c

x x x x x x

x

d

b

n= número de espiras por unidad de longitud

a

L

r r b r r c r r d r r a r r b r r ∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl = BL = µ0 I enc a

I enc = nLI

b

c

d

a

El número de espiras en el tramo L es nL

BL = µ 0 nLI

 ⇒ B = µ 0 nI = µ 0 I L

 n= L

N= número total de espiras

APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE

Campo de un solenoide toroidal Un solenoide toroidal es un solenoide con las espiras enrolladas en forma de rosquilla (toroide). Si el toroide tiene radio R, la longitud del solenoide es L=2πR, entonces: B=0

B=0

µ 0 I  B = µ 0 nI = µ 0 I = L 2πR

N= número total de espiras

El campo magnético afuera del anillo y en la región central del anillo es 0.

28.38 Un solenoide toroidal tiene un radio interior r1=15 cm y un radio exterior r2=18 cm. El solenoide tiene 250 espiras y una corriente de 8.5 A. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético a las distancias siguientes del centro del toro? a) 12 cm; b) 16 cm; c) 20 cm;

a) B = 0

Afuera del toroide

µ 0 I (4π 10 −7 Tm / A)(8.5 A)(250) b) R = 0.16m B = = = 2.66 10 −3 T 2πR 2π (0.16m) c) B = 0

Afuera del toroide

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Casi todos los dispositivos y máquinas modernas tiene circuitos eléctricos. Sabemos que para que en un circuito circule una corriente se necesita una fuerza electromotriz. En la mayoría de los dispositivos eléctricos la fuente NO es una batería, sino una estación generadora de electricidad. ¿Cuál es la física en la que se apoya la producción de casi toda la energía eléctrica que necesitamos? La respuesta es un fenómeno conocido como inducción electromagnética: si el flujo magnético a través del circuito cambia, se induce una f.e.m. y una corriente en el circuito. Un campo magnético que varía con el tiempo actúa como una fuente de campo eléctrico.

EXPERIMENTOS DE INDUCCIÓN Durante la década de 1830, varios experimentos con fem inducidas por medios magnéticos fueron realizados por M. Faraday (Inglaterra) y J. Henry (Estados Unidos). S

Imán en reposo

N

S

Imán en movimiento

N

bobina

galvanómetro Cuando el imán está inmóvil, el medidor no muestra corriente alguna

bobina

galvanómetro Cuando se desplaza el imán hacia la bobina o se aleja, el medidor muestra una corriente en el circuito (sólo mientras el imán está en movimiento)

A esto se le llama CORRIENTE INDUCIDA y la fem correspondiente se llama FEM INDUCIDA

bobina

Se ha sustituido el imán por una segunda bobina conectada a una batería. Cuando la segunda bobina se desplaza respecto a la primera bobina, hay corriente en la primera bobina, pero sólo mientras una bobina se mueve respecto a la otra.

galvanómetro

La segunda bobina está en reposo,pero se puede cambiar la corriente en la segunda bobina a través de un interruptor. Se observa que al abrir o cerrar el interruptor hay un pulso transitorio en el primer circuito. bobina

galvanómetro

S B

N

Se conecta una bobina a un galvanómetro y se coloca la bobina entre los polos de un electroimán cuyo campo magnético B se puede modificar. Se observa:
Cuando no hay corriente en el electroimán, de modo que B=0, el galvanómetro no muestra corriente.
Cuando se conecta el electroimán, hay una corriente transitoria a través del medidor conforme B aumenta.

galvanómetro


Cuando B se estabiliza en un valor constante, la corriente decae a cero, no importa cuán grande sea B.
Con la bobina en un plano horizontal, se oprime de modo que se reduzca su área. El medidor detecta corriente sólo durante la deformación. Cuando se aumenta el área hay corriente en el sentido opuesto, pero sólo mientras el área de la bobina está cambiando.


Si se hace girar la bobina unos pocos grados en torno a un eje horizontal, el medidor detecta corriente durante la rotación, en el mismo sentido que cuando se redujo el área. Si se hace girar la bobina hacia su posición original, hay corriente en sentido opuesto.

