ⋅ + a ⋅ c  

= −0,14

 →∧→   a, c  = 98  7'48' '    

→

Ejercicio nº 13.→

→

→

Dados los vectores u (− 1, 4 ), v (3, m ) y w (2, − 3 ): →

→

a) Calcula m para que u y v sean perpendiculares. →

→

b) Halla el ángulo que forman u y w .

Solución: →

→

a) Para que u y v sean perpendicu lares, su producto escalar ha de ser cero, es decir: →

→

u ⋅ v = (− 1, 4 ) ⋅ (3, m ) = −3 + 4m = 0 → →  → ∧→  u ⋅w   b) cos  u, w  = → → =   u ⋅ w  

Así,

→

m=

− 2 − 12

(− 1)

2

+ 4 2 ⋅ 2 2 + (− 3 )

2

3 4

=

− 14

17 ⋅ 13

=

− 14

= −0,94

221

 → ∧→   u, w  = 160  20'46' '.    

Ejercicio nº 14.→

→

→

→

Considera los vectores x (a, 3 ) e y (− 1, b ). Halla los valores de a y b para que x e y  sean perpendiculares y que x = 5.

Solución: →

→

1.º ) Para que x e y sean perpendicu lares, su producto escalar ha de ser cero, es decir : → → a x ⋅ y = (a, 3 ) ⋅ (− 1, b ) = −a + 3b = 0 → b = 3 →

2.º ) Hallamos el módulo de x e igualamos a 5:  x = a2 + 32 = a2 + 9 = 5

→

a 2 + 9 = 25

16

4  a=4 → b=   3 a 2 = 25 − 9 = 16 → a = ± 16 →  a = −4 → b = − 4  3 Por tanto, hay dos posibilidades: a1 = 4, b1 =

4 4 ; a2 = −4, b2 = − 3 3

Ejercicio nº 15.a) Halla el ángulo que forman los vectores → 3 −4 →   a ,  y b (1, 1) 5 5  → → 3 −4   b) ¿Cuál sería el valor de x para que el vector u (1, x ) fuera perpendicular a a  , ? 5 5  

Solución: → →  →∧→  a ⋅b   a) cos  a, c  = → → =   a ⋅ b  

 →∧→  →  a, c  = 98  7'48' '     →

3 4 1 − − −1 5 5 5 = = = −0,14 9 16 2 5 2 + ⋅ 1+ 1 25 25

→

→

b) Para que u y a sean perpendicu lares, su producto escalar debe ser cero: → →  3 − 4  3 4x u ⋅ a = (1, x ) ⋅  , =0 = − 5 5 5  5

→

3 − 4x = 0

→

x=

3 4

17