S B

N

galvanómetro


Si se saca bruscamente la bobina del campo magnético, hay corriente durante el movimiento, en el mismo sentido que cuando se redujo su área.
Si se reduce el número de espiras de la bobina, hay corriente durante el proceso, en el mismo sentido que cuando se redujo el área. Si se enrollan más espiras, hay una corriente en el sentido opuesto.
Cuando se desconecta el electroimán, hay una corriente momentánea en el sentido opuesto al de la corriente al momento de conectarlo.
Cuanto más rápidamente se efectúan estos cambios, tanto más grande es la corriente.
Si se repiten estos experimentos con una bobina de la misma forma pero de diferente material y con otra resistencia, la corriente es proporcional a la resistencia total del circuito. Las fem inducidas que crean la corriente no dependen del material de la bobina, sino sólo de su forma y del campo magnético.

LEY DE FARADAY El elemento común en todos los efectos de inducción es el flujo magnético cambiante a través de un circuito. El flujo del campo magnético a través de un área es:

r r Φ B = ∫ B ⋅ dA = ∫ BdA cos ϕ

Si B es uniforme en toda el área plana A:

Φ B = BA cos ϕ

LEY DE FARADAY DE LA INDUCCIÓN: La fem inducida en una espira cerrada es igual al negativo de la relación de cambio con respecto al tiempo del flujo magnético a través de la espira

dΦ B ε =− dt

El campo magnético entre los polos de un electroimán de la figura es uniforme en todo momento, pero su magnitud aumenta en proporción de 0.02 T/s. El área de la espira que está en el campo es 120 cm2, y la resistencia total del circuito, medidor y resistor incluidos, es de 5 Ω. La normal al plano de la espira es paralela al campo B. a) Halle la fem inducida y la corriente inducida en el circuito; b) Si se sustituye la espira por una fabricada de un aislador, ¿qué efecto tiene esto en la fem inducida y la corriente inducida?

r r Φ B = B ⋅ A = BA cos(0) = BA

S A

N

dΦ B ε =− dt

dΦ B d ( BA) dB = = A = (0.02T / s )(0.012m 2 ) = 2.4 10 − 4 V dt dt dt Esto, aparte del signo, es la fem inducida ε:

2.4 10 −4 V I= = = 4.8 10 −5 A R 5Ω

ε

Al cambiar a una espira de aislador, aumentamos mucho la resistencia R del circuito. En la ley de Faraday no interviene R, por lo que la fem inducida no cambia. Pero la corriente será más pequeña. Si el aislador es perfecto, la R es infinita y la corriente inducida cero.

29.1 Una bobina rectangular con devanado compacto de 80 espiras tiene dimensiones 25 cm x 40 cm. Se hace girar el plano de la bobina, e 0.06 s, de una posición donde forma un ángulo de 37o con un campo magnético de 1.1 T, a una posición perpendicular al campo. ¿Cuál es la fem promedio inducida en la bobina?

r r Φ B = B ⋅ A = BA cos ϕ

A φ

Φ Bi = BA cos(37) = (80)(1.1T )(0.1m 2 ) cos(37) = 7.024Tm 2

Φ Bf = BA cos(0) = (80)(1.1T )(0.1m 2 ) = 8.8Tm 2 A

∆Φ B Φ Bf − Φ Bi (8.8 − 7.024)Tm 2 ε = = = = 29.6V ∆t ∆t 0.06s

29.6 Se coloca una bobina de 4 cm de radio con 500 espiras en un campo magnético uniforme que varía con el tiempo según:

B = (0.012T / s )t + (3 10 −5 T / s 4 )t 4 La bobina está conectada a un resistor de 600Ω, y su plano es perpendicular al campo magnético. No tenga en cuenta la resistencia de la bobina. a) Halle la magnitud de la fem inducida en la bobina en función del tiempo. b) ¿Cuál es la corriente en el resistor en el tiempo t=5 s? B A = πR 2 = π (0.04m) 2 = 0.00502m 2 A

Φ B = BA cos(0) = BA = (500)(0.00502m 2 )[(0.012T / s)t + (3 10 −5 T / s 4 )t 4 ]

dΦ B dB = −A = −(0.00502m 2 )[(0.012T / s) + 4(3 10 −5 T / s 4 )t 3 ] = dt dt = −(0.032V + 3.02 10 − 4 t 3 (V / s 3 ))

ε =−

b)

ε (t = 5s ) = 0.032V + (3.02 10 −4 )(5)3V = 0.068V I=

ε R

=

0.068V = 1.13 10 − 4 A 600Ω

DIRECCIÓN DE LA FEM INDUCIDA La dirección de una fem o corriente inducida se halla con base en la ecuación de la ley de Faraday más algunas reglas sencillas sobre signos: o Defina una dirección positiva para el vector área A; o Con base en las direcciones de A y de B, determine el signo del flujo magnético ΦΒ y su rapidez de cambio dΦ/dt. o Encuentre el signo de la fem o corriente inducida. Si el flujo aumenta, de modo que dΦ/dt es positiva, la fem inducida es negativa. Si el flujo disminuye, dΦ/dt es negativa y la fem inducida es positiva. o Determine la dirección de la corriente inducida con la regla de la mano derecha (pulgar en dirección de A, si la fem inducida es positiva tiene la dirección de los dedos doblados).

B creciente φ A

B decreciente φ A

A φ B creciente

Flujo positivo ΦB >0 Flujo positivo ΦB >0 dΦ/dt > 0

dΦ/dt < 0

fem negativa ε < 0

fem positiva ε > 0

A φ B decreciente

Flujo negativo ΦB < 0 Flujo negativo Φ < 0 B dΦ/dt < 0 dΦ/dt > 0 fem positiva ε > 0

fem positiva ε < 0

Se coloca una bobina de alambre con 500 espiras circulares de 4 cm de radio entre los polos de un electroimán, donde el campo magnético es uniforme y forma un ángulo de 30o con la normal al plano de la bobina. El campo disminuye a razón de 0.2 T/s. Calcule la magnitud y dirección de la fem inducida. A φ

Φ B = BA cos 30 = B (πR 2 ) cos 30 = B (0.00503m 2 ) cos 30 dΦ B dB = A cos 30 = (−0.2T / s )(500)(0.00503m 2 ) cos 30 = (500)(−8.7 10 − 4 Tm 2 / s ) dt dt ε = −(500)(−8.7 10 − 4 Tm 2 / s) = 0.435V La fem es positiva, entonces la corriente está en la dirección de los dedos de la mano derecha, con el pulgar en dirección de A.

Bobina exploradora Una manera práctica de medir la intensidad de un campo magnético se basa en el uso de una pequeña bobina de N espiras, con devanado compacto, llamada “bobina exploradora”. La bobina de área A, se sostiene inicialmente de modo que su vector área esté alineado con un campo magnético de magnitud B. En seguida se hace girar rápidamente la bobina un cuarto de vuelta en torno a un diámetro, o bien se saca la bobina con rapidez del campo magnético. Al principio, el flujo a través de la bobina es ΦB=NBA. Cuando se hace girar la bobina o se saca del campo, el flujo disminuye rápidamente de NBA a 0. En tanto que el flujo disminuye, hay una fem inducida transitoria y fluye una corriente transitoria en un circuito conectado a la bobina. El cambio de flujo total es proporcional a la carga total que circula alrededor del circuito. Se puede medir esta carga y calcular B.

29.3 a) Deduzca la ecuación que relaciona la carga total Q que fluye en un por una bobina exploradora con la magnitud del campo magnético B. La bobina exploradora tiene N espiras, cada una con área A, y el flujo a través de la bobina disminuye de su valor máximo inicial a cero en un tiempo ∆t. La resistencia de la bobina es R, y la carga total es Q=I∆t, donde I es la corriente inducida.

∆Φ B BA Q BA ε= = = RI = R ⇒ Q = R ∆t ∆t ∆t

29.4 El área de sección transversal de una bobina exploradora con devanado compacto de 90 espiras es de 2.2 cm2 y su resistencia es de 6.8Ω. La bobina se conecta a un instrumento medidor de corriente que tiene una resistencia interna de 12Ω. Halle la cantidad de carga que se desplaza cuando se saca rápidamente la bobina de una región donde B=2.05 T a un punto donde el campo magnético es cero. El plano de la bobina forma un ángulo de 90o con el campo magnético.

Φ Bi = BA Φ Bf = 0

A

∆Φ B = 0 − BA = − BA B

− BA Q ∆Φ B = RI = R =− ∆t ∆t ∆t BA (90)(2.05T )(2.2 10 − 4 m 2 ) Q= = = 2.16 10 −3 C R (6.8 + 12)Ω

ε =−

GENERADOR I: ALTERNADOR SIMPLE En un alternador simple, se hace girar una espira rectangular con rapidez angular ω constante en torno a un eje en una región donde hay un campo magnético constante y uniforme. El flujo de B a través de la bobina es función del tiempo:

Φ B = BA cos ϕ = BA cos ωt dΦ B = BA(−ω sin ωt ) dt dΦ ε = − B = ωBA sin ωt dt La fem inducida varía de modo sinusoidal con el tiempo. Los alternadores se conocen también como generadores de corriente alterna